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专题突破卷 12 平面向量中的最值（范围）问题
题型一：平面向量与三角形综合求最值
1．在 中，内角A，B，C的对边分别是 ， ， ， ， ，
是 外接圆圆 外一点， ，则 的最大值是（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】首先由条件构造几何关系图形，再转化向量，利用向量模的不等式，即可求解.
【详解】连接AB，如下图所示：
由题意可知， ，所以 ，
则 为圆 的一条直径，故 为 的中点，所以 ，
所以
．
当且仅当 、 、 共线且 、 同向时，等号成立，
因此， 的最大值为10．
故选：C．
2．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ，则 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求外接圆半径，将 置于圆中，利用图形线段关系得到
，结合数量积的运算律及已知求得 ，
进而求最值．
【详解】由题设， 外接圆的半径 ，如下图，
由 ，则 ，令 ，且 ，
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！又 ， ，
所以 ，
则 ，
当 ，即 时， 有最小值 .
故选：D
3． 是等腰直角三角形，其中 ， 是 所在平面内的一点，若
（ 且 ），则 在 上的投影向量的长度的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量共线定理的推论，投影向量的概念，数形结合，即可求解．
【详解】设 ， （ 且 ），
则 （ 且 ），
则 在线段 上，如图所示，
当 与 重合时， 在 上的投影向量的长度取得最大值，最大值为 ；
当 与 重合时， 在 上的投影向量的长度取得最小值，最大值为 ；则 在 上的投影向量的长度的取值范围是 ．
故选：B.
4．已知 是边长为 的正三角形，点 是 所在平面内的一点，且满足
，则 的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】C
【分析】可由重心的性质结合向量运算得到点 的轨迹，再结合圆上的点到圆外定点的距
离最小值为圆心到定点减半径得到；亦可建立适当平面直角坐标系，借助向量的坐标运算
结合圆的性质得解.
【详解】法一：设 的重心为 ，则 ，
点 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
又 ， 的最小值是 .
法二：以 所在直线为 轴，以 中垂线为 轴建立直角坐标系，
则 ，
设 ，即 ，
化简得 ， 点 的轨迹方程为 ，
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！设圆心为 ， ，由圆的性质可知当 过圆心时 最小，
又 ，故 得最小值为 .
故选：C.
5．在 中，角 所对应的边为 , ， ， ， 是 外接
圆上一点，则 的最大值是（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】先判断 外接圆圆心 是 的中点，将 化简为 ，再
将 分解整理得 ，结合图形，利用向量数量积的定义式进行分析，即得
的最大值.
【详解】
如图，设 的外心为 ，则点 是 的中点，
由 ，因 ，故 ,而 ，
故 当且仅当 与 同向时取等号.
故选：A.
6．在 中， ， ， ，P为 内（包含边界）的动点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意，建立平面直角坐标系，设 ，表示出 ，根据数量积的
坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得．
【详解】依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，
因为 ，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动．
设 ， ，所以 ， ，
所以
，
其中 ，
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！因为 ，所以 ，所以 ，
即 .
故选：D
7．已知 是边长为4的等边三角形，AB为圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意得 ，然后利用数量积的运算律和计算公
式计算即可.
【详解】如图所示
由图像可知 ， 与 夹角的范围为 ，
所以 ,
所以 .
故选：D.8．已知 的三个角 的对边分别为 ，且 是
边上的动点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理计算先得 ，确定 为直角三角形，再利用平面向量数量积公
式结合二次函数的性质计算即可.
【详解】由余弦定理可知 ，
所以 ，即 为直角三角形， .
设 ，则 ，
则 ，
显然 时， .
故选：D
9．在等腰 中，角A，B，C所对应的边为a，b，c， ， ，P是
外接圆上一点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正弦定理求出 外接圆半径，建立平面直角坐标系，求出三角形顶点坐
标，设 ，根据向量的坐标运算，求出 的表达式，
结合三角函数性质，即可求得答案.
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】由题意等腰 中， ， ，
故 ，设 外接圆半径为R，则 ；
以 的外接圆圆心为原点，以 的垂直平分线为y轴，
过点O作 的平行线为x轴，建立平面直角坐标系，
则 ，设 ， ，
则 ， ，
则 ，
，
故 ，
因为 ，故 ，
即 的取值范围是 ，
故选：C
10．在 中， ， ， . 为 所在平面内的动点，且 ，
若 ，则给出下面四个结论：
① 的最小值为 ； ② 的最小值为 ；
③ 的最大值为 ； ④ 的最大值为10.
