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23个基础的圆锥曲线专题
1、设椭圆 ，其焦点在 轴上，若其准焦距(焦点到准线的距离) ，求椭圆
的方程.
2、设椭圆 的离心率 ，其通径(过焦点且垂直于长轴的焦直径)
， 为两焦点， 是 上除长轴端点外的任一点， 的角平分线 交长轴
于 ，求 的取值范围.
3、设椭圆 的离心率 ， 为两焦点，椭圆 与 轴的交点为
，求三角形的面积
A
4、如图，设椭圆 ， 为长轴顶点，
N F
O
M
过左焦点 、斜率为 的直线 交椭圆 于 两点， B
若 ，求
5、设椭圆 ，其离心率 ，其通径 ，① 求椭圆 的方程.
② 两条焦直径(过焦点的弦)AB与CD互相垂直.求
6、设椭圆 ，左焦点为 ，在椭圆上任取三个不同点 C
B
M
， 使 得 ， 求 ：
D
A
7、如图所示，椭圆 ，过原点的两条直线交圆于
， 与 的延长线相交于 ， 与 的延长线相 N
交于 ，求 所在的直线方程.8、设椭圆 ，过右焦点的直线 交 于 两点， 为
中点.
⑴若 的斜率为： ，求椭圆 的方程；
⑵若直线 交 于 两点， 与 相交于 ，求 点的坐标.
9、设椭圆 的长轴端点为 ，与 轴平行的直线交椭圆 于 两点，
的延长线相交于 点，求 点的轨迹.
10、已知抛物线 ， 为 的焦点， 为 上任一点，为过 点的切线，求
证： 与 的夹角等于 与 轴的夹角.
11、已知抛物线 的顶点为原点，其焦点 到直线 的距离为 ， 在
上，过 作抛物线 的两条切线 、 ，其中 、 为切点.
⑴当 的坐标为 时，求 的直线方程；
⑵当 在 上移动时，求 的最小值.
12、过抛物线 的焦点 作斜率分别为 两条不同弦 和 ，
，以 、 为直径的圆 圆 ( 、 为圆心)的公共弦所在的直线记为 ，若
圆心 到 距离的最小值为 ，求抛物线 的方程.
13、已知动圆 过定点 ，且在 轴上截得的弦 的长为
8，求动圆圆心 的轨迹方程.
M
14、如图已知，在抛物线 的焦点为 ，其准线与 轴的
C
交点为 . 过原点的圆 其圆心在抛物线 上，与抛物线的 N
准线 交于不同的两点 ，若 ，求圆
A
的半径.
15、如图，抛物线 ，抛物线 ，点
在抛物线 上，过 作 的两条切线 和 ，
当 时，切线 的斜率为 .⑴求： 所在的直线方程；
A
⑵当点 在抛物线 上运动时，求 中点的轨迹方程.
B
16、已知抛物线 ，焦弦 被 分为 、 两段，
M
求：
17、如图，在正方形中， 为坐标原点，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，分别将线
段 和 等分成十等分，分点分别记为 和
，连接 ，过 作轴的垂线与 交于点
.
（1）求：点 的轨迹方程；
（2）求：过点 的切线方程。
18、已知，双曲线 ，过右焦点 的直线交 于 两点，以 为直径的圆 与
的准线还有另外两个交点 ，与原点 构成的三角形，求： 的最小值.
19、如图椭圆： ，
M D
A
焦弦 交椭圆 .
为左焦点，
Z P B' Q
为椭圆顶点，
FA' O
连结 的直线交准线与 ，
B
连结 的直线交准线与 ， N
是准线： .
或 ，长轴于准线交点为 . 求证：
23个基础的圆锥曲线专题解答1、设椭圆 ，其焦点在 轴上，若其准焦距(焦点到准线的距离) ，求椭圆的
方程.
解：⑴先求 的范围：
由焦点在 轴上，则： ，即： ；
另外， ，所以 ；所以 .
⑵求 的值：
焦点坐标： ；
椭圆的准线： ；
准焦距：
则： ，即：
方程有两个解： （舍），和 ，故 .
