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专题突破卷 12 解三角形中的最值范围问题
1.角与对边型（基本不等式法）
1．在① ，② ，③ ，这三个
条件中任选一个补充在横线上，回答下面问题.
在 中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若___________.
(1)求A的值；
(2)若边长 ，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解，
（2）由余弦定理结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）若选①：由 及正弦定理有：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1，
由于 ，所以 ，
由于 ，
即 所以 所以 ；
若选②： ，
由正弦定理得 ，
即 ，
，
又 ，所以 ；
若选③： ，
由正弦定理得 ，即 ，
， ，
由于 ，所以 ；
（2）由余弦定理得： ，即 ，
，当且仅当 时等号成立，
则 ，
则 面积的最大值为
2． 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2(2)求 周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用正弦定理结合条件求解即得；
（2）运用余弦定理和基本不等式求解.
【详解】（1）由正弦定理，可知 ，
整理得 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
又 ，所以 ；
（2）由余弦定理，得 ，
所以 ，
则 ，所以 ，当且仅当“ ”时取得等号，
所以 周长 的最大值为 ；
综上， ， 周长 的最大值为 .
3．在 中，角 的对边分别为 ， .
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 ，求 周长的取值范围.
【答案】(1)
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3(2)
【分析】（1）利用正弦定理把边化为角，结合三角变换与同角基本关系可求得 ，结合已知与面积公式
即可求解；
（2）用正弦定理把边化角，结合三角恒等变换化简，利用三角函数的值域求解，即可得到答案.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理，可得 ，
又由 ，可得 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
因为 ，可得 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
所以 的面积为 .
（2）由（1）可知 ，
由正弦定理得 ，所以 ，
所以
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
故 周长的取值范围为 .
4．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， .
(1)求 外接圆的半径；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出 ，最后由正弦定理求出外
接圆的半径；
（2）由余弦定理及基本不等式求出 的最大值，再由三边关系求出 的范围.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得 ，
且 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，
又 ，所以 ，
即 外接圆的半径为 .
（2）由余弦定理得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
即 ， ，所以 ，当且仅当 时取等号，
且 ，
所以 .
5．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 .
(1)求角A；
(2)若 ，求△ABC的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理进行边化角即可得到答案；
（2）利用余弦定理和基本不等式即可求出 的最大值，最后利用三角形面积公式即可.
【详解】（1）在 中，由条件及正弦定理得 ，
， ， ，
.
（2） ，由余弦定理得 ，
，当且仅当 时等号成立，
，
所以 的面积的最大值为 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 66．在 中， 分别为内角 所对的边，若 ， ．
(1)求 的面积；
(2)求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理结合题干条件可推出 ，然后由三角形的面积公式求解；
（2）结合（1）中推出的条件和基本不等式进行求解.
【详解】（1）由余弦定理， ，结合 可得 ，
整理可得 ，根据三角形的面积公式， .
（2）由（1）知 ，根据基本不等式， ，
当 时， 的最小值是 .
2.角与对边型（三角函数法）
7．在 中，内角 ， ， 所对的边分别 ， ， ， ， ，若 有且仅有一个解，
则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据正弦定理可得 ，据此可求 的取值范围.
【详解】由正弦定理可得
因此 有且仅有一个解，
故直线 与 在 上的图象有且仅有一个交点，
当 时， ，而 在 为增函数，
故 在 上为增函数，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7因 ， ，故 ，
故答案为： .
8． 三内角 ， ， 所对边分别是 ， ， .若 ， ，则 的最大值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知及余弦定理可得 ，再应用正弦定理有 ， ，将目标式转化为
且 ，利用正弦型函数性质求最大值即可.
【详解】因为 ，由余弦定理 ，又 ，故 ，
由正弦定理知： ，则 ， ，
所以 ，而 ，
则
，且 ，
又 ，当 时 的最大值为 .
故选：C
9．已知锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
(1)求角 的大小；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用诱导公式及正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式化简即可得解；
（2）先利用正弦定理求出 ，再根据三角恒等变换结合正弦函数的性质即可得解.
【详解】（1）由 ，即 ，
得 ，
由正弦定理可得 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ；
（2）由正弦定理 ，
所以
，
因为 为锐角三角形，且 ，
所以 ，解得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9所以 ，
所以 ， ，
所以 的取值范围为 .
10．已知函数 .
