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24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
【基础训练】
一、单选题
1．如图，以点 为圆心作圆恰好与直线 相切，则与半径相等的线段是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据切线的性质可知圆的切线与过切点的半径互相垂直，进而进行选择即可得解．
【详解】
根据切线的性质可知圆的切线与过切点的半径互相垂直
∵
∴ 是与圆半径相等的线段，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．
2．如图，AB是 的直径，BC是 的切线，若 ，则 的大小为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据切线的性质，得∠ABC=90°，再根据直角三角形的性质，即可求解．
【详解】
解：∵AB是 的直径，BC是 的切线，
∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，
∵ ，
∴ =90°-35°=55°，
故选C．
【点睛】
本题主要考查切线的性质以及直角三角形的性质，掌握圆的切线的性质定理，是解题的关键．
3．如图， 是⊙O的切线，切点为 ， ， ，则⊙O的半径长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】
连接OA，根据切线的性质得 ，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出OA即可.
【详解】
解：连接OA，如图，∵ 是 的切线，切点为A，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 的半径长为2．
故选：C．
【点睛】
本题考查切线的性质，含30度角的直角三角形的性质．连接常用的辅助线是解答本题的关键．
4．如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得 并且 则这个油桶的底面半径是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据切线的性质，连接过切点的半径，构造正方形求解即可．
【详解】如图所示：
设油桶所在的圆心为O，连接OA，OC，
∵AB、BC与⊙O相切于点A、C，
∴OA⊥AB，OC⊥BC，
又∵AB⊥BC，OA=OC，
∴四边形OABC是正方形，
∴OA=AB=BC=OC=0.8m，
故选：C．
【点睛】
考查了切线的性质和正方形的判定、性质，解题关键是理解和掌握切线的性质．
5．下列判断中正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦 B．垂直于弦的直线平分弦所对的弧
C．平分弧的直径平分弧所对的的弦 D．三点确定一个圆
【答案】C
【分析】
根据垂径定理和确定圆的条件对各选项进行逐一解答即可．
【详解】
解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项错误；
B、垂直于弦的直径平分弦所对的弧，故选项错误；
C、平分弧的直径平分弧所对的的弦，故选项正确；
D、不共线的三点确定一个圆，故选项错误；
故选C．
【点睛】
本题考查的是垂径定理和确定圆的条件，解题的关键是平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
6．如图，已知⊙O上三点A、B、C，连接AB、AC、OC，切线BD交OC的延长线于点D，若OC＝2，
∠A＝30°，则DB的长为（ ）
A．4 B． C． D．1
【答案】B
【分析】
连接OB，如图，根据切线的性质得∠OBD＝90°，再根据圆周角定理得到∠BOC＝60°，然后根据含30度
的直角三角形三边的关系求BD的长．
【详解】
解：连接OB，如图所示：
∵BD为切线，
∴OB⊥BD，
∴∠OBD＝90°，
∵∠BOC＝2∠A＝2×30°＝60°，
∴BD＝ OB＝2 ．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，圆周角定理等，熟悉转化角度构造直角三角形是解题的关键．
7．两圆的圆心都是O，半径分别为 ，若 ，则点P在（ ）
A．两个圆外 B．两个圆内 C．大圆内，小圆外 D．无法确定
【答案】C【分析】
根据OP＞r，可以确定点P在小圆外；OP＜r，可以确定点P在大圆内．
1 2
【详解】
解：∵OP＞r，
1
∴点P在小圆外；
∵OP＜r，
2
∴点P在大圆内．
故选：C．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，根据点P到圆心的距离确定点P的位置是解题关键．
8．如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，且 ， 的周
长为14，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】
根据切线长定理得到AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，由△ABC的周长为14，可求BC的长．
【详解】
解： 与 ， ， 分别相切于点 ， ，
， ， ，
的周长为14，故选： ．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
9．已知 的半径为 为 外一点，则 的长可能是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d＞r即可．
【详解】
当点P是⊙O外一点时，OP＞5cm， B、C、D均不符．
故选：A．
【点睛】
考查了点与圆的位置关系，解题关键是理解确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离和半径的大
小关系．
10．已知圆 的半径为6.点 到某条直线的距离为8，则这条直线可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．直线和圆有两个公
共点，则直线和圆相交；直线和圆有唯一一个公共点，则直线和圆相切；直线和圆没有公共点，则直线和圆相离，即可得到问题选项．
【详解】
解：∵圆O的半径为6，点O到某条直线的距离为8，
∴d＞r，
∴直线与圆相离，
∴这条直线与圆没有公共点，
∴这条直线可以是 l．
2
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了直线与圆的位置关系，根据圆心距与半径关系得出位置关系是解决问题的关键．
11．已知⊙O的半径OA长为1，OB＝ ，则可以得到的正确图形可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据点到直线的距离和圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系即可
【详解】
解：∵⊙O的半径OA长1，若OB＝ ，
∴OA＜OB，
∴点B在圆外，
故选：D．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是根据数据判断出点到圆心的距离和圆的半径的大小关系，难
度不大．
12．如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（
）A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【分析】
利用切线的性质及等腰三角形的性质求出∠OAC及∠OAB即可解决问题．
【详解】
解：∵AC与⊙O相切于点A，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA．
∵∠O＝130°，
∴∠OAB＝ ＝25°，
∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
13．如图，平面上⊙O与四条直线L、L、L、L 的位置关系．若⊙O的半径为2cm，且O点到其中一条
1 2 3 4
直线的距离为2.2cm，则这条直线是（ ）
A．L B．L C．L D．L4
l 2 3【答案】C
【分析】
根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系：当d=r，则直线和圆相切；当dr，则直线和圆相离，进行分析判断．
【详解】
因为圆心O点到所求直线的距离2.2cm>半径2cm，
所以此直线和圆相离,即为直线l.
