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第6讲 正弦定理和余弦定理
最新考纲 考向预测
以利用正弦、余弦定理解三角
形为主，常与三角函数的图象
命题趋 和性质、三角恒等变换、三角
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一 势 形中的几何计算交汇考查，加
些简单的三角形度量问题. 强数形结合思想的应用意识．
题型多样，中档难度.
核心素
逻辑推理、数学运算
养
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
a2＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos __A；
＝＝＝2R
内容 b2＝ c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos __B；
(R为△ABC外接圆半径)
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos __C
(1)a＝2Rsin A，b＝ 2 R sin __B，c＝ 2 R sin __C；
cos A＝；
(2)a∶b∶c＝sin__ A ∶ sin __ B ∶ sin __C；
变形 cos B＝；
(3)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝
cos C＝
csin A
2.△ABC的面积公式
(1)S ＝a·h(h表示边a上的高)．
△ABC
(2)S ＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
△ABC
(3)S ＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径).
△ABC
3．三角形解的判断
A为钝角
A为锐角
或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b解的
一解 两解 一解 一解
个数
[注意] 上表中A为锐角时，a<bsin A，无解．
A为钝角或直角时，a＝b，a<b均无解．
常用结论
1．在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B a>b sin
A>sin B cos A<cos B.
⇔ ⇔
2．三角形中的三角函数关系
⇔
(1)sin(A＋B)＝sin C.
(2)cos(A＋B)＝－cos C.
(3)sin＝cos .
(4)cos＝sin .
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；
b＝acos C＋ccos A；
c＝bcos A＋acos B.
常见误区
1．在△ABC中，已知a，b和A，利用正弦定理时，会出现解的不确定性，应注
意根据“大边对大角”来取舍．
2．在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因
式，以免漏解．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( )
(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.( )
(3)在△ABC中的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A＝60°，a2＝bc，则sin
Bsin C＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D.因为a2＝bc，所以sin2A＝sin Bsin C．因为A＝60°，所以sin Bsin C＝sin2A＝.故选D.
3．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，sin A＝，
cos C＝，则下列结论正确的是( )
A．cos A＝± B．B＝
C．b＝ D．△ABC的面积为7
解析：选BC.由sin A＝，得cos A＝±，由cos C＝，得sin C＝，若cos A＝－，则
sin B＝sin(A＋C)＝－＜0，与sin B＞0矛盾，故cos A＝，A错误，则sin(A＋C)＝，
由sin A＝，cos C＝，得A＞，C＞，所以A＋C＞，所以A＋C＝，故B＝，B正确．由
正弦定理＝，得b＝，C正确，所以△ABC的面积为×4××＝7，D错误．
4．(易错题)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝
3，则A＝________．
解析：由题意得，＝，即sin B＝＝＝，结合b＜c可得B＝45°，则A＝180°－B
－C＝75°.
答案：75°
利用正、余弦定理解三角形
(2020·高考天津卷节选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
已知a＝2，b＝5，c＝.
(1)求角C的大小；
(2)求sin A的值．
【解】 (1)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，b＝5，c＝，有cos C＝＝.又因为
C∈(0，π)，所以C＝.
(2)在△ABC中，由正弦定理及C＝，a＝2，c＝，可得sin A＝＝.
(1)正、余弦定理的选用
①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其
他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；
②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其
他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以
其解也是唯一的．(2)三角形解的个数的判断
已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角
该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判
断．
1．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
解析：选C.由正弦定理得＝，
所以sin B＝＝＝>1.
所以角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
2．(2020·广东省七校联考)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
已知2bsin 2A＝3asin B，且c＝2b，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由2bsin 2A＝3asin B，及正弦定理可得4sin Bsin Acos A＝3sin Asin
B．由于sin A≠0，sin B≠0，所以cos A＝，又c＝2b，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2
＋4b2－2b×2b×＝2b2，所以＝，故选B.
3．(2019·高考全国卷Ⅰ改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设
(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求C.
解：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2
＝bc.
由余弦定理得cos A＝＝.
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，
即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－.
