文档内容
重难点突破 02 解三角形图形类问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：妙用两次正弦定理（两式相除消元法）............................................................................2
题型二：两角使用余弦定理建立等量关系........................................................................................8
题型三：张角定理与等面积法..........................................................................................................12
题型四：角平分线问题......................................................................................................................16
题型五：中线问题..............................................................................................................................21
题型六：高问题..................................................................................................................................30
题型七：重心性质及其应用..............................................................................................................33
题型八：外心及外接圆问题..............................................................................................................37
题型九：两边夹问题..........................................................................................................................42
题型十：内心及内切圆问题..............................................................................................................44
03 过关测试.........................................................................................................................................49解决三角形图形类问题的方法：
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，
相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选
择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可
以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更
加直观化.
题型一：妙用两次正弦定理（两式相除消元法）
【典例1-1】（2024·河南·三模）已知 是 内一点， .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 .
【解析】（1）如图所示，在 中， ，所以 .
所以 .
在 中，由正弦定理得 ，即 ，解得 .
（2）如图所示，
当 时， .
设 ，则 .
在 中，由正弦定理得 .
在 中，由正弦定理得 .
因为 ，所以 ，即 ，
整理得 ，即 ，解得 ，即 .
【典例1-2】 的内角 的对边分别为 为 平分线， .
(1)求 ；
(2) 上有点 ，求 .
【解析】（1）设 ，
，
， ，
，
（2）由（1）知： ，
中， ，
，故得： ，
设 中，
，
，
中， ， ，
，
两式相除得： ，
，， ，
，
为锐角，故 .
【变式1-1】如图，在平面四边形 中， ， ， ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 ．
【解析】（1）在 中， ，所以 ，
在 中， ，所以 ，又 ，
所以 ，
在 中由余弦定理 ，
即 ，
所以 .
（2）由已知可得 ，又 ，所以 ， ，
设 ， ，则 ，
在 中由正弦定理 ，即 ，所以 ，
在 中由正弦定理 ，即 ，所以 ，又 ，所以 ，解得 或 ，
由 ，
当 时 ，
当 时 ，
所以 或 .
【变式1-2】（2024·广东广州·二模）记 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知
.
(1)求 ；
(2)若点 在 边上，且 ， ，求 .
【解析】（1）因为 ，
由余弦定理可得 ，
化简可得 ，由余弦定理可得 ，
因为 ，所以， .
（2）因为 ，则 为锐角，所以， ，
因为 ，所以， ，
所以， ，
设 ，则 ，在 和 中，由正弦定理得 ， ，
因为 ，上面两个等式相除可得 ，
得 ，即 ，
所以， .
【变式1-3】在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .
(1)求角 ；
(2)若 是 内一点， ， ， ， ，求 ．
【解析】（1）因为 ，
所以由正弦定理得 ；
， ， ，则 ；
（2）
， ， ；
在 中，由正弦定理得： ；
在 中，由正弦定理得： ；
，
即 ，题型二：两角使用余弦定理建立等量关系
【典例2-1】如图，四边形 中， ， ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 ．
【解析】（1） 中，设 ，则 ，解得
， ；
（2）设 ，则
设 ， ，
中，
中，
， ，可得 ，化简得
，即
又 ， ，即
，解得【典例2-2】如图，在梯形ABCD中， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求梯形ABCD的面积．
【解析】（1）连接BD．
因为 ，所以 ．
在 中，由正弦定理得 ，①
在 中，由正弦定理得 ，②
由 ， ，结合①②可得 ．
（2）由（1）知 ， ，
，又 ，所以 ，则 ．
连接BD，
在 中，由余弦定理得
；
在 中，由余弦定理得
，
所以 ，解得 或 ．
当 时，连接AC，在 中，由余弦定理，得
，
所以 ，而此时 ，故 不满足题意，经检验 满足题意，此时梯形ABCD的高 ，
当 时，梯形ABCD的面积 ；
所以梯形ABCD的面积为 ．
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）在锐角 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
.
(1)求角 ；
(2)若点 在 上， ， ，求 的值.
【解析】（1）因为 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ，即 ，
因为 ，所以 .
（2）如图，因为 ， ，设 ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 .
【变式2-2】平面四边形 中， ， ， ， ．
(1)求 ；
(2)求四边形 周长的取值范围；
(3)若 为边 上一点，且满足 ， ，求 的面积．
【解析】（1）因为 ， ，所以 ，
在 中由余弦定理
；
（2）在 中 ，
即 ，
所以 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
又 ，
则 ，即 ，所以 ，
所以 ，
即四边形 周长的取值范围为 ；
（3）因为 ，所以 ，又 ，
所以 ， ，又 ，所以 ，
在 中由余弦定理 ，
即
在 中由余弦定理 ，
即 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
即 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 .
