文档内容
2026年菁优中考数学时事热点试题抢分秘籍之重要成就
一．选择题（共12小题）
1．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图
形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原
理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，对角线AC与BD交于点O，点E为BC
边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG的值为（ ）
24 60 13 12
A． B． C． D．
5 13 2 5
2．勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图的证明简明、直观，是世界公认
最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．
小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连结BH并延长，交AD于点N，交AF于点M．若点M是EF的
中点，则△DNH与△BFM的面积比为（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
3 4 2 5
3．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出七，
盈二；人出六，不足三，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出 7钱，会多2钱；每
人出6钱，又会差3钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组
正确的是（ ）
{y-7x=2 {y-7x=2
A． B．
y-6x=3 6x- y=3
{7x- y=2 {7x- y=2
C． D．
6x- y=3 y-6x=3
第1页（共30页）4．“赵爽弦图”是我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小华在如图所示的
“赵爽弦图”中，连接DG．若正方形ABCD与正方形EFGH的边长之比为√5：1，则cos∠FDG等
于（ ）
√10 √5 3√10 2√5
A． B． C． D．
10 5 10 5
5．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：“今有醇酒一斗，直
钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”译文：今有优质酒
1斗的价格是50钱，普通酒1斗的价格是10钱，现在买了两种酒2斗，共付30钱．问优质酒、普通
酒各买多少斗？如果设买优质酒x斗，普通酒y斗，则可列方程组为（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
6．“杨辉三角”、“洛书”、“赵爽弦图”和“中国七巧板”均是中国古代数学的重要成就，至今仍在
数学教育、智力训练和文化传承中发挥影响．观察以下代表四者的标志性图形，其中属于中心对称图
形的是（ ）
A． B．
第2页（共30页）C． D．
7．洛阳是中原地区的文化旅游中心，更是向世界展示中华文明辉煌成就的重要窗口．2025年国庆假期，
洛阳累计接待游客约8790000人次，将8790000用科学记数法表示为（ ）
A．8.79×107 B．8.79×106 C．879×104 D．87.9×105
8．数学是我国古代科学中一门重要学科，其发展源远流长，成就辉煌．下列与我国古代数学发现相关的
图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
9．《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于 1303年．该书是一部成就辉煌
的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．嘉淇对其中的“买椽多少”问题进行了改编：
现请人代买一批椽，这批椽的价钱为216文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的
椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（ ）
A．设这批椽的数量为x株，则3x（x﹣1）＝216
B．这批椽的总运费为24文
C．一株椽的价钱为24文
D．这批椽一共有9株
10．以下是小明同学数学笔记的一部分，请仔细阅读并完成相应任务．
戈特弗里德•威廉•莱布尼茨是德国伟大的哲学家、数学家，是历史上少见的通才，
被誉为十七世纪的亚里士多德．莱布尼茨在数学史和哲学史上都占有重要地位，
二进制数的发现与完善是他在数学史上的伟大学术成就之一，
现代的计算机和依赖计算机的设备里都在使用二进制．
我们在数学学习中所用的数都是十进制数，
一共有十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，
其进位规则是“逢十进一”，比如数字254＝2×102+5×101+4×100．
第3页（共30页）而二进制数是用0和1两个数码来表示的数，它的进位原则是“逢二进一”，
二进制数可以转化为十进制数，转化如下：
比如：(1011) =1×23+0×22+1×21+1×20=11．
2
任务：已知abc，cba是两个不相等的十进制三位数，且abc﹣cba＝99，若三位二进制数的三个数位均
为（a﹣c），将其转化为十进制数为（ ）
A．1 B．7 C．13 D．111
11．《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于 1303年．该书是一部成就辉煌
的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．小明对其中的“买椽多少”问题进行了改编：
现请人代买一批椽，这批椽的价钱为216文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的
椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（ ）