⑶确定椭圆方程：
将 ， 代入方程得：
2、设椭圆 的离心率 ，其通径(过焦点且垂直于长轴的焦直径)
， 为两焦点， 是 上除长轴端点外的任一点， 的角平分线 交长轴
于 ，求 的取值范围.
解：⑴通径，即 时的 .
当 时代入方程得： ，
即： ，故通径： ，即： ①
⑵由离心率 ，即： ，即：则： ②
联立①②解得： ， ，则
⑶写出椭圆 的方程： ③
⑷求 的角平分线 的直线方程：
由③得过 点的切线方程为：
即： ，其斜率为：
根据椭圆的切线定理， 是过 点的法线，其斜率为：
则 的直线方程为：
将 代入上式得：
即： ，故： ④
⑸求出 的范围
因为 点是 上除长轴端点外的任一点，故： ，
即： . 代入④式得： .
3、设椭圆 的离心率 ， 为两焦点，椭圆 与 轴的交点为
，求三角形的面积
解：⑴先求 的方程：
将 代入 的方程得： ，故：
再由 ，即： ， ，
则： ， ， 的方程为： ①⑵求三角形 的面积 ：
的高，即 ；
的底，即焦距 ；
故：
⑶ 另外， 是椭圆的焦点三角形，可以用椭圆的焦点三角形公式秒之 .
4、如图，设椭圆 ， 为长轴顶点，
过左焦点 、斜率为 的直线 交椭圆 于 两点，
A
N F
若 ，求 O
M
B
解：本题由于直线 过左焦点 ，所以采用以左焦点为原点的
极坐标，可使问题大大简化.
椭圆的极坐标方程为： ①
直线 的方程为： ②
那么： ；
代入 得： ，即： ，故：
于是： ；
故： ，
所以：5、设椭圆 ，其离心率 ，其通径 ，① 求椭圆 的方程.
② 两条焦直径(过焦点的弦)AB与CD互相垂直.求
解：⑴先求椭圆 的方程：
由离心率 得： ，则： ①
由通径 得： ②
联立①②得： ， ，故椭圆 的方程为：
⑵两条焦直径都过焦点，所以采用以焦点为原点的极坐标解题更便捷.
以左焦点为原点的椭圆极坐标方程为： ③
那么，设： ，则： ， ，
代入方程③式得：
于是， ④
于是， ⑤
由④式⑤式得：
⑥
将 ， 代入⑥式得：
6、设椭圆 ，左焦点为 ，在椭圆上任取三个不同点 ，使得，求：
解：椭圆 的参数： ， ， ，
故离心率 ，准焦距 .
采用极坐标，以左焦点为原点的极坐标方程为：
，即： ①
设 ，则 ，
分别代入①式得：
， ，
由于：
C
B
所以上三式相加得： M
D
故：
A
7、如图所示，椭圆 ，过原点的两条直
线交圆于 ， 与 的延长线相交于 ，
与 的延长线相交于 ，求 所在的直线方程. N
解：⑴首先看一下原点 和椭圆的位置关系
将原点坐标代入 得：
小于0表明原点在椭圆内部.
⑵本题中，原点 和直线 是椭圆 的一对极点和极线.
这里先简单介绍一下极点和极线：
过椭圆外一点 向椭圆 作的所有割线点的连线，相交于两点 和 ，
一个点在椭圆内(假设 )，一个点在椭圆外(假设 ). 这3个点 、 和 构成特殊
的三角形，称为自极三点形. 其中，点 和直线 是一对极点和极线；点 和直线
是一对极点和极线；点 和直线 是一对极点和极线.如果将极点的坐标，做等
效代入椭圆方程，得到的就是其极线方程.这样使得求极线方程变得极为简单.
本题，将原点坐标做等效代入椭圆方程，就得到 所在的直线方程.将极点坐标 做等效代入椭圆方程得到极线方程：
故：代入 ， 后得到：
即： ，即：
所以 所在的直线方程是：
8、设椭圆 ，过右焦点的直线 交 于 两点， 为
中点.