由于0°＜C＜120°，所以C＋60°＝135°，
即C＝75°.判断三角形的形状
(1)(一题多解)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos
C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
(2)在△ABC中，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为________．
【解析】 (1)方法一：因为bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a，所以asin A＝a即
sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形．
方法二：因为bcos C＋ccos B＝asin A，
所以sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2 A，
即sin(B＋C)＝sin2 A，所以sin A＝sin2 A，
故sin A＝1，即A＝，因此△ABC是直角三角形．
(2)因为c－acos B＝(2a－b)cos A，所以由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin
Acos A－sin Bcos A，
所以sin(A＋B)－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
故cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin A＝sin B，
即A＝或A＝B，
故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
【答案】 (1)A (2)等腰三角形或直角三角形
【引申探究】 (变条件)若将本例(1)条件改为“2sin Acos B＝sin C”，试判断
△ABC的形状．
解：方法一：由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin
B，即sin(A－B)＝0，因为－π<A－B<π，所以A＝B，故△ABC为等腰三角形．
方法二：由正弦定理得2acos B＝c，再由余弦定理得
2a·＝c a2＝b2 a＝b，
故△ABC为等腰三角形．
⇒ ⇒
判定三角形形状的两种常用途径[提醒] “角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；
“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角
的关系．
1．在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，那么△ABC是( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．非钝角三角形
解析：选B.因为a∶b∶c＝3∶5∶7，所以可设a＝3t，b＝5t，c＝7t，由余弦定
理可得cos C＝＝－，所以C＝120°，△ABC是钝角三角形，故选B.
2．(多选)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列四个命题
中正确的是( )
A．若＝＝，则△ABC一定是等边三角形
B．若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形
C．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC一定是等腰三角形
D．若a2＋b2－c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形
解析：选AC.由＝＝及正弦定理得，＝＝，即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B
＝C，所以△ABC是等边三角形，A正确．由acos A＝bcos B及正弦定理得，sin
Acos A＝sin Bcos B，解得sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π，所以△ABC是
等腰三角形或直角三角形，B不正确．由bcos C＋ccos B＝b及正弦定理得，sin
Bcos C＋sin Ccos B＝sin B，即sin(B＋C)＝sin B，所以sin A＝sin B，则A＝B，所以
△ABC是等腰三角形，C正确．由余弦定理得，cos C＝＞0，所以角C为锐角．而
角A，B不一定是锐角，故D不正确．故选AC.
与三角形面积有关的问题
角度一 计算三角形的面积
(1)(2020·高考全国卷Ⅰ改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c.已知B＝150°.若a＝c，b＝2，则△ABC的面积为________．
(2)(2020·福建五校第二次联考)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，
已知a2＋b2－c2＝ab，且acsin B＝2sin C，则△ABC的面积为________．【解析】 (1)由题设及余弦定理得28＝3c2＋c2－2×c2×cos 150°.
解得c＝－2(舍去)，c＝2，从而a＝2.
△ABC的面积为×2×2×sin 150°＝.
(2)因为a2＋b2－c2＝ab，所以由余弦定理得cos C＝＝＝，又0＜C＜π，所以C
＝.因为acsin B＝2sin C，结合正弦定理可得abc＝2c，所以ab＝2.故S ＝absin
△ABC
C＝×2sin＝.
【答案】 (1) (2)
求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这
个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；
(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入
公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
角度二 已知三角形的面积解三角形
(2020·广州市调研检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已
知csin－asin C＝0.
(1)求角A的值；
(2)若△ABC的面积为，周长为6，求a的值．
【解】 (1)因为csin－asin C＝0，
所以由正弦定理得sin C－sin A·sin C＝0.
因为sin C>0，
所以cos A－sin A＝0，即tan A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)因为△ABC的面积为，所以bcsin A＝，得bc＝4.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2
－12，
因为△ABC的周长为6，即a＋b＋c＝6，
所以a2＝(6－a)2－12，
所以a＝2.
已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
[注意] 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数
公式的工具性作用．
1．(2020·福州市质量检测)在钝角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，
b，c.已知c＝，b＝1，若△ABC的面积为，则a的长为________．
解析：因为△ABC的面积S＝bcsin A，所以＝×1×sin A，所以sin A＝，所以
cos A＝±，当cos A＝时，由a2＝b2＋c2－2bccos A得a＝，此时△ABC为直角三角
形(舍去)；
当cos A＝－时，由a2＝b2＋c2－2bccos A得a＝，经检验，a＝符合题意．
综上，a＝.
答案：
2．(2020·合肥第一次教学检测)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，
b，c，若a＝2，acos C＋ccos A＋bcos B＝0.
