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第 31 讲 正弦定理、余弦定理
1、正弦定理
＝ ＝ ＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
(1)
正弦定 (2) ；
理的常 (3)
见变形 (4)
2、余弦定理
1) ；
2) ；
3) .
余弦定理的常见变形
3、三角形的面积公式
(1)S ＝ah(h 为边a上的高)；
△ABC a a
(2)S ＝absin C＝bcsin A＝acsin B；
△ABC
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
1、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷））在 中，内角 的对边分别是
，若 ，且 ，则 （ ）A. B. C. D.
2、（2023年高考数学新高考I卷）．已知在 中， ．
(1)求 ；
(2)设 ，求 边上的高．
3、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷））记 的内角 的对边分别为 ，
已知 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求 面积．
1、 在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2、 已知△ABC，a＝，b＝，A＝30°，则c等于( )
A．2 B.
C．2或 D．均不正确
3、 在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为( )
A. B.
C．2 D．24、（2022年湖北省宜昌市高三模拟试卷）若在 中，角 的对边分别为 ，
则 （ ）
A. 或 B. C. D. 以上都不对
考向一 运用正余弦定理解三角形
ABC acosC
例1、（2021·全国高三专题练习（理））在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 ，
bcosB ccosA
， 成等差数列.
（1）求角B的大小；
4
cosA
（2）若 5，求sinC的值.
变式1、（2022年河北省张家口高三模拟试卷）（多选题）在 中，内角 所对的边分别为
，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A. B.
C. D.变式2、（2022年福建省南安国光中学高三模拟试卷）记 的内角 的对边分别为 ，
．
（1）证明： ；
（2）若 ，求 ．
方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，
要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，
则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．
考向二 利用正、余弦定理判定三角形形状
例2、（河北张家口市·高三月考）（多选题）在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ．下
面四个结论正确的是（ ）
A． ， ，则 的外接圆半径是4
B．若 ，则
C．若 ，则 一定是钝角三角形
D．若 ，则
变式1、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC
的形状为( )
A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形
C. 等边三角形 D. 钝角三角形变式2、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－a cos B＝(2a－b)cos A，则△ABC
的形状为( )
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰或直角三角形
方法总结： 判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过
代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．考查转化与化归思想．
考点三 运用正余弦定理研究三角形的面积
考向三 运用正余弦定理解决三角形的面积、周长
例3、（2022年江苏省徐州市高三模拟试卷）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
.
（1）证明： ；
（2）若 ， ，求 的面积.
变式1、已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为.
(1) 求sin B sin C的值；
(2) 若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．
变式2、已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.
(1) 求c的值；
(2) 设D为边BC上的一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．变式3、（2022年广州番禺中学高三模拟试卷） 已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
， ， .
（1）求角B；
（2）求 的面积.
方法总结：1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边
之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图
形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
1、.（2022·山东泰安·高三期末）在 中，“ ”是“ 为钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2、（2022年河北省张家口高三模拟试卷） 在 中，若 ，则 的形状
为（ ）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
3、（2022·山东莱西·高三期末）在 中， ， ， ， ， ，若 的外
接圆的半径为 ，则角 ___________.
4、（2022年河北省承德市高三模拟试卷）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的面积.
5、（2022 年重庆市高三模拟试卷）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
（1）求 的值；
（2）若 ， 的面积是 ，求 的值．