其中，正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】建立以 为原点， 所在的直线分别为 轴，平面直角坐标系，设
，然后表示出 的坐标，得出 ，再逐个分析即可.
【详解】
如图，以 为原点， 所在的直线分别为 轴，建立平面直角坐标系，
则 ，因为 ，所以设 ，
则
所以 ，
则 ，即
所以 ，其中 ，
所以 ，
所以①③错误；
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，
其中 ，
所以②正确，④错误；
故选：A
题型二：平面向量与四边形综合求最值
11．已知边长为2的菱形 中，点 为 上一动点，点 满足 ，
，则 的最大值为（ ）
A．0 B． C． D．3
【答案】D
【分析】设 ，求得 ，得到 ，以 与 交点 为原点，建立平
面直角坐标系，设 ，求得 ，进而求得 的最大值为.
【详解】由 ，可得 ，
设 ，
可得
，所以 ，
因为 ，所以 ，
以 与 交点 为原点，以 所在的直线分别为 轴和 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 ， ， ，
设 ，且 ，则 ， ， ，
当 时， .
故选：D.
12． 是边长为2的正方形 边界或内部一点，且 ，则 的最大
值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】
建立坐标系，求出点的坐标，利用向量数量积的坐标公式进行求解即可．
【详解】以B为坐标原点，以BC方向为 轴正方向，以BA方向为 轴正方向建立坐标系，
则 ，设 ， ， ，
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！则 ，
因为 ，则 ，
则 ，
故当 ， 时 取得最大值为5．
另解：令 ，则 为 中点， 为 中点，则 ，
所以 ，当 为 中点时取等．
故选：C
13．在平面四边形ABCD中， ，若P为边
BC上的一个动点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，建立合适的直角坐标系，从而利用平面向量数量积的坐标表示即可得
解.
【详解】因为三角形 中， ，
所以 是边长为2的等边三角形，则
以 为 轴， 的中垂线为 轴，建立直角坐标系如图，
则 ，设 ，则 ，故 ，
显然当 时， 取得最小值 ，
故选：B.
14．如图，在平面四边形 中， 为等边三角形，当点
在对角线 上运动时， 的最小值为（ ）
A． B．-1
C． D．2
【答案】A
【分析】利用向量加法运算及数量积定义得 ，然后利用二次函
数求解最值即可，
【详解】由题意， ， ，
，所以 ，
所以 ，即 平分 ，
由 可得
14
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所以当 时， 有最小值为 .
故选：A
15．如图，在四边形 中， .若 为线
段 上一动点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到
，再求二次函数的最大值即可．
【详解】以 为原点， ， 所在直线分别为 ， 轴建立平面直角坐标系，
则 ， ， ， ，
设 ，其中 ，
则 ， ，
，
当 时， 有最大值6．
故选：C．16．在边长为4的正方形 中，动圆Q的半径为1、圆心在线段 （含端点）上运动，
点P是圆Q上及其内部的动点，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据数量积的几何意义，结合图形关系即可求解最值.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，
由数量积的几何意义可知： 等于 与 在 上的投影的乘积，
故当 在 上的投影最大时，数量积最大，此时点 在以 为圆心的圆的最上端 处，
此时投影为 ，故数量积为 ，
故当 在 上的投影最小时，数量积最小，此时点 在以 为圆心的圆的最下端 处，
此时投影为 ，故数量积为 ,
故 ，
故选：A
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17．在矩形 中， .若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的坐标运算计算数量积，由三角函数的有界性即可求解.
【详解】以 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则
,设 ，
故
所以 其中 ，
由于 ，所以 ，
故选：B
18．如图，在平面四边形ABCD中， ．若
点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则 的最小值为（ ）A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，求出相关点坐标，求得 的坐标，根据数量积的坐标
表示，结合二次函数知识，即可求得答案.
【详解】由于 ，
如图，以D为坐标原点，以 为 轴建立直角坐标系，
连接 ,由于 ，则 ≌ ,
而 ，故 ，则 ，
则 ，
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！设 ，则 ， ，
故 ，
当 时， 有最小值 ，
故选：B．
19．如图所示，矩形 的边 ， ，以点 为圆心， 为半径的圆与 交
于点 ，若点 是圆弧 （含端点 ､ 上的一点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立坐标系，表示出 的坐标，利用数量积的运算结合三角函数的性质可得答案.