题型三：张角定理与等面积法
【典例3-1】（2024·吉林·模拟预测） 的内角 的对边分别是 ，且 ，
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 为 边上一点， ，且 为 的平分线，求 的面积．
【解析】（1）因为 ，由正弦定理得 ，
化简得 ，
所以由余弦定理得 ，又因为 ，
所以 .
（2）如图所示
因为 即 ，
化简得 ①,
又由余弦定理得 即 ②，①②联立解得 （舍去）或 ，
所以 .
【典例3-2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，
.
(1)求角 的大小;
(2)已知直线 为 的平分线，且与 交于点 ，若 ，求 的周长.
【解析】（1）由已知，得 ，
根据正弦定理，得 ，
即 ，
即 ，
由于 ， ，
所以 ，所以 ；
（2）因为 ，
所以 ，
因为直线 为 的平分线，
所以 ，
所以 ，
则 ，即 ，
由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，
解得 或 （舍），
故 的周长为 .
【变式3-1】（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知锐角 的内角 的对边分别为 ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ，角 的平分线交 于点 ， ，求 的面积．
【解析】（1）因为 ，由正弦定理得 ，整理得 ，
又由余弦定理得 ．
因为 ，所以 ．
（2）如图所示，因为 ，
所以 ．
又因为 ，所以 ．
由余弦定理得 ，
联立方程组 ，可得 ，即 ，
解得 或 （舍去），
所以 ．
【变式3-2】（2024·江西抚州·江西省临川第二中学校考二模）如图，在 中， ， ，点
在线段 上.
（1）若 ，求 的长；（2）若 ， 的面积为 ，求 的值.
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
又∵ ，
.
∴
在 中， ，
.
∴
（2）∵ ，
∴ ，
，
又 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
，
∴ ，
在 中，
由余弦定理得 .
∴ ，
.
∴题型四：角平分线问题
【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）已知在△ 中，内角 的对边分别为 ，且
．
(1)若 为 边上的高线，求 的最大值；
(2)已知 为 上的中线， 的平分线 交 于点 ，且 ，求△ 的面积．
【解析】（1）方法一：由余弦定理得
，
所以 （当且仅当 时取等号）．
又因为 ，
所以 ．
故 的最大值为 .
方法二：由 知，点A在 的优弧 上运动（如图所示）．
显然，当点A在 的中垂线上时，即点 位于点 处时，边 上的高最大．
此时△ 为等腰三角形，
又 ，故△ 为正三角形，
根据 得 ．故 的最大值为 .
（2）方法一：因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ．
由正弦定理得 ，
结合（1）可得 ，所以 ，所以 ．
因为 平分 ，所以 ，
所以 ．
又因为 是 边上的中线，所以 ，
所以 ．
方法二：同方法一可得 ．
又因为 ，所以△ 是以角 为直角的直角三角形．
由于 平分 是 边的中线，且
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
方法三：由 得 ，
则 ．
又因为 ，所以 ．
由 是角平分线知 ，
在 中易得 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ．
【典例4-2】如图所示，在 中， ，AD平分 ，且 .
(1)若 ，求BC的长度；
(2)求k的取值范围；(3)若 ，求k为何值时，BC最短.
【解析】（1）在 中，由正弦定理得 ，
在 中，由正弦定理得 ，
因为AD平分 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，得 ，
所以 ；
（2）因为 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ；
（3）由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，所以 （其中 ），
所以当 时， 取得最小值4，
即当 时， 取得最小值4，此时 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
由（2）知 ，
所以 ，
即当 时， 最短.
【变式4-1】在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知 ， .
(1)求 ；
(2)作角 的平分线，交边 于点 ，若 ，求 的长度；
(3)在（2）的条件下，求 的面积.
【解析】（1）在 中，由 及正弦定理，得 ，
由 ，得 ，则 ，
于是 ，
整理得 ，而 ，则 ，
所以 .
（2）由AD为 的平分线，得 ，由（1）知， ，
在 中，由正弦定理 ，则 ，由余弦定理得 ，即 ，
整理得 ，而 ，
所以 .
（3）由（2）知， ，
由正弦定理得 ，则 ，
所以 的面积 ．
【变式4-2】已知 的内角 的对边分别为 ，其面积为 ，且
(1)求角A的大小；
(2)若 的平分线交边 于点 ，求 的长.
【解析】（1） ，
由正弦定理得： ，即
即 ，即
所以 ，
因为 ，所以 .
