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§4.8 正弦定理、余弦定理
考试要求 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利
用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
知识梳理
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
a2＝ ；
内容 ＝ ＝ ＝2R b2＝ ；
c2＝
(1)a＝2Rsin A，
b＝ ，
c＝ ； cos A＝ ；
变形 (2)sin A＝， cos B＝ ；
sin B＝ ， cos C＝
sin C＝ ；
(3)a∶b∶c＝____________
2．三角形解的判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A< ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
3．三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h 表示边a上的高)；
a a
(2)S＝ ＝ ＝ ；
(3)S＝ (r为三角形的内切圆半径)．
常用结论在△ABC中，常有以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos Asin B，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．( )
教材改编题
1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于( )
A. B. C. D.
2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝
30°，则c等于( )
A．8 B．4
C． D．
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝，c＝2，则C＝
.
题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1 (12分)(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；[切入点：二倍角公式化简]
(2)求的最小值．[关键点：找到角B与角C，A的关系]思维升华 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果
式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两
个定理都有可能用到．
跟踪训练1 (2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin
Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)．(1)证明：2a2＝b2＋c2；
(2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长．
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题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点1 三角形的形状判断
例2 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos
A，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，＝sin2，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
听课记录：______________________________________________________________
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延伸探究 将本例(2)中的条件“＝sin2”改为“＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，试判断
△ABC的形状．
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思维升华 判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A
＋B＋C＝π这个结论．
命题点2 三角形的面积
例3 (2022·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
已知4a＝c，cos C＝.
(1)求sin A的值；
(2)若b＝11，求△ABC的面积．________________________________________________________________________
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思维升华 三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
命题点3 与平面几何有关的问题
例4 (2023·厦门模拟)如图，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b(1＋
cos C)＝csin∠ABC且△ABC的外接圆面积为.
(1)求边c的长；
(2)若a＝5，延长CB至M，使得cos∠AMC＝，求BM.
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思维升华 在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问
题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具
体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出
来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想．
跟踪训练2 (1)(多选)(2023·合肥模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，下列四个命题中正确的是( )
A．若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形
B．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
C．若＝＝，则△ABC一定是等边三角形
D．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形
(2)在①b2＋ac＝a2＋c2；②cos B＝bcos A；③sin B＋cos B＝这三个条件中任选一个填在
下面的横线中，并解决该问题．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，A＝，b＝，求△ABC的面
积．
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(3)(2022·重庆八中模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，在①c(sin A
－sin C)＝(a－b)(sin A＋sin B)；②2bcos A＋a＝2c；③acsin B＝a2＋c2－b2三个条件中任
选一个，补充在下面问题中，并解答．
①若 ，求角B的大小；
②求sin A＋sin C的取值范围；
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③如图所示，当sin A＋sin C取得最大值时，若在△ABC所在平面内取一点D(D与B在AC
两侧)，使得线段DC＝2，DA＝1，求△BCD面积的最大值．
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