(1)若 ，求函数 的值域；
(2)设三角形 中，内角 、 、 所对边分别为 、 、 ，已知 ，且锐角 满足 ，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为 ，由 可求出 的取
值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得函数 的值域；
（2）由已知条件可得出 ，结合角 的取值范围可得出角 的值，利用余弦定理结合基本不
等式可得出 的最大值，再结合三角形三边关系即可得出 的取值范围.
【详解】（1）解：
，
当 时， ，则 ，故 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10当 时，函数 的值域为 .
（2）解：因为 ，可得 ，
因为 ，则 ，所以， ，解得 ，
因为 ，由余弦定理可得
，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
又因为 ，故 ，故 的取值范围是 .
11．已知函数 ．
(1)求 的最小正周期和对称中心；
(2)已知锐角 的三个角 的对边分别为 ，若 ，求 周长的最大值．
【答案】(1) 的最小正周期为 ，对称中心为 .
(2)
【分析】（1）化简 ，根据正弦函数的最小正周期公式和对称中心可求出结果；
（2）由 ， 为锐角得 ，根据 的范围求出 的最大值后可得周长的最大值.
【详解】（1）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11.
的最小正周期为 ，
令 ， ，得 ， ，
所以 的对称中心为 .
（2）由 ，得 ，因为 为锐角三角形， ，
所以 ，所以 ， .
因为 ， ，所以 ，同理得 ，
所以
，
因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，
所以当 ，即 时， 取得最大值为 ，
从而 取得最大值为 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12即 周长的最大值为 .
12．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， 的角平分线AD交BC于点D．
(1)若 ， ，求AD的长度；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方法一：由关系 ，结合面积公式列方程求解；
方法二：由角平分线性质和三角形面积公式证明 ，再由向量线性运算可得 ，两
边平方结合数量积的性质可求AD的长度；
（2）由正弦定理化边为角，结合三角恒等变换化简求 ，结合正弦定理利用角 表示 ，结合正弦型
函数的性质求 的范围，由此可得结论.
【详解】（1）方法一：
因为 为 的角平分线， ，
所以 ，
因为
所以 ，
所以 .
法二：设三角形 的边 上的高为 ，
因为 为 的角平分线
所以 ，
所以 ， 所以 ，
所以 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13因为 ， ，
所以 ，
所以 .
（2）在 中，由正弦定理得，
所以 ，
又 ，则 ，
又
所以 ，又 ，则 .
在 中，由正弦定理得， ，
所以
因为 是锐角三角形，所以 ，于是 ，
所以 ，
所以 ，从而 ，
所以三角形 周长的取值范围为 .
3.有角无边型（三角函数法）
13．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，则 的取值范
围是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由正弦定理边化角得到 ，由锐角三角形求出 ，然后将 的取值范围转化为函
数的值域问题求解即可.
【详解】因为 ，所以由正弦定理得： ,
即 ，所以 ，即 ，又 ，所以 .
因为锐角三角形ABC，所以 ，即 ，解得 .
.
令 ，因为 ，所以 ，
则 在 单调递减，
所以 .
故选：C.
14．在锐角三角形 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ，则
的取值范围为（ ）．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用正余弦定理进行边角互化，从而可得 ，进而求得 ，再把 化为
，结合 即可求解.
【详解】 ，
,
即 ，
， ，
， ，
，
.
故选：A.
15．在锐角三角形 中，其内角 所对的边分别为 ，且满足 .
(1)求证： ；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16(2)
【分析】（1）先利用倍角公式得到 ，再利用正弦定理与余弦定理的边角变换得到
，再利用锐角三角形排除 即可得证；
（2）结合（1）中结论得到 ，从而将问题转化为 ，进而利用角 的取值范围
与对勾函数的单调性即可求解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
由正弦定理与余弦定理得 ，
所以 ，整理得 ，
若 ，即 ，则 ，所以 ，即 ，
故 ，与 是锐角三角形矛盾，故 ，
所以 .
（2）因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，故 ，
又因为 ，
所以 ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
因为对勾函数 在 上单调递增，
， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17∴ ，∴ 的取值范围为 ．
16．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
(1)若 ，求 ， ；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再结合两角差的正弦公式、二倍角公式得到 ，
即可得到 ，结合三角形内角和求出 ， ；
（2）由（1）可得 ，即可求出 的取值范围，由正弦定理将边化角，由三角恒等变换公式化简转化
为 的三角函数，结合函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，则 ，所以 或 ，
若 ，又 且 ，解得 ， ，
若 ，则 ，显然不符合题意，故舍去，
所以 ， .