（2）由（1）知： ，所以 ，
即 ，解得： ，
由余弦定理得： ，所以 ，
解得： ，解得： 或
当 得： ，
则 ，所以 ，
在三角形ABT中，由正弦定理得： ，，
即 ，解得： ；
当 时，同理可得： ；
综上：
题型五：中线问题
【典例5-1】如图，在 中，已知 ， ， ， 边上的中点为 ，点 是
边 上的动点（不含端点）， ， 相交于点 ．
(1)求 的正弦值；
(2)当点 为 中点时，求 的余弦值．
(3)当 取得最小值时，设 ，求 的值．
【解析】（1）解法1、由余弦定理得 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
因为 与 互补，所以 ，解得 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
因为 ，所以 ．解法2、由题意可得， ，
由 为边 上的中线，则 ，
两边同时平方得， ，
故 ，
因为 为 边中点，则 的面积为 面积的 ，
所以 ，
即 ，
化简得， ．
解法3：以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，以过点 的垂线为 轴，建立平面直角坐标系
则 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
（2））方法1、在 中，由余弦定理，
得 ，
所以 ，
由 ， 分别为边 ， 上的中线可知 为 重心，
可得 ， ，
在 中，由余弦定理，得 ，
又由 ，所以 ．
解法2：因为 为边 上的中线，所以 ，，
，即 ．
所以 ．
解法3：以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，以过点 的垂线为 轴，建立平面直角坐标系：
则 ， ， ， ，
所以 ， ．
所以 ．
（3）设 ， ，
当 即 时， 取最小值 ，
，
， ，
，
， ， 三点共线，
.
【典例5-2】（2024·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）如图，设 中角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，AD为BC边上的中线，已知 且 ， ．(1)求b边的长度；
(2)求 的面积；
(3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点（含端点），线段EF交AD于G，且 的面积为 面积
的 ，求 的取值范围．
【解析】（1）由已知条件可知：
在 中，由正弦定理
得
在 中，由余弦定理
得
，又
（2）设
为BC边上中线
则
①
或
由①，得（3）设 ， ， （ ）
，
根据三点共线公式，得
（ ， 为∠BAC）
【变式5-1】阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于
三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和
的两倍，即如果AD是 中BC边上的中线，则 .(1)若在 中， ， ， ，求此三角形BC边上的中线长；
(2)请证明题干中的定理；
(3)如图 中，若 ，D为BC中点， ， ，
，求 的值.
【解析】（1）
如图所示，
由余弦定理得， ，
代值计算得到 ，求得 ；
由于 ，代值计算得 ，求得
（2）在 中， ；
在 中， ；
两式相加，且 ，得到 ，则原式得证．
（3）由于
则由正弦定理，得 ，
即 ，
去分母整理得到 ，即 ．
且 ，则 ，则 ．由于 ，且 ，即
联立解出
由于 ，则 ，
解得 ，则 （负数不满足）.
由余弦定理得到 ，代值计算， ， 则
，
则 ．
【变式5-2】在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
(1)已知 ，
（i）求 ；
（ii）若 ， 为 边上的中点，求 的长.
(2)若 为锐角三角形，求证：
【解析】（1）（i）因为 ， ，所以 ，
由正弦定理可得： ，即 ，
因为在 ， ， ，
则 ，
因为 ，所以 或 ；
（ii） ，所以 ，则 ，则 ，
由正弦定理可得： ，即 ，
又 ，解得 ， ，
因为 为 中点，则 ，
在 中，由余弦定理可得： ，即 ，则 .
（2）因为 为锐角三角形， ，则 ，则 ，
要证 ，即证 ，
由于
，
由 ，则 ，所以 ，
故 ，则 ，则 ，证毕.
【变式5-3】（2024·江苏南通·模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知
， ，其中 为 的面积.
(1)求角 的大小；
(2)设 是边 的中点，若 ，求 的长.
【解析】（1）据 ，可得 ，
即 ，
结合正弦定理可得 .
在 中， ，
所以 ，
整理得 .
因为 ， ，故 ，即 ，
又 ，所以 .
（2）
法一：因为 是边 的中点， ，所以 .
在 中， ，则 .在 中， ， ， ，
据正弦定理可得， ，即 ，
所以 .
所以 ，即 ，
所以 ，
又 ， ，
所以 ，解得 ，
所以 .
法二：因为 是边 的中点，故 ，
所以 ，即 ，
整理得 ①
在 中，据余弦定理得， ，
即 ②
联立①②，可得 ， .
在 中，据勾股定理得， ，
所以 .
法三：延长 到点 ，使得 .
在 中， ， ，故 ，
又 是 的中点，所以 是 的中点，
所以 ， ，且 .在 中， ， ， ，
所以 ，且 .
所以 ，即 ，解得 （负舍），
所以 .
法四：延长 到 ，使 ，连结 ， .
因为 是 的中点，且 ，
故四边形 是平行四边形， .
又 ，所以 .
在 中， ， ， ， ，
所以 ，且 .
在 中， ， ， ， ，
据勾股定理 ，可得 ，
将 代入上式，可得 （负舍），
所以 .
