文档内容
考点 25 简单的三角恒等变换（3 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进
行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．
【知识点】
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S ：sin 2α＝ 2sin α cos α .
2α
(2)公式C ：cos 2α＝ cos 2 α － sin 2 α ＝ 2cos 2 α － 1 ＝ 1 － 2sin 2 α .
2α
(3)公式T ：tan 2α＝.
2α
2．常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝2.(升幂公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)
【核心题型】
题型一 三角函数式的化简
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找
式子和三角函数公式之间的联系点．
【例题1】（2024·河北承德·二模）函数 的图象的对称
轴方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】利用三角恒等变换得 ，再根据正弦型函数对称性得到方程，解
出即可.
【详解】 ，
所以 ， ，解得 ，
故选：C.
【变式1】（2023·广东珠海·模拟预测） ．
【答案】 /0.75
【分析】法1：利用特殊角的三角函数值代入；法2：利用降幂公式 求解；
法3：利用余弦定理 及正弦定理，再取特殊角 代入求解.
【详解】法1： .
法2： .
法3：余弦定理 ，
根据正弦定理， ，取三角形三个内角分别
，
则 ．
故答案为： .
【变式2】（2023·河北·一模）函数 的最小值为 .【答案】 /
【分析】根据二倍角公式化简 ，即可求解最值.
【详解】因为
，所以当 时， ，此时 的最小值为 .
故答案为：
【变式3】（2024·吉林长春·模拟预测）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ，
，已知该三角形的面积 ．
(1)求角 的大小；
(2)线段 上一点 满足 ， ，求 的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件利用面积公式和余弦定理求解即可；
（2）由已知可得 ， ， ，在 和 中分别利用正弦
定理可得 ，即可求解.
【详解】（1）在 中， ，
而 ，即 ， ，
由余弦定理得 ，所以 ；
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，由 ， ， ，
在 中 ，即 ，
则 ，
在 中 ，
则 ，
综上，可得 ，又 ，
则 ，故 .
题型二 三角函数式的求值
(1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间
的联系寻找转化方法．
(2)给值(角)求值问题的一般步骤
①化简条件式子或待求式子；
②观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手；
③将已知条件代入所求式子，化简求值．
命题点1 给角求值
【例题2】（20-21高三·江苏南京·阶段练习）设 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据三角恒等变换求 的值，再利用作差法比较 的大小.【详解】 ，
，
∵ ，则 ，
又∵ ，则
，则 ，即
∴
故选：C.
【变式1】（2022·广东汕头·二模）若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式、诱导公式化简可得 的值.
【详解】由已知可得
.
故选：A.
【变式2】（23-24高三上·安徽·期中） ．
【答案】
【分析】由两角和与差的正弦和余弦公式即可化简求值.
【详解】.
故 .
故答案为： .
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数
的图像关于直线 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为 ．
(1)求 和 的值；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由相邻两个最高点的距离为一个周期，可求得 ，再利用正弦函数的对
称轴方程满足 和 可确定 ；
（2）由已知 的值，去求 的值，想到
，从而利用同角关系及 可求得，最后用两角和正弦公式就可求出结果.
【详解】（1）由题意 最小正周期为 ，
由公式 可得： ，
又因为 ，所以 ，
又由 图象关于 对称，
则 ，即
又因为 ，所以 .
（2）由已知得： ，则 ，
又因为 ，所以 ，
即 ，
于是
.
命题点2 给值求值
【例题3】（2024·四川眉山·三模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据平方关系求出 ，再根据 结合两角差的正弦公式即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，有 ，
所以
.
故选；A.
【变式1】（2024·陕西铜川·三模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用和差公式、辅助角公式化简得 ，然后通过整体代换，根据诱
导公式和二倍角公式即可求解.
【详解】 ，
.
故选：A.
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知 为锐角，满足
，则 ，
．【答案】 / /
【分析】由 ，利用两角和与差的正弦公式和余弦的二
倍角公式，求出 ；再用余弦的二倍角公式求出 .
【详解】因为 ，所以
，
又 ，所以 ，
因为 为锐角，所以 为锐角，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ．
故答案为： ； .
