文档内容
2 3 个求极值和值域专题
1、求函数 的值域.
2、求函数 的值域.
3、求函数 的值域.
4、求函数 的值域.
5、已知函数 （其中 ）的值域是 ，求实数 .
6、已知： 为正实数，且 ，求函数 的最小值.
7、已知： ，求： 的最小值.
8、设函数 在区间 的最小值为 ，最大值为 ，求区间 .
9、已知： ，求函数 的最大值.
10、求函数： 的最小值.
11、求函数： 的值域.
12、已知实数 满足 和 ，求 的最小值.
13、求函数： 的最小值.
14、已知： ，求函数： 的最小值.
15、已知点 在椭圆 上，求 的最大值.
16、求函数： 的值域.
17、求函数： 的值域.
18、求函数： 的最大
值.
19、设： 为正实数，且满足 ，
试求： 的最小值.
20、已知 为正实数，且满足 ，
求： 的最大值.
21、设 为锐角，求： 的最小值.
22、设 为锐角，求证： .23、已知 为正实数，求证： .
2 3 个求极值和值域专题解析
1、求函数 的值域.
解析：函数 的定义域为： .
函数的导函数为：
⑴当 时， ，则
故
即：函数 在 区间为单调递减函数，故： ；
故：函数在该区间的值域是 .
⑵当 时， ，则即：函数 在 区间为单调递增函数，故： ；
故：函数在该区间的值域是 .
综上，函数的值域是 .
本题采用导数的正负来确定函数的增减，此法称为“单调性法”.
2、求函数 的值域.
解析：函数 的定义域是： . 待定系数法用于柯西不等式来解本题.
设： ，则柯西不等式为：
即：
令： ，即： ①
由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：
② ③
由②得： ，即： ，即： ④
将①④代入③得：
即：
即： ，即： ⑤
试解⑤，由于 ，则⑤式刚好也是3项相乘，不妨试解采用各项都是3.
则： ，且 . 则： ， ，
代入④得： ，即 时函数取得极大值.
函数极大值为⑴当 时，函数 在本区间为单调递增函数. 故：
即：函数 在 区间的值域是
⑵当 时，函数 在本区间为单调递减函数. 故：
即：函数 在 区间的值域是
综上，函数 的值域是 .
本题采用“待定系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.
3、求函数 的值域.
解析：函数 的定义域是： . 待定系数法用于柯西不等式来解本题.
设： ，则柯西不等式为：
即：
令： ，即： ①
由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得： ②
即： ，即： ，即：
即： ，即： ，即： ③
将①式代入③式得：
当 时，函数 达到极大值. 极大值为：函数的导函数为：
⑴当 区间时， ，函数 单调递增. 故：
即：函数 在本区间的值域是 .
⑵当 区间时， ，函数 单调递减. 故：
即：函数 在本区间的值域是 .
综上，函数 的值域是 .
本题采用“待定系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.
4、求函数 的值域.
解析：函数 的定义域是： . 则函数 为：
（当 时取负号，当 时取正号）
于是函数的极值在：
即：
即： ，即：
⑴在 区间，函数 的极值为：
在区间的边界有：故：函数 在该区间的值域是 .
⑵在 区间，函数 ，为单调递减函数.
故有： ；
故：函数 在该区间的值域是 .
综上，函数 的值域是 . 本题方法属“单调性法”
5、已知函数 （其中 ）的值域是 ，求实数 .
解析：函数的定义域为 .
将函数变形为： ，即：
其判别式不等式为：
即： ①
而函数 的值域是 ，即： ，即： ②
对比①②两式得： ， ，即 ，因 ，故：
故：实数 ， . 此法称为“判别式法”.
6、已知： 为正实数，且 ，求函数 的最小值.解析：首先设 ，代入 得： ，即： ，则：
⑴当 时，由均值不等式 ，即： 得：
则：
⑵当 时，由均值不等式 ，即： 得：
则：
⑶当 时，由均值不等式 ，即：
代入已知条件 ， 得：
则：
故：由⑴、⑵、⑶得， 的最小值是 .
本题先确定 均值，然后在 均值和 均值下求极值.此法称为“分别讨论法”.
7、已知： ，求： 的最小值.
解析：由已知条件 得：
代入 得：
即：
令： ，则方程变为：
采用判别式法得： ，即： ，即：故： 的最小值是 . 此题采用的是“判别式法”
8、设函数 在区间 的最小值为 ，最大值为 ，求区间 .
解析：首先， 是一个偶函数，在 区间单调递增，在 区间单调递减.
⑴当 时， 为单调递减函数，即： .
故： 是最大值为 ， 是最小值为 . 即：
即： （*）
（*）两式相减得： ，即： ①
则: ，即： ②
（*）两式相加得：
将①②式代入后化简得： ③
由①③得： ， . 则区间 为 .
⑵当 、 时， 的最大值是 ，即： .
i.若 ，则 的最小值为： ，
即： ，解之及 可得： ，
故此时区间 为 .
ii.若 则 的最小值为： ，
即： ，
则： . 不符合题设，即此时无解.
⑶当 时，由 是一个偶函数可得： ，故：是最小值为 ， 是最大值为 ，即：
即：
则： 为一元二次方程 的两个根，
由韦达定理得： ，则由 得：
异号，不符合题设，即此时无解.
综上，区间 为 或 . 本题采用“分别讨论法”和“极值法”.
9、已知： ，求函数 的最大值.