3
故选C.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，熟记圆心到直线的距离与半径关系是正确解答此题关键.
14．如图，过 上一点P作 的切线，与直径AB的延长线交于点C，点D是 上的一点，且
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
连接OP,由圆周角定理可得∠BOP的度数,由切线性质可得∠CPO的度数,即可算出∠C的度数．
【详解】
如图所示,连接OP,则∠CPO=90°．
∵∠BDP=27°,
∴∠BOP=54°,∴∠C=180°－90°－54°=36°．
故选C．
【点睛】
本题考查圆周角定理和切线性质,关键在于根据题意作出合理的辅助线,同时利用圆周角定理和切线性质进
行角度转换．
15．如图，AB是 的切线，A切点，连接OA，OB，若 ，则 的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【分析】
根据切线的性质可得 ，再根据三角形内角和求出 .
【详解】
∵AB是 的切线
∴
∵
∴
故选D.
【点睛】
本题考查切线的性质，由切线得到直角是解题的关键.
16．如图， 是 的外接圆，则点 是 的（ ）．A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
【答案】A
【详解】
解：∵ 是 的外接圆，∴点O是 的三条边的垂直平分线的交点．
17．如图，AB是☉O的直径，点C在AB的延长线上，CD切☉O于点D，若∠A=25°，则∠C的度数是（
）
A．40º B．50º C．55º D．65º
【答案】A
【分析】
连接OD，由同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半求出∠DOB的度数，再由CD为圆的切线，利用切
线的性质得到CD与OD垂直，进而求出所求角的度数．
【详解】
连接OD，如图所示：
∵∠A=25°，
∴∠DOB=50°，
∵CD为⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠C=90°-50°=40°．
故选：A．
【点睛】
考查了切线的性质和及圆周角定理，解题关键是熟练掌握切线的性质．18．如图，A为⊙O外一点，AB与⊙O相切于B点，点P是⊙O上的一个动点，若OB＝5，AB＝12，则
AP的最小值为（ ）
A．5 B．8 C．13 D．18
【答案】B
【分析】
连结OA交⊙O于点P，此时AP有最小值，直接利用切线的性质得出∠OBA=90°，进而利用直角三角形的
性质得出OA的长，则AP可求出．
【详解】
解：连接OA交⊙O于点P，此时AP有最小值，
∵AB为⊙O的切线，
∴∠OBA＝90°，
∵OB＝5，AB＝12，
∴ ＝13，
∴OP＝5，则AP＝13﹣5＝8，
故选：B．
【点睛】
本题考查切线的性质以及勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
19．已知 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，则直线 与 的位置关系为 （ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】B
【分析】已知圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，那么：当d>r时，直线与圆相离，当d=r时，直线与圆相切，
当dr时，直线
与圆相离，当d=r时，直线与圆相切，当dR+r；外切，则P=R+r；相交，则R−rr）分别表示两圆的半径．
23．如图， 、 分别与 相切于 、 ， ， 为 上一点，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由切线的性质得出∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和可求∠AOB=110°，再利用圆周角定理可求
∠ADB=55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB．
【详解】
解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵AP、BP是切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°，
∴∠ADB=55°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-55°=125°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．解题的关键是连接OA、OB，求出∠AOB．24．如图，点 ， ， 在 O上， ，过点 作 的切线交 的延长线于点 ，则
（ ）
A．30° B．56° C．28° D．34°
【答案】D
【分析】
分别求出∠AOC和∠OCD，利用三角形内角和为180°，即可求出∠D．
【详解】
解：因为CD是 的切线，
∠OCD=90°，
∵∠ABC=28°，
∴∠AOC=56°，
∴∠D=180° ∠AOC ∠OCD=34°，
故选D．
【点睛】
本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形内角和定义等内容，要求学生掌握利用圆的切线垂直于过切
点的半径和一条弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半分别求出∠OCD和∠AOC，再利用三角形的内角
和公式求出∠D的方法，本题较基础，思路也很明显，因此着重对学生基本功的考查．