【变式3】（23-24高三下·江西赣州·期中）已知函数 （ ， ，
），函数 和它的导函数 的图象如图所示.(1)求函数 的解析式；
(2)已知 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由函数 与 的图象可得， ，再通过 图象过点 ，
得到
（2）根据倍角公式对 进行化简即可求解.
【详解】（1） ，
由图象可以得到： ，
因为 图象过点 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 .
（2）由 ，得 ，
，命题点3 给值求角
【例题4】（2024·江西九江·二模）已知 ， ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系得到方程组，即可求出
、 ，再求出 即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 .
故选：A
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的正半轴重合，
点 在角 的终边上，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式化简，可求出P点坐标，根据三角函数定义即可求得 ，利用二
倍角公式化简求值，即可得答案.
【详解】由于 ，
，
所以 ，
由于点 在角 的终边上，所以 ，
故 ，
故选：C.
【变式2】（2024·海南海口·模拟预测）已知 ，写出符
合条件的一个角 的值为 .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据题目条件得到 和 ，从而求出
，进而求出角 的值.
【详解】 ，
故 ，，即 ，
故 ，
故 ，即 ，
则 ，
则 ，
可取 .
故答案为：
【变式3】（2024·北京平谷·模拟预测）已知函数 ，其中
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使 存在，
并完成下列两个问题．
(1)求 的值；
(2)若 ，函数 在区间 上最小值为 ，求实数 的取值范围．
条件①：对任意的 ，都有 成立；
条件②： ；
条件③： ．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据所选条件分别计算能否使 成立，从而可求解.（2）根据（1）中可得 ，再利用整体代换法得 ，
从而可求得 ，再结合 ，从而可求解.
【详解】（1）由 ，
若选条件①：可知当 时， ，因为 ，即 ，且对任意
，都有 恒成立，故选条件①时 存在，故可选①；
若选条件②： ，解得 或 ， ，
因为 ，所以与条件矛盾，故不选②；
若选条件③：
，
所以 ，因为 ，可得 ，故条件③能使 成立，故可选③；
综上所述：故可选择条件①或③，此时 .
（2）由（1）知 ，当 时， ，
且 的最小值为 ，所以可得 ，解得 ，又 ，
所以 ，
所以 的取值范围为 .
题型三 三角恒等变换的综合应用
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
(2)形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值
与对称性．
【例题5】（2024·贵州贵阳·二模）已知 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】拆分角度 ，再根据和差化积公式求得
，由正切二倍角公式即可得所求.
【详解】由 得
， ，
两式相除可得 ，
所以 .
故选：A．
【变式1】（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 ，
若 ，则直线 与 的图象的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】先将函数 化简得 ，再结合 以及的任意性求出 的值，从而求出 的解析式，再数形结合探究即可得出结果.
【详解】由题 ，
由 知 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
对于 ，令 ，得 ；令 ，得 ，
故直线 经过点 与点 .
易知 的图象也过点 与点 ，
在同一平面直角坐标系中作出函数 的图象与直线 ，如图所示：
结合图象可知 的图象与直线 恰有5个交点，
故选：C.
【变式2】（2024·山西晋城·二模）已知 ， ，则
．
【答案】
【分析】由 切化弦可得 ，结合两角和差公式分析求
解.【详解】因为 ，即 ，可得 ，
又因为 ，可得 ，
所以 .
故答案为： .
【变式3】（2024·天津红桥·二模）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
已知 ， ，且 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，即可得解；
（2）利用余弦定理计算可得；
（3）根据平方关系求出 ，即可求出 、 ，最后由两角和的余弦公式计算
可得.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，所以 ，
又 ，所以 ；
（2）由余弦定理 ，
即 ，
所以 （负值已舍去）；（3）由 ， ，所以 ，
所以 ，
，
所以
.
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·河南三门峡·模拟预测）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由倍角公式可得 ，根据题意结合齐次式问题分析求
解.
【详解】由题意可得： .
故选：A.