(1)求B；
(2)若BC边的中线AM长为，求△ABC的面积．
解：(1)在△ABC中，＝＝，且acos C＋ccos A＋bcos B＝0，
所以sin Acos C＋sin Ccos A＋sin Bcos B＝0，
所以sin B·(1＋cos B)＝0，
又sin B≠0，所以cos B＝－.
因为B是三角形的内角，所以B＝.
(2)在△ABM中，BM＝1，AM＝，B＝，AB＝c，
由余弦定理AM2＝c2＋BM2－2c·BM·cos B，得c2＋c－4＝0，
因为c＞0，所以c＝.
在△ABC中，a＝2，c＝，B＝，
所以△ABC的面积S＝acsin B＝1.
高考新声音系列4 解三角形中的结构不良型开放型问题
新高考卷Ⅰ第17题别具匠心地设计了开放性试题，设问方式追求创新，补充
已知条件(三选一)并解答，条件不同，结论不同，不同的选择会有不同的结论，难
度也会有区别．(2020·新高考卷Ⅰ)在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一
个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不
存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin
B，C＝，________________？
【解】 方案一：选条件①.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A ＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
方案二：选条件②.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A ＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝.
由②csin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.
方案三：选条件③.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由③c＝b，与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
本题以解三角形为背景命制，给定了若干条件(在这些条件下三角形并不能
随之确定)，在此基础上让学生在另外给出的几个条件中自主选择，在所选条件下
若问题中的三角形存在，求解三角形；若问题中的三角形不存在，说明理由．
在①sin B＝，②cos B＝，③cos C＝－这三个条件中选择一个，
补充在下面的问题中，并判断三角形是否有解．若有解，求出a的值；若无解，请
说明理由．
在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足C＝2B，b＋c＝10，
________．解：若选择①sin B＝，则B＝60°或B＝120°，
因为C＝2B，所以C＝120°或C＝240°，显然矛盾，
此时三角形无解．
若选择②cos B＝，
则由正弦定理可得＝＝＝＝2cos B＝2×＝，
又b＋c＝10，所以c＝6，b＝4.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，可得16＝a2＋36－9a，
解得a＝4或a＝5.
若a＝4，则由b＝4知A＝B，
又C＝2B，所以B＋B＋2B＝180°，解得B＝45°，
这与cos B＝矛盾，舍去．
经检验知，当a＝5时适合题意．故a的值为5.
若选择③cos C＝－，
因为C＝2B，所以cos 2B＝－，
即2cos2 B－1＝－，得cos B＝，
此时＝＝＝2cos B＝＜1，所以c＜b，
这与C＝2B矛盾，
此时三角形无解．
[A级 基础练]
1．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝且
b<c，则b＝( )
A．3 B．2
C．2 D．
解析：选C.由余弦定理b2＋c2－2bccos A＝a2，得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或
b＝4，因为b<c＝2，所以b＝2.选C.
2．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，cos A＝，则
△ABC的面积为( )
A．3 B．
C．9 D．
解析：选B.因为cos A＝，则sin A＝，所以S ＝×bcsin A＝，故选B.
△ABC3．(2020·湖北八校第一次联考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，且sin B－sin A(sin C＋cos C)＝0，a＝2，c＝，则角C＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B.因为A＋C＝π－B，所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin
C，因为 sin B－sin A(sin C＋cos C)＝0，所以 cos Asin C－sin Asin C＝0，因为
C∈(0，π)，所以sin C＞0，所以cos A＝sin A，又A∈(0，π)，所以A＝，由正弦定理
得＝，又a＝2，c＝，所以sin C＝，因为a＞c，所以C＝，故选B.
4．(多选)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是( )
A．b＝7，c＝3，C＝30° B．b＝5，c＝4，B＝45°
C．a＝6，b＝3，B＝60° D．a＝20，b＝30，A＝30°
解析：选BC.对于A，因为b＝7，c＝3，C＝30°，所以由正弦定理可得sin B＝
＝＝＞1，无解；
对于B，b＝5，c＝4，B＝45°，所以由正弦定理可得sin C＝＝＝＜1，且c＜b，
有一解；
对于C，因为a＝6，b＝3，B＝60°，所以由正弦定理可得sin A＝＝＝1，A＝
90°，此时C＝30°，有一解；
对于D，因为a＝20，b＝30，A＝30°，所以由正弦定理可得sin B＝＝＝＜1，且
b＞a，所以B有两解，故选BC.