题型六：高问题
【典例6-1】（2024·河北秦皇岛·三模）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 且
， 的外接圆半径为 .
(1)求 的面积；(2)求 边 上的高 .
【解析】（1）在 中，由正弦定理可得， ，则 ，
根据余弦定理 ，得 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
（2） ，所以 .
【典例6-2】（2024·四川·模拟预测）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 的面积为 ，求 边上的高.
【解析】（1）∵ ，
由正弦定理可得： ，
.
∴∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
.
∴
（2）如图所示，
∵ ，
.
∴由余弦定理可知 .
而 ，解得 ，
所以AB边上的高为 .
【变式6-1】在 中，角 所对的边分别为 ，已知 .
(1)若 ，求角 的大小；
(2)若 ，求 边上的高.
【解析】（1）由正弦定理， ，即 ，
因 ，故 ,即 是锐角，故 ；
（2）
如图，由余弦定理， ，
知角 是锐角，则 ，
作 于点 ，在 中， ,
即 边上的高是 .
【变式6-2】（2024·山东枣庄·一模）在 中，角 的对边分别为 ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 是边 上的高，且 ，求 ．
【解析】（1） 中， ，由正弦定理和同角三角函数的商数关系，得 ，由倍角公式得 ．
又因为 为 的内角，所以 ， ，
所以 ．
所以 ， ，
则有 ，得 ．
（2）方法一 ： ， ， ，
所以 ，
由题意知 ，所以 ，
即 ．
所以 ，所以 ．
方法二 ： 中，由余弦定理得 ，
所以 ．
又因为 ，
所以 ．
所以 ， ．
所以 ．
由平面向量基本定理知， ，所以 ．
题型七：重心性质及其应用
【典例7-1】（2024·四川内江·一模） 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， ，
．
(1)求角 的大小；
(2) 为 的重心， 的延长线交 于点 ，且 ，求 的面积．
【解析】（1）在 中，因为 ，
由正弦定理可得 , ， ，即 ，
所以 ， ， ，
故 ，即 .
（2）因为 为 的重心， 的延长线交 于点 ，且 ，
所以点 为 中点，且 ，在 中， ， ，即 ，
在 和 中， ,化简得 ，
所以 ，故 ，
所以 的面积为 ．
【典例7-2】（2024·江西景德镇·一模）如图，已知△ABD的重心为C，△ABC三内角A、B、C的对边分
别为a，b，c.且(1)求∠ACB的大小；
(2)若 ，求 的大小.
【解析】（1）由题意知， ， ，
由正弦定理，得 ，
整理，得 ，又 ，
所以 ，
有 ，又 ，所以 ，
由 ，得 ，即 .
（2）由题意知，点C是 的重心，
如图，延长DA、BC分别交AB、AD于点E、F，则E、F分别是AB、AD的中点，
由（1）知 ，又 ，则 ，得 ，
由 ，知 为等边三角形，有 ，所以 ，
在直角 中， ，所以 ，
在 中，由余弦定理，
得 ，
由 ，得 ，即 的值为 .
【变式7-1】（2024·高三·福建福州·期中）已知 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是
的重心，且 ．
(1)若 ，①直接写出 ______；②设 ，求 的值
(2)求 的取值范围．
【解析】（1）①设 的中点为 ，则 三点共线且 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以在 中，由余弦定理得 ，
所以 .
故答案为： .
②以 为原点， 所在直线为 轴建立如图平面直角坐标系，设 ，则
， ， ，
， ，故 ，所以 ，
所以 .
（2）设 ，则 ， ，
，故 ，即
所以 ， ，
所以
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
即 .
【变式7-2】（2024·浙江温州·模拟预测） 的角 对应边是 a，b，c ，三角形的重心是 O.已知
.
(1)求 a 的长.
(2)求 的面积.
【解析】（1）在 中，由O是重心，得 ，即有 ，
于是 ，解得 ，
而 ，所以 .
（2）由（1）得 ，又O是重心，
所以 的面积 .题型八：外心及外接圆问题
【典例8-1】（2024·广东深圳·二模）已知在 中，角 的对边分别为 .
(1)求角 的余弦值；
(2)设点 为 的外心（外接圆的圆心），求 的值.
【解析】（1）在 中， ，
由余弦定理 ；
（2）设 的中点分别为 ，
则 ，
同理 .
【典例8-2】已知 的内角 所对的边分别为 ．
(1)求 ；
(2) 为 外心， 的延长线交 于点 ，且 ，求 的面积．
【解析】（1） ，在 中，由正弦定理得 ，
又 ，则 ，即 ，
，即 ，
， ，
；
（2）由（1）得 ，设 的外接圆 的半径为 ，
在 中，由正弦定理得 ，解得 ，
则 ，在 中，由余弦定理得 ，， ， ，
在 中，由正弦定理得 ，
，即 是等边三角形，
的面积为 .