2．（2024·山东·二模）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）．
A．函数 的最大值是
B．函数 在 上单调递增
C．该函数的最小正周期是D．该函数向左平移 个单位后图象关于原点对称
【答案】B
【分析】根据题意，化简函数 ，结合三角函数的图象与性质，逐项判
定，即可求解.
【详解】由函数 ，
可得最大值是2，最小正周期是 ，所以选项A，C错误；
当 ，可得 ，根据正弦函数的性质，
可得函数 在 上单调递增，所以B正确；
将函数 图象向左平移 得到函数 ，
此时函数 的图象不关于原点对称，所以D错误.
故选：B．
3．（2023·重庆·模拟预测）式子 化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可化简所求代数式.
【详解】原式
.
故选：B.
4．（2024·贵州毕节·一模）已知函数 的零点从小到大分别为 .若 ，则 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】根据已知条件及函数的零点的定义，利用三角方程的解法即可求解.
【详解】令 ，即 ，解得 或
,
因为函数 的零点从小到大分别为 ，
所以 ，
由 ，得 ，
又因为 ，
所以 ，解得 .
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题主要利用函数零点的定义及三角方程的解法即可.
二、多选题
5．（2024·江西赣州·二模）已知函数
，则（ ）
A．若 相邻两条对称轴的距离为 ，则
B．当 的最小正周期为 ， 时，
C．当 时， 的图象向右平移 个单位长度得到函数解析式为D．若 在区间 上有且仅有两个零点，则
【答案】ACD
【分析】先对原函数化简 ；对于A，直接求
出 即可；对于B，求出 在指定区间的最值，判断即可；对于C，直接求出平移后的
函数解析式即可；对于D，由整体法直接求出 的取值范围即可.
【详解】由题意知： ，
对于A， ，所以 ，所以 ，故A正确；
对于B，由 ，所以 ，由 ， ，
所以当 时，即 时， ，
当 ，即 时， ， 故B错误；
对于C，当 时，
的图象向右平移 个单位长度，
得到函数解析式为 ，故C正确；
对于D，若 在区间 上有且仅有两个零点，则 ，
所以 ，即 ，故D正确.
故选：ACD.
6．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）下列代数式的值为 的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用二倍角的余弦公式可判断A选项；利用切化弦以及二倍角的正弦公式可判断
B选项；利用二倍角的正弦公式可判断CD选项.
【详解】对于A选项， ；
对于B选项， ；
对于C选项， ；
对于D选项，
.
故选：BCD.
三、填空题
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知 ， ，则
.
【答案】 /0.25
【分析】根据题意利用三角恒等变换可得 ，再利用倍角公式以及齐次化问题分析求解.
【详解】因为 ，则 ，
显然 ，可得 ，
整理得 ，解得 或 ，
又因为 ，则 ，可得 ，
所以 .
故答案为： .
8．（2024·辽宁·二模）已知 ，则 ．
【答案】
【分析】利用余弦的和角公式，同角三角形函数的和积关系及二倍角公式先得 ，
再将三倍角化为二倍角推导计算得 即可.
【详解】由 ，得 即 ，
两边平方得 ，得 ，
所以
．故答案为： ．
9．（2023·贵州六盘水·模拟预测）设 ， ，且 ，
则 .
【答案】
【分析】根据三角恒等变化化简可得 ，再结合 ， ，
解方程即可得 的值.
【详解】因为
，
所以 ，即
又 ， ，所以 ，
则可得 ，则 故 .
故答案为： .
四、解答题
10．（2024·天津·一模）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，
， .
(1)求 的值；(2)求 的值；
(3)求 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由余弦定理计算可得；
（2）利用余弦定理计算可得；
（3）首先求出 ，从而由二倍角公式求出 、 ，最后由两角和的正弦公式
计算可得.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
又 ， ，
由余弦定理 ，即 ，解得 或 （舍
去），
所以 .
（2）由余弦定理 .
（3）由（2）可得 ，
所以 ，，
又 ，
所以
.
11．（2023·广东·模拟预测）已知函数 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 且 ，求 的周长.