A．设这批椽的数量为x株，则3x（x﹣1）＝216
B．一株椽的价钱为27文
C．一株椽的价钱为24文
D．这批椽一共有9株
12．近年来，我国的新能源汽车取得了令人瞩目的成就，成为全球汽车行业的重要力量．下面我国四款
新能源汽车的标志中，不是轴对称图形的是（ ）
A． 小鹏汽车 B． 蔚来汽车
C． 阿维塔汽车 D． 理想汽车
二．填空题（共4小题）
13．【文化欣赏】
杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就．观察如图各式及其展
开式
【应用体验】
请问（x﹣1）2026展开式中，共有 项，含x2025项的系数是 ．
第4页（共30页）14．我国古代数学曾有许多重要的成就，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，这个三角形给出了
（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第
三行的三个数1，2，1，恰好对应）（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第五行的五个数1，
4，6，4，1，恰好对应着（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4展开式中各项的系数．
（1）（a+b）5展开式中a4b的系数为 ；
（2）（a+b）n展开式中各项系数的和为 ．
15．中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》、《周髀算
经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选
择 2 部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为
．
16．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，其中“将一个几何图形任意切成多块小图形，几何
图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，AO、
BO分别平分∠CAB、∠CBA，且点O到AB的距离OD为3．若△ABC的周长为16，则△ABC的面积
为 ．
第5页（共30页）三．解答题（共4小题）
17．幻方是中国古代重要的数学成就．在每个小方格中各填入一个数，如果每行、每列、每条对角线上
的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方．
（1）现用2到10这9个整数构造三阶幻方（每个数只能用一次）．
①将图1的三阶幻方补充完整；
②如图2，该同学经过多次尝试，发现幻方中不同位置的数之间有一定的数量关系，若将图中对应位
置的数记作a，b，写出a，b满足的数量关系；
（2）如图3，对于任意满足条件的三阶幻方，设对应位置的数分别为a，b，c，写出a，b，c满足的
数量关系．
18．中国是世界文明古国之一，古代天文学有着卓越的成就．《开元占经》记载了众多天文现象和数据，
《甘石星经》则是古代重要的天文学著作．某天文爱好者俱乐部的《开元占经》单价是《甘石星经》
3
单价的 ，用800元购买《开元占经》比购买《甘石星经》多买4本．
4
（1）求《开元占经》、《甘石星经》两种图书的单价分别为多少元？
（2）在世界航天日，该俱乐部计划到书店购买这两种图书共 100本，且购买的《甘石星经》数量不少
1
于《开元占经》数量的 ，由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按七五折出售，求两种图书分
3
别购买多少本时费用最少？
19．脱贫攻坚取得重大胜利，是中国在2020年取得的最重要成就之一．家庭养猪是农村精准扶贫的重要
措施之一．如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长 13m，另外三面用27m长的建筑材料
围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括建筑材料）．
（1）所围矩形猪舍的AB边为多少时，猪舍面积为90m2？
（2）所围矩形猪舍的AB边为多少时（AB为整数），猪舍面积最大，最大面积是多少？
第6页（共30页）20．
探究古代建筑，屋檐之上的数学密码——探究屋面结构与建筑高度的关系
背景介绍 在世界的历史长河中，中国的古建筑最具有视觉美感，历史源远流长、绵延不绝．大诗
人李白的诗句：“危楼高百尺，手可摘星辰”，表述了他对建筑、数学以及宇宙星辰的
认知．
而中国古建筑屋顶是我国传统建筑造型艺术中非常重要的构成因素，不仅样式多，而且
组成部分也很繁杂．中国屋顶多为坡屋面，从顶上屋脊或宝顶到下边的屋檐是一个向下
弯曲的凹弧面，表达出顺应自然的谦卑，似与天空恰当而友善的对话．而弯曲屋面的出
现，经历了漫长的过程．其中最具代表的就是两宋的建筑成就．
建筑高度是建筑设计中的一个重要参数．学习小组的同学想要更全面具体地了解宋代建
筑与数学的关系，来到了宋代建筑代表作——山西太原的晋祠圣母殿．想通过建模的方
式探究屋面结构与建筑高度的关系．
实践任务 以晋祠圣母殿为例，通过建模的方式，探究屋面结构与建筑高度的关系．
资料查阅 1、晋祠圣母殿是常见的坡屋面式结构之一，在《建筑设计防火规范》（GB50016﹣
2014）（2018年版）A．0.1条中，建筑高度应为建筑室外设计地面至其檐口与屋脊的平
1
均高度，即：建筑高度（h）＝室外设计地面至檐口的高度(h )+( )檐口至屋脊的高度
1 2
（h ）．
2
1
如图2，建筑高度h=h + h ．
1 2 2
2、如图1，根据晋祠圣母殿和《营造法式》中的几个典型的屋面剖面图的资料总结得
出，从檐口到屋脊，坡屋面竖直高度h /半坡宽度W≈0.5．数据表达了古人的审美情趣，
2
现代仿古建筑，如庑殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶等建筑，均宜参照这个建筑密码营
造．
第7页（共30页）模型初建 将晋祠圣母殿的屋面近似成平面结构，
其剖面图可以简化成数学几何图形（简
化为一层房檐）．如图3，△ABC为等
腰三角形，AB＝AC，假定BC＝8米，
DF＝10米．
模型优化 屋面除了审美需求，也要便于房屋采光
和排水．晋祠圣母殿的屋面正是中国古
建筑中最具代表的凹曲屋面，使建筑物