25．如图，已知点 是 的外心，∠ ，连结 ， ，则 的度数是（ ）．A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
结合题意，根据三角形外接圆的性质，作 ；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案．
【详解】
的外接圆如下图
∵∠
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆、圆周角、圆心角的性质，从而完成求解．
26．如图， 为 的直径， 为 延长线上一点，过点 作 的切线 ，切点为 ，若
，则 的度数为（ ）A．30° B．35° C．40° D．450
【答案】C
【分析】
连接OD，如图，根据切线的性质得到∠ODC=90°，则可计算出∠ADO=25°，接着利用∠A=∠ADO=25°得
到∠DOC=50°，然后利用互余计算出∠C的度数即可．
【详解】
解：连接OD，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=115°-90°=25°，∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO=25°，
∴∠DOC=∠A+∠ADO=50°，
∴∠C=90°-∠DOC=90°-50°=40°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
27．如图， 与 相切于点 ， 交 于点 ，点 在 上，连接 、 ， ，若
，则 的度数为（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
【答案】B
【分析】
先根据切线的性质得到∠OAB＝90°，则利用互余可计算出∠O＝50°，然后根据圆周角定理得到∠ADC的
度数．
【详解】
解：∵AB是⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∵ ，
∴∠O＝90°−40°＝50°，
∴∠ADC＝ ∠O＝ ×50°＝25°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
28．如图，P为半径是3的圆O外一点，PA切圆O于A，若AP＝4，则OP＝（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】
连接OA，OP，切线的性质得到OA⊥AP，然后利用勾股定理计算OP的长．
【详解】
解：连接OA，OP，
∵PA切圆O与点A，
可得OA=3，OA⊥AP，
∵AP=4，
∴OP= =5，
故选D．
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径，勾股定理，熟记切线的性质是解题的关键．
29．如图， 是 的直径，过点 作 的切线 ，连接 ，与 交于点 ，点 是 上
一点，连接 ， ．若 ，则 的度数为（ ）A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】
根据切线与过切点的直径，可得BA⊥AC，可得 ABC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余可求
∠B=50°，利用圆周角性质∠B=∠AED=50°． △
【详解】
解：∵ 是 的直径，过点A作 的切线 ，
∴BA⊥AC，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠B=90°-∠C=90°-40°=50°，
∴∠AED=∠B =50°．
故选择C．
【点睛】
本题考查切线的性质，直角三角形性质，圆周角性质，掌握切线的性质，直角三角形性质，圆周角性质．
30．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A为切点，PO与⊙O相交于B点，已知∠BCA＝34°，C为
⊙O上一点，连接CA，CB，则∠P的度数为（ ）
A．34° B．56° C．22° D．28°
【答案】C
【详解】
【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可求出结果．
【解答】解：∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴∠OAP＝90°，
又∵∠BCA＝34°，
∴∠O＝2∠AOB＝68°，
∴∠P＝90°﹣∠AOB＝90°﹣68°＝22°．故选：C．
二、填空题
31．如图，已知 的半径为1，点 是 外一点，且 ．若 是 的切线， 为切点，连
接 ，则 _____．
【答案】
【分析】
根据圆的切线的性质，得 ，根据圆的性质，得 ，再通过勾股定理计算，即可得到答案．
【详解】
∵ 是 的切线， 为切点
∴
∴
∵ 的半径为1
∴
∴
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了圆、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握圆、圆的切线、勾股定理的性质，从而完成求解．
32．如图， 是 的切线， 是切点．若 ，则 ______________．【答案】130°
【分析】
由题意易得 ，然后根据四边形内角和可求解．
【详解】
解：∵ 是 的切线，
∴ ，
∴由四边形内角和可得： ，
∵ ，
∴ ；
故答案为130°．
【点睛】
本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
33．如图，圆心都在 轴正半轴上的半圆 ，半圆 ，……半圆 与直线 相切．设半圆 ，半圆 ，