【答案】(1)
(2)20
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，结合已知条件列出方程，求解即可；
（2）由（1）求出 ，由面积公式求出 ，因为 ，则
，由正弦定理可得 ，由余弦定理求得 ，则 ，即可
得解.
【详解】（1）
，
因为 ，所以 ，
解得 ；
（2）在 中，由（1）可得 ， ，
∵ ，即 ，
因为 ，则 ，
由正弦定理可得 ，即 ，
由余弦定理得 ，
∴ ，则 ，
∴三角形周长
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·重庆·模拟预测） 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由同角的商数关系，两角和的正弦公式，降幂公式，诱导公式化简求值即可．
【详解】
，
故选：A．2．（2024·江西南昌·二模）已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用余弦的和角公式化简得 ，再根据二倍角公式及诱导公式计算即
可.
【详解】由已知知： ，
化简得
，
令 ，则 ， ，
所以
.
故选：D
3．（23-24高三上·河北廊坊·期中）设 ，且 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】利用三角恒等变换可得答案.
【详解】因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，则 ．
故选：B.
4．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，则 ，根据诱导公式可得 ，结合二倍
角的余弦公式计算即可求解.
【详解】设 ，则 ， ，
所以 ，
所以 .
故选：C．
5．（2024·全国·模拟预测）已知 为锐角， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】借助三角恒等变换、同角三角函数的基本关系计算即可得.【详解】因为 为锐角，所以 ， ，
又 ，所以 ，
而 ，所以 ，
所以 ，
因此 .
故选：D．
6．（2024·辽宁·二模）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 ，可得 ，进而可得
，再根据两角差的余弦公式化简求出 的关系，即可得解.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
故选：B.
7．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先利用三角恒等变换 ，再根据已知条件变换，即可求解.
【详解】由 和 得
，
即 ，又因为 ，且 ，
所以得 ，因此 .
故选：B.
8．（2024·安徽合肥·二模）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意及正切与正弦与余弦的关系，两角和的正弦公式及余弦公式可得角 的大
小，再由余弦定理及基本不等式可得 的最大值，进而求出该三角形的面积的最大值．【详解】因为 ，可得 ，
即 ，
整理可得 ，
即 ，
在三角形中 ， ，
即 ， ,可得 ；
由余弦定理可得 ，当且仅当 时取等号，
而 ，
所以 ，
所以 ．
即该三角形的面积的最大值为 ．
故选：A．
二、多选题
9．（2024·浙江金华·三模）已知函数 的
部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 在区间 的最小值为
【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出 ，可得A正确，B错误；
由诱导公式可得C正确；整体代入由正弦函数的值域可得D正确.
【详解】由题意得 ，
由图象可得 ，
又 ，所以 ，
由五点法可得 ，
所以 .
A：由以上解析可得 ，故A正确；
B：由以上解析可得 ，故B错误；
C： ，故C正确；
D：当 时， ，
所以最小值为 ，故D正确；
故选：ACD.
10．（2024·安徽合肥·二模）已知函数 ，则（ ）
A．函数 在 上单调递减
B．函数 为奇函数C．当 时，函数 恰有两个零点
D．设数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，则
【答案】BCD
【分析】利用三角恒等变换化简 ，再利用正弦函数单调性奇偶性判断ABC，利用裂项
相消及累加求和判断D.
【详解】易知 ，
同理 ，
对A, 先减后增，故A错误；
对B, 为奇函数，故B正确；
对C, , 则 在 单调递增，
在 单调递减，即 在 单调递增，在 单调递减，
又 ，，
故函数 恰有两个零点，故C正确；
对D,易知 ，令 ，则 ，
，
,
……………………..
,
则 ，
故 ，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质及数列求和应用，关键是利用利用裂项相
消及累加求和判断D.