产生独特而强烈的视觉效果和艺术感染
力．
学习小组通过查阅资料可知，屋面可以
近似看作圆心角为30°的圆弧．如图所
示，弧^AB和弧^AC是半径为20m、圆心
角为30°的圆弧，檐口B到地面的距离
√6-√2
为 15m ． （ 已 知 sin15°= ，
4
√6+√2
cos15°= ， tan15° ＝ 2-√3，
4
√8+4√3=√6+√2，
√8-4√3=√6-√2）
问题解决
任务1 模型初建 （1）根据“资料查阅”第一条，求出简易图中
的建筑高度；
任务2 模型优化 （2）根据“资料查阅”两条内容，直接写出屋
脊A与檐口B的竖直高度h 和建筑高度h（结果
2
保留根号）．
第8页（共30页）2026年菁优中考数学时事热点试题抢分秘籍之重要成就
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C D D A C B． B B B B
题号 12
答案 D
一．选择题（共12小题）
1．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图
形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原
理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，对角线AC与BD交于点O，点E为BC
边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG的值为（ ）
24 60 13 12
A． B． C． D．
5 13 2 5
【考点】矩形的性质；三角形的面积；勾股定理．
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【专题】推理能力．
【答案】A
【分析】连接 OE，根据矩形的性质得到 BC＝AD＝8，AO＝CO＝BO＝DO，根据勾股定理得到
AC=√AB2+BC2=10，求得OB＝OC＝5，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：如图，连接OE，
第9页（共30页）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝8，AO＝CO＝BO＝DO，
∵AB＝6，AD＝BC＝8，
∴AC=√AB2+BC2=10，
∴OB＝OC＝5
1 1 1 1 1
∴S =S +S = ×OB⋅EG+ OC⋅EF= S = × ×6×8=12，
△BOC △BOE △COE 2 2 2 △ABC 2 2
1 1 5
∴ ×5×EG+ ×5×EF= (EG+EF)=12．
2 2 2
24
∴EG+EF= ．
5
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积公式，熟练掌握它们的性质和掌握数形结合
思想的应用是解题的关键．
2．勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图的证明简明、直观，是世界公认
最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．
小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连结BH并延长，交AD于点N，交AF于点M．若点M是EF的
中点，则△DNH与△BFM的面积比为（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
3 4 2 5
【考点】勾股定理的证明；三角形的面积．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
第10页（共30页）【答案】C
EM 1
【分析】延长CH交AD于点T，先求出tan∠3= = ，然后证明∠1＝∠4＝∠3＝∠2，再证明
HE 2
1
ND＝NT，则S
△DNH
=
2
S
△DHT
，最后证明S△DHT ＝S△BFM ，即可等量代换求解．
【解答】解：延长CH交AD于点T，
由“赵爽弦图”可得，四边形HEFG为正方形，△DAE≌△ABF≌△CDH．
∴HE＝EF＝GH＝GF，HE∥GF，∠FAB＝∠EDA，∠HEM＝∠BFM＝90°＝∠DHT＝∠BGH，AE＝
BF，DH＝BF．
∵点M是EF的中点，
1 1
∴EM=MF= EF= HE．
2 2
EM 1
∴tan∠EHM= = ．
HE 2
∵HE∥GF，
∴∠EHM＝∠FBM，
HG HG HG 1
∴tan∠FBM= = = = ，
BG GF+BF HG+BF 2
∴HG＝BF．
∴EF＝AE＝BF．
BF BF 1
∴tan∠FAB= = = ．
AF AE+EF 2
∴∠FAB＝∠FBM，
∴∠EDA＝∠FBM＝∠EHM＝∠DHN，
∴ND＝NH，
∵∠NTH＝90°﹣∠EDA，∠NHT＝90°﹣∠DHN，
∴∠NTH＝∠NHT．
∴NT＝NH．
第11页（共30页）∴ND＝NT．
1
∴S = S ．
△DNH 2 △DHT
∵∠EDA＝∠FBM，
TH MF
∴tan∠EDA=tan∠4= = ．
DH BF
∵DH＝BF，
∴TH＝MF，
∴S△DHT ＝S△BFM ，
1
∴S = S ，
△DNH 2 △BFM
S 1
∴ △DNH = ．
S 2
△BFM
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，三角形的面积，掌握以上知识点是解题的关键．
3．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出七，
盈二；人出六，不足三，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出 7钱，会多2钱；每
人出6钱，又会差3钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组
正确的是（ ）
{y-7x=2 {y-7x=2
A． B．
y-6x=3 6x- y=3
{7x- y=2 {7x- y=2
C． D．
6x- y=3 y-6x=3
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】由等量关系“每人出7钱时总出钱数比物价多2钱”和“每人出6钱时物价比总出钱数多3
钱”列出方程组即可．
