文档内容
第6讲 正弦定理和余弦定理
最新考纲 考向预测
以利用正弦、余弦定理解三角
形为主，常与三角函数的图象
命题趋 和性质、三角恒等变换、三角
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一 势 形中的几何计算交汇考查，加
些简单的三角形度量问题. 强数形结合思想的应用意识．
题型多样，中档难度.
核心素
逻辑推理、数学运算
养
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
a2＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos __A；
＝＝＝2R
内容 b2＝ c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos __B；
(R为△ABC外接圆半径)
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos __C
(1)a＝2Rsin A，b＝ 2 R sin __B，c＝ 2 R sin __C；
cos A＝；
(2)a∶b∶c＝sin__ A ∶ sin __ B ∶ sin __C；
变形 cos B＝；
(3)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝
cos C＝
csin A
2.△ABC的面积公式
(1)S ＝a·h(h表示边a上的高)．
△ABC
(2)S ＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
△ABC
(3)S ＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径).
△ABC
3．三角形解的判断
A为钝角
A为锐角
或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin Ab解的
一解 两解 一解 一解
个数
[注意] 上表中A为锐角时，aB a>b sin
A>sin B cos A1.
所以角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
2．(2020·广东省七校联考)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
已知2bsin 2A＝3asin B，且c＝2b，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由2bsin 2A＝3asin B，及正弦定理可得4sin Bsin Acos A＝3sin Asin
B．由于sin A≠0，sin B≠0，所以cos A＝，又c＝2b，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2
＋4b2－2b×2b×＝2b2，所以＝，故选B.
3．(2019·高考全国卷Ⅰ改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设
(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求C.
解：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2
＝bc.
由余弦定理得cos A＝＝.
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，
即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－.
由于0°＜C＜120°，所以C＋60°＝135°，
即C＝75°.判断三角形的形状
(1)(一题多解)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos
C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
(2)在△ABC中，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为________．
【解析】 (1)方法一：因为bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a，所以asin A＝a即
sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形．
方法二：因为bcos C＋ccos B＝asin A，
所以sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2 A，
即sin(B＋C)＝sin2 A，所以sin A＝sin2 A，
故sin A＝1，即A＝，因此△ABC是直角三角形．
(2)因为c－acos B＝(2a－b)cos A，所以由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin
Acos A－sin Bcos A，
所以sin(A＋B)－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
故cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin A＝sin B，
即A＝或A＝B，
故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
【答案】 (1)A (2)等腰三角形或直角三角形
【引申探究】 (变条件)若将本例(1)条件改为“2sin Acos B＝sin C”，试判断
△ABC的形状．
解：方法一：由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin
B，即sin(A－B)＝0，因为－π0，
所以cos A－sin A＝0，即tan A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)因为△ABC的面积为，所以bcsin A＝，得bc＝4.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2
－12，
因为△ABC的周长为6，即a＋b＋c＝6，
所以a2＝(6－a)2－12，
所以a＝2.
已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
[注意] 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数
公式的工具性作用．
1．(2020·福州市质量检测)在钝角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，
b，c.已知c＝，b＝1，若△ABC的面积为，则a的长为________．
解析：因为△ABC的面积S＝bcsin A，所以＝×1×sin A，所以sin A＝，所以
cos A＝±，当cos A＝时，由a2＝b2＋c2－2bccos A得a＝，此时△ABC为直角三角
形(舍去)；
当cos A＝－时，由a2＝b2＋c2－2bccos A得a＝，经检验，a＝符合题意．
综上，a＝.
答案：
2．(2020·合肥第一次教学检测)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，
b，c，若a＝2，acos C＋ccos A＋bcos B＝0.
(1)求B；
(2)若BC边的中线AM长为，求△ABC的面积．
解：(1)在△ABC中，＝＝，且acos C＋ccos A＋bcos B＝0，
所以sin Acos C＋sin Ccos A＋sin Bcos B＝0，
所以sin B·(1＋cos B)＝0，
又sin B≠0，所以cos B＝－.
因为B是三角形的内角，所以B＝.
(2)在△ABM中，BM＝1，AM＝，B＝，AB＝c，
由余弦定理AM2＝c2＋BM2－2c·BM·cos B，得c2＋c－4＝0，
因为c＞0，所以c＝.
在△ABC中，a＝2，c＝，B＝，
所以△ABC的面积S＝acsin B＝1.
高考新声音系列4 解三角形中的结构不良型开放型问题
新高考卷Ⅰ第17题别具匠心地设计了开放性试题，设问方式追求创新，补充
已知条件(三选一)并解答，条件不同，结论不同，不同的选择会有不同的结论，难
度也会有区别．(2020·新高考卷Ⅰ)在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一
个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不
存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin
B，C＝，________________？
【解】 方案一：选条件①.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A ＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
方案二：选条件②.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A ＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝.
由②csin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.
方案三：选条件③.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由③c＝b，与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
本题以解三角形为背景命制，给定了若干条件(在这些条件下三角形并不能
随之确定)，在此基础上让学生在另外给出的几个条件中自主选择，在所选条件下
若问题中的三角形存在，求解三角形；若问题中的三角形不存在，说明理由．
在①sin B＝，②cos B＝，③cos C＝－这三个条件中选择一个，
补充在下面的问题中，并判断三角形是否有解．若有解，求出a的值；若无解，请
说明理由．
在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足C＝2B，b＋c＝10，
________．解：若选择①sin B＝，则B＝60°或B＝120°，
因为C＝2B，所以C＝120°或C＝240°，显然矛盾，
此时三角形无解．
若选择②cos B＝，
则由正弦定理可得＝＝＝＝2cos B＝2×＝，
又b＋c＝10，所以c＝6，b＝4.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，可得16＝a2＋36－9a，
解得a＝4或a＝5.
若a＝4，则由b＝4知A＝B，
又C＝2B，所以B＋B＋2B＝180°，解得B＝45°，
这与cos B＝矛盾，舍去．
经检验知，当a＝5时适合题意．故a的值为5.
若选择③cos C＝－，
因为C＝2B，所以cos 2B＝－，
即2cos2 B－1＝－，得cos B＝，
此时＝＝＝2cos B＝＜1，所以c＜b，
这与C＝2B矛盾，
此时三角形无解．
[A级 基础练]
1．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝且
b