11．（2024·全国·模拟预测）在单位圆 上任取一点 ，圆O与x轴正半轴
的交点是A，设将 绕原点O旋转到 所成的角为 ，记x，y关于 的表达式分别为
，则下列说法中正确的是（ ）
A． 是偶函数， 是奇函数
B． 对于 恒成立
C．设 ，若 在 上有且仅有3个极值点，则D．函数 的最大值为
【答案】ACD
【分析】关键利用任意角三角函数定义可知 ，再结合辅助角公式，
从而可以判断A、B；对于C选项，要用好正弦函数曲线，把相位看成一个整体变量，就很
容易分析并得到参数的范围；对于D选项，这个式子的最大值求法上虽然不能转化为二次
型复合函数，但是用构造四元均值不等式来突破很是方便.
【详解】由题意可知， ．
因为 是偶函数， 是奇函数，故选项A正确．
因为 ，
又因为 ，所以 ，则 ，故选项B错误．
因为 在 上有且仅有3个极值点，且 ，
再根据正弦函数 曲线在 上有且仅有3个极值点，
即： 且 ，
则 ，解得 ，故选项C正确．
令函数 ，由于函数 的最大值一定是正数，
所以平方可得：，
所以正数 的最大值是 ，即当 时，函数 能取到最大值 ，故选项D正确．
故选：ACD．
三、填空题
12．（2024·江西·模拟预测）已知 ， ，则
.
【答案】
【分析】利用和角、差角的余弦公式以及二倍角公式求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
13．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在区间 内恰
有2个极值点和3个零点，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意利用三角恒等变换可得 ，分析可知
，且 的极值点即为 的极值点，结合余弦函数图象分
析求解.【详解】由题意可得：
，
令 ，可得 ，
且 的极值点即为 的极值点，
因为 ，则 ，
由题意结合余弦函数图象可得： ，解得 ，
所以 的取值范围是 ．
故答案为： .
14．（2024·上海嘉定·二模）已知 ， ，则函数 的最小
值为 ．
【答案】
【分析】令 ，可求t的范围，利用同角的基本关系对已知函数
化简计算，结合函数的单调性即可求解.
【详解】由题意知， ，
令 ，由 ，得 ，所以 ，则 .
由 ，得 ，
所以 ，则原函数可化为 ，
又函数 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
故当 时， 取得最大值 ，此时 取得最小值 .
故答案为：
四、解答题
15．（2023·安徽合肥·模拟预测）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已
知 .
(1)求 的值；
(2)若 ， ，求 的值.
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）利用二倍角公式及诱导公式计算可得；
（2）由面积公式求出 ，再由余弦定理得到关于 的方程，解得即可.
【详解】（1）因为 ，
所以.
（2）因为 ，所以 ，
因为 ，即 ，所以 ，
再由余弦定理知 ，即 ，
即 ，解得 或 ，
所以 或 （负值舍去）.
16．（2023·天津津南·模拟预测）在 中， .
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
【答案】(1) (2)5 (3)
【分析】（1）根据倍角公式结合正弦定理分析运算；
（2）利用倍角公式和两角和差公式求 ，再利用余弦定理求 的值；
（3）利用两角和差公式运算求解.
【详解】（1）因为 ，则 ，
由正弦定理可得： ，即 ，所以 .
（2）由（1）可得： 且 ，则 ，
可得 ，
所以 ，
由正弦定理 ，可得 .
（3）由（2）可得 .
17．（2023·江苏徐州·模拟预测）在 中， ．
(1)若 ，求 ；
(2)设 是 边上一点，若 ， ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件及三角形的内角和定理，结合三角函数的诱导公式和降幂公式
即可求解；
（2）利用二倍角公式及正弦定理，结合余弦定理及同角函数的基本关系，再利用两角差的
正弦公式及三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，∴ ，∴
或 ，
∵ ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ，
由正弦定理得 ，
又由余弦定理得 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ 为 内角，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
18．（2024·云南·二模） 中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B是 与 的等
差中项.
(1)若 ，判断 的形状;(2)若 是锐角三角形，求 的取值范围.
【答案】(1)是以 为斜边的直角三角形.
(2)
【分析】（1）根据等差中项性质及三角形内角和性质得 ，再结合已知和余弦定理得
，即可判断三角形形状；
（2）先根据锐角三角形性质得 ，然后化切为弦结合三角恒等变换化简目标函数，
利用正弦函数性质求解范围即可.