【解答】解：根据题意可得：
{7x- y=2
．
y-6x=3
故选：D．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意找准等量关系是解题的关键．
第12页（共30页）4．“赵爽弦图”是我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小华在如图所示的
“赵爽弦图”中，连接DG．若正方形ABCD与正方形EFGH的边长之比为√5：1，则cos∠FDG等
于（ ）
√10 √5 3√10 2√5
A． B． C． D．
10 5 10 5
【考点】解直角三角形的应用；勾股定理的证明．
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【专题】解直角三角形及其应用．
【答案】D
【分析】设△ABG的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为√5x，小正方形的边长为x，由
{a2+b2=(√5x) 2 {a=2x
题意得 ，解得 ，即可求解．
a-b=x b=x
【解答】解：设△ABG的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为√5x，小正方形的边长为
x，
即ED＝BG＝HC＝AF＝b，AG＝BH＝CE＝DF＝a，
{a2+b2=(√5x) 2 {a=2x {a=x
由题意得， ，解得 或 （舍去），
a-b=x b=x b=2x
∴FG＝x，DF＝2x，
∴GD=√DF2+FG2=√(2x) 2+x2=√5x，
DF 2x 2√5
∴cos∠FDG= = = ，
DG √5x 5
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形的应用、正方形的性质及勾股定理，掌握以上性质是解题的关键．
5．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：“今有醇酒一斗，直
钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”译文：今有优质酒
第13页（共30页）1斗的价格是50钱，普通酒1斗的价格是10钱，现在买了两种酒2斗，共付30钱．问优质酒、普通
酒各买多少斗？如果设买优质酒x斗，普通酒y斗，则可列方程组为（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】设买美酒x斗，普通酒y斗，根据现在买两种酒2斗共付30钱，即可得出关于x，y的二元一
次方程组．
【解答】解：设买美酒x斗，普通酒y斗，
{ x+ y=2
依题意，得： ，
50x+10 y=30
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，找准等量关系，正确列出二元一次方
程组是解题的关键．
6．“杨辉三角”、“洛书”、“赵爽弦图”和“中国七巧板”均是中国古代数学的重要成就，至今仍在
数学教育、智力训练和文化传承中发挥影响．观察以下代表四者的标志性图形，其中属于中心对称图
形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形．
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第14页（共30页）【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据定义逐项判定，即将一个图形绕某点旋转180°后能与本身重合，这样的图形叫做中心对
称图形．
【解答】解：A、图形绕某点旋转180°后不能与本身重合，不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形绕某点旋转180°后不能与本身重合，不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形绕某点旋转180°后能与本身重合，是中心对称图形，符合题意；
D、图形绕某点旋转180°后不能与本身重合，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是关键．
7．洛阳是中原地区的文化旅游中心，更是向世界展示中华文明辉煌成就的重要窗口．2025年国庆假期，
洛阳累计接待游客约8790000人次，将8790000用科学记数法表示为（ ）
A．8.79×107 B．8.79×106 C．879×104 D．87.9×105
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】B．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n
是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：8790000＝8.79×106．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8．数学是我国古代科学中一门重要学科，其发展源远流长，成就辉煌．下列与我国古代数学发现相关的
图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
第15页（共30页）C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
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【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【解答】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线
两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋
转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解
题的关键．
9．《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于 1303年．该书是一部成就辉煌
的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．嘉淇对其中的“买椽多少”问题进行了改编：