【详解】以点 为原点，以直线 为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则 ， ，设 ， ，
， ，
，
，
，
，
，的取值范围是 .
故选：D.
20．如图所示，在矩形 中， ，动点 在以点 为圆心且与 相切的
圆上，则 的最大值是（ ）
A．-4 B．4 C．-1 D．1
【答案】A
【分析】先根据条件求得 到 的距离 ，再把所求转化为 ，
进而求得答案.
【详解】在矩形 中， ，动点 在以 为圆心，且与 相切的圆上，
所以 ，
如图所示，连接 ,设 到 的距离为 ，则 ，
则 ，
其中 ， ，
20
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！当且仅当 与 同向时，等号成立，
所以 ，
即 的最大值为 .
故选：A.
题型三：平面向量与圆综合求最值
21．在矩形 中， ，点 是线段 上一点，且满足 .在平面
中，动点 在以 为圆心，1为半径的圆上运动，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解.
【详解】以 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，
动点 在以 为圆心，1为半径的圆上运动，故设 ，
则 ,
，其中锐
角 满足 ，故 的最大值为 ,
故选：A22．设 ，已知圆 ，圆 ，过圆
上任意一点 作圆 的两条切线 ， ，切点分别为 ， ，则 的最大值为
（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【分析】设 ，可得出 ，利用三角函数的定义以及平面向量数量积的
定义可得出 ，利用圆的几何性质求得 的取值范围，结合双
勾函数的单调性可求得 的最小值.
【详解】设 ，则 ，
由切线长定理可得 ， ， ，
22
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圆心 的坐标为 ，则 ，
由图可得 ，即 ，则 ，
由双勾函数的单调性可知，函数 在区间 上单调递增，
所以，当 时， 取得最小值 .
故选： .
23．已知点A、B、C在圆 上运动，且 ，若点 的坐标为 ，则
的最大值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】由题意可得 为直径，且 ，当 共线且方向相同时模长最长，即可得出答案.
【详解】因为 ，所以 为直径且过原点， 的中点为原点 ，
所以由平行四边形法则可得： ，
所以 ，
所以当 共线且方向相同时模长最长，即当 运动到 时，
取得最大值为 .
故选：C.
24．如图，圆 和圆 外切于点 ， ， 分别为圆 和圆 上的动点，已知圆 和圆
的半径都为1，且 ，则 的最大值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】由 ，化简得到
，两边平方化简可得：
24
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，由 化简即可得到答案.
【详解】
，
所以 ，
所以 ，即 ，
解得 .
.
故选：D
25．已知图中正六边形 的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，
若点P在正六边形的边上运动， 为圆O的直径，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正六边形的性质，求得内切圆和外接圆的半径，再化简得到
，结合 即可得解.
【详解】由正六边形 的边长为4，圆 的圆心为正六边形的中心，半径为1，所以正六边形 的内切圆的半径为 ，
外接圆的半径为 ，
因为
，
又 ，即 ，可得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：B.
26．已知圆 半径为2，弦 ，点 为圆 上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 的最大值为6
C． D．满足 的点 有一个
【答案】B
【分析】A选项，得到 为等边三角形，根据投影向量的概念进行求解；B选项，作
出辅助线，数形结合得到当点 与点 重合时， 取得最大值，利用投影向量的概
念求出最大值；C选项，作出辅助线，数形结合得到 ；
D选项，考虑其中一个向量为零向量及垂直关系得到点 有2个.
【详解】A选项，圆 半径为2，弦 ，故 为等边三角形，
26
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！取 的中点 ，连接 ，则 ⊥ ，
由数量积公式及投影向量可得 ，A错误；
B选项，过点 作 平行于 ，交圆与点 ，
过点 作 ⊥ ，交延长线于点 ，连接 ，
则四边形 为菱形，
由投影向量可知，当点 与点 重合时， 取得最大值，
此时 ，
故 的最大值为 ，B正确；
C选项， ，
因为四边形 为菱形，所以 ，且 ，
因为 为定值，
故当 与 平行且方向相同时， 取得最大值，最大值为 ，
当 与 平行且方向相反时， 取得最小值，最小值为 ，故 ，C错误；
D选项，因为点 为圆 上任意一点，故当 重合时， ，
又当 ⊥ 时，满足 ，
故满足 的点 有2个，D错误.
故选：B
27．如图，正六边形的边长为 ，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在
正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则 的取值范
围为（ ）
A． B．[5,7] C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得 ，再由
的范围，即可得到结果.
