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专题 04 简单的三角恒等变换
目录
题型一： 三角函数式的化简...........................................................................................................2
题型二： 二倍角公式在求值中的应用——给值求值..................................................................4
题型三： 二倍角公式在求值中的应用——给角求值..................................................................6
题型四： 三角恒等变换的应用.......................................................................................................8
知识点总结
知识点一、二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S ：sin 2α＝ 2sin α cos α .
2α
(2)公式C ：cos 2α＝ cos 2 α － sin 2 α ＝ 2cos 2 α － 1 ＝ 1 － 2sin 2 α .
2α
(3)公式T ：tan 2α＝.
2α
知识点二、常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝2.(升幂公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)
例题精讲
题型一：三角函数式的化简
【要点讲解】(1)从幂、名称及角的差异三个方面对所给的三角函数式进行适当的变形,结合
所给的“形”的特征求解.(2)常用技巧:弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂或升幂等.
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律.
【例1】（2023•湖南模拟）已知 是直线 的倾斜角，则
的值为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知 ， 为锐角），
，
．
故选： ．
【变式训练1】（2023春•肥城市期中）已知 ，则 的值是
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，即 ，
则
故选： ．
【变式训练2】（2023春•岳麓区校级月考）若 ，则A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
故选： ．
【例2】（2023春•淮安区月考）计算求值：
（1） ；
（2） ．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 原 式
；
（2）原式
．
【变式训练1】（2023春•沈河区校级月考）化简求值：（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
题型二：二倍角公式在求值中的应用——给值求值
【要点讲解】(1)“变角”,使相关角相同或具有某种关系,结合相应的公式求解,一般地已知条件中含 的三角函数值;
(2)求2α的三角函数值时,要注意 型诱导公式的应用.
【例3】（ 2023 春 • 镇 巴 县 期 末 ） 已 知 锐 角 满 足 ， 则
A． B． C． D．
【解答】解：因为 且 为锐角，
所以 ，
解得 ，
则 ．
故选： ．
【变式训练1】（2023•安阳三模）已知 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
又 ，解得 ，
所 以故选： ．
【变式训练2】（ 2023 春 • 宁 波 期 中 ） 已 知 为 第 三 象 限 角 ， ， 则
A． B． C． D．
【解答】解： 为第三象限角， ，则 ，
故 ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练3】（ 2022• 沈 阳 模 拟 ） 已 知 ， 则
A． B． C． D．
【解答】解：已知 ，整理得 ，
所以 ， ，
故 ．
故选： ．
（2023春•河南月考）已知 ，则 的值为
A． B． C．3 D．【解答】解：因为 ，
所以 ，
则 ．
故选： ．
题型三：二倍角公式在求值中的应用——给角求值
【要点讲解】明确所给角与特殊角的关系,正用、逆用倍角公式及和差公式消去非特殊角.
切弦共存时,需将切化弦
【例4】（2023春•阜宁县期中）已知 ，化简 的结果
是
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以
．
故选： ．
【变式训练1】化简 的结果是
A． B． C． D．
【解答】解：原式 ．故选： ．
计算 的值是
A．1 B． C． D．
【解答】解： ．
故选： ．
【变式训练2】（2023春•永昌县校级期中）下列化简正确的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：对于 ， ，故
不正确；
对于 ， ，故 不正确；
对于 ， ，故 正确；
对于 ，根据同角平方关系可得， ，故 不正确．
故选： ．
【变式训练3】（2023春•如东县期中）求 的值为
A． B． C． D．
【 解 答 】 解 ：故选： ．
题型四：三角恒等变换的应用
【要点讲解】形如 (其中f(x)表示正弦或余弦)型的化简
问题,主要是逆用二倍角的正、余弦公式及辅助角公式,将所给函数化为只含一个角的一种三
角函数形式.