现请人代买一批椽，这批椽的价钱为216文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的
椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（ ）
A．设这批椽的数量为x株，则3x（x﹣1）＝216
B．这批椽的总运费为24文
C．一株椽的价钱为24文
D．这批椽一共有9株
【考点】一元二次方程的应用．
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【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】设这批椽的数量为x株，则（x﹣1）株椽的运费是3（x﹣1）文，一株椽的价钱为3（x﹣1）
文，利用总价＝单价×数量，结合这批椽的价钱为216文，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出
x的值，结合x为正整数，可得出x的值（即这批椽的数量），再将其分别代入3（x﹣1）及3x中，即
可求出结论．
第16页（共30页）【解答】解：设这批椽的数量为x株，则（x﹣1）株椽的运费是3（x﹣1）文，一株椽的价钱为3（x﹣
1）文，
根据题意得：3（x﹣1）x＝216，
整理得：x2﹣x﹣72＝0，
解得：x ＝﹣8（不符合题意，舍去），x ＝9，
1 2
∴3（x﹣1）＝3×（9﹣1）＝24（文），
3x＝3×9＝27（文），
∴设这批椽的数量为x株，所列方程为3x（x﹣1）＝216，这批椽的总运费为27文，一株椽的价钱为
24文，这批椽一共有9株．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．以下是小明同学数学笔记的一部分，请仔细阅读并完成相应任务．
戈特弗里德•威廉•莱布尼茨是德国伟大的哲学家、数学家，是历史上少见的通才，
被誉为十七世纪的亚里士多德．莱布尼茨在数学史和哲学史上都占有重要地位，
二进制数的发现与完善是他在数学史上的伟大学术成就之一，
现代的计算机和依赖计算机的设备里都在使用二进制．
我们在数学学习中所用的数都是十进制数，
一共有十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，
其进位规则是“逢十进一”，比如数字254＝2×102+5×101+4×100．
而二进制数是用0和1两个数码来表示的数，它的进位原则是“逢二进一”，
二进制数可以转化为十进制数，转化如下：
比如：(1011) =1×23+0×22+1×21+1×20=11．
2
任务：已知abc，cba是两个不相等的十进制三位数，且abc﹣cba＝99，若三位二进制数的三个数位均
为（a﹣c），将其转化为十进制数为（ ）
A．1 B．7 C．13 D．111
【考点】有理数的混合运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】直接根据二进制数只有0，1两个数码，数位为（a﹣c）即a﹣c＞0，求出三位二进制数为
111，再根据转化方法计算即可．
【解答】解：由条件可知a﹣c＞0，
∵二进制数只有0，1两个数码，
∴a＝1，c＝0，
第17页（共30页）∴a﹣c＝1，
即三位二进制数为111，
∴(111) =1×22+1×21+1×20=4+2+1=7，
2
故选：B．
【点评】本题考查了二进制数转十进制数．熟练掌握该知识点是关键．
11．《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于 1303年．该书是一部成就辉煌
的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．小明对其中的“买椽多少”问题进行了改编：
现请人代买一批椽，这批椽的价钱为216文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的
椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（ ）
A．设这批椽的数量为x株，则3x（x﹣1）＝216
B．一株椽的价钱为27文
C．一株椽的价钱为24文
D．这批椽一共有9株
【考点】一元二次方程的应用．
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【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x﹣1）文，根据这批椽的价钱为216文，可列
出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，将符合题意的值代入3（x﹣1）中，可求出一株椽的价
钱，再对照四个选项，即可得出结论．
【解答】解：设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x﹣1）文，
根据题意得：3x（x﹣1）＝216，
整理得：x2﹣x﹣72＝0，
解得：x ＝9，x ＝﹣8（不符合题意，舍去），
1 2
∴3（x﹣1）＝3×（9﹣1）＝24（文），
∴所列方程为3x（x﹣1）＝216，一株椽的价钱为24文，这批椽的数量为9株．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．近年来，我国的新能源汽车取得了令人瞩目的成就，成为全球汽车行业的重要力量．下面我国四款
新能源汽车的标志中，不是轴对称图形的是（ ）
第18页（共30页）A． 小鹏汽车 B． 蔚来汽车
C． 阿维塔汽车 D． 理想汽车
【考点】轴对称图形．
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【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直
线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【解答】解：A、B、C选项中的图形均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图
形，所以是轴对称图形，不符合题意；
D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称