【详解】（1） 是 与 的等差中项， .
.
.
由余弦定理得： ，即 ，
化简得 . ，即 .
. ，
是以 为斜边的直角三角形.
（2） 是锐角三角形，
，解得 ，.
由 得 ， ，
，即 .
的取值范围为 .
19．（2024·全国·模拟预测）记 的内角 的对边分别为 .已知
．
(1)求 ；
(2)若 为 的中点，且 ，求 ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据已知条件 右边的形式联想到利用余弦定理进行转化，
由正弦定理 实现边化角： ，进而求得结果；
（2）分析 中的边角关系，由余弦定理得 考虑到 为 的中点，再次应用余弦定理.由正弦定理得 ，利用同角三角基本关系
式求得结果.
【详解】（1）由余弦定理形式 和 ，
因此 ．
又 ，即 ，
由正弦定理 得： ，
整理得： ，
．
， ，
， ．
（2）由 ，得 ，得 ．
在 中，由余弦定理得 ，
为 的中点，
，
即 ， （其中 ），
．
由正弦定理得 ， ，
，
即 ．
，由 ，可得 ；
， ．
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·安徽池州·二模）已知 ，则 （ ）
A．7 B．-7 C． D．
【答案】D
【分析】由 可求 ，再由两角和的正切可求 .
【详解】因为 ，故 ，
故 ，而 ，故 ，故 ，
而 ，故 ，所以 ，
故 ，故 ，
故选：D.
2．（2023·山东·模拟预测）若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 切化弦可得 ，结合两角和差公式运算
求解.
【详解】因为 ，即 ，可得 ，又因为 ，可得 ，
所以 .
故选：B.
3．（2023·江苏无锡·三模）已知 ， ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角 ，再利用已知条件即可求解.
【详解】因为 ，
又因为 ， ，
所以 ，
所以
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以当 为奇数时， ， ，
当 为偶数时， ， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 .
故选：C.4．（2024·全国·模拟预测）在锐角 中，若 ，且
，则 能取到的值有（ ）
A．5 B．4 C． D．3
【答案】B
【分析】由 可求 ，再根据 ，化
简可得 ，用对应角的正弦来表示边，得 ，
最后结合两角差的正弦公式、辅助角公式即可求解.
【详解】由 ，
又 ，
所以 ，则 ．
因为 ,
根据正弦定理得 ，
故 ，
即 ，
所以 ，即 ．根据正弦定理得 ，
所以 ， ．
因为 为锐角三角形，且 ，
所以 ， ，即 ， ，解得 ，
所以
．
因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，即 ．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于用正弦定理的边角互化，求出 和用对应角表示
对应边，将所求边长之和转化为关于角的三角函数进行化简，再根据所求角的范围来求值
域即可.
二、多选题
5．（2024·浙江·二模）关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为 B．关于点 中心对称
C．最大值为 D．在区间 上单调递减
【答案】BC
【分析】首先化简函数的解析式，再根据三角函数的性质，判断选项.【详解】 ，
，
函数的最小正周期 ，故A错误；
，所以函数 图象关于点 中心对称，
故B正确；
，所以函数的最大值为 ，故C正确；
由 ， ，函数 在区间 单调递增，
所以函数 在区间 上单调递增，故D错误.
故选：BC
6．（2024·湖南·二模）在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，
则下列结论正确的有（ ）
A．
B．若 ，则 为直角三角形
C．若 为锐角三角形， 的最小值为1
D．若 为锐角三角形，则 的取值范围为
【答案】ABD
【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得 ，即可得 ，所以A正确；再利用 由正弦定理计算可得 ，可得 ，B正确；由锐角三角形可
得 ，再由二倍角公式可得 ，即C错误；由正弦定理可
得 ，结合 的范围并利用函数单调性可得D正确.
【详解】对于 中，由正弦定理得 ，
由 ，得 ，即 ，
由 ，则 ，故 ，所以 或 ，
即 或 （舍去），即 ，A正确；
对于B，若 ，结合 和正弦定理知 ，
又 ，所以可得 ，B正确；
对于 ，在锐角 中， ，即
.
