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第 05 讲 正弦定理和余弦定理的应用
(精练）
一、单选题
1．（2022·全国·高一课前预习）若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则A在
点B的( )
A．北偏东15° B．北偏西15°
C．北偏东10° D．北偏西10°
【答案】B
【详解】
由∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，
而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.
故答案为B.
2．（2022·全国·高三专题练习）如图,设 两点在河的两岸,在A所在河岸边选一定点C,测量 的距离为
50m, , ,则可以计算 两点间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解:在三角形 中,
, ,
所以 ,
由正弦定理: ,
所以 .
故选:A3．（2022·全国·高三专题练习）若点A在点C的北偏东60°方向上，点B在点C的南偏东30°方向上，且
AC=BC，则点A在点B的（ ）
A．北偏东 方向上 B．北偏西 方向上
C．北偏东 方向上 D．北偏西 方向上
【答案】A
由题意，点A在点C的北偏东60°方向上，点B在点C的南偏东30°方向上，且AC=BC，可得几何位置关系
如下图所示：
则 ，
所以 ,故点A在点B的北偏东 方向上
故选：A
4．（2022·青海西宁·一模（文））某居民小区拟将一块三角形空地改造成绿地.经测量，这块三角形空地的
两边长分别为32m和68m，它们的夹角是 .已知改造费用为50元/m2，那么，这块三角形空地的改造费
用为（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【答案】C
由题意，三角形空地的面积为 ，
改造费用为50元 ，
这块三角形空地的改造费用为： 元.
故选：C.
5．（2022·江苏·高一课时练习）如图，一艘船自西向东匀速航行，上午 时到达一座灯塔 的南偏西
距塔 海里的 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的 处，则这艘船航行的速度为A． 海里/时 B． 海里/时
C． 海里/时 D． 海里/时
【答案】A
，
在 中有
海里/时，选A.
6．（2022·全国·高三专题练习（文））“湖畔波澜飞，耕耘战鼓催”，合肥一六八中学的一草一木都见证
了同学们的成长．某同学为了测量澜飞湖两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个
观测点 ，且 ，已经测得两个角 ，由于条件不足，需要再观测新的角，
则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的有（ ）组
① 和 ；② 和 ；③ 和 .
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
由 ， ，
∴可求出 、 ，
① 和 ：△ 中 ，即可求 ；
② 和 ：可求 、 ，则在△ 中 求 ；
③ 和 ：可求 ，则在△ 中 ，即可求 ；
∴①②③都可以求 .
故选：D
二、多选题
7．（2022·湖南·宁乡市第九高级中学高一期中）为了测量B，C之间的距离，在河的南岸A，C处测量（测
量工具：量角器、卷尺），如图所示.下面是四位同学所测得的数据记录，你认为不合理的有（ ）A． 与 B． 与 C． ， 与 D． ， 与
【答案】ABC
因为A，C在河的同一侧，所以可以测量 ， 与 ，
故选：ABC
8．（2022·江苏·南京师范大学附属中学江宁分校高一期中）某货轮在 处看灯塔 在货轮北偏东 ，距
离为 ；在 处看灯塔 在货轮的北偏西 ，距离为 .货轮由 处向正北航行到 处时，
再看灯塔 在南偏东 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 处与 处之间的距离是 B．灯塔 与 处之间的距离是
C．灯塔 在 处的西偏南 D． 在灯塔 的北偏西
【答案】ABC
在 中，由已知得 ， ，
则 ， ．
由正弦定理得 ，
所以 处与 处之间的距离为 ，故A正确；
在 中，由余弦定理得，
，又 ，
解得 ．
所以灯塔 与 处之间的距离为 ，故B正确，
，
，
灯塔 在 处的西偏南 ，故C正确；
灯塔 在 的南偏东 ，
在灯塔 的北偏西 ，故D错误；
故选：ABC．
9．（2022·全国·高一单元测试）某货轮在 处看灯塔 在货轮北偏东75°，距离为 ；在 处看灯
塔 在货轮的北偏西30°，距离 ．货轮由 处向正北航行到 处时，再看灯塔 在南偏东60°，
则下列说法正确的是（ ）
A． 处与 处之间的距离是 ； B．灯塔 与 处之间的距离是 ；
C．灯塔 在 处的西偏南60°； D． 在灯塔 的北偏西30°．
【答案】AC
由题意可知 ，所以 ， ,
在 中，由正弦定理得 ，所以 ，故A正确；
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，故B错误；
因为 ，所以 ，所以灯塔 在 处的西偏南 ，故C正确；
由 ， 在灯塔 的北偏西 处，故D错误.故选：AC
三、填空题
10．（2022·河北深州市中学高一期末）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过
“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图， 为
某区的一条健康步道，其中 为线段， 三点共线， 是以 为直径的半圆，
， .则该健康步道的长度为___________.
【答案】
连接 ，因为 ，所以 ，
在 中， ，所以 ，
由直角三角形三角函数的定义知， ，
所以 ，
所以半圆 的弧长为 .
在Rt 中， ，
所以 ，
在 中，设 ，
由余弦定理可得， ，
即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得： ，
所以健康步道的长度为 .故答案为：
11．（2022·浙江·高三专题练习）如图，无人机在离地面的高 的A处，观测到山顶M处的仰角
为 ，山脚C处的俯角为 ，已知 ，则山的高度 为___________.
【答案】 m
在 中， ，由图知 ，即 ，
在 中，由正弦定理得 ，
∵ ，
∴ m，
在 中， .
故答案为： m
四、解答题
12．（2022·陕西·西安中学一模（理））为了测量隧道口 、 间的距离，开车从 点出发，沿正西方向行
驶 米到达 点，然后从 点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达 点，再从 点出发，沿东南方
向行驶400米到达隧道口 点处，测得 间的距离为1000米.(1)若隧道口 在点 的北偏东 度的方向上，求 的值；
(2)求隧道口 间的距离.
【答案】(1)
(2)1000米.
(1)在 中，由正弦定理得 ，
即 ，
所以 ，
由题可知， ，
所以 ，即 .
(2)由（1）可知， ，
在 中，由余弦定理得
，
所以 ，
故两隧道口 间的距离为1000米.
13．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在平面四边形ABCD中，对角线 平分 的
内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知 .
(1)求B；
(2)若 ，且________，求线段 的长.从下面①②中任选一个，补充在上面的空格中进行求解.①△ABC的面积 ；② .
【答案】(1) ；(2)选① ；选② .
(1)因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
(2)选①，因为 的面积 ，
所以 ，
即 ， ，由余弦定理得
所以 ，
所以 ，
因为 平分 ，
所以 ，
所以 ，
选②，因为 ，在 中，由余弦定理：
，
即 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 平分 ，所以 ，因为 ， ，由正弦定理得，
，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 是直角三角形，且 ，
所以 .
14．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期中）在 中，内角A，B，C的对边分别为 ， ， ，且满足
．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，在边 上分别取 两点，将 沿直线 折叠，使顶点A正好落在边 上，
求线段 长度的最小值．
【答案】(1) (2)
(1)由 得
，
由 ，可得 ．
(2) ， ， 为等边三角形，连接 ，
由折叠性质可知 两点关于折线 对称，
设 ， ，则 ，在 中， ， ，
又 ，则在 中，由正弦定理得： ，
整理可得： ，
，
当 ，即 时， ，则 取得最小值
即 的最小值为 .