图形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
二．填空题（共4小题）
13．【文化欣赏】
杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就．观察如图各式及其展
开式
【应用体验】
请问（x﹣1）2026展开式中，共有 202 7 项，含x2025项的系数是 ﹣ 202 6 ．
【考点】完全平方公式；数学常识；规律型：数字的变化类．
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【专题】整式；运算能力．
第19页（共30页）【答案】2027，﹣2026．
【分析】根据题意，依次求出（x﹣1）n展开式的项数及xn﹣1的系数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：依次求出（x﹣1）n展开式的项数及xn﹣1的系数如下：
（x﹣1）2展开式共有3项，且x的系数为﹣2；
（x﹣1）3展开式共有4项，且x2的系数为﹣3；
（x﹣1）4展开式共有5项，且x3的系数为﹣4；
……，
∴（x﹣1）n展开式共有（n+1）项，且xn﹣1的系数为﹣n，
当n＝2026时，
（x﹣1）2026展开式中共有2027项，且x2025的系数为﹣2026．
故答案为：①2027，②﹣2026．
【点评】本题考查了数字的变化规律，发现规律是关键．
14．我国古代数学曾有许多重要的成就，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，这个三角形给出了
（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第
三行的三个数1，2，1，恰好对应）（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第五行的五个数1，
4，6，4，1，恰好对应着（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4展开式中各项的系数．
（1）（a+b）5展开式中a4b的系数为 5 ；
（2）（a+b）n展开式中各项系数的和为 2 n ．
【考点】完全平方公式；数学常识；规律型：图形的变化类．
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【专题】规律型；整式；运算能力；推理能力．
【答案】（1）5；
（2）2n．
【分析】（1）根据表中的规律可以直接写出（a+b）5的展开式，即可得出结果；
第20页（共30页）（2）根据表中各项系数之和，可以发现这些系数之和的变化特点，从而可以得到多项式（a+b）n（n
取正整数）的展开式的各项系数之和．
【解答】解：（1）由图可得：
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
a4b的系数为5，
故答案为：5．
（2）∵（a+b）1的展开式的各项系数之和1+1＝2＝21，
（a+b）2的展开式的各项系数之和1+2+1＝4＝22，
（a+b）3的展开式的各项系数之和1+3+3+1＝8＝23，
（a+b）4的展开式的各项系数之和1+4+6+4+1＝16＝24，
…，
∴（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和是2n，
故答案为：2n．
【点评】本题主要考查了杨辉三角的展开式的系数规律，能够运用规律解决问题是解题的关键．
15．中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》、《周髀算
经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选
1
择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为 ．
2
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
1
【答案】 ．
2
【分析】根据题意，把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算公式进行计算即可．
【解答】解：《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》分别用A，B，C，D表示，
∴用列表法把所有等可能结果表示出来如下，
A B C D
A （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
6 1
由列表可知：恰好选中《周髀算经》的概率为 = ，
12 2
第21页（共30页）1
故答案为： ．
2
【点评】本题考查了列表法活画树状图求随机事件的概率，熟练掌握该知识点是关键．
16．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，其中“将一个几何图形任意切成多块小图形，几何
图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，AO、
BO分别平分∠CAB、∠CBA，且点O到AB的距离OD为3．若△ABC的周长为16，则△ABC的面积
为 2 4 ．
【考点】角平分线的性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【答案】24．
【分析】连接OC，过O作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，由角平分线的性质推出OD＝OM＝ON＝
1
3，由三角形面积公式得到△ABC的面积= （AB+BC+AC）•OD＝24．
2
【解答】解：连接OC，过O作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，
∵AO、BO分别平分∠CAB、∠CBA，
∴OD＝OM＝ON＝3，
∵△ABC的面积＝△OAB的面积+△OBC的面积+△OAC的面积，
1 1 1 1 1
∴△ABC的面积= AB•OD+ BC•OM+ AC•ON= （AB+BC+AC）•OD= ×16×3＝24．
2 2 2 2 2
故答案为：24．
【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出OD＝OM＝ON，由