……，半圆 的半径分别是 ， ，……， ，则当直线 与 轴所成锐角为 ，且 时，
____．
【答案】
【分析】过点 分别作 交l于点A，B，C，首先利用切线的性质和含30°的直角三
角形的性质求出 ，进而利用规律即可求解．
【详解】
过点 分别作 交l于点A，B，C，
∵半圆 ，半圆 ，……半圆 与直线 相切，设半圆 ，半圆 ，……，半圆 的半径分别是 ，
，……， ，
．
∵ ，
．
在 中， ，
，
．
在 中， ，，
．
同理可得 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查规律，掌握切线的性质和含30°直角三角形的性质是关键．
34．如图，从点P引⊙O的切线PA，PB，切点分别为A，B，DE切⊙O于C，交PA，PB于D，E．若
△PDE的周长为20cm，则PA=________cm．
【答案】10
【分析】
由于PA、PB、DE都是⊙O的切线，可根据切线长定理将△PDE的周长转化为切线PA、PB的长．
【详解】
解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；
∴C =PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=20(cm)；
△PDE
∴PA=PB=10(cm)，
故答案为10．
【点睛】
本题主要考查了切线长定理，能够发现△PDE的周长和切线PA、PB长的关系是解答此题的关键．
35．如图， ， 是 的切线，B，C为切点， 是 的直径，延长 交 的延长线于点 ，
连接 ．若 ，则 的度数为________．【答案】40°
【分析】
连接OC,利用圆周角定理得出∠DOC的度数，再利用直角三角形两锐角互余即可计算出结果．
【详解】
解：连接OC
∵∠DBC=25°
∴ ∠EOC=2∠DBC=50°
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°
在Rt△OCD中，∠ODC=90°-50°=40°
即∠BDC=40°
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查圆周角定理、切线的性质、直角三角形两锐角互余、熟练应用圆的有关性质定理是关键．
三、解答题
36．已知 ， ．按下列要求用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，不写作法）（1）在图①中求作一点 ，使 ，且 、 在直线 异侧；
（2）在图②中求作一点 ，使 ，且 、 在直线 同侧．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）分别以B，C为圆心，BA为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，PC即可；
（2）作△ABC的外接圆，在优弧BC上任意取一点P，连接BP，PC即可．
【详解】
（1）如图①， 即为所求；
（2）如图②， 即为所求．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
37．如图，在菱形 中， 是 上一点，且 ， 经过点 、 、 ．
（1）求证 ；
（2）求证 与 相切．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据菱形的选择得到 ， ， ，求得 ，推出
，于是得到结论；
（2）连接 ， ，根据已知条件得到 ，根据平行线的
性质得到 ，根据切线的判定定理即可得到结论．
【详解】
证明：（1） 四边形 是菱形，
， ， ，
，
， ，
，
，
，
；（2）连接 ， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
又 点 在 上，
与 相切．
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，菱形的性质，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
38．如图，是一块三角形的纸板，要从这块纸板上裁下一块圆形的用料，并使圆形用料的面积最大，请你
确定此圆的圆心O．（尺规作图，保留痕迹，不写作法和证明．）【答案】见解析
【分析】
要使用料的面积最大，所以要与三个边相切即可．
【详解】
解：分别作三角形任意两个内角的角平分线交于一点O，即，点O即为所要求圆的圆心．如下图所示：
与三角形三边都相切时圆的半径最大，
故此时圆的面积最大，点O即为所要求的圆心．
【点睛】
本题考查了尺规作图，作圆内接三角形．熟练掌握角平分线的作法是解题的关键．
39．已知 内接于 ，点D是 上一点．
（Ⅰ）如图①，若 为 的直径，连接 ，求 和 的大小；（Ⅱ）如图②，若 // ，连接 ，过点D作 的切线，与 的延长线交于点E，求 的大
小．
【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ） ．
【分析】
（Ⅰ）由圆周角定理的推论可知 ， ，即可推出
；由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出
，从而求出 ．
（Ⅱ）连接 ，由平行线的性质可知 ．由圆内接四边形的性质可求出
．再由三角形内角和定理可求出 ．从而由圆周角定理求出
．由切线的性质可知 ．即可求出 ．
【详解】
（Ⅰ） 为 的直径，
∴ ．
∵在 中， ，
∴ ；
∵ ，
∴ ．
∴ ．
（Ⅱ）如图，连接 ．∵ ，
∴ ．
∵四边形 是圆内接四边形， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ 是 的切线，
∴ ，即 ．
∴ ．