【变式8-1】 的内角 的对边分别为 的面积为 .
(1)求 ；
(2)设 点为 外心，且满足 ，求 .
【解析】（1） ，
两式相除得： ，
又 ，∴ .
（2） 为外心，故 .
由正弦定理可知： .
【变式8-2】（2024·河南·模拟预测）已知 的外心为 ，点 分别在线段 上，且 恰为
的中点．
(1)若 ，求 面积的最大值；
(2)证明： ．
【解析】（1）由正弦定理，得 ，
所以 ，
又 ，所以 或 ，
当 时，
由余弦定理，得
，
所以 ， 的面积 ，当且仅当 时，取等号；
当 时，
同理可得 ， 的面积 ，
当且仅当 时，取等号．
综上， 面积的最大值为 ；
（2）证明：设 ，
由余弦定理知 ， ，
因为 ，
所以 ，
化简整理得 ，
而 ，因此 ，
又因为 是 外心，故 ，
同理可知 ，
因为 恰为 的中点，
因此 ，所以 ．
【变式8-3】（2024·安徽黄山·三模）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，
.
(1)求角 的大小和边 的取值范围；
(2)如图，若 是 的外心，求 的最大值.【解析】（1）在 中，由 结合正弦定理可得：
，
因为 ，则 ，
化简得 ，即 ，
又因为 ，则 ，
所以 ，解得 ，
由正弦定理 ，化简得 ，
因为 ，所以 ，所以 .
（2）解法1：由正弦定理得 ，且 ，
因为
，
当点O不在 外部时（如图） ，
；
当点O在 外部时（如图）， ，
；
由（1）可知 ，
即当 时，则 的最大值为 .
解法2：由题可知： ，如图，分别取线段 的中点 ，
由于O是 的外心，则 ，
则
，
所以 ，
由余弦定理得 ，即 ，
整理得 ，
所以 ，
由（1）可知 ，
即当 时，则 的最大值为 .
题型九：两边夹问题
【典例9-1】在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则 的值
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，即 ，
所以 ，
可得 ，
所以 ，
由正弦函数与余弦函数的性质，可得 且 ，
因为 且 ，所以 ，解得 ，所以 ，
又由正弦定理可得 .
故选：C.
【典例9-2】在 中， 、 、 分别是 、 、 所对边的边长.若
，则 的值是（ ）.
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，
即
所以 ，所以 ，所以 ，故选B.
【变式9-1】在 中，已知边 所对的角分别为 ，若
，则 _________________
【答案】
【解析】由正弦定理得 ，由余弦定理得 ,
即
因为
所以
【变式9-2】（2024·江苏苏州·吴江中学模拟预测）在 中，已知边 所对的角分别为 ，若
，则 _____．
【答案】-1
【解析】由 得
由正弦定理得 ，
由余弦定理得 ,即 因为所以
【变式9-3】在 中，已知边 、 、 所对的角分别为 、 、 ，若 ，
，则 的面积 ______.
【答案】
【解析】正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，
即 ，
因为 ，
故 ，
故可得 ，当且仅当 ，即 时取得.
也即当 时取得等号，
所以 ，即 .
所以 的面积为 .
故答案为： .
【变式9-4】在 中，若 ，则角 __．
【答案】
【解析】 ， ，
即 ，
， ，
，等价于 且 ，
为 的内角，所以 且 ，即 ．
则 是等腰直角三角形， ．
故答案为： ．题型十：内心及内切圆问题
【典例10-1】（2024·全国·模拟预测）设 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
， ．
(1)求 的周长的取值范围；
(2)若 的内切圆半径 ，求 的面积S.
【解析】（1）由 及余弦定理得，
，即 ，
所以 ．
又 ，所以 ，
所以由正弦定理得 ，
所以 ， ，
则
，
又因为 ，所以 ，所以 ，
即 ，即 ，
故 的周长的取值范围为 ；
（2）解法一：
由（1）得 ，因为 ，
， ，所以 ，
由 得 ，
从而 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以 ．
解法二：
如图，设圆O是 的内切圆，各切点分别为D，E，H．
由（1）知 ，所以 ．
又因为 ，
所以由切线长定理得 ，
于是 ， ，
又 ，即 ，
所以 ．
【典例10-2】（2024·湖南永州·一模）在 中，设 所对的边分别为 ，且满足
．
(1)求角 ；
(2)若 的内切圆半径 ，求 的面积．
【解析】（1）在 中，由 得 ，
即 ,
故 ，由于 ，
故 ，而 ，故 .