1
三角形面积公式得到△ABC的面积= （AB+BC+AC）•OD．
2
三．解答题（共4小题）
第22页（共30页）17．幻方是中国古代重要的数学成就．在每个小方格中各填入一个数，如果每行、每列、每条对角线上
的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方．
（1）现用2到10这9个整数构造三阶幻方（每个数只能用一次）．
①将图1的三阶幻方补充完整；
②如图2，该同学经过多次尝试，发现幻方中不同位置的数之间有一定的数量关系，若将图中对应位
置的数记作a，b，写出a，b满足的数量关系；
（2）如图3，对于任意满足条件的三阶幻方，设对应位置的数分别为a，b，c，写出a，b，c满足的
数量关系．
【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）①
；②a+b＝10；
（2）a+b＝2c．
【分析】（1）①求出这9个数字的和，可得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为18，据此
填写幻方即可；②用含b的式子表示出右下角的数字，再用a、b分别表示出左上角的数字，从而可
得关系式；
（2）设最中间的数为d，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为s，可证明s＝3d，表示出右上
角的数字，进而表示出右下角和左上角的数字，据此可得关系式．
【解答】解：（1）①如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个
三阶幻方．
∵2+3+4+5+6+7+8+9+10＝54，
∴每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为54÷3＝18，
第23页（共30页）②右下角的数＝18﹣（7+b）＝11﹣b，
∵左上角的数＝18﹣（a+7）＝18﹣（6+11﹣b），
∴a+b＝10；
（2）设最中间的数为d，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为s，
∴中间一行的三个数字之和加上中间一列三个数字之和，再加上两条对角线上6个数字（每条对角线
都有3个数字）之和等于3s+3d，
∴4s＝3s+3d，
∴s＝3d，
∴右上角的数字为3d﹣（d+c）＝2d﹣c，
∴右下角的数字为3d﹣（2d﹣c+b）＝d+c﹣b，左上角的数字为3d﹣（2d﹣c+a）＝d+c﹣a，
∴左上角的数字为3d﹣（d+c﹣b+d）＝d﹣c+b，
∴d+c﹣a＝d﹣c+b，
∴a+b＝2c．
【点评】本题主要考查了整式的加减运算，等式的性质，正确理解题意是解题的关键．
18．中国是世界文明古国之一，古代天文学有着卓越的成就．《开元占经》记载了众多天文现象和数据，
《甘石星经》则是古代重要的天文学著作．某天文爱好者俱乐部的《开元占经》单价是《甘石星经》
3
单价的 ，用800元购买《开元占经》比购买《甘石星经》多买4本．
4
（1）求《开元占经》、《甘石星经》两种图书的单价分别为多少元？
（2）在世界航天日，该俱乐部计划到书店购买这两种图书共 100本，且购买的《甘石星经》数量不少
1
于《开元占经》数量的 ，由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按七五折出售，求两种图书分
3
别购买多少本时费用最少？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．
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【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
200
【答案】（1）《开元占经》单价为50元，《甘石星经》单价为 元；
3
第24页（共30页）（2）购买《开元占经》75本，购买《甘石星经》25本．
3
【分析】（1）设《甘石星经》单价为x元，则《开元占经》单价为 x元，根据用800元购买《开元
4
占经》比购买《甘石星经》多买4本，列出方程进行求解即可；
（2）设购买《开元占经》m本，则购买《甘石星经》（100﹣m）本，根据购买的《甘石星经》数量
1
不少于《开元占经》数量的 ，求出m的范围，设总费用为w元，列出一次函数解析式，利用一次函
3
数的性质求最值即可．
3
【解答】解：（1）设《甘石星经》单价为x元，则《开元占经》单价为 x元．
4
800 800
- =4
由题意列分式方程可得： 3 x ，
x
4
200
解得x= ，
3
200
经检验，x= 是原方程的解．
3
3
∴ x=50，
4
200
答：《开元占经》单价为50元，《甘石星经》单价为 元．
3
（2）设购买《开元占经》m本，则购买《甘石星经》（100﹣m）本
1
根据题意列一元一次不等式得，100-m≥ m，
3
4
整理得， m≤100，
3
解得m≤75，
200
设总费用为w元，w=50×0.75m+ ×0.75×(100-m)=-12.5m+5000，
3
因为﹣12.5＜0，所以w随m的增大而减小，
所以当m＝75时，w最小，此时100﹣m＝25．
答：购买《开元占经》75本，购买《甘石星经》25本时费用最少．
【点评】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确的列出方程和函
数解析式是解题的关键．
19．脱贫攻坚取得重大胜利，是中国在2020年取得的最重要成就之一．家庭养猪是农村精准扶贫的重要
第25页（共30页）措施之一．如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长 13m，另外三面用27m长的建筑材料
围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括建筑材料）．
（1）所围矩形猪舍的AB边为多少时，猪舍面积为90m2？
（2）所围矩形猪舍的AB边为多少时（AB为整数），猪舍面积最大，最大面积是多少？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
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【专题】应用意识．