解析：由 可知，函数 的定义域是： ，
有均值不等式 ，即：
即：
即：
当 时， ， ，即可以取到不等式的等号。
故：函数 的最大值是 . 本题采用 ，称为“均值不等式”.
10、求函数： 的最小值.
解析：函数
其定义域为：
令： ，
则： ， ，
于是：当 时， ，即： ，
即： ，则：
所以， 是可以取到的. 故 的最小值是 .
正是由于 时，函数 取到极值，所以有人总结出此类
题的解法用 来解，即设 ，代入 ， 后得：
即： ，即： ，
即： ，即： ，
这两个结果分别对应于 的极小值
和 的极大值.
本题采用的是“向量法”.
11、求函数： 的值域.
解析：先求函数的定义域. 定义域为：
本题采用判别式法解题.
由 等价变形为：
即：式上面方程有解得判别式是：
即： ，即：
故：函数 的值域为 . 此法称为“判别式法”
本题亦可以采用换元法和配方法来做.
令： ，则 ，
于是：
当 时，即：当 时， 达到极小值 . 此法就是“换元配方法”.
12、已知实数 满足 和 ，求 的最小值.
解析：由已知得： ① ②
则由柯西不等式得： ③
将①、②代入③得：
即： ，即：
即： ④
其判别式为：
故：方程等号下的两根为：
则：根据柯西不等式等号成立的条件得：
代入①式得： ，即： ⑤
代入②式得： ，即： ⑥
由⑤⑥两式得： ，即：
即： ，即：
即： ，即： ，即：
则：⑴ ，此时： ；此为最大值.
⑵ ，此时：
所以， 的最小值为 . 此题解法为“柯西不等式”.
13、求函数： 的最小值.
解析：待定系数法用于柯西不等式来解本题.
设： ，则柯西不等式为：
即： ①
则：
令： ， ，则： ，
故：设 ，则： ， ， ②
则： ③将②、③代入①得： ④
柯西不等式①中，等号成立的条件是：
即： ，则：
则： ，即：
即： ，即：
将 和 代入 得：
即： ，即：
于是：当 ， 时，柯西不等式④中，等号成立.
即： 的最小值是 .
本题系“待定系数法”用于“柯西不等式”.
14、已知： ，求函数： 的最小值.
解析：函数 的定义域为： ，
由均值不等式 ，即：
得：
即： ，则：
当 时，即： 、 时， .
故：函数 的最小值是 . 此法采用“均值不等式法”.
15、已知点 在椭圆 上，求 的最大值.解析：函数 的定义域为： ，
由柯西不等式得：
即： ，即：
由柯西不等式的等号成立的条件得： ，即：
代入 得： ，即： ，即：
则： ，于是，
⑴ 当 ， 时，
⑵ 当 ， 时，
所以，函数 的最大值是 . 此法是用“柯西不等式”.
本题也可以采用“权方和不等式”
即： ，即：
此法为“权方和不等式”.
16、求函数： 的值域.
解析：函数 的定义域是： .
待定系数法用于柯西不等式来解本题.
设： ，则柯西不等式为：
即： ①
令： ，则： ②由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：
，即： ，
即： ，则： ③
将②代入③得：
函数的极值为：
⑴ 在 区间，函数 单调递增，故：
于是，函数 在该区间的值域是 .
⑵ 在 区间，函数 单调递减，故：
于是，函数 在该区间的值域是 .
综上，函数 的值域是 .
此法为“待定系数法”用于“柯西不等式”，最后用“单调性法”得到值域.
17、求函数： 的值域.
解析：函数 的定义域是： . 本题采用判别式法.
令： ①
则： ②即： ，即：
即： ③
由③的判别式得：
即： ，即： ，即：
故： 或 ，即： 或
由于②式即 的条件必须那满足，故 .
此时， ，函数 的值域为 . 此法为“判别式法”.
18、求： 的最大值.
解析：由均值不等式 得：
所以,两边相加得：
在 时， ，即不等式的等号可以取到.
故: 的最大值为 . 此法为“均值不等式”.
19、设： 为正实数，且满足 ，
试求： 的最小值.
解析：由均值不等式 得：……
不等式两边分别相加得：
即：
当 时， ，即不等式的等号可以取到.
故： 的最小值是 . 此法为“均值不等式”.
20、已知 为正实数，且满足 ，
求： 的最大值.
解析：由
由柯西不等式得：
即：
故：
因此， 的最大值是 . 此法为“柯西不等式”.
21、设 为锐角，求： 的最小值.解析：
将 与 通分，并与最后一项合并得：
①
由 得：
代入①式得：
②
再由辅助角公式得：
代入②式得：
③
由③式及 为锐角，当 达到最大值 时， 达到最小值，
即：当 时， .
故，当 时， 达到最小值，最小值为 .
此法为“辅助角公式法”.
22、设 为锐角，求证： .
解析：因为 为锐角，函数定义域为： ，所以，
构造函数：
则函数的导函数为：因为： ， ， ，所以：
即：在定义域 区间，函数 为单调递增函数，
故： ，即： . 证毕.
23、已知 为正实数，求证： .
解析：采用待定系数法解本题：
令： ，（ ），则： ，
于是，
即： ①
令： ，则代入 得： ，即： ，即：
将 ， 代入①式得： . 证毕.
此法为“待定系数法”.
另一种方法：参数法
令： ， ，代入 得：
即证： ，即证： ，即证：
即证：
而这是显然成立的. 证毕.