⑴若 的斜率为： ，求椭圆 的方程；
⑵若直线 交 于 两点， 与 相交于 ，求 点的坐标.
解：⑴由于右焦点在直线 上，将右焦点 的坐标代入 ，得： ，
故： ，
联立椭圆 和直线 得到交点 的坐标：
消元法消去 得：
即：
整理得： ①
由于 为 中点，所以 ，
代进①式由韦达定理得：
②
③
由此得到 的斜率为：
已知 ，故： ，于是所以椭圆 的方程为：
⑵直线 经过 点，直线 也经过 点，
故 点必在关于椭圆 以 为极点的极线上.
代入极线方程得： ；即：
由于 与 关于 轴对称，根据对称性，
所以 点的坐标为：
9、设椭圆 的长轴端点为 ，与 轴平行的直线交椭圆 于 两点，
的延长线相交于 点，求 点的轨迹.
P
解：设 ， ，
B
A
由 得：
Q
S
故： ①
由 得：
，
故： ②
由① ②式得： ③又， 两点在椭圆 上，满足：
即： ，即：
代入③式得：
即： ，故：
即： ，这就是 点的轨迹方程.
10、已知抛物线 ， 为 的焦点， 为 上任一点，为过 点的切线，求
证： 与 的夹角等于 与 轴的夹角.
证明： 为抛物线的焦半径，设其倾角为 ， ，
我们看上半轴即 部分，下半轴与上半轴对称。
，
则：
抛物线 两边对 求导： ，即
故 点的切线为：
即： ， 与 的夹角为 ，而 就是 与 轴的夹角.11、已知抛物线 的顶点为原点，其焦点 到直线 的距离为 ， 在
上，过 作抛物线 的两条切线 、 ，其中 、 为切点.
⑴当 的坐标为 时，求 的直线方程；
⑵当 在 上移动时，求 的最小值.
解：⑴先求抛物线 的方程
由焦点 到直线 的距离为 得：
，即：
抛物线 的方程为： ①
下面求 的直线方程：
的直线方程与 点是抛物线 的一对极线和极点，故用极线方程秒之.
的直线方程：
将 的坐标值代入得： ，即：
⑵ 点到准线的距离， 点到准线的距离.
即： ②
由于 ，可将 作为极线，来求其极点 .
极点 关于抛物线 的极线为：
，即：
与 对比得： ，
当 在 上移动时，其极线 必过 点.
设 的直线的斜率为 ，则 的直线方程为：
即： ③
点为①与③的交点.
将③代入①式得：即：
即： ④
方程④的两个根就是 和 .
由韦达定理得： ，
代入②式得：
故 的最小值是 .
12、过抛物线 的焦点 作斜率分别为 两条不同弦 和 ，
，以 、 为直径的圆 圆 ( 、 为圆心)的公共弦所在的直线记为 ，
若圆心 到 距离的最小值为 ，求抛物线 的方程.
解：抛物线 的焦点 .
设 直线的方程为： ， 直线的方程为：
则： 点的坐标满足抛物线方程和 直线的方程
即：
于是：
故： ①
是圆 的直径，圆心是 ，
则由韦达定理得：
， ②圆 的直径平方为：
将②式代入上式得:
故圆 的直径为：
圆 的半径为：
圆 的方程为： ③
同理，圆 的方程为： ④
由③-④得：
将 ，
，
代入上式化简得： ⑤ 这就是两圆的公共弦 的直线方程.
由圆心 到 距离为：
将 ， ，
代入上式，并由圆心 到 距离的最小值为 得：
故： ，则抛物线方程为： .
13、已知动圆 过定点 ，且在 轴上截得的弦 的长为8，求动圆圆心 的轨迹方程.
解：解题思路：弦 和 的垂直平分线相交于圆心.
设： ，则： ，的垂直平分线方程为： ①
的斜率为：
则 的垂直平分线的斜率为：
的中点 为：
，
则 的垂直平分线方程为：
②
联立①②，消去 得：
即： ，即： ，即：
这就是求动圆圆心 的轨迹方程，是条抛物线.