【点睛】
本题为圆的综合题．考查圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，
圆的内接四边形的性质以及切线的性质．利用数形结合的思想以及连接常用的辅助线是解答本题的关键．
40．已知： ．求作： ，使圆心 在边 上，并与 的另外两边相切．
【答案】见解析
【分析】的角平分线与BC的交点就是圆心，即可作出圆；
【详解】
解：如图所示：
以点B为圆心，任意半径画弧，与BC、BA分别交于点F、E，
以点E、F为圆心，大于 为半径画弧，两弧交点为G，
连接BG并延长，与AC交于点O，
以O为圆心， 为半径画圆即为 ．
【点睛】
本题主要考查尺规作图，角平分线的作法，理解切线的含义，正确作出圆心是关键．
41．如图， 是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线 ，点P是射线 上的动点，连接 ，过点B
作 ，交⊙O于点D，连接 ．（1）求证： 是⊙O的切线
（2）当四边形 是平行四边形时，求 的度数．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OD，证明 即可；
（2）证明四边形 是正方形，即可求解．
【详解】
（1）如图，连接OD，则
是⊙O的切线
又
在 和 中
是⊙O的切线．（2）如图，连接OD 四边形 是平行四边形
,
四边形 是平行四边形
又
四边形 是菱形
四边形 是正方形
．【点睛】
本题考查了圆的切线的性质，三角形全等的证明，平行四边形的性质与判定，正方形的性质与判定，圆的
切线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
42．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点， ，过D作⊙O的切线与AC的延长交于点E．
判断△ADE的形状并说明理由．
【答案】△ADE为直角三角形．理由见解析．
【分析】
根据同圆中相等的弧所对的圆周角相等，得出∠EAD=∠DAB，连接OD，由圆的切线性质可得
∠EDO=90°，即∠EDA+∠ADO=90°，再由∠DAO=∠ADO，等量代换出∠EAD=∠ADO，即可求出
∠E=90°．
【详解】
△ADE为直角三角形．理由如下：如图，连接OD，
∵DE与⊙O相切于点D，
∴DE⊥OD，
∴∠ADO＋∠ADE＝90°
∵ ，
∴∠CAD＝∠DAO．
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴∠CAD＋∠ADE＝90°．
在△ADE中，∠CAD＋∠ADE＋∠AED＝180°
∴∠AED＝90°，
∴△ADE为直角三角形．
【点睛】
本题考查了同圆中相等的弧所对的圆周角相等，切线的性质，解题关键是利用切线的性质得出垂直关系．
43．在等腰 中， ，过A，B两点的⊙O交射线 于点D．（1）如图1，已知 ，若点O在 上，过点D作⊙O的切线交射线 于点E，求 的度
数．
（2）如图2，已知 ． 与 交于点F，过点D作 ，交射线 于点E．求证：
是⊙O的切线．
【答案】（1）45°；（2）证明见解析
【分析】
（1）利用半径相等以及等边对等角求得 ，利用切线的性质求得 ，
再根据三角形内角和定理即可求解；
（2）利用圆周角定理求得 ，利用平行线的性质求得 ，即可证明
是⊙O的切线．
【详解】
（1）连接 ， ，
∵ ， ，∴∠ABC=∠ACB= ，∠ABO=∠BAO= ，
∴ ，
∵ 是切线，
∴ ，
∴ ，
在 中， ；
（2）连接 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的切线．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
44．如图， 为 的直径， 为半圆上一动点，过点 作 的切线 ，过点 作 ，垂足为
， 与 交于点 ，连接 ， ， ， 交 于点 ．（1）求证： ；
（2）若 ，连接 ，
①当 ______时，四边形 为菱形；
②当 ______时，四边形 为正方形．
【答案】（1）见详解；（2）①2；②
【分析】
（1）由题意易得∠D=∠AFE=90°，OA∥CD，则有∠AED=∠EAF，进而问题可求证；
（2）①由四边形 为菱形可推出 ，进而可得△AOB是等边三角形，然后问题
可求解；②由四边形 为正方形可得 ，设 ，则有： ，
进而根据勾股定理可求解．
【详解】
（1）证明：∵直线 为 的切线，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴OA∥CD，
∴∠AED=∠EAF，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴∠D=∠AFE=90°，
∵AE=AE，
∴ ；
（1）①∵四边形 为菱形， ，
∴ ，OA∥CD，
由（1）可得 ，
∴ ，
∴ ，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=2，
故答案为2；
②∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
设 ，则有： ，
∵OA=OB=2，
∴在Rt△OFB中， ，即 ，
解得： （不符合题意，舍去），
∴ ，∴ ；
故答案为 ．
【点睛】
本题主要考查切线的性质定理、正方形的性质及菱形的性质，熟练掌握切线的性质定理、正方形的性质及
菱形的性质是解题的关键．
45．如图，在 中， ， ，点 在 内部， 经过 ， 两点，交
于点 ，连接 并延长交 于 ，以 ， 为邻边作平行四边形 .
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径.