（2）由 可得 ，而 ，
故 ，则 ，由 的内切圆半径 ，可得 ，
即 ，即 ，
故 ，解得 ，
故 的面积 .
【变式10-1】（2024·全国·模拟预测）已知 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 外接圆的半径为 ，内切圆半径为 ，求 的最小值．
【解析】（1）由 及正弦定理，
得 ，
故 ，
即 ，
即 ．
由 ，则 ，故 ，即 ．
因为 ，所以 ．
（2）由（1）和余弦定理可得， ，
故 ， ，
即 ，当且仅当 时等号成立．
故 ．
由利用等面积法求得 的最大值，易知 ，
故 ，故 ，
利用正弦定理 ，所以 的最小值为2．
【变式10-2】（2024·全国·模拟预测）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求 ；
(2)若 ，求 内切圆半径取值范围．
【解析】（1）由题意 得 ，即 ，
，故 ．
（2）因为 ， 为内切圆半径，
所以 ．
设 ，则 ，
又因为 ， ， ， ，
所以三角形内切圆半径的取值范围为 ．
【变式10-3】（2024·广西南宁·一模）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，且
．
(1)求 的外接圆半径R；
(2)求 内切圆半径r的取值范围．
【解析】（1）因为 ，由正弦边角关系得 ，即 ，
由余弦定理，得 ，又 ，所以 ，
由 ，则 .
（2）由正弦定理得 ，所以 ， ，
由余弦定理，得 ，所以 ，
利用等面积法可得 ，
则，
∵ ，∴ ，故 ，则 ，
所以 ，故 .
【变式10-4】（2024·吉林·二模）已知 的三个内角 的对边分别为 的外接圆半径
为 ，且 .
(1)求 ;
(2)求 的内切圆半径 的取值范围
【解析】（1）由正弦定理可得， ，即 ，
所以 ，
由 可知， ，
所以 ，故 .
（2）因为 的内切圆半径 ，
所以 ，
即 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
由正弦定理
，
又 ，则 ，
所以 ，故 ，所以 .
1．如图所示，在 中，设 分别为内角 的对边，已知 ， ．
(1)求角 ；
(2)若 ，过 作 的垂线并延长到点 ，使 四点共圆， 与 交于点 ，求四边形
的面积．
【解析】（1）由 ，联立方程组 ，解得 ，
不妨设 ，可得
由余弦定理得 ，
因为 ，所以 .
（2）由 ，由（1）知 ，可得 ，
因为过 作 的垂线并延长到点 ，使 四点共圆，
在直角 中，可得 ，则 ，
因为 ，可得 ，
在直角 中，可得 ，即 ，所以 ，
所以 ，
所以四边形 的面积为 .
2．如图，在梯形 中， ， ．
(1)若 ，求 周长的最大值；
(2)若 ， ，求 的值．
【解析】（1）在 中，
，
因此 ，当且仅当 时取等号．
故 周长的最大值是 ．
（2）设 ，则 ， ．
在 中， ，
在 中， ．
两式相除得， ， ，
因为 ，，
，故 ．
3．（2024·全国·模拟预测）在 中，已知 ．
(1)求 ．
(2)若 ， 的平分线交 于点 ，求 ．
【解析】（1）因为 ，
又 ，
所以 ．又 ，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
（2）设 ，则 ．
由余弦定理，得 ，故 ．
由角平分线的性质及三角形的面积公式，知 ，故 ．
在 中，由正弦定理，得 ．
因为 ，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ，即 ．
又 ，所以 为锐角，故 ．
4．（2024·四川成都·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，
边 上有一动点 .
(1)当 为边 中点时，若 ，求 的长度；
(2)当 为 的平分线时，若 ，求 的最大值.
【解析】（1）因为 ，
所以 ，即 .由正弦定理，得 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
又因为 ，所以 ，所以 .
因为 为边 中点，所以 ，则 .
又 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 .
（2）在 中，由余弦定理，得 .
又 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，所以 .
因为 平分 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
令 ，则 .因为 在 上单调递增，
所以当 即 时， 取得最大值为 ，
所以 的最大值为 .
5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数 ，角A为△ABC的内角，且
．
(1)求角A的大小；
(2)如图，若角A为锐角， ，且△ABC的面积S为 ，点E、F为边AB上的三等分点，点D为边
AC的中点，连接DF和EC交于点M，求线段AM的长．
【解析】（1）
，
则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 或 ；（2）若角A为锐角，则 ，
设角 的对边分别为 ，
则 ，所以 ，
如图，连接 ，
因为点E、F为边AB上的三等分点，所以 为 的中点，
因为点D为边AC的中点，所以点 为 的重心，
则 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
即线段AM的长为 ．
6．（2024·全国·模拟预测）在 中，角 ，的对边分别为 ， 的面积为 ，
．
(1)求角 ．
(2)若 的面积为 ， ， 为边 的中点，求 的长．
【解析】（1）由题意得
，
由正弦定理，得 ，即 ，
所以 ．又 ，所以 ．
（2）因为 的面积为 ，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ．
因为 是边 的中点，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 的长为 ．
7．（2024·四川成都·三模）在 中， ．
(1)求 的长；
(2)求 边上的高．
【解析】（1）由题， ， ， ，由余弦定理得，
，解得 ，即 .