（2）由（1）可知 ，又 ，所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18所以 ，
由正弦定理可得
，
令 ，则 ，令 ， ，
显然 在 上单调递增，又 ， ，
所以 ，即 的取值范围为 .
17．在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，则 的最大值为
．
【答案】
【分析】利用正弦定理边化角，即可得到 ，从而得到 ，再由正弦定理将 转化
为关于 的三角函数，结合 的取值范围及余弦函数、二次函数的性质计算可得.
【详解】因为 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，
，
， ，
，
，即 ，
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19由 为锐角三角形得 ，解得 ．
，
因为 ，所以 ，
所以当 时， 取得最大值 ．
故答案为：
18．在锐角 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，则 的
取值范围为 .
【答案】
【分析】由正弦定理将边角互化，结合余弦定理及两角和差的正弦公式得到 ，根据
为锐角三角形可得 ， 以及 ，再由正弦定理可得 ，利用两
角和的正弦展开式和 的范围可得答案.
【详解】因为 ，由正弦定理可得 ，
由余弦定理 ，所以 ，即 ，
由正弦定理可得 ，
所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20即 ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
由 为锐角三角形，所以 ， ，可得 ，
所以 ， ，
由正弦定理得
，
即 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：本题关键是通过边角互化得到 ，从而得到 ，最后由正弦定理
将式子转化为角的三角函数，结合余弦函数的性质计算可得.
4.角与邻边型（三角函数法）
19．在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， ，则c的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据锐角 可确定角B的范围，结合正弦定理表示出c，结合正弦函数性质即可求得答案.
【详解】在锐角 中， ， ,
故 ，则 ，则
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21由正弦定理可得 ，
故选：C
【点睛】关键点睛：本题难度并不大，解答的关键是根据三角形为锐角三角形要确定角B的范围，结合正
弦定理表示出c，即可求得答案.
20．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ．
(1)求A；
(2)若 ，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）正弦定理化边为角，结合三角恒等变换求得角A；
（2）由正弦定理结合三角恒等变换把 用 表示，代入 可得 ，进而可得
，结合三角函数性质可得结论．
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
且 ，则 ，
则 ，整理得 ，
且 ，则 ，
所以 ，解得 .
（2）设 的外接圆半径为 ，
因为 ，可得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22又因为
，
可得 ，
所以 ，
又因为 ，则 ，可得 ，
则 ，
所以a的取值范围 .
21．已知 为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 的面积为S，且满足
.
(1)求角A的大小；
(2)若 ，求 周长的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式以及同角的三角函数关系结合正弦定理边化角化简，求值可得答案；
（2）由正弦定理表示出 ，利用三角恒等变换化简可得 ，求出角B范围，结合正切函数
性质，即可求得答案.
【详解】（1）在 中， ，
∴由 ，得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23则 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ .
（2）由正弦定理结合 得， ,
即 ,
则
，
因为 为锐角三角形，故 ，
故 ，而 ，
即 ，
故 ，
故 ，即 周长的范围为 .
22．已知锐角 的内角 所对的边分别为 ，向量 ，
，且 .
(1)求角 的值；
(2)若 ，求 周长的取值范围.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量垂直的坐标形式结合三角变换可得 ，故可求 .
（2）利用正弦定理结合三角变换公式可得 ，据此可求周长的取值范围.
【详解】（1）因为 ，故 ，
整理得到： ，
故 ，而 ，故 ，
所以 ，而 ，故 .
（2）
,
因为 为锐角三角形，故 ，故 ，
所以 ，故 ，所以 ，
故周长的取值范围为 .
23． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .
(1)求A；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合 得到 ，利用辅助角公式得到 ，
结合角 的范围得到 ；
（2）法一：由（1）中 ，结合三角形面积公式得到 ，由正弦定理求出 ，得到面积
的取值范围；
法二：由余弦定理得到 ，结合三角形为锐角三角形得到 ，从而求出 ，
求出面积的取值范围.
【详解】（1）由正弦定理可得： ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ；
（2）法一：由 及（1）知 的面积 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 26由正弦定理得 .
由于 为锐角三角形，故 ， .
由（1）知 ，
所以 ，
因为 在 上单调递增，
故 ，故 ，
故 ，
从而 .