【答案】（1）见解析；（2） 的半径为12
【分析】
（1）连接OD，根据条件可知，∠COD=2∠ABC=90°，然后根据平行四边形可知点∠COD和∠DOC互补，
然后得到OD⊥DE即可证明；
（2）设 的半径为 ，根据平行四边形可知 ， ，然后在Rt△GOD中利
用勾股定理计算即可．
【详解】
解：（1）证明：连接∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴DE∥CG，
∴ ，
∴ ，即： ，
∵ 是半径，
∴直线 是 的切线，
（2）设 的半径为 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即： ，
解得： ， ，
当 时， ，此时点 在 外，不合题意，舍去，
∴ ．
答： 的半径为12．【点睛】
本题主要考查圆的相关性质应用和平行四边形性质，能够灵活的判断切线证明的方法结合平行四边形的性
质证明是解题的关键．
46．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦 交AB于点E，且ME＝3，AE＝
4，AM＝5．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的直径AB的长度．
【答案】（1）见解析（2）
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理得到∠AEM＝90°，由于 ，根据平行线的性质得∠ABC＝90°，然后
根据切线的判定定理即可得到BC是⊙O的切线；
（2）连接OM，设⊙O的半径是r，在Rt△OEM中，根据勾股定理得到r2＝32＋（4−r）2，解方程即可得
到⊙O的半径，即可得出答案．
【详解】
（1）证明：∵在△AME中，ME＝3，AE＝4，AM＝5，
∴AM2＝ME2＋AE2，
∴△AME是直角三角形，
∴∠AEM＝90°，
又∵ ，
∴∠ABC＝∠AEM＝90°，
∴AB⊥BC，
∵AB为直径，∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接OM，如图，设⊙O的半径是r，
在Rt△OEM中，OE＝AE−OA＝4−r，ME＝3，OM＝r，
∵OM2＝ME2＋OE2，
∴r2＝32＋（4−r）2，
解得：r＝ ，
∴AB＝2r＝ ．
【点睛】
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理和
勾股定理的逆定理．
47．如图，在△ABC中，
（1）尺规作图：作出△ABC的外接圆的圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接OB，OC，若∠BAC＝42°，求∠BOC．
【答案】（1）见解析；（2）84°
【分析】
（1）作线段AB，BC的垂直平分线交于点O，即为所求作．
（2）利用圆周角定理解决问题即可．
【详解】解：（1）如图，⊙O即为所求作．
（2）∵∠BOC＝2∠BAC，∠BAC＝42°，
∴∠BOC＝84°．
【点睛】
本题考查尺规作图、外接圆的圆心、圆周角定理，熟练使用定理是关键．
48．已知 分别与 相切于点 为 上一点．
（1）如图①，若 ，求 的大小；
（2）如图②，若四边形 为菱形，求 的大小．
【答案】（1）80°；（2）60°
【分析】
（1）连接 ， ，根据切线的性质得到 ，根据圆周角与圆心角的性质得到
，再利用四边形的内角和即可求解；
（2）连接 ， ，根据切线的性质得到 ，根据圆周角与圆心角的性质得到，由菱形的性质得到 ，得到 ，故
，故可求解．
【详解】
（1）连接 ， ．
∵ 分别与 相切于点A，B， ， 为 的半径，
∴ ．
∴ ．
∵ ，∴ ．
∴ ．
（2）连接 ．
∵ 分别与 相切于点A，B， ， 为 的半径，
∴ ．
∴ ．
∵四边形 为菱形，∴ ．∵ ，∴ ．
∴ ．
【点睛】
此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知切线的性质、圆周角定理及菱形的性质．
49．在 中， 为直径，C为 上一点．
（1）如图①，过点C作 的切线，与 的延长线相交于点P．若 ，求 的大小；
（2）如图②，D为 上一点，且 经过 的中点E，连接 并延长，与 的延长线相交于点
P，若 ，求 的大小．
【答案】（1）24°；（2）30°
【分析】
（1）连接OC，根据三角形的外角的性质求出∠POC，根据切线的性质得到∠OCP=90°，根据三角形内角
和定理计算即可；
（2）根据垂径定理得到OD⊥AC，根据圆周角定理，三角形的外角的性质计算即可．
【详解】
解：（1）如图，连接 ．∵ 与 相切于点C，
∴ ，即 ．
∵ ，
∴ ．
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵E为 的中点，
∴ ，即 ．
在 中，由 ，
得 ．
∴ ．
∵ 是 的一个外角，
∴ ．
【点睛】
本题考查了垂径定理，切线的性质，圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
50．如图，在 中， ，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E是BC的中点，连接DE
并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若 ， ，求⊙O半径的长．【答案】（1）见详解；（2）⊙O半径的长 ．
【分析】
（1）连接OD，OE，由题意易得OE∥AB， ，则有 ， ，进而可
得 ，然后可证 ，则 ，最后问题得证；
（2）设OD=OC=x，由（1）可得 ，则有 ，然后可得
，最后利用勾股定理可求解．
【详解】
（1）证明：连接OD，OE，如图所示：
∵点O、E分别是AC、BC的中点，
∴OE∥AB，
∴ ，
∵OA=OD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵OD=OC，OE=OE，
∴ （SAS），
∴ ，即 ，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）可得： ，则有 ，∵ ， ，
∴ ，
设OD=OC=x，则 ，
∴在Rt△ODF中， ，即 ，
解得： ，
∴ ，即⊙O半径的长 ．
【点睛】
本题主要考查切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
