第31讲正弦定理、余弦定理（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第 31 讲 正弦定理、余弦定理 1、正弦定理 ＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)． (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； 正弦定 (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； 理的常 (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； 见变形 (4)＝. 2、余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C. 余弦定理的常见变形 (1)cos A＝； (2)cos B＝； (3)cos C＝. 3、三角形的面积公式 (1)S ＝ah(h 为边a上的高)； △ABC a a (2)S ＝absin C＝bcsin A＝acsin B； △ABC (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 1、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷））在 中，内角 的对边分别是 ，若 ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意结合正弦定理可得 ， 即 ， 整理可得 ，由于 ，故 ， 据此可得 ， 则 . 故选：C. 2、（2023年高考数学新高考I卷）．已知在 中， ． (1)求 ； (2)设 ，求 边上的高． 【解析】（1） ， ，即 ， 又 ， ， ， ， 即 ，所以 ， . （2）由（1）知， ， 由 ，由正弦定理， ，可得 ， ， . 3、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷））记 的内角 的对边分别为 ， 已知 ． （1）求 ； （2）若 ，求 面积． 【解析】 【小问1详解】 因为 ，所以 ，解得： ． 【小问2详解】 由正弦定理可得 ， 变形可得： ，即 ， 而 ，所以 ，又 ，所以 ， 故 的面积为1、 在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC等于( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】：A 【解析】设在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝，C＝120°，由余弦定理得13＝ 9＋b2＋3b，解得b＝1或b＝－4(舍去)，即AC＝1. 2、 已知△ABC，a＝，b＝，A＝30°，则c等于( ) A．2 B. C．2或 D．均不正确 【答案】：C 【解析】∵＝，∴sin B＝＝·sin 30°＝.∵b>a，∴B＝60°或120°. 若B＝60°，则C＝90°，∴c＝＝2. 若B＝120°，则C＝30°，∴a＝c＝. 3、 在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为( ) A. B. C．2 D．2 【答案】：B 【解析】因为S＝AB·ACsin A＝×2×AC＝，所以AC＝1， 所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝3.所以BC＝. 4、（2022年湖北省宜昌市高三模拟试卷）若在 中，角 的对边分别为 ， 则 （ ） A. 或 B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】在 中，已知 ， 由正弦定理得： ， 所以 ，因为 ， 所以 ， 所以 ， 故选：C 考向一 运用正余弦定理解三角形 ABC acosC  例1、（2021·全国高三专题练习（理））在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 ， bcosB ccosA ， 成等差数列. （1）求角B的大小； 4 cosA （2）若 5，求sinC的值. acosC, bcosB ccosA 【解析】（1） ， ， 成等差数列， 2bcosB acosCccosA， 2sinBcosB sinAcosCsinCcosAsin(AC) 由正弦定理， ， ABC ABC  sin(AC)sin(B)sinB  中， ， ， 2sinBcosB sinB，  B(0,) sinB0 又 ， ， 1  cosB B 2 ， 3 . A(0,)  sinA0 （2） ， ， 3 sin A 1cos2 A  5，sinC sin(AB)sin AcosBsinBcosA 3 1 4 3 34 3      5 2 5 2 10 . 变式1、（2022年河北省张家口高三模拟试卷）在 中，内角 所对的边分别为 ，根据 下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 对于A，因为 ，所以 ，所以 只有一解；故A错误； 对于B，因为 ， 所以由正弦定理得 ， 因为 ，即 ，所以 ，所以 有两解（ ，或 ），故B 正确； 为 对于C，因 ， 所以由正弦定理得 ，即 ， 因为 ，所以 有两解（ ，或， ），故C正确； 对于D，因为 ，所以由正弦定理得 ， 由于 ，故 ，所以 只有一解，故D错误； 故选：BC 变式2、（2022年福建省南安国光中学高三模拟试卷）记 的内角 的对边分别为 ， ． （1）证明： ； （2）若 ，求 ． 【解析】 【小问1详解】由题意知， ， 所以 ， 所以 ，而 ， 结合正弦定理，所以 . 【小问2详解】由（1）知： , 所以 ，即 ，所以 解得 或 （舍）, 所以 .方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式， 要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时， 则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想． 考向二 利用正、余弦定理判定三角形形状 例2、（河北张家口市·高三月考）（多选题）在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ．下 面四个结论正确的是（ ） A． ， ，则 的外接圆半径是4 B．若 ，则 C．若 ，则 一定是钝角三角形 D．若 ，则 【答案】BC 【解析】由正弦定理知 ，所以外接圆半径是2，故A错误； 由正弦定理及 可得， ，即 ，由 ，知 ，故B正 确； 因为 ，所以C为钝角， 一定是钝角三角形，故C正确； 若 ，显然 ，故D错误. 