因此 面积的取值范围是 ；
法二：因为 ， ，
由余弦定理得 ，即 ，故 ，
为锐角三角形，则 ，即 ，
由①得 ，解得 ，
由②得 ，解得 或 （舍去），
综上 ，
所以 .
24．已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．请从条件①、条件②中选择一个条件作为
已知，求：
(1)A的度数：
(2)若c＝1，求△ABC面积的取值范围．
条件①： ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 27条件②：△ABC的面积 ．
【答案】(1)选①②均为
(2)
【分析】（1）选①，利用正弦定理和 ，辅助角公式得到 ，由 的范围求
出答案；选②，由面积公式和余弦定理得到 ，结合 的范围求出答案；
（2）由正弦定理和面积公式可得 ，因为 为锐角三角形，从而得到 ，
求出答案.
【详解】（1）选择条件①：由正弦定理得 ，
，
所以 ，
因为sinC＞0，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
选择条件②：由面积公式得 ，
由余弦定理得 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 .
（2）由正弦定理 得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 28由面积公式可得
，
因为 为锐角三角形，故 ，得 ，
所以 ， ，
所以 的取值范围为 .
1．已知锐角 中角 ， ， 所对边的长分别为 ， ， ，且 ，则 的取值范围
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据已知边化角求得 ，然后根据已知得出 .根据两角差的余弦公式以及两角差的正
弦公式，化简得出 ，进而根据三角函数的范围，即可得出答案.
【详解】由 边化角可得， .
因为 ，所以 .
因为 为锐角三角形，所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 29所以 ， ，
由 可得， .
因为 ，
又 ，
所以， ，
所以， .
故选：C.
【点睛】思路点睛：通过已知求出 ，然后消去 ，化简得出关于 的三角函数，化简根据三角函数的范
围，即可得出答案.
2．在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 ，且 ，则
的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理边化角可得 ，然后代入消去角A，利用正弦函数的性质可得.
【详解】因为 ， ，
所以
由正弦定理可得： ，即 ，
因为 为锐角三角形，所以 ，
所以 ，即 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 30，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，所以 ，
即 .
故选：B
3．在 中， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理边角化及三角形的内角和定理，结合两角的正弦公式及两角和的余弦公式，再利用
余弦函数的性质即可求解.
【详解】由 及正弦定理，得 ，
，
又 ,
,
.
又 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 31，
，
,
的取值范围为 .
故选：A.
4．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .
(1)求C的大小;
(2)若 ，且 ，求 周长的最小值.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简得 ，可得C的大小；
（2）由余弦定理把b，c边用a表示，利用基本不等式求 周长的最小值.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理 .
由 ，得 ，所以 ，即 .
又 ，所以 .
（2）由（1）知 ，则 .
因为 ，所以 ，则 .
的周长为 .
因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 32故 周长的最小值为 .
5．在 中，角 的对边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 的面积 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角形性质可得答案；
（2）根据面积公式得出 ，结合基本不等式可求答案.
【详解】（1）由正弦定理可得 ，
因为 ，所以 .
又因为 ， ，
所以 ,
因为 ，所以 ，
又 ，故 .
（2）因为 ，所以 ，所以 ，
由余弦定理得
，
当且仅当 时取等号，所以 ，
因为 ，所以 的取值范围是 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 336．在 ABC中， ．
△
(1)求C的大小；
(2)已知 ，求 ABC的面积的最大值．
△
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先把题给条件化为 ，再利用余弦定理即可求解C的值．
（2）先用基本不等式求出ab的最大值，再代入三角形的面积公式即可求得△ABC的面积的最大值．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
又∵C∈（0，π），∴C ．
（2）∵ （当且仅当 时取等号），∴ ，
∴ 的最大值为 ．
7．在 中，内角 的对边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边角变换与三角函数的和差公式求解即可；
（2）法一：利用正弦定理边角变换与三角函数的和差公式，结合三角函数的性质即可得解；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 34法二：利用余弦定理与基本不等式即可得解.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得 ，
又 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
而 ，所以 .
（2）法一：
因为
，
所以 ，
因为 ，所以当 ，即 时， 的最大值为1，
故 的最小值为 .
法二：
因为 ， ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，则 ，
故 的最小值为 .
8．在平面四边形 中，点 在直线 的两侧， ， ，四个内角分别用 表示，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 35.