51．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠DCA＝∠B．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，求证：△DCF是等腰三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据圆周角定理得出∠BCA＝90°，根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠BCO，求出∠ACB＝∠DCO＝
90°，根据切线的判定推出即可；
（2）求出∠B＝∠EFA，求出∠DCF＝∠DFC，根据等腰三角形的判定推出即可．
【详解】
证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠BCO，
∵∠DCA＝∠B，
∴∠BCO＝∠DCA，
∴∠BCO+∠ACO＝∠DCA+∠ACO，
∴∠ACB＝∠DCO＝90°，
即OC⊥CD，
∵OC过O，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵DE⊥AB，
∴∠FEA＝90°，
∴∠A+∠EFA＝90°，
同理∠A+∠B＝90°，
∴∠B＝∠EFA，
∵∠DCA＝∠B，∠DFC＝∠EFA，
∴∠DCF＝∠DFC，
∴DC＝DF，
即△DCF是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，切线的判定，圆周角定理等知识点，能综合运
用知识点进行推理是解此题的关键．
52．如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与CD相切于点M，（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若正方形的边长为1，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）过 作 于 由正方形ABCD，可得 证明 再证明
从而可得结论；
（2）正方形ABCD，可得 求解 再证明
求解 利用 列方程，解方程可得答案．
【详解】
解：（1）过 作 于
正方形ABCD，
是 的切线，为 的半径，
BC与⊙O相切；
（2） 正方形ABCD，
设 的半径为
【点睛】
本题考查的是正方形的性质，圆的切线的判定，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，角平分
线的性质，二次根式的运算，掌握以上知识是解题的关键．
53．如图， 是 的切线， 为切点，连接 交 于点 ， ， 上有一点 且
，连接 ．（1）探究 和 的数量关系，并说明理由；
（2）求证： 是 的切线．
【答案】（1） ，理由见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由 是 的切线， 为切点，证明 ，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半可得结论；
（2）证明 为等边三角形，可得 ，再证明 ，可得
，即 于点 ，从而可得结论．
【详解】
（1）解： ．理由如下：
是 的切线， 为切点
在 中，
．
（2）由（1）知
又
为等边三角形
在 和 中，，即 于点
又 在 上，
是 的切线．
【点睛】
本题考查的是等边三角形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形全等的判定与性质，
圆的切线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
54．如图， 与 的 边相切于点 ，与 边交于点 ， 过 上一点 ，且 ，
是 的直径．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）6．
【分析】
（1）连接 ，由圆的半径相等，可证 ，再根据平行线的性质得到 ，
，继而得到 ，接着根据题意，由切线的性质解得 ，进一步证明 ，再由全等三角形对应角相等得到 ，最后根据切线
的判定定理解题即可；
（2）由切线的性质得到 ，在 中，利用勾股定理解得 的长，继而解得 的长，
由切线长定理得到 ，在 中，由勾股定理解得 的长即可解题．
【详解】
（1）证明：连接 ，
，
，
，
， ，
，
是切线，
，
在 和 中
，
，
是半径，
是 的切线；
（2）解： 是 的切线， ，，
，
，
，
，
，
， 是 的切线，
，设 ，
在 中， ，
，
解得： ，
．
【点睛】
本题考查切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质等知识，是重要考点，
难度较易，掌握相关知识是解题关键．
55．如图， 是 的直径， 是 延长线上的一点，点 在 上， 交
的延长线于点 ， 平分 ．（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的直径．
【答案】（1）见解析；（2）⊙O的直径为 .
【分析】
（1）连接OC，如图所示：标注∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的性质、等角代换、平行线的判定即
可求得OC⊥ED，继而即可根据切线的判定定理即可求证结论；
（2）根据等边对等角的性质、等角代换、角的和差倍数关系证得∠OCB＝2∠3，继而可得∠1=∠2=∠3=∠4
＝30°，设 ，则OD＝2x，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
【详解】
（1）证明：连接 ，如图所示：标注∠1，∠2，∠3，∠4，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠2，
又 平分∠BAE，
∴∠1＝∠EAC，
，
，（内错角相等）
，
，
是 的切线．
（2）∵BC＝BD，
∴∠3＝∠4．
∵AB是 的直径，
，
由（1）知OC⊥CD∴∠OCD＝∠3＋∠OCB＝90°，
，
∵OC＝OB
∴∠OBC＝∠OCB，
而 ，
而 ，
，
设 ，则OD＝2x，
由勾股定理得 ，
解得 ，
所以
【点睛】
本题考查圆的有关知识，涉及到切线的判定定理、勾股定理、等边对等角、平行线的判定、等角代换，解
题的关键是综合运用所学知识．
56．如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作TC//AD，交AD的延
长线于点C．
（1）求证：CT为⊙O的切线．
