第04讲解三角形（练习）（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）_第四章三角函数、解三角形

第 04 讲 解三角形 （模拟精练+真题演练） 1．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）在 中，若 ，则 一定是 （ ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形D．等腰三角形 【答案】D 【解析】由 及余弦定理得： ，即 . 故选：D 2．（2023·四川南充·统考三模）在 中，角 的对边分别是 ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 得 ，所以 ， 由于 , 故选：A 3．（2023·辽宁·校联考二模）设 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，所以 ， 由 ，得 ，所以 . 故选：C. 4．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）抚松县第一中学全体师生为庆祝2023年高考圆梦成 功，选定大方鼎雕塑为吉祥物，为高考鼎立助威.若在 处分别测得雕塑最高点的仰角为 和 ，且 ，则该雕塑的高度约为（ ）（参考数据 ）A．4.93 B．5.076 C．6.693 D．7.177 【答案】A 【解析】在 中，结合图形可知， ，由正弦定理得： ， 在 中， ； 故选：A 5．（2023·广西·校联考模拟预测）在 中，若 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，由正弦定理可得 ，且 ， 由余弦定理可得： . 故选：C． 6．（2023·四川·校考模拟预测）如图，在山脚 测得山顶 的仰角为 ，沿倾斜角为 的斜坡向上走 米 到 ，在 处测得山顶 的仰角为 ，则山高 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在 中， ， 由正弦定理得 ，可得 ， 过点 作 ，可得所以 . 故选：D. 7．（2023·重庆·统考模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求 积”，设 的三个内角 所对的边分别为 ， ， ，面积为S，则“三斜求积”公式为 ，若 ， ，则用“三斜求积”公式求得 的面积为（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】由 得 ， 由 得 ， 故 ， 股癣：A 8．（2023·全国·模拟预测）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 及正弦定理，可得 ． 由 ，可得 ． 又 ，∴ ．又 ，解得 ，则 ， ∴B为钝角，C为锐角． ∴ ， ． 故 ， ∴ ． 故选: A. 9．（多选题）（2023·重庆·统考三模）如图，为了测量障碍物两侧A，B之间的距离，一定能根据以下数 据确定AB长度的是（ ） A．a，b， B． ， ， C．a， ， D． ， ，b 【答案】ACD 【解析】法一、根据三角形全等的条件 可以确定A、C、D三项正确，它们都可以唯一确定 三角形； 法二、对于A项，由余弦定理可知 ，可求得 ，即A正确； 对于B项，知三个内角，此时三角形大小不唯一，故B错误； 对于C项，由正弦定理可知 ，即C正确； 对于D项，同上由正弦定理得 ，即D正确； 故选：ACD. 10．（多选题）（2023·山东聊城·统考一模）在 中，若 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD【解析】在 中，若 ，由三角形中大边对大角，可得 ，又由正弦定理，可知 ， 故A选项正确； 又由余弦函数在 上单调递减，可知 ，故B选项正确； 由 和 ，当 时， ，所以 ，故C选项错 误； 由 ， ，由A选项可知正确，故D选项正确. 故选：ABD 11．（多选题）（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）在 中，内角A，B，C的对边分别 为a，b，c，若 ，则B的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】根据余弦定理可知 ，代入 ，可得 ，即 ， 因为 ，所以 或 ， 故选：BD. 12．（多选题）（2023·海南省直辖县级单位·校联考一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a， b，c， ， ，若满足要求的△ABC有且只有1个，则b的取值可以是（ ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】ABC 【解析】由 ，及 ， 得 .若满足要求的△ABC有且只有1个，则 或 ， 即 或 ，解得 或 . 故选：ABC 13．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 外接圆的面积为______. 【答案】【解析】由正弦定理得 ， 因为 ，所以 ，即 ，可得 . 因为 ，所以 ，得 ，解得 . ，化简得 ， 由正弦定理､余弦定理，得 ，化简得 ， 由正弦定理可得 ，得 ，因此 外接圆的面积为 . 故答案为： 14．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）在锐角 中， ， ，若 在 上的投影长等于 的外接圆半径R，则R=______. 【答案】2 【解析】由题意得， ， ， 即 ，即 ， 因为 ，所以 ， 故 ，故 . 故答案为：2 15．（2023·上海嘉定·校考三模）在 中，已知 ，则角 的大小为__________. 【答案】 【解析】因为 ， 由正弦定理得 ，即 ， 又因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 . 故答案为： .16．（2023·陕西西安·统考一模）在 中， ，则 ___________. 【答案】 【解析】因为 ，所以 ， 所以 ， 由余弦定理 . 故答案为： . 17．（2023·河南·校联考模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ， . (1)若 ，求 ； (2)若 ，点 在 边上，且 平分 ，求 的面积. 【解析】（1）因为 ， 则 ， ， 又 ， ，则 ， 又 ，所以 ， 则 . （2）由（1）知 ，则 ， 由 得 ， 即 ， 则 ，即 ，解得 ， 所以 的面积 . 18．（2023·广东·校联考模拟预测）已知函数 . (1)求 ；(2)若 的面积为 且 ，求 的周长. 