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第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
基础篇
一、单选题
1．【2022陕师大期末】下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B． ， ， C．16，63，65 D．5，12，14
【答案】C
【分析】
根据勾股数的概念可直接进行排除选项．
【详解】
解：由勾股数都是为正整数，故可直接排除A、B选项，
对于C选项，由 ，符合勾股定理，故符合题意；
对于D选项，由 可得不是勾股数，故不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数的概念是解题的关键．
2．【2022汉滨中学期末】下列各组数中满足勾股定理的是（ ）．
A．12，8，5 B．30，40，50
C．9，13，15 D．8，10，12
【答案】B
【分析】
若三边满足 则符合勾股定理，逐一对选项进行判断即可．
【详解】
A中， ，所以不符合勾股定理，故错误；B中， ，所以符合勾股定理，故正确；
C中， ，所以不符合勾股定理，故错误；
D中， ，所以不符合勾股定理，故错误；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键．
3．【2022西工大第三次检测】已知一个直角三角形三边的平方和为800，则这个直角三角形的斜边长为
（ ）
A．20 B．40 C．80 D．100
【答案】A
【分析】
直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，已知三边的平方和可以求出斜边的平方，根据斜边的平
方可以求出斜边长．
【详解】
解：∵在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，
又∵已知三边的平方和为800，则斜边的平方为三边平方和的一半，
即斜边的平方为，800÷2=400，
∴斜边长= =20，
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活应用，考查了勾股定理的定义，本题中正确计算斜边长的平方
是解题的关键．
4．【2022铁一中滨河】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分
别为S ，S ，S ，且，且S ＝4，S ＝16，则S ＝（ ）
1 2 3 1 3 2A．20 B．12 C．2 D．2
【答案】B
【分析】
根据勾股定理求出AC2，得到答案．
【详解】
解：由勾股定理得，AC2=AB2-BC2=16-4=12，
则S =AC2=12，
2
故选：B．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
5．【2022山大附中一模】在 中， 、 、 的对应边分别是a、b、c，若
，则下列等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知两角之和为90度，利用三角形内角和定理得到三角形为直角三角形，利用勾股定理即可得到结果．
【详解】
解：∵在 中， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，
则根据勾股定理得： ．
故选：C．【点睛】
此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．【2022北京第二中学分校第一次检测】如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：
经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在
图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的
正方形的个数是（ ）
A．12 B．32 C．64 D．128
【答案】C
【分析】
通过观察已知图形可以发现：图（2）比图（1）多出4个正方形，图（3）比图（2）多出8个正方形，图
（4）比图（3）多出16个正方形，……，以此类推可得图形的变换规律．
【详解】
解：由题可得，
图（2）比图（1）多出4个正方形，
图（3）比图（2）多出8个正方形， ；
图（4）比图（3）多出16个正方形， ；
图（5）比图（4）多出32个正方形， ；
照此规律，图（n）比图（n-1）多出正方形的个数为：
故图（6）比图（5）多出正方形的个数为： ；
故答案为：C．【点睛】
此题考查了图形的变化类问题，主要考核学生的观察能力和空间想象能力．首先应找出图形哪些部分发生
了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真
观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
7．【2022无锡市江南中学】如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构
成，三个半圆的直径分别为直角三角形 的斜边 ，直角边 ， ．若 的三边所围成的
区域面积记为 ，黑色部分面积记为 ，其余部分面积记为 ，则下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据面积的和差关系表示出 与 ， 与 的关系，再利用勾股定理即可得答案．
【详解】
∵ 的三边所围成的区域面积记为 ，黑色部分面积记为 ，其余部分面积记为 ，
∴ = = ，
= ，
∵在Rt△ABC中， ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理及圆的面积公式；熟练掌握勾股定理，正确表示出各图形的面积关系是解题的关键．
提升篇
二、填空题
8．【2022杜郎口中学期末】如图，直线 上有三个正方形 、 、 ，若正方形 、 的边长分别为5
和7，则正方形 的面积为_________。
【答案】74
【分析】
根据正方形的性质得出∠EFG=∠EGH=∠HMG=90°，EG=GH，求出∠FEG=∠HGM，证△EFG≌△GMH，推出
FG=MH，GM=EF，求出EF2=25，HM2=49，求出B的面积为EG=EF2+FG2=EF2+HM2，代入求出即可．
【详解】
解：根据正方形的性质得出∠EFG=∠EGH=∠HMG=90°，EG=GH，
∵∠FEG+∠EGF=90°，∠EGF+∠HGM=90°，
∴∠FEG=∠HGM，
在△EFG和△GMH中，
，
∴△EFG≌△GMH（AAS），
∴FG=MH，GM=EF，
∵A，C的边长分别为5和7，
∴EF2=52，HM2=72，
∴B的面积为EG=EF2+FG2=EF2+HM2=25+49=74，【点睛】
本题考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出FG=MH，题目
比较典型，难度适中．
9．【2022杭州第十三中学】已知△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC边上的高AD＝8，则△ABC的面积为
_______。
【答案】84或36
【分析】
高线AD可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分别依据勾股定理即
可求解．
【详解】
解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得BD＝ ＝6，
在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得CD＝ ＝15，
当AD在三角形的内部时，BC＝BD+CD＝15+6＝21，
所以△ABC的面积为 ×21×8＝84；
当AD在三角形的外部时，BC＝CD－BD ＝15﹣6＝9，
所以△ABC的面积为 ×9×8＝36．
【点睛】
本题考查了勾股定理和三角形的面积公式，当涉及到有关高的题目时，注意由于高的位置可能在三角形的
内部，也可能在三角形的外部，所以要注意考虑多种情况．
10．【2022西交大附中第一次测试】如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中
点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为__________。【答案】
【分析】
把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
【详解】
解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝ ，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝ ，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为 ，
综上所述，AE+BF的最大值为 ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．
三、解答题
11．【2022宁波市第七中学】如图，在 中， ， 平分 ，交 于点 D，过点
D 作 于点 E．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】
（1）由角平分线的性质得到 ，根据直角三角形全等的判定证得 ，由全等
三角形的性质即可证得结论；
（2）在 中由勾股定理求出 ，由（1）知 ， ，得到 ，再在
中根据勾股定理列方程求出 ，即可求得 ．
【详解】
（1）证明： ，
，平分 ， ，
，
在 和 中，
，
（HL），
；
（2）解： ， ， ，
，
由（1）知， ， ，
，
在 中， ，
由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决问
题的关键．
12．【2022渭南高级中学】如图在 中， ，点E，F分别在 上，求证：
．【答案】证明见解析
【分析】
由勾股定理可得 ， ， ， ，则
有 ， ，即可得到结论
【详解】
，均为直角三角形
在 中，
在 中，
在 中，
在 中，
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的简单应用，解题关键在于找出直角三角形，利用勾股定理求证．