（2）若⊙O半径为3，AT＝4，求CT的长．【答案】（1）见解析；（2） ．
【分析】
（1）连接 ，由角平分线性质解得∠CAT＝∠TAB，再根据OA＝OT，及等边对等角可证OT//AC，结合
TC⊥AD最后由平行线的性质解题即可；
（2）连接BT，由直径所对的圆周角为90°，结合勾股定理解得BT的长，继而证明 得到对
应边成比例 ，最后代入数值解题即可．
【详解】
（1）证明：连接 ，如图，
∵AT平分∠BAD，
∴∠CAT＝∠TAB，
∵OA＝OT，
∴∠TAB＝∠OTA，
∴∠CAT＝∠OTA，
∴OT//AC，∴AC⊥CT，
∴OT⊥CT，
∴CT为⊙O的切线．
（2）解：连接BT如图，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ATB＝90°，
∵AT＝4，AB＝6
∴BT＝
∵∠CAT＝∠TAB，，∠ATB＝∠ACT＝90°
∴
∴
∴
∴ ．
【点睛】
本题考查切线、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握
相关知识是解题关键．
57．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠DAB．
（2）连接BC，求证：∠ACD=∠ABC．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据切线的性质可知OC⊥CD，再根据题意可知AD∥OC．利用平行线的性质得∠DAC=∠ACO，再利
用等腰三角形的性质得∠ACO=∠CAO，即证明∠DAC=∠CAO．即AC平分∠DAB．
（2）根据（1）得∠DAC=∠CAO，又因为∠DAC+∠ACD=90°，∠ABC+∠CAO=90°，即可得
∠ACD=∠ABC．
【详解】
（1）如图，连接OC，
∵直线l与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD；
又∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO；
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB．
（2）根据（1）可知∠DAC=∠CAO，
∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ABC+∠CAO=90°，
∴∠ACD=∠ABC．
【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质以及余角．连接OC，求证出AD∥OC是解答本题
的关键．
58．已知：如图，△ABC中， C＝90°．
求作：∠CPB＝∠A，使得顶点P在AB的垂直平分线上．
作法：①作AB的垂直平分线l，交AB于点O；
②以O为圆心，OA为半径画圆，⊙O与直线l的一个交点为P（点P与点C在AB的两侧）；
③连接BP，CP．∠CPB就是所求作的角．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明： 连接OC，
∵l为AB的垂直平分线
∴OA＝ ．
∵∠ACB＝90°，
∴OA＝OB＝OC．
∴点A，B，C都在⊙O上．
又∵点P在⊙O上，
∴∠CPB＝∠A（ ）（填推理依据）．
【答案】（1）见解析；（2）OB；同弧所对的圆周角相等．
【分析】
（1）根据作图过程即可补全图形．
（2）根据圆的性质即可补全证明．
【详解】
（1）如图即为补全后的图形．（2）OB；同弧所对的圆周角相等．
【点睛】
本题考查利用尺规作图以及掌握圆周角定理．准确画出图形是解答本题的关键．
59．阅读下列材料，完成文后任务：
克罗狄斯·托勒密（约公元 年—公元 年），希腊著名的天文学家、地理学家和光学家．在数学方面，
他论证了四边形的特性，即著名的托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边的乘积
之和．
用数学文字表示为：如图1，已知四边形 内接于 ，则
任务：
（1）如图1，当 为等边三角形时， 与 有怎样的数量关系？并说明理由；
（2）如图2，已知 为直径， ， ，求 的长；（3）如图3，在四边形 中， ， ， ，则
的面积为_________．
【答案】（1）AC=BC+CD；证明见解析；（2） ；（3） ．
【分析】
（1）由托勒密定理： 及等边三角形的性质即可求得．
（2）由勾股定理可求得BD，进而可求CD，再由由托勒密定理： 即可求得
AC的长．
（3）由题意可得四边形ABCD在以BD为直径的圆上，设圆心为O，连接OC、OA，并作OE⊥AC于点
E，则 的面积即可由 求得．
【详解】
解：（1）
证：由题意得：
为等边三角形即 ．
（2） 为直径
．
．
由托勒密定理可知
．
（3）∵ ， ， ，
∴四边形ABCD在以BD为直径的圆上
且BD= = =6
CD= = =4
∵
代入AB、CD、BC、AD、AC可得
AC=
连接OA、OC，作OE⊥AC交于点E，如图：BD=6，AD=3，
，
∴
∵OC=3，AC=
∴OE= =
∴
∴
=
【点睛】
本题考查了三角形和圆的综合问题，解题的关键是进行等量代换及作出辅助线．
60．如图， 为 的直径， 切 于点 ，与 的延长线交于点 ， 交 延长线
于点 ，连接 ， ，已知 ， ， ．（1）求证： 是 的切线；
（2）求 的半径．
（3）连接 ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）圆的半径为 ；（3） ．
【分析】
（1）由已知角相等、对顶角相等，根据三角形内角和180°得到 ，即可解题；
（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到
PC=PB，由PD-PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则OD=8-r，利用勾股定理列出关于方
程的解得到r的值，即为圆的半径；
（3）延长 、 相交于点 ，根据切线的性质及角平分线的性质，证明 ，
继而解读BF的长，再由勾股定理解题即可．
【详解】
（1）证明： ，
，
，
，
，
为 的切线；（2）解：在 中， ， ，
根据勾股定理得： ，
与 都为 的切线，
；
在 中，设 ，则有 ，
根据勾股定理得：
解得： ，则圆的半径为 ．
（3）延长 、 相交于点
与 都为 的切线，
平分
又
，
在 中，【点睛】
本题考查切线的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