故选：BC 变式1、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC 的形状为( ) A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形【答案】 C 【解析】 因为＝，所以＝，所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以 b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝ ＝.因为A∈(0，π)，所以A＝，所以△ABC是等边三角形． 变式2、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－a cos B＝(2a－b)cos A，则△ABC 的形状为( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】 D 【解析】 因为c－a cos B＝(2a－b)cos A，所以由正弦定理，得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A.又C＝π－(A＋B)，所以sin A cos B＋cos A sin B－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B·cos A， 所以cos A(sin B－sin A)＝0，所以cos A＝0或sin B＝sin A，所以A＝或B＝A，所以△ABC为等腰或直角 三角形． 方法总结： 判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过 代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．考查转化与化归思想． 考点三 运用正余弦定理研究三角形的面积 考向三 运用正余弦定理解决三角形的面积、周长 例3、（2022年江苏省徐州市高三模拟试卷）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， . （1）证明： ； （2）若 ， ，求 的面积. 【解析】 【 小 问 1 详 解 】 在 中 ， 由 余 弦 定 理 及 ， 得 ，得 . 由正弦定理得 ，因为 ，所以 ， 所以 ，即 . 因为A，B，C是三角形的内角，所以 ，即 ； 【小问2详解】由（1）可得 ，因为 ，所以 ， 所以 ， ， ， 由正弦定理得， ，所以 ， 所以 的面积 . 变式1、已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为. (1) 求sin B sin C的值； (2) 若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长． 【解析】 (1) 由题意，得ac sin B＝， 即c sin B＝. 由正弦定理，得sin C sin B＝， 故sin B sin C＝. (2) 由题意及(1)，得cos B cos C－sin B sin C＝－， 即cos (B＋C)＝－， 所以B＋C＝，故A＝. 由题意，得bc sin A＝，则bc＝8. 由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9， 即(b＋c)2－3bc＝9， 则b＋c＝， 故△ABC的周长为3＋. 变式2、已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2. (1) 求c的值；(2) 设D为边BC上的一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积． 【解析】 (1) 由sin A＋cos A＝0，得tan A＝－，所以A＝. 在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 即28＝4＋c2－4c cos ，即c2＋2c－24＝0， 解得c＝4（负值舍去）. (2) 由题设，得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝， 所以＝＝1. 又S ＝×4×2×sin ＝2， △ABC 所以△ABD的面积为. 变式3、（2022年广州番禺中学高三模拟试卷） 已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， ， . （1）求角B； （2）求 的面积. 【解析】 【小问1详解】因为 ， 所以 ，又 ， 所以 ，又 ， 所以 ； 【小问2详解】由正弦定理可知： ， 又 ， 所以 ，所以 . 方法总结：1．求三角形面积的方法 (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边 之积，代入公式求面积． (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图 形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法 (1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． 1、.（2022·山东泰安·高三期末）在 中，“ ”是“ 为钝角三角形”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 由 ： 若 ，则 为钝角； 若 ，则 ， 此时 ，故充分性成立. △ 为钝角三角形，若 为钝角，则 不成立； ∴“ ”是“△ 为钝角三角形”的充分不必要条件. 故选： . 2、（2022年河北省张家口高三模拟试卷） 在 中，若 ，则 的形状 为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【 解 析 】 由 二 倍 角 公 式 可 得 , 由 正 弦 定 理 可 得 ，由余弦定理边角互化可得： ， 化简得 ， 因此 或 ，故 为直角三角形， 故选：B 3、（2022·山东莱西·高三期末）在 中， ， ， ， ， ，若 的外 接圆的半径为 ，则角 ___________. 【答案】 【解析】设角A,B,C的对边分别为a，b，c， 由正弦定理 ， ， ， ， 即 为钝角， 为锐角， ， ， .故答案为： . 4、（2022年河北省承德市高三模拟试卷）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .（1）求角 的大小； （2）若 ， ，求 的面积. 【解析】（1）由 ， 因为 ，可得 ， 又由正弦定理，得 ，即 ， 由余弦定理，得 ，∵ ，∴ . （2）在 中，因为 ， 所以 ，可得 ， 又因为 ，由正弦定理可得 ， 又由 ， ∴ 的面积 . 5、（2022 年重庆市高三模拟试卷）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ． （1）求 的值；（2）若 ， 的面积是 ，求 的值． 【解析】 【小问1详解】依题意， ， 由正弦定理得 ， ， 所以 ，由于 ，所以 ， 所以 ，则 ． 【小问2详解】由（1）得 ，所以 ， 由 解得 ， 由于 ，所以 ， 由余弦定理得 .