（2）在 中， ， ，设 边上的高为 ，
则 ，即 ，解得 .
所以 边上的高为 .
8．（2024·江苏南通·三模）在 中，角 的对边分别为 ．
(1)求 ；
(2)若 的面积为 边上的高为1，求 的周长．
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理，得 ，
即 ，即 .
因为在 中， ，
所以 .
又因为 ，所以 .（2）因为 的面积为 ，
所以 ，得 .
由 ，即 ，
所以 .由余弦定理，得 ，即 ，
化简得 ，所以 ，即 ，
所以 的周长为 .
9．（2024·高三·河南·开学考试）在 中，内角 所对的边分别为 ，且满足
．
(1)求 ；
(2)若 边上的高为 ，求 ．
【解析】（1）由正弦定理有 ，
有 ，
又由余弦定理有 ；
（2）由 得 ，
又由余弦定理和 ，有 ，
，
又由 边上的高为2，有 ，
有 ，可得 ，
有 ，可得 ，
联立方程组 ，解得 或 .
10．（2024·高三·山东济南·开学考试）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知
.(1)求 ；
(2)若 ，且 边上的高为 ，求 的周长.
【解析】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
由正弦定理得 ，即 ；
（2）由题意得 ， ，
由余弦定理得 ，
解得 （负值舍去），
因为 边上的高为 ，
所以 ，
则 ，所以 ， ，
故 的周长 ．
11．在 中，设 ， ， 分别表示角 ， ， 对边．设 边上的高为 ，且 ．
(1)把 表示为 （ ， ）的形式，并判断 能否等于 ？说明理由．
(2)已知 ， 均不是直角，设 是 的重心， ， ，求 的值．
【解析】（1）∵ ，∴ ，
∴
，
当且仅当 ，即 时， 取得最大值 ．
如图, 设 为等腰直角三角形，即满足 ,
过 作 的平行线, 由平面几何的知识得，
在平行线上存在一点 ,使得 满足 ，故存在 ，当 时
（2）
如图：连结 并延长交 于E，作 于D，
因为 ，所以 ，
因为 是 的重心，所以 ，
因为 ,所以D与E不会重合，
所以 ，
在 中，E是 的中点，则 ，
所以 ，
.
12．（2024·江苏苏州·二模）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)求角 ；
(2)若 ，点 为 的重心，且 ，求 的面积．
【解析】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
整理得 ，由余弦定理可得 ．
又因为 ，所以 ．
（2）设 的延长线交 于点 ，因为点 为 的重心，所以点 为 中点，又因为 ，所以 ．
在 中，由 和 ，可得 ．
在 和 中，有 ，
由余弦定理可得
故 ，所以 ，
所以 的面积为 ．
13．（2024·河南开封·模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ，已知
为 的重心．
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，求 的面积．
【解析】（1）因为 ，
所以， ，
所以，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ， ，
因为 ，整理得 ，解得 ，
所以
（2）由（1）知 ，记边 的中点为因为 为 的重心， ，
所以， 边上的中线长 为 ，即 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以，当 为锐角时， ，则由 得 ，解得 或 ，
不满足题意，舍去；
当 为钝角时， ，则由 得 ，解得 或 ，
所以，当 ， 的面积为
当 ， 的面积为 .
14．（2024·辽宁抚顺·一模）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)求角 ；
(2)若 ，点 为 的重心，且 ，求 的面积．
【解析】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
整理得 ，由余弦定理可得 ．
又因为 ，所以 ．
（2）设 的延长线交 于点 ，因为点 为 的重心，所以点 为 中点，
又因为 ，所以 ．
在 中，由 和 ，可得 ．
在 和 中，有 ，由余弦定理可得
故 ，
所以 ，
所以 的面积为 ．
15．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c是公差为2的等差数列.
(1)若 ，求 的面积.
(2)是否存在正整数b，使得 的外心在 的外部?若存在，求b的取值集合；若不存在，请说明理
由.
【解析】（1） ， 由正弦定理得 ，
a，b，c是公差为2的等差数列， ， ，
， ， ， ，
，
，且 ， ，
故 的面积为 .
（2）假设存在正整数b，使得 的外心在 的外部，则 为钝角三角形，
依题意可知 ，则C为钝角，则 ，
所以 ，解得 ，
， ，
，
存在正整数b，使得 的外心在 的外部，此时整数b的取值集合为 .