【详解】由题意可得，
，
当 与正六边形的边垂直时， ，
28
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！当点 运动到正六边形的顶点时， ，
所以 ，则 ，即 .
故选：B
28．已知圆O的半径为2，弦 的长为2，C为圆O上一动点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出辅助线，得到 ，数形结合得到 的最值，从而得到答案.
【详解】取 的中点 ，连接 ，
则 ，故 ，
设直线 与圆分别交于点 ， ，
因为圆O的半径为2，弦 的长为2，故 为等边三角形，故 ，
显然当 与 重合时， 取得最小值，最小值为 ，
当当 与 重合时， 取得最大值，最大值为 ，
故 .
故选：D
29．在平面直角坐标系 中，已知P是圆 上的动点，若，则 的最小值为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【分析】先根据 ，再根据圆的性质求 的最小值即可.
【详解】 ，当且仅当P在线段CO上时等
号成立.
故选：B.
30．已知 是半径为2的圆上的三个动点，弦 所对的圆心角为 ，则
的最大值为（ ）
A．6 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】将 中向量进行分解，即： ，
由 是 的中点，可将上式进行化简整理为 ，所以只需求 最大，即
的长加圆的半径即可，然后代入即可求得 的最大值.
【详解】因为弦 所对的圆心角为 ，且圆的半径为2，所以 ，
取 的中点 ，所以 ， ，如图所示：
30
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！因为 ,
因为 是 的中点，所以 ，
，
所以若 最大，所以只需 最大，
所以 ，
所以 .
故选：A
1．已知直角梯形 中， 是腰 上的动点，则
的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线 ， 分别为 ， 轴建立平面直角坐标
系，写出点 、 、 和 的坐标，设出点 ，根据向量模的计算公式，利用完全平方式
非负，即可求得其最小值.
【详解】如图，以直线 ， 分别为 ， 轴建立平面直角坐标系，
则 ， ， ， ，
设 ， ，则 ， ， ，
，
即当 时，取得最小值5.
故选：D
2．已知平面向量 ， ， ，且 ， .已知向量 与 所成的角为60°，且
对任意实数 恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】 对任意实数 恒成立，两边平方，转化为二次函数的恒成立问题，
用判别式来解，算出 ，借助 ，得到 ， 的最小值
转化为 的最小值，最后用绝对值的三角不等式来解即可
【详解】根据题意， ，
，两边平方 ，整理得到
，
32
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！对任意实数 恒成立，则 ，解得 ，则 .
由于 ，如上图， ，则
，则 的最小值为 ．
当且仅当 终点在同一直线上时取等号.
故选：B．
3．如图，已知正方形 的边长为2，若动点 在以 为直径的半圆上（正方形
内部，含边界），则 的取值范围为（ ）
A．[0,2] B．[0,4] C． D．[0,1]
【答案】B
【分析】取 中点 ，连接 ，求出 的取值范围，再根据
结合数量积的运算律求解即可.
【详解】取 中点 ，连接 ，因为 是边长为2的正方形，动点 在以 为直径的半圆上，
所以当 在 点或 点时， 取得最大值 ，
当 在弧 中点时， 取得最小值 ，
的取值范围为 ，
又因为 ， ， ，
所以
，
因为 的取值范围为 ，
所以 的取值范围为 ， 的取值范围为[0,4]，
故选：B
4．已知直线 过定点 ，且与圆 相交于 两点，则（ ）
A．点 的坐标为 B． 的最小值是
C． 的最大值是0 D．
【答案】ACD
【分析】将直线 的方程化简为点斜式，判断出A项的正误；根据 时 被圆 截得弦
34
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！长最短，算出 的最小值，从而判断出B项的正误；
利用平面向量数量积的定义与运算性质，结合圆的性质求出 的最大值与 的
大小，从而判断出CD两项的正误．
【详解】根据题意，圆 的圆心为 ，半径 ．
对于A，直线 ，可化为 ，
所以直线 经过点 ，斜率为 ，
因此直线 过定点 ，A项正确；
对于B，当 时，直线 到圆心 的距离 达到最大值，
此时 ，可知 的最小值是 ，故B项不正确；
对于C，
，由于 的最小值是 ，此时 取最大值，故最大值为0，故
C项正确；
对于D，设 的中点为 ，连接 ，则 ，可得
，故D项正
确．
故选：ACD．
5．已知 是边长为2的正六边形 内一点（不含边界），且 ，
则下列结论正确的是（ ）
A． 的面积为定值
B． 使得
C． 的取值范围是
D． 的取值范围是
【答案】AC
【分析】根据题中向量等式，可推得 ，所以 在正六边形 的对角
线 上运动，，由此判断A选项，根据正六边形的轴对称性，可判断B，观察图形，结合
解三角形的知识加以计算，可判断C、D.