【解析】（1） ，因为 ， 所以 ，解得 ； （2）在 中，由（1）可得 ， ∵ ，即 ， 因为 ，则 ， 由正弦定理可得 即 ， 由余弦定理得 ∴ ，则 ， ∴三角形周长 . 19．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ，分别 以 为边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 . (1)求 的面积； (2)若 ，求 . 【解析】（1）由题意得 ， ， ， 则 ，即 ， 由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，又 ， 则 ，所以 ，则 ；（2）由正弦定理得 ， 所以 ， 则 或 （舍去），所以 . 20．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）在 中，角 是锐角，角 所对的边分别记作 ，满足 ， . (1)求 ； (2)若 ，求 的值. 【解析】（1）因为 ， 又 ，所以 ， 又因为角 是锐角，即 ，所以 ， 所以 ，故 ； （2）因为 ， 又 ，所以 ， 因为 ， ， 由正弦定理 ，得 ， 所以 ， 由余弦定理得， ，得 ， 因为 ，所以所以 ，即 ， 因为 ，所以 ， 所以 . 1．（2023•上海）已知 中，角 ， ， 所对的边 ， ， ，则 ． 【答案】 ． 【解析】 ， ， ， 由余弦定理得， ， 又 ， ， ． 故答案为： ． 2．（2022•甲卷（理））已知 中，点 在边 上， ， ， ．当 取得最小值时， ． 【答案】 ． 【解析】设 ， ， 在三角形 中， ，可得： ， 在三角形 中， ，可得： ， 要使得 最小，即 最小， ， 其中 ，此时 ， 当且仅当 时，即 或 （舍去），即 时取等号， 故答案为： ． 3．（2023•乙卷（文））在 中，已知 ， ， ．（1）求 ； （2）若 为 上一点．且 ，求 的面积． 【解析】（1）在 中，由余弦定理可知 ， ， 由余弦定理可得 ， 又 ， ， （2）由（1）知： ， ， ， ， ， 的面积为 ． 4．（2023•甲卷（文））记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ． （1）求 ； （2）若 ，求 面积． 【解析】（1）因为 ， 所以 ； （2） ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 即 ， 由 为三角形内角得 ， 面积 ．5．（2023•天津）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ， ， ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的值； （Ⅲ）求 的值． 【解析】（Ⅰ） ， ， ， 则 ； （Ⅱ） ， ， ， 则 ，化简整理可得， ，解得 （负值舍去）； （Ⅲ） ， ， ， ， 则 ， 故 ， 所以 ． 6．（2023•新高考Ⅱ）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 面积为 ， 为 的中点，且 ． （1）若 ，求 ； （2）若 ，求 ， ． 【解析】（1） 为 中点， ， 则 ， 过 作 ，垂足为 ，如图所示： 中， ， ， ，解得 ，， ， 故 ； （2） ， ， ， ， 则 ， ①， ，即 ②， 由①②解得 ， ， ，又 ， ． 7．（2023•新高考Ⅰ）已知在 中， ， ． （1）求 ； （2）设 ，求 边上的高． 【解析】（1） ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ，又 ， ， 解得 ， 又 ， ， ； （2）由（1）可知 ， ， ， ， ， ， 设 边上的高为 ， 则 ， ， 解得 ， 即 边上的高为6． 8．（2022•天津）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ， ， ． （1）求 的值； （2）求 的值； （3）求 的值． 【解析】解（1）因为 ， ， ， 由余弦定理可得 ， 解得： ； （2） ， ，所以 ， 由 ，可得 ，由正弦定理可得 ，即 ， 可得 ， 所以 ； （3）因为 ， ， 所以 ， ， ，可得 ， 所以 ， 所以 的值为 ． 9．（2022•浙江）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ， ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）若 ，求 的面积． 【解析】（Ⅰ）因为 ，所以 ，且 ， 由正弦定理可得： ， 即有 ； （Ⅱ）因为 ， 所以 ，故 ， 又因为 ，所以 ， 所以 ； 由正弦定理可得： ，所以 ， 所以 ． 10．（2022•北京）在 中， ． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若 ，且 的面积为 ，求 的周长． 【解析】（Ⅰ） ， ， 又 ， ， ， ， ； （Ⅱ） 的面积为 ， ， 又 ， ， ， ， 又 ， ， ， ， 的周长为 ． 11 ． （ 2022• 乙 卷 ） 记 的 内 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 已 知 ． （1）若 ，求 ； （2）证明： ． 【解析】（1）由 ， 又 ， ，， ，即 （舍去）或 ， 联立 ，解得 ； 证明：（2）由 ， 得 ， 由正弦定理可得 ， 由余弦定理可得： ， 整理可得： ． 12．（2022•新高考Ⅰ）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ． （1）若 ，求 ； （2）求 的最小值． 【解析】（1） ， ， ． ， 化为： ， ， ， ， ， ， ． （2）由（1）可得： ， ， ， ， 为钝角， ， 都为锐角， ． ， ，当且仅当时取等号． 的最小值为 ． 13．（2022•新高考Ⅱ）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，分别以 ， ， 为边长的 三个正三角形的面积依次为 ， ， ．已知 ， ． （1）求 的面积； （2）若 ，求 ． 【解析】（1） ， ， ， ， 解得： ， ， ，即 ， ， ， 解得： ， ． 的面积为 ． （2）由正弦定理得： ， ， ， 由（1）得 ，已知， ， ， 解得： ． 14 ． （ 2022• 乙 卷 （ 文 ） ） 记 的 内 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 已 知 ． （1）证明： ； （2）若 ， ，求 的周长． 【解析】（1）证明： 中， ， 所以 ， 所以 ， 即 ， 所以 ， 由正弦定理得 ， 由余弦定理得 ， 所以 ； （2）当 ， 时， ， ， 所以 ，解得 ， 所以 的周长为 ．