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝，a＝4，S ＝2，则
△ABC
＝( )
A． B．2
C．2 D．2
解析：选B.因为C＝，a＝4，S ＝2，所以S ＝absin ＝×4×b×＝2，解得
△ABC △ABC
b＝.由余弦定理可得c2＝b2＋a2－2bacos ＝10，c＝.由正弦定理可得＝＝＝2，故
选B.
6．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为________．
解析：因为＝，
所以sin B＝1，所以B＝90°，
所以AB＝2，所以S ＝×2×2＝2.
△ABC
答案：2
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝4，c＝2，B＝60°，则b＝________，C＝________．
解析：因为a＝4，c＝2，B＝60°，所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝16
＋4－2×4×2×＝20－8＝12，
则b＝2.
由正弦定理＝，可得sin C＝
＝＝，
因为c＜b，故C为锐角，所以C＝30°.
答案：2 30°
8．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，c＝2，且sin A＝3sin
C．AC的中点为D，则BD＝________．
解析：sin A＝3sin C．由正弦定理得，a＝3c，所以a＝6.
由余弦定理得，b2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28，
所以b＝2.
所以cos A＝＝＝－.
因为D是AC的中点，所以AD＝.
所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝22＋()2－2×2××＝13.
所以BD＝.
答案：
9．(2020·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2
＋cos A＝.
(1)求A；
(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．
解：(1)由已知得sin2A＋cos A＝，
即cos2A－cos A＋＝0.
所以＝0, cos A＝.
由于0<A<π，故A＝.
(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B－sin C＝sin A.
由(1)知B＋C＝，
所以sin B－sin＝sin.
即sin B－cos B＝，sin＝.
由于0<B<，故B＝.从而△ABC是直角三角形．
10．(2020·成都市诊断性检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2＝bc.
(1)求sin A的值；
(2)若△ABC的面积为，且sin B＝3sin C，求△ABC的周长．
解：(1)因为b2＋c2－a2＝2bccos A，
所以2bccos A＝bc，
所以cos A＝，
所以在△ABC中，sin A＝＝.
(2)因为△ABC的面积为，所以bcsin A＝bc＝，
所以bc＝6.
因为sin B＝3sin C，所以由正弦定理得b＝3c，
所以b＝3，c＝2，
所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝6，所以a＝.
所以△ABC的周长为2＋3＋.
[B级 综合练]
11．在△ABC中，已知2acos B＝c, sin Asin B(2－cos C)＝sin2＋，则△ABC为(
)
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．锐角非等边三角形
D．钝角三角形
解析：选B.将已知等式2acos B＝c利用正弦定理化简得2sin Acos B＝sin C，
因为sin C＝sin＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，
即sin Acos B－cos Asin B＝sin(A－B)＝0，
因为A与B都为△ABC的内角，
所以A－B＝0，即A＝B.
因为sin Asin B(2－cos C)＝sin2＋，
所以sin Asin B(2－cos C)＝(1－cos C)＋＝1－cos C，
所以－(2－cos C)＝1－cos C，
所以－(－cos C－1)(2－cos C)＝1－cos C，
即(cos C＋1)(2－cos C)＝2－cos C，
整理得cos2C－2cos C＝0，即cos C(cos C－2)＝0，所以cos C＝0或cos C＝2(舍去)，所以C＝90°，则△ABC为等腰直角三角形，故选B.
12．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝ccos A，角A
的平分线交BC于点D，AD＝1，cos A＝，则以下结论正确的是( )
A．AC＝ B．AB＝8
C．＝ D．△ABD的面积为
解析：选ACD.在△ABC中，根据余弦定理得，cos A＝＝，即b2＋a2＝c2，所以
C＝，由二倍角公式得cos∠BAC＝2cos2∠CAD－1＝，解得cos∠CAD＝.
在Rt△ACD中，AC＝ADcos∠CAD＝，故选项A正确；
在Rt△ABC中，cos∠BAC＝＝，解得AB＝6，故选项B错误；＝＝，则＝＝，
故选项C正确；
在△ABD中，由cos∠BAD＝得，sin∠BAD＝，所以S ＝AD·AB·sin∠BAD
△ABD
＝×1×6×＝，故选项D正确．
13．(2020·沈阳市教学质量监测(一))△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，已知acos B＋bcos A＝ac，sin 2A＝sin A.