(1)求 ；
(2)求 与 的面积之和的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理可求得 ，结合勾股定理可得结果；
（2）设 ，利用 可表示出 ，结合三角恒等变换知识化简得到
，由正弦函数最值求法可求得结果.
【详解】（1）在 中，由余弦定理得： ，解得：
，
，即 ， .
（2）设 ，则 ，
， ， 四点共圆，且 为该圆的直径，
， ，
， ，
在 中， ， ，
.
， ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 36， 当 ，即 时， ，
故 与 的面积和的最大值为 .
9． 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)证明： ；
(2)若 是锐角三角形， ，求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合两角和差公式，得到 ，即可得证；
（2）利用正弦定理及题设条件，求得 ，结合 为锐角三角形，求得 的范围，即可求解.
【详解】（1）证明：由正弦定理及 ，可得 ，
因为 ，可得 ，
所以 ,
所以 或 ，
因为 ，所以 ，即 .
（2）解：由正弦定理 且 ， ，可得 ，
因为 为锐角三角形，所以 ，解得 ，所以 ，
所以 的取值范围是 .
10．在锐角 中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且有 ，在下列条件中选择一个条件完成
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 37该题目：① ；② ；③ .
(1)求A的大小；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，利用正弦定理化边为角，再结合二倍角得正弦公式即可得解；
选②，利用余弦定理即可得解；
选③，利用正弦定理化边为角，再根据商数关系化切为弦及两角和得正弦公式即可得解；
（2）先利用正弦定理求出 ，再根据三角恒等变换结合三角函数即可得解.
【详解】（1）选①，
因为 ，
由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ；
选②，
因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ；
选③，
因为 ，
由正弦定理得 ，即 ，
则 ，
则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 38又 ，所以 ，
因为 ，所以 ；
（2）由（1）得 ，
因为 ，
所以 ，
则 ，
因为 为锐角三角形，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 的取值范围为 .
11．在 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 ．
(1)求角B的大小；
(2)若 为锐角三角形， ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知得 ，然后利用两角和与差的正弦公式化简可求得结果；
（2）由正弦定理表示出 ，则可得 ，再将 代入化简变形可得，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 39，由 为锐角三角形求出得 ，然后利用正切函数的性质求得结
果.
【详解】（1）由 得：
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ；
（2）在 中，由正弦定理 ，得 ，
同理得 ，
所以可得：
因为 为锐角三角形，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
得
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 40所以 的取值范围为 .
12．已知 中， ．
(1)求A的大小；
(2)若D是边AB的中点，且 ，求 的取值范围，
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理得到 ，即可求出 ；
（2）设 ，利用正弦定理表示出 ， ，设 ，利用辅助角公式化简，最后结合
正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）在 中，由正弦定理有 ，
，
，即 ，
在 中，由余弦定理，有 ，
，则 ，即 ，
，∴ .
（2）如图，设 ，则 ， ，
在 中,根据正弦定理，有 ，
， ，
设
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 41又 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 的取值范围为 ．
13．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， .
(1)求角 ；
(2)若 外接圆的半径为 ，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）先根据 展开，结合正弦和差化积公式进行化简，可得出 ，
进而得出角 的值.
（2）根据题意和正弦定理可得出边长a的值，再由第一问和余弦定理得出b和c的关系 ，结
合基本不等式即可求出 面积的最大值.
【详解】（1）由 得， ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 42（2）由 外接圆的半径为 ，则得 ，
由余弦定理得， ，即 ，
所以 ，解得 .
所以 ，故 面积的最大值为 .
14．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
(1)若 ，求 的值.
(2)求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式对已知式子化简可得 ，再结合 可求出 的
值；
（2）由（1）可知 ，再利用余弦定理可得 ，从而可求出 的最大值.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 43所以由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
（2）由（1）可知 ，则 ，
由余弦定理得
，
当且仅当 时取等号，
因为 ，所以 ，
所以 的最大值为 .
15．在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， .
(1)求A；
(2)若D为 延长线上一点，且 ，求 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换化简求值即可；
（2）分别在 和 中利用正弦定理表示出 ，进而表示出 ，根据 为锐角三角形求出
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 44，从而求出 的取值范围.
【详解】（1）角A，B，C是 的内角，故 .
在锐角 中,由正弦定理得， ，
即 ，
所以 ，即 ，故 ，又 ，所以 .
（2）在 中， ，
在 中， ，
所以
故 .
因为 为锐角三角形， ,所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
从而 .
故 的取值范围为 .
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