14、如图已知，在抛物线 的焦点为 ，其准线与 轴的交点为 . 过原点的圆 其
圆心在抛物线 上，与抛物线的准线 交于不同的两点 ，
若 ，求圆 的半径.
M
解：抛物线的准线方程：
C
N
设圆 其圆心坐标为： ，
A
因圆心在抛物线 上，则：
又圆 过原点，则： ①
故圆 得方程为：
即：即：
对于在准线 上的 两点，其 ，
代入上式得：
即：
方程的两个解就是 的纵坐标.
由韦达定理得： ， ②
；
， ；
代入 得：
将结果代入②式得： ，即： .
将结果代入①式得：
故：圆 的半径为：
15、如图，抛物线 ，抛物线 ，点 在抛物线 上，过
作 的两条切线 和 ，当 时，切线
A
的斜率为 .
⑴求： 所在的直线方程；
B
⑵当点 在抛物线 上运动时，求 中点的轨迹方程.
M
解：⑴先求 点的坐标：
抛物线 的导函数为： ，即：
抛物线在 点的斜率 就是切线 的斜率为 ，故： ， ，即：
再求 所在的直线方程：
点与 所在的直线是关于 的一对极点和极线，
故： 所在的直线方程为：
即： ①
求 的坐标：
因为方程①过 点，故： ；
当 时，
确定 所在的直线方程：
将 代入①式得：
这就是 所在的直线方程.
⑵设 的中点为 ，则：
，
将①代入抛物线 方程得：
，即：
由韦达定理得：
或者： . 这就是 中点的轨迹方程.
16、已知抛物线 ，焦弦 被 分为 、 两段，求：解：抛物线的焦点 ，即： ， ，
以焦点为原点建极坐标，则抛物线的极坐标方程为：
设： ，则：
于是：
故：
17、如图，在正方形中， 为坐标原点，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，分别将线
段 和 等分成十等分，分点分别记为 和 ，连接 ，过
作轴的垂线与 交于点 .
⑴求：点 的轨迹方程；
⑵求：过点 的切线方程。
解：⑴因为 ，所以 的直线方程为： ，即：
所在的的垂线方程为：
那么过 作轴的垂线与 交于点 ，故： ， ，
则： ，这就是点 的轨迹方程.
⑵ 点的坐标为：
则该点的切线方程为： ，即：
18、已知，双曲线 ，过右焦点 的直线交 于 两点，以 为直径的圆 与的准线还有另外两个交点 ，与原点 构成的三角形，求： 的最小值.
解：该双曲线的基本参数： ， ， ，
故： ，焦点
设过右焦点 的直线方程为： ，则： .
代入双曲线方程 得：
化简得： （ 时）
即： ①
当 时，直线方程为 ，与 的准线的交点，不构成三角形.
圆 的方程：
设圆 的圆心坐标为： ， 两点为圆直径上的点，
故由①式得韦达定理得：
②
③
则： ④
圆直径的平方为：
故：
即：故： ，圆的半径为： .
圆的方程为： ⑤
求 点坐标：
双曲线的准线方程为：
对于圆，当 时，圆此时的坐标就是 点的坐标.
故由⑤得：
，故： ⑥
求 的最小值：
只要求出 的最小值，就可以得到 的最小值.
对 进行分类讨论：，前面已说明；
，与准线只有一个交点；
， ，此时， .
19、如图椭圆： ，
M D
焦弦 交椭圆 . A
为左焦点，
为椭圆顶点， Z P B' Q
FA' O
连结 的直线交准线与 ，
连结 的直线交准线与 ， B
N
是准线： .
或 ，长轴于准线交点为 . 求证：
证明：⑴ 过 作 交 于 ，过 作 交 于
设直线 的倾角为 ，则由椭圆的极坐标方程可得：
于是：
同理： ，
⑵ 由相似三角形对应边成比例得：
M D
A
Z P B' Q
FA O
'
B
N故：
由 得：
即：
代入上式得： ①
⑶ 同理可得：
故：
将 代入上式得： ②
⑷ 由①②式得：
因为 是准焦距，故：因为向量： ，
故：
所以： ，即： . 证毕.
