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第七章 平行线的证明
第 1 课时 定义与命题
基础篇
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．平行于同一直线的两条直线平行 B．两直线平行，同旁内角相等
C．同旁内角互补 D．同位角相等
【答案】A
【分析】
对照平行线的性质和定理，逐一判断即可.
【详解】
∵平行于同一直线的两条直线平行，
∴选项A正确；
∵两直线平行，同旁内角互补，
∴选项B错误；
∵两直线平行，同旁内角互补，
∴选项C错误；
∵两直线平行，同位角相等，
∴选项D错误；
故选A.
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，熟记性质和判定的条件和结论是解题的关键.
2．下列命题是真命题的个数为（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②三角形的内角和是180°．
③在同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行．
④相等的角是对顶角．
⑤两点之间，线段最短．
A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B
【分析】
首先判断所给命题的真假，再选出正确的选项．
【详解】
解：∵两条直线被第三条直线所截，两直线平行，内错角相等，
∴①错误；
∵三角形的内角和是180°，∴②正确；
∵在同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行，∴③正确；
∵相等的角可以是对顶角，也可以是内错角、同位角等等，∴④错误；
∵连接两点的所有连线中，线段最短，∴⑤正确；
∴真命题为②③⑤，
故选B ．
【点睛】
本题考查命题的真假判断，根据所学知识判断一个命题条件成立的情况下，结论是否一定成立来判断命题
是真命题还是假命题是解题关键．
3．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．同旁内角互补，两直线平行
C．两点之间线段最短 D．内错角相等
【答案】D
【分析】
利用对顶角的性质、平行线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A. 对顶角相等，是真命题；
B. 同旁内角互补，两直线平行，是真命题；
C. 两点之间线段最短，是真命题；
D. 两直线平行，内错角相等，∴原命题是假命题
故选：D
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的性质等知识，属于基础知识，
难度不大．
4．下列命题中，假命题是（ ）A．平面内，若a∥b，a⊥c，那么b⊥c
B．两直线平行，同位角相等
C．负数的平方根是负数
D．若 ＝ ，则a＝b
【答案】C
【分析】
依题意，A选项，利用平行具有传递性即可；B选项，结合平行线的性质即可；C选项，利用平方根的定义
即可；D选项，立方根的性质及定义．
【详解】
A选项，平面内，若a∥b，a⊥c，那么b⊥c，利用平行具有传递性可知，A选项是真命题；
B选项，结合平行的性质，两直线平行，同位角相等，可知，B选项是真命题；
C选项，负数没有平方根，C选项是假命题；
D选项，由立方根的性质可知， ，则a＝b，是真命题；
故选：C．
【点睛】
本题考查平行线、平方根、立方根的定义及性质，重点在于理解和熟练定义中的核心点．
5．下列各命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补 B．如果 ，那么
C．等边三角形每个内角都等于60° D．对顶角相等．
【答案】D
【分析】
先交换各命题的题设与结论部分得到四个逆命题，然后分别平行线的判定，平方的意义，等边三角形的判
定，对顶角的定义判断逆命题的真假．
【详解】
A、逆命题为“同旁内角互补，两直线平行”，是真命题；
B、逆命题为“如果a=b，那么 ” ，是真命题；
C、逆命题为“如果三角形的每个内角都等于60°，那么这个三角形是等边三角形”，是真命题；
D、逆命题为：“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，故此命题是假命题．故选：D
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，注意掌握逆命题的书写方法，及真假命题的判断，属于基础题．
6．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余 B．在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．三角形的一个外角大于任何一个内角
【答案】D
【分析】
利用三角形外角的性质、平行线的性质及直角三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A. 直角三角形的两个锐角互余，正确，是真命题；
B. 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题；
C. 同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题；
D. 三角形的一个外角大于任何一个内角，错误，是假命题；
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，三角形外角的性质、平行线的性质及直角三角形的性质，熟悉相关性质是
解题的关键．
7．用反证法证明：“在同一个平面内，若 则 ”时，应假设（ ）
A． 不垂直于 B． 与 相交 C． 不垂直于 D． 都不垂直于
【答案】B
【分析】
要假设结论不成立，即a与b不平行.
【详解】
用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c， b⊥c，则a//b时”应假设，a与b不平行
即a与b相交，
故选: B.