16．（2024·湖北·模拟预测）已知 的外心为 ， 为线段 上的两点，且 恰为 中点.
(1)证明：(2)若 ， ，求 的最大值.
【解析】（1）证明：设 ，
由余弦定理知： ， ，
由 是 外心知 ，
而 ，
所以 ，
即 ，
而 ，因此 ，
同理可知 ，
因此 ，
所以 ；
（2）由（1）知 ，
由余弦定理知： ， ，
代入 得 ，
设 ，则 ，
因此 ，
当且仅当 时取到等号，
因此 的最大值为 .
17．在 中，角 所对的边分别为 ，满足 .
(1)求 的值；
(2)当 与 边上的中线长均为2时，求 的周长；
(3)当 内切圆半径为1时，求 面积的最小值.
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理得 ，又由 ，得 .
因为 ，所以 ；
（2）由余弦定理得 ，
即 ，①
设 的中点为 ，则 ，
则 ，
则 ，②
由① ②得 ，
联立 ，解得 ，
所以 ，即 的周长为 ；
（3）由（1）得 ，
由 内切圆半径为1，得 ，即 ，
由余弦定理得 ，所以 ，
得 ，因为 ，所以 ，
解得 或 ，
又因为 的面积大于其内切圆面积，即 ，
得 ，所以 ，当且仅当 时， 的面积取到最小值 .
18．已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 内切圆周长的最大值.
【解析】（1）由已知 ，
由正弦定理可得 .
又 ， ，
得 ，
上式化简得 ，
所以 ，因为 ，
所以 ；
（2）由余弦定理可得 ，
得到 ，所以 .
设 内切圆的半径为 ， ，
所以 ，
又 ，
又 ， ，且 ，
则 ，
， ，
所以 ，
故 内切圆周长为 .19．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知 的周长为20，角 ， ， 所对的边分别为 ， ，
(1)若 ， ，求 的面积；
(2)若 的内切圆半径为 ， ，求 的值．
【解析】（1）在 中，由余弦定理，可得 ，
由 ， ，则 ，
得 ,
由 的周长为20，即 ，则 ，
所以 ，则 ，即 ，
所以 ，
故的面积为， .
（2）根据题意，如图所示，
圆 为 的内切圆，半径为 ，切点分别为 ，
则 ，且 ，
由内切圆性质，圆心 为内角平分线的交点，
则 ，且 ，
由 中 ，即 ，
所以 ，又 ，即 ，
所以 ，则 ，则 ，
在 中 ，
故 ，
即 .20．（2024·高三·江苏扬州·开学考试）已知 的内角 的对边分别为 ， ， ，
， 的内切圆 的面积为 .
(1)求 的值；
(2)若点 在 上，且 三点共线，求 的值.
【解析】（1）在 中，由余弦定理得：
，即
设内切圆 的半径为 ，则
（2）在 中，由（1）结合余弦定理得 ，
平分 点 到 的距离相等，故 ，
而
21．（2024·贵州·模拟预测）在 中， ， ， ， 为 的中点， 的角平
分线 交 于点 .
(1)求 的长；
(2)求 的面积.
【解析】（1）∵ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ （舍）或 ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴，
.
∴
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
且 ，
∴ ，
.
∴22．（2024·广东梅州·二模）在 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，
， ，
(1)求A的大小：
(2)点D在BC上，
（Ⅰ）当 ，且 时，求AC的长；
（Ⅱ）当 ，且 时，求 的面积 ．
【解析】（1）因为 ，
所以由正弦定理可得 ，
又 ，
所以 ，因为 为三角形内角， ，
所以 ，可得 ，
因为 ，所以 ；
（2）（Ⅰ）此时 ， ，
所以 ，所以
，
在 中，由正弦定理可得 ；
（Ⅱ）设 ，由 ，
可得 ，化简可得
有 ，
由于 ，所以 ，
所以 ，
则 ．
23．（2024·甘肃陇南·一模）在 中，内角A，B，C的对边分别为 .已知
(1)求b；
(2)D为边 上一点， ，求 的长度和 的大小.
【解析】（1）由题意知在 中， ，
故 ，即 ，
由于 ，故 ；
（2）由（1）知 ，结合 ，得 ，又 ，故 ，又 ，
则 ，
又 ，则 ，
故 ，即 ，即 ，
结合 ，解得 ，
则 ， ，
而 为锐角，故 .
24．（2024·全国·模拟预测）如图，四边形 为梯形， ， ， ，
．
(1)求 的值；
(2)求 的长．
【解析】（1）因为 ，且 ，解得 ， ．
而 ，所以 ，
所以
因为 ，所以 ，所以 ．
（2）在 中，由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ．在 中，由余弦定理得
，
所以 ．