【答案】（1）所围矩形猪舍的AB边为9m时，猪舍面积为90m2；（2）所围矩形猪舍的AB边为8m
时，猪舍面积最大，最大面积是96m2．
【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝27+1﹣2x＝（28﹣2x）m，利用矩形的面积计算公式，结合养鸡场
的面积为90m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长13m，即可确定
AB的值；
（2）设AB＝xm，则BC＝（28﹣2x）m，猪舍面积为Sm2，根据矩形的面积公式列出函数解析式，再
根据函数的性质结合墙长求出面积最大值时猪舍的AB的值．
【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝27+1﹣2x＝（28﹣2x）m，
由题意得：x（28﹣2x）＝90，
整理得：x2﹣14x+45＝0，
解得：x ＝5，x ＝9，
1 2
当x＝5时，28﹣2x＝28﹣10＝18＞13，不合题意舍去，
当x＝9时，28﹣2x＝28﹣18＝10＜13，符合题意，
∴AB＝9m，
∴所围矩形猪舍的AB边为9m时，猪舍面积为90m2；
（2）设AB＝xm，则BC＝（28﹣2x）m，猪舍面积为Sm2，由题意得：
S＝x（28﹣2x）＝﹣2x2+28x＝﹣2（x﹣7）2+98，
∵﹣2＜0，
∴当x＝7时，S有最大值，最大值为98，
此时28﹣2x＝28﹣14＝14＞13，不合题意，
∴当X＝8时，28﹣2x＝28﹣16＝12＜13，
第26页（共30页）此时，S＝﹣2（8﹣7）2+98＝﹣2+98＝96（m2），
∴所围矩形猪舍的AB边为8m时，猪舍面积最大，最大面积是96m2．
【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出二次函数解析式和一
元二次方程是解题的关键．
20．
探究古代建筑，屋檐之上的数学密码——探究屋面结构与建筑高度的关系
背景介绍 在世界的历史长河中，中国的古建筑最具有视觉美感，历史源远流长、绵延不绝．大诗
人李白的诗句：“危楼高百尺，手可摘星辰”，表述了他对建筑、数学以及宇宙星辰的
认知．
而中国古建筑屋顶是我国传统建筑造型艺术中非常重要的构成因素，不仅样式多，而且
组成部分也很繁杂．中国屋顶多为坡屋面，从顶上屋脊或宝顶到下边的屋檐是一个向下
弯曲的凹弧面，表达出顺应自然的谦卑，似与天空恰当而友善的对话．而弯曲屋面的出
现，经历了漫长的过程．其中最具代表的就是两宋的建筑成就．
建筑高度是建筑设计中的一个重要参数．学习小组的同学想要更全面具体地了解宋代建
筑与数学的关系，来到了宋代建筑代表作——山西太原的晋祠圣母殿．想通过建模的方
式探究屋面结构与建筑高度的关系．
实践任务 以晋祠圣母殿为例，通过建模的方式，探究屋面结构与建筑高度的关系．
资料查阅 1、晋祠圣母殿是常见的坡屋面式结构之一，在《建筑设计防火规范》（GB50016﹣
2014）（2018年版）A．0.1条中，建筑高度应为建筑室外设计地面至其檐口与屋脊的平
1
均高度，即：建筑高度（h）＝室外设计地面至檐口的高度(h )+( )檐口至屋脊的高度
1 2
（h ）．
2
1
如图2，建筑高度h=h + h ．
1 2 2
2、如图1，根据晋祠圣母殿和《营造法式》中的几个典型的屋面剖面图的资料总结得
出，从檐口到屋脊，坡屋面竖直高度h /半坡宽度W≈0.5．数据表达了古人的审美情趣，
2
现代仿古建筑，如庑殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶等建筑，均宜参照这个建筑密码营
造．
第27页（共30页）模型初建 将晋祠圣母殿的屋面近似成平面结构，
其剖面图可以简化成数学几何图形（简
化为一层房檐）．如图3，△ABC为等
腰三角形，AB＝AC，假定BC＝8米，
DF＝10米．
模型优化 屋面除了审美需求，也要便于房屋采光
和排水．晋祠圣母殿的屋面正是中国古
建筑中最具代表的凹曲屋面，使建筑物
产生独特而强烈的视觉效果和艺术感染
力．
学习小组通过查阅资料可知，屋面可以
近似看作圆心角为30°的圆弧．如图所
示，弧^AB和弧^AC是半径为20m、圆心
角为30°的圆弧，檐口B到地面的距离
√6-√2
为 15m ． （ 已 知 sin15°= ，
4
√6+√2
cos15°= ， tan15° ＝ 2-√3，
4
√8+4√3=√6+√2，
√8-4√3=√6-√2）
问题解决
任务1 模型初建 （1）根据“资料查阅”第一条，求出简易图中
的建筑高度；
任务2 模型优化 （2）根据“资料查阅”两条内容，直接写出屋
脊A与檐口B的竖直高度h 和建筑高度h（结果
2
保留根号）．
【考点】三角形综合题．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）11米；
（2）h ＝（2√30-2√10）米，h＝（15+√30-√10）米．
2
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得出BH，从而可求得建筑高度h；
（2）先得出MB＝AB，再证明△AO M是等边三角形，从而可得AM＝O A＝20，再得出AH，则可得
1 1
出答案．
【解答】解：（1）过A作AH⊥BC于H，
第28页（共30页）1
由AB＝AC知，BH= BC＝4，
2
1
∴AH= BH=2，
2
1
∴h＝DF+ AH＝10+1＝11（米）；
2
（2）在 O 上找到一点M，使得∠MO B＝∠AO B＝30°，
1 1 1
⊙
∴MB＝AB，
∵∠MO A＝60°，MO ＝AO ，
1 1 1
∴△AO M是等边三角形，
1
∴AM＝O A＝20，
1
在△ABM中，MB＝AB，∠MAB＝∠AMB＝15°，
过A作MB上的高AH，
√6-√2
∴∠ABH＝∠MAB+∠AMB＝2∠AMB＝30°，AH＝sin15°•AM＝20× =5√6-5√2，
4
∴AB＝2AH＝10√6-10√2，
AB 10√6-10√2
由资料可得，h = = = 2√30-2√10，
2 √5 √5
1
∴h=h + h =15+√30-√10．
1 2 2
第29页（共30页）即h ＝（2√30-2√10）米，h＝（15+√30-√10）米．
2
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，解题
关键是掌握上述知识点并能运用求解．
第30页（共30页）