【点睛】
此题考查了反证法证明的步骤：(1)假设原命题结论不成立；(2)根据假设进行推理，得出矛盾，说明假设不
成立；(3)原命题正确.8．下列命题中，真命题的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．相等的角是对顶角
C．同位角相等 D．直角三角形两个锐角互补
【答案】A
【分析】
利用平行线的判定、对顶角的定义及互补的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A、同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题；
B、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；
C、只有当两直线平行时，同位角才会相等；两直线不平行时，同位角不会相等，故错误，是假命题；
D、直角三角形两锐角互余，不会互补，故错误，是假命题．
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定、对顶角的定义及互补的定义，难度不大．
9．在下列命题中，为真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行
C．同旁内角互补 D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
【答案】B
【分析】
根据对顶角、平行公理的推论、平行线的判定、同旁内角逐项判断即可得．
【详解】
A、相等的角不一定是对顶角，此项是假命题；
B、平行于同一条直线的两条直线互相平行，此项是真命题；
C、两直线平行，同旁内角互补，此项是假命题；
D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，此项是假命题；
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题与定理、平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
10．下列命题中真命题的个数（ ）
①无理数包括正无理数、零和负无理数；②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③和为180°的两个角互为邻补角；④ 的算术平方根是7；⑤有理数和数轴上的点一一对应；⑥垂直于同一条
直线的两条直线互相平行．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】
根据无理数、平行公理、邻补角、算术平方根、实数与数轴、平行线的判定逐个判断即可得．
【详解】
①无理数包括正无理数和负无理数，此命题是假命题；
②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，此命题是真命题；
③和为 的两个角不一定互为邻补角，此命题是假命题；
④ 的算术平方根是 ，此命题是假命题；
⑤实数和数轴上的点一一对应，此命题是假命题；
⑥在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，此命题是假命题；
综上，真命题的个数是1个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了无理数、平行公理、邻补角、实数与数轴等知识点，熟练掌握各定义与公理是解题关键．
11．有下列命题：①两点之间，线段最短；②相等的角是对顶角；③当a≥0时，|a|=a；④内错角互补，两
直线平行．其中是真命题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据线段公理、对顶角、绝对值运算、平行线的判定逐个判断即可得．
【详解】
①两点之间，线段最短，是真命题；
②相等的角不一定是对顶角，是假命题；
③当 时， ，即非负数的绝对值等于它本身，是真命题；
④内错角相等，两直线平行，是假命题；
综上，真命题的个数是2个，故选：B．
【点睛】
本题考查了线段公理、对顶角、绝对值运算、平行线的判定，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．
12．下列命题中，真命题是（ ）
A．过一点且只有一条直线与已知直线平行
B．两个锐角的和是钝角
C．一个锐角的补角比它的余角大90°
D．同旁内角相等，两直线平行
【答案】C
【分析】
根据平行线的公理及判定、角的定义和补角和余角的定义可逐一判断．
【详解】
解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题；
B、两个锐角的和不一定是钝角，如20°+20°=40°，是假命题；
C、一个锐角的补角比它的余角大90°，是真命题；
D、同旁内角互补，两直线平行，是假命题；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行线的公理及性质，掌握平行线的公理及判定、角的定义和补角和余角的定义是关键．
13．下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．关于某直线成轴对称的两个图形全等
C．全等三角形的对应角都相等 D．如果x=1，那么|x|=1
【答案】A
【分析】
根据互逆命题，把四个原命题的题设与结论部分交换即可得到四个逆命题，然后分别根据平行线的判定、
轴对称的性质、全等三角形的判定和绝对值的意义进行判断．
【详解】
解：A、逆命题为：内错角相等，两直线平行，此逆命题为真命题，所以A选项符合；
B、逆命题为：如果两个图形全等，则这两个图形关于某直线成轴对称，此逆命题为假命题，所以B选项
不符合；
C、逆命题为：对应角都相等的三角形全等，此逆命题为假命题，所以C选项不符合；D、逆命题为：如果|x|=1，则x=1，此逆命题为假命题，所以D选项不符合．
故选A．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设
是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正
确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
14．下列命题中的假命题是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，同旁内角相等 D．平行于同一条直线的两直线平行
【答案】C
【分析】
根据平行线的判定方法和性质对各选项的真假进行判断．
【详解】
A、两直线平行，内错角相等，所以A选项为真命题；
B、同位角相等，两直线平行，所以B选项为真命题；
C、两直线平行，同旁内角互补角，所以C选项为假命题；
D、平行于同一条直线的两直线平行，所以D选项为真命题．
故选C．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设
是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正
确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
15．有下列命题：①对顶角相等：②垂直于同一条直线的两直线垂直；③平行于同一条直线的两直线平行；
④内错角相等.其中假命题有( )
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】C
【分析】
根据对顶角的性质、平行线的判定和性质定理判断即可．
【详解】
解：对顶角相等，①是真命题；
垂直于同一条直线的两直线平行，②是假命题；平行于同一条直线的两直线平行，③是真命题；