故 ，C错误；
对于 ，在锐角 中，由 ，
，
令 ，则 ，易知函数 单调递增，所以可得 ，D正确；
故选：ABD.
三、填空题
7．（2024·广西南宁·一模）已知 ，则
．
【答案】
【分析】根据同角三角函数的关系结合两角差的正弦值可得 ，进而可得 .
【详解】由题意， ，且 ，故
.
故
.
故 ， .
故答案为：
8．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知 ，则 ．
【答案】
【分析】由条件等式右边含有 ，可联想到 中分离出 来处理，设 ，待
求表达式中用 表示，结合万能公式进行求解.
【详解】设 ，于是 ，整理可得 ，根据万能公式， ，
整理可得 ，
由 可得， ，
故 ，
根据诱导公式， ，
根据两角和的正切公式， ，
故 .
故答案为：
9．（2024·山西晋中·三模）已知函数 的最大值为
，则满足条件 的整数 的个数为 ．
【答案】5
【分析】先用基本不等式证明 的最大值是 ，得到 ，再由 是
整数及 确定 ， ，最后逐个枚举 的可能值并分
类讨论即可得到全部的 .
【详解】因为，
且不等号取等的充要条件是 ，即
，展开并化简即得 .
由 及 ，结合零点存在定理
知关于 的方程 一定有解.
所以 的最大值是 ，从而 ，即 .
若要 ， ，则 ，所以 ，这得到 .
从而 ，且 .
若 ，则 ；
若 ，则 ；
若 ，则 .
所以满足条件的 共有5个： .
故答案为：5．
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于使用基本不等式证明 的最大值是
，中间需要一定的平方式计算.
四、解答题
10．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）计算求值：(1) ；
(2)已知 ， 均为锐角， ， ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）发掘角关系再利用诱导公式，降幂公式化简求值即可.
（2）先将 用 来表示，代入 ，利用两角和差公式求解即可.
【详解】（1）
（2）∵ 、 都为锐角，∴ ，
又 ，
∴ ，
，
∴
.
11．（2024·海南海口·二模）已知函数 ，等差数列 的前 项和为 ，
记 .(1)求证： 的图象关于点 中心对称；
(2)若 ， ， 是某三角形的三个内角，求 的取值范围；
(3)若 ，求证： .反之是否成立?并请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
(3)证明见解析，反之不成立，理由见解析.
【分析】（1）设出 的图象任意一点的坐标，计算判断点 也在 的
图象上即可.
（2）利用三角形内角和为 和等差中项性质求解出 和 ，再根据定义展
开 ，根据三角函数恒等变换展开化简即可求出 的取值范围.
（3）根据等差数列性质可得 ，将该关系式代入 计算即可，当 时，
利用等差数列性质，构造函数并结合零点存在性定理推理即得..
【详解】（1）设 的图象上任意一点 ，则 ，
点 关于点 的对称点为 ，
因为 ，
因此点 在 的图象上，
所以 的图象关于点 中心对称.
（2）若 ， ， 是某三角形的三个内角，则 ，又 是等差数列，则
，因此
，
不妨设 ，则 ，即有 ， ，
所以 .
（3）由 是等差数列，且 ，得 ，
即 ，因此当 时， ， ，
.
所以 成立.
反之不成立.
考虑存在等差数列 ，满足 ，则 ，
显然当 时， ， ，于是 ，
下面证明，存在 ，可以使得 ，且 ，
不妨设 ，由 ，得 ，
，即 ，
设 ，其中 ，显然 ， ，
则存在 ，使得 ，即存在 ，使得 ， ，
但此时 ，所以反之不成立.【点睛】方法点睛：
常见函数的累加求值：①若函数呈周期性变化，或者函数的部分呈周期性变化，因此在累
加求值的过程中，先找到函数的周期性，再计算出一个周期中的取值情况，最后整体计算；
②若无周期变化，该函数还可能呈首尾相加取定值，可先判断是否存在该规律，再进行整
体计算.