【详解】由 可得 ，即 ，
所以 在正六边形 的对角线 上运动，
对于A，因为 ，即点 到 的距离 为定值，
所以 的面积 为定值，A正确；
36
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！对于B，因为正六边形 关于直线 对称，所以不论 在何处，总有 ，
即不存在 ，使得 ，B错误；
对于C，根据图形的对称性，当 为 中点时， 达到最大值，
当 与 或 重合时， 达到最小值，
故 的取值范围是 ，C正确；
对于D，因为正六边形边长为2，所以平行线 ， 的距离 ，
当 与点 在 上的射影重合时， 有最小值 ，
可见 的取值范围不是 ，D错误；
故选：AC
6．在边长为1的正方形 中，点 为线段 的三等分点， 为线段 上
的动点， 为 中点，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】解法一：根据平面向量线性运算及数量积的定义即可求解；解法二：建立直角坐
标系，由向量数量积的坐标运算公式即可求解．
【详解】解法一：由题意可知： ，
因为 为线段 上的动点，设 ，
则 ，
又因为 为 中点，则 ，可得
，
又因为 ，可知：当 时， 取到最小值 ．
解法二：以 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则 ，
可得 ，
因为点 在线段 上，设 ，
且 为 中点，则 ，
可得
则 ，且 ，
所以当 时， 取到最小值为 ．
故答案为： ．
38
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7．如图，在等腰直角 中， ， ， 为 的中点，将线段 绕点
旋转得到线段 设 为线段AB上的点，则 的最小值为 ．
【答案】−2
【分析】引入参数 ，利用向量数量积的运算律将所求式子表示为 的函数即可求解.
【详解】连接 ， ， ，因为 ， 为 ， 的中点，
所以四边形 为矩形，则 ， ， ．
设 ，则
，当且仅当 时，取等号，
所以 的最小值为−2．
故答案为：−2.
8．在梯形 中， ，梯形 外接圆圆心为
，圆上有一个动点 ，求 的取值范围 ．【答案】
【分析】根据单位向量的概念与数量积的定义，求出 ，结合在梯形 中，
，和圆内接四边形对角互补，可得梯形 为等腰梯形，且AB中点为梯形
的外接圆圆心，再建立平面直角坐标系进行求解即可.
【详解】
由 ，得 ，则 ，
又在梯形 中， ，则 ，
结合圆内接四边形对角互补可得 ，所以梯形 是等腰梯形．
又 ，取 中点 ，可得， ，
即为梯形 外接圆圆心 ，
所以，梯形 外接圆以 为圆心，2为半径的圆.
以 所在的直线为 轴， 的中垂线为 轴，建立平面直角坐标系，如图：
设 是 角的终边，又因为点 在圆 上，所以 ，即
又A(−2,0)， ，
，
由 ，则 ，故 ．
40
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故答案为：
9．在长方形ABCD中， ， ，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端
点），且 ，设 ， ，则 的最小值为 .
【答案】50
【分析】根据向量的线性运算以及数量积的运算律可得 ，进而根据模
长公式得 ，利用三角换元，即可结合三角恒等变换即可求解.
【详解】
＝
＝ ，
由 ，得 ，即 ，
即 ，即 ，
设 ，
则 ，
（其中 ），
当 时，即 时， 取到最小值50，即 的最小值50，
故答案为：5010．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 ．
(1)求角B的大小；
(2)若 ，且 ，求 的面积；
(3)如图，过点A作BC的平行线AP，且 ，在四边形ABCP中， ，
动点E，F分别在线段BC，CP上运动，且 ，求 的最小值．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，即可求解;
（2）利用余弦定理求出 ，在利用面积公式即可求解；
（3）建立坐标系，根据平面向量得坐标表示，表示出 两点以后，即可求解.
【详解】（1）因为 ，
所以由正弦定理得 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ；
（2）因为 ，且 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，或 （舍），
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 的面积 ；
（3）以A为坐标原点，AP所在直线为x轴，垂直AP的直线为y轴建立平面直角坐标系，
则 ，由 得 ，
因为 ，所以设 ，
由 得 ，
由 得 ，
所以
，
当 时， 取得最小值，最小值为 ，
所以 的最小值为