两直线平行，内错角相等，④是假命题；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断和平行线的判定和性质，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判
断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
16．下列各命题的逆命题成立的是( )
A．两直线平行，同旁内角互补 B．若两个数的相等，则这两个数绝对值也相等
C．全等三角形的对应角相等 D．如果a=b，那么|a|=|b|
【答案】A
【分析】
首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．
【详解】
解：A、逆命题是同旁内角互补，两直线平行，正确；
B、逆命题是绝对值相等的两个数相等，错误；
C、逆命题是对应角相等的两个三角形全等，错误；
D、逆命题是如果|a|＝|b|，那么a＝b，错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解平行线的性质与判定、全等三角形的性质与判定、
绝对值的定义等基础知识，难度不大．
17．下列命题中，是真命题的是( )
A．算术平方根等于自身的数只有1
B．对顶角相等
C．同位角相等
D． 是最简二次根式
【答案】B
【解析】
【分析】
利用算术平方根、最简二次根式、对顶角的性质及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】
解：A、算术平均数等于自身的数为1和0，故A错误，为假命题；
B、对顶角相等，故B正确，为真命题；
C、、两直线平行，同位角相等，故C错误，为假命题；
D、 不是最简二次根式，故D错误，为假命题．
故选：B．
【点睛】
本题考查命题与定理的知识，解题的关键是能够了解算术平方根、最简二次根式、对顶角的性质及平行线
的性质．
18．下列命题中是真命题的是（ ）
A．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行
B．两条直线平行，同旁内角相等
C．两个角相等，这两个角一定是对顶角
D．两个角相等，两条直线一定平行
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平行公理的推论、平行线的性质和判定，对顶角的定义，逐一判断即可．
【详解】
解：A、在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，本选项正确；
B、两直线平行，同旁内角互补，本选项错误；
C、两个角相等，只有大小关系，没有位置关系，不一定是对顶角，本选项错误；
D、同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，本选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题的真假判断．关键是熟悉平行线的判定与性质，对顶角的定义与性质．
19．下列命题是假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．同角的补角相等
C．内错角的平分线平行 D．直角都相等
【答案】C【分析】
根据对顶角的性质、补角的性质、平行线的判定和直角的定义逐一判断即可．
【详解】
解：A．对顶角相等是真命题，故不符合题意；
B．同角的补角相等是真命题，故不符合题意；
C．两直线平行，内错角的平分线平行，缺少条件，是假命题，故符合题意；
D．直角都相等是真命题，故不符合题意．
故选C．
【点睛】
此题考查的是真假命题的判断，掌握对顶角的性质、补角的性质、平行线的判定和直角的定义是解决此题
的关键．
20．下列命题中，属于真命题的是（ ）
A．一个三角形至少有两个内角是锐角 B．一个角的补角大于这个角
C．内错角相等 D．相等的角是对顶角
【答案】A
【分析】
根据对顶角、补角、平行线的性质和三角形内角和判断．
【详解】
解：A、一个三角形至少有两个内角是锐角，是真命题，符合题意；
B、一个角的补角不一定大于这个角，如直角，原命题是假命题，不符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，不符合题意；
D、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意；
故选： ．
【点睛】
本题考查了真假命题的判断，涉及到的知识点有三角形内角和、补角的定义、对顶角和平行线的性质，解
题关键是熟知这些性质，准确进行判断．
提升篇
21．在证明“三角形内角和等于180”这一命题时，小彬的思路如下．请写出“求证”部分，补充第一步推理的依据并按他的思路完成后续证明．
已知：如图， ．
求证：_____________________．
证明：如图，在 边上取点 ，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ．
∵ ，
∴ ， （依据：_____________________）．
∵ ，
∴ ．
【答案】 ；两直线平行，同位角相等；见解析．
【分析】
结合平行线的性质进行推理证明．
【详解】
解：已知：如图， ．
求证： ．
证明：在 边上取点 ，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ．
∵ ，
∴ ， （依据：两直线平行，同位角相等）．
∵ ，
∴ ， ．
∴
∵
∴
即三角形内角和等于180°
【点睛】
本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质正确添加辅助线进行推理论证是解题关键．
22．完成下面的证明过程．已知：如图，∠1和∠D互余，∠C和∠D互余．求证：AB∥CD．
证明：∵∠1和∠D互余(已知)，
∴∠1＋∠D＝90°(_____________)．
∵∠C和∠D互余(已知)，
∴∠C＋∠D＝90°(_____________)，
∴∠1＝∠C(__________________)，
∴AB∥CD(________________________)．
【答案】互余的定义；互余的定义；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【分析】
因为∠1和∠D互余，∠C和∠D互余．得出∠C=∠1，从而证得AB∥CD．
【详解】
证明：∵∠1和∠D互余(已知)，
∴∠1＋∠D＝90°(互余的定义)．
∵∠C和∠D互余(已知)，
∴∠C＋∠D＝90°(_互余的定义)，
∴∠1＝∠C(同角的余角相等)，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
【点睛】
此题考查的知识点是平行线的判定，同角的余角相等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
23．补充完成下列证明过程，并填上推理的依据．
已知：如图， ．求证： ．
证明：延长 交 于点 ，则
．（ ）
又∵ ，
∴ _______，（等量代换）
∴ ．（ ）【答案】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ；内错角相等，两直线平行
【分析】
第一个空是三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，第二个空根据等量代换得出 ，
第三个空是平行线的判定．
【详解】
解：延长 交 于点 ，则
．（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
又∵ ，
∴ ，（等量代换）
∴ ．（内错角相等，两直线平行）
【点睛】
本题考查推理与证明，解题的关键是掌握推理与证明过程中理由的书写，平行线的性质和三角形外角的定
理．