【例5】（ 2022 秋 • 佛 山 期 末 ） 从 ① ， ② ， ③
，三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，再回答后面两个小问．
已知 ，且满足_____．
（1）判断 是第几象限角；
（2）求值： ．
【解答】解：（1）若选① ，
两边同时平方得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ， ，
故 为第二象限角；
（2）由（1）得 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 ；
（1）若选② ，
两边同时平方得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ， ，
故 为第二象限角；
（2）由（1）得 ，
所以 ，
所以 或 ，
所以 ；
（1）若选③ ，
则 ，
因为 ，
故 为第二象限角；
（2） ．
【变式训练1】（2022•沈北新区校级开学）（1）在条件① ；②；③ 中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．
已知角 为锐角， 若选择 ① ， ；若选择 ② ， ；若选择 ③ ， ．求角
的大小；
（ 2 ） 是 否 存 在 角 和 ， 当 ， ， 时 ， 等 式
同时成立？若存在，则求出 和 的值；若不存在，请说明
理由．
【解答】解：（1）若选择①，
由于 ，可得 ，可得 ，即
，
因为 为锐角，
可得 ；
若选择②，
由于 ， ，可得 ，解得
或 （舍去），
因为 为锐角，可得 ．
若选择③，
因为 ，可得 或 ，
因为 为锐角， ，可得 ，可得 ；（2）存在 ， 使等式同时成立．理由如下：
由条件得 ，
两式平方相加得， ，
，即 ，
， ，
或 ，
将 代入②，得 ，
又 ，
，代入①可知，符合，
将 代入②得 ，代入①可知，不符合，
综上可知 ， ．
【变式训练2】（2022秋•和平区校级月考）已知 ．
（1）化简 ；
（2）若 是第三象限角，且 ，求 ；
（3）若角 是 的内角，且 ，求 的值．【解答】解：（1）
；
（2）若 是第三象限角，且 ，即 ，
即有 ， ，
所以 ；
（3）若角 是 的内角，且 ，即 ，
， ，
所以 ．
【变式训练3】（ 2021 秋 • 下 城 区 校 级 期 末 ） （ 1 ） 化 简
．
（2）已知关于 的方程 的两根为 和 ， ．求实数 以及
的值．
【解答】解：（1）原式 ；
（2）由已知得 ， ，
所以 ，结合 ，
得 ，故 ，故 ；，结合 ，
得 ．
【变式训练4】（ 2022 秋 • 和 平 区 校 级 期 中 ） 已 知 函 数
， ．
（1）化简 ；
（2）若 ， ，求 的值．
【解答】解：（1） ，
所 以 ， ， ， ，
，
所以 ，．
即 ．
法二： ，
， ， ， ，
直接第一个根号内分子分母同乘 ，第二个根号内分子分母同乘 ，
．
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，
，
所以 ．
即 ．课后练习
一．选择题（共6小题）
1．（2023•三明三模）角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边不在坐
标轴上，终边所在的直线与圆 相交于 ， 两点，当 面积最
大时
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得，圆 的半径为 ，圆心
，
故 面积 ．
当 面积最大时， ，此时， ，点 到直线 的距离为
．
而直线 的方程为 ，即 ．
根据点到直线的距离公式可得 ，求得 ，
故 ．
故选： ．
2．（2023•南充模拟）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经
过点 ，则A． B． C． D．
【解答】解：由题意得 ，
所以 ．
故选： ．
3．（2023•鼓楼区校级模拟）已知角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，
它的终边过点 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得 ，
．
故选： ．
4．（2023春•番禺区期末）已知函数 ，则
A． 在 上单调递减
B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递增
D． 在 上单调递减
【解答】解： ，周期 ，
的单调递减区间为 ， ，单调递增区间为 ， ，
对于 ， 在 ， 上单调递增，故 错误，
对于 ， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，故 错误，对于 ， 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，故 错误；
对于 ， 在 上单调递减，故 正确．
故选： ．
5．（2023•南关区校级模拟）若 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
故选： ．
6．（2022秋•宝鸡期末）
A． B． C． D．
【解答】解：原式 ．
故选： ．
二．多选题（共2小题）
7．（2022•南京模拟）下列式子正确的是
A．B．
C．
D．
【解答】解：对 ；
对 ；
对 ：因为 ，
所以 ；
对 ：因为 ，
所以 ．
故选： ．
8．（2021春•十堰期末） 中，内角 ， 的对边分别为 ， ，则下列能成为“
”的充要条件的有
A． B． C． D．
【解答】解：在 中，
对于 ，由正弦定理得， ，故 正确；
对于 ， ， 在 上单调递减， 、 ，
故 正确；
对 于 ， ， 即
，故 正确；
对 于 ， 不 能 推 出 ， 如 ， 时 满 足 ， 但
，故 错误；
故选： ．三．填空题（共4小题）
9．（2023•松江区二模）已知 ，且 ，则 ．
【解答】解：因为 ，且 ，
所以 ，可得 ，
则 ．
故答案为： ．
10．（2021秋•武汉期末）已知 为第四象限的角， ，则
．
【解答】解： ，①
两边平方得： ，
，
为第四象限角，
， ， ．
，②
① ②可解得： ，
．故答案为： ．
11．（2023•沙坪坝区校级模拟）若 ，则 ．
【解答】解： ，
．
故答案为： ．
12．（2022秋•沙坪坝区校级月考）已知锐角 满足 ，则
．
【解答】解： ，
，
得 ，两边平方得 ，解得 ．
故答案为： ．
四．解答题（共3小题）
13．（2021春•广安期末）已知 ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．【解答】解：（1） ， ， ，
．
（2） ．
14 ． （ 2021 春 • 河 南 期 末 ） 已 知 是 第 二 象 限 角 ， 且
．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【解答】解：（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ．
因为 是第二象限角，
所以 ， ，
所以 ．
（2） ，
由（1）可知 ，
所以 ．
15．（2022春•润州区校级期中）（1）已知 ， ，求 ， ，
；（2）已知 ，求 ．
【解答】解：（1） ， ， ，
， ，
， ．
（2） ，
．