(1)求A及a；
(2)若b－c＝2，求BC边上的高．
解：(1)因为acos B＋bcos A＝ac，
所以由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos A＝asin C，
所以sin(A＋B)＝asin C，又A＋B＝π－C，所以sin C＝asin C，又sin C＞0，
所以a＝.
因为sin 2A＝sin A，所以2sin Acos A＝sin A，又sin A＞0，所以cos A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由(1)及余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得b2＋c2－bc＝7.
将b＝c＋2，代入b2＋c2－bc＝7，得c2＋2c－3＝0，
解得c＝1或c＝－3(舍去)，所以b＝3.
因为＝，所以sin C＝＝，
设BC边上的高为h，则h＝bsin C＝.
14．在①(2a＋b)sin A＋(2b＋a)sin B＝2csin C，②a＝csin A－acos C，③△ABC
的面积S ＝(a2＋b2－c2)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，作为问
△ABC题的条件，再解答这个问题．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝，且________，探究三角
形ABC的周长l是否存在最大值？若存在，求出l的最大值；若不存在，说明理由
解：若选①，因为(2a＋b)sin A＋(2b＋a)sin B＝2csin C，
所以由正弦定理可得(2a＋b)a＋(2b＋a)b＝2c2，
即a2＋b2－c2＝－ab，所以cos C＝＝－，
因为C∈(0，π)，所以C＝.
又c＝，所以由正弦定理可得＝＝＝2，所以a＝2sin A，b＝2sin B，
则l＝a＋b＋c＝2sin A＋2sin B＋＝2sin A＋2sin＋＝sin A＋cos A＋＝2sin＋，
因为0＜A＜，所以2＜2sin＋≤2＋，
即△ABC的周长l存在最大值，且最大值为2＋.
若选②，因为a＝csin A－acos C，
所以由正弦定理可得sin A＝sin Csin A－sin Acos C，
因为sin A≠0，所以sin C－cos C＝1，
所以sin＝，又0＜C＜π，故C＝，
又c＝，所以由正弦定理可得＝＝＝2，所以a＝2sin A，b＝2sin B，
则l＝a＋b＋c＝2sin A＋2sin B＋＝2sin A＋2sin＋＝3sin A＋cos A＋＝2sin
＋，
因为0＜A＜，所以2＜2sin＋≤3，
即△ABC的周长l存在最大值，且最大值为3.
若选③，因为△ABC的面积S ＝(a2＋b2－c2)，
△ABC
所以absin C＝(a2＋b2－c2)，所以sin C＝×，
由余弦定理可得sin C＝cos C，即tan C＝，
又因为0＜C＜π，故C＝，
又c＝，所以由正弦定理可得＝＝＝2，所以a＝2sin A，b＝2sin B，
则l＝a＋b＋c＝2sin A＋2sin B＋＝2sin A＋2sin＋＝2sin＋，
因为0＜A＜，所以2＜2sin＋≤3，
即△ABC的周长l存在最大值，且最大值为3.
[C级 创新练]
15．(2020·河南豫南九校联考)我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三
边求三角形面积的“三斜求积”公式．设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别
为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝.若a2sin C＝2sin A，(a＋c)2＝6＋b2，则用“三斜求积”公式求得的△ABC的面积为( )
A． B．1
C． D．
解析：选C.因为a2sin C＝2sin A，所以a2c＝2a.又a＞0，所以ac＝2.
因为(a＋c)2＝6＋b2，所以a2＋c2＋2ac＝6＋b2，所以a2＋c2－b2＝6－2ac＝6－
4＝2.所以△ABC的面积为S＝＝.故选C.
16．(2020·山东潍坊月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，
依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是( )
A．a，b，c依次成等差数列
B.，，依次成等差数列
C．a2，b2，c2依次成等差数列
D．a3，b3，c3依次成等差数列
解析：选ABD.在△ABC中，若，，依次成等差数列，则＝＋.所以＝＋.利用正
弦定理和余弦定理得，2·＝＋，整理得2b2＝a2＋c2，即a2，b2，c2依次成等差数列．
此时对等差数列a2，b2，c2的每一项取相同的运算得到数列a，b，c或，，或a3，b3，
c3，这些数列一般都不可能是等差数列，除非 a＝b＝c.故都不一定成立．故选
ABD.
