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专题 5.3 解题技巧专题：平行线中有关拐点问题之四大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 平行线中含一个拐点问题】....................................................................................................................1
【考点二 平行线中含两个拐点问题】..................................................................................................................11
【考点三 平行线中含多个拐点问题】..................................................................................................................18
【考点四 平行线中在生活上含拐点问题】..........................................................................................................24
【考点一 平行线中含一个拐点问题】
例题：（2023上·重庆·九年级重庆第二外国语学校校考期中）如图，直线 ， ， ，
则 的度数为 度．
【变式训练】1．（2023下·上海·七年级校考期中）如图，直线 ， 交 于点 ， 交 于点 ，若 ，
，则 度．
2．（2023下·七年级课时练习）如图，已知 ，若 ， ，则 ．
3．（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，已知 ， ， ，求
的度数．
4．（2023上·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期末）（1）如图1，已知直线 且 分别交 、
于点A、B， 分别交 、 于点C、D，点P在线段 上，连接 、 ，试确定 之间的
数量关系，并说明理由；
（2）在图2中，小刀的刀片是上下平行的，刀柄外形是一个直角梯形（下面挖去一个小的半圆），求
的度数．5．（2023下·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期中）探究题
(1)如下图， ， ， ．求 度数；
(2)如下图， ，点 在射线 上运动， ， ．
①当点P在A，B两点之间运动时， ， ， 之间的数量关系为__________
②当点P在A，B两点外侧运动时(点P与点A，B，O三点不重合)，请写出 ， ， 之间的数量
关系，并说明理由．
6．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如
图1，若 ，点P在 、 内部，探究 ， ， 的关系．小明只完成了（1）的部分
证明．(1)请你继续完成的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成
过点 作 ．
∵ ，
∴____ ____（ ）
∴ ____（ ）
又∵
∴
∴ ________．
(2)小明猜想：是不是类似的问题都可以过点P作 来实现等角转移从而推导出相应结论呢？．如图
2，若 ，点P在 、 外部， ， ， 的关系是否发生变化？若发生变化请写出它
们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由．
(3)探究：若 ，如图3，图4，请直接写出小于平角的 ， ， 之间的数量关系．【考点二 平行线中含两个拐点问题】
例题：如图所示， 、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．
【变式训练】
1．如图，直线 l∥l，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____．
1 2
2．如图， ，则∠1、∠2、∠3的关系为______________．
3．①如图1，AB CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB CD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若AB
EF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，AB CD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
4．（23·24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）如图①，如果 ，求证： ．（2）如图②， ，根据上面的推理方法，直接写出 ___________．
（3）如图③， ，若 ，则 ___________（用x、
y、z表示）．
5．（2023下·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）如图1， ，点 为直线 间一点，点
E，F分别是直线 上的点，连接 .
(1)【证明推断】求证： ，请完善下面的证明过程，并在（ ）内填写依据.
证明：过点P作直线 ，
（已作），
（______），
又 ， （已知）
______，（______）
，
______.
(2)如图2，若 的平分线与 的平分线交于点 .
①【类比探究】试猜想 与 之间的关系，并说明理由；
②【结论运用】若 ，求 的度数.(3)【拓展认知】如图3，直线 ，点P，H为直线 间的点，请直接写出 ， ，
， 的数量关系：______.
【考点三 平行线中含多个拐点问题】
例题：如图，直线 ，则 的度数为___________°．
【变式训练】
1.如图：
(1)如图1， ， 若 ， 计算并直接写出 的大小．
(2)如图2， 在图1的基础上， 将直线 变成折线 ， 证明：
(3)如图3， 在图2的基础上， 继续将且线 变成折现 ．请你写出一条关于 、
的数量关系（无需证明直接写出）
2．猜想说理：
（1）如图， ，分别就图1、图2、图3写出 ， ， 的关系，并任选其中一个图形说明理由：
拓展应用：
（2）如图4，若 ，则 度；
（3）在图5中，若 ，请你用含n的代数式表示 的度数．
【考点四 平行线中在生活上含拐点问题】
例题：某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知
， ， ，则 的度数是 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023·广东深圳·模拟预测）“绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立上的一段观光索道如图
所示，索道支撑架均为互相平行（ ），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若 ，
，则 （ ）A． B． C． D．
2．（22·23七年级下·河南郑州·阶段练习）卫星信号接收锅、汽车灯等很多灯具都与抛物线有关，如图，
从点O照射到抛物线上的光线 、 等反射以后沿着与 平行的方向射出，已知 ，
，那么 的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（22·23七年级下·山东聊城·期末）七年级四班在项目学习中研究生活中的平行关系，小明发现家中的
护眼灯，如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图， 与桌面 垂直，当发光的灯管 恰好与桌面
平行时， ，则 的度数为 ．
4．（22·23七年级下·浙江金华·期末）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．
若 ，则 的度数为 ．
5．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）图1是一盏可调节台灯，图2为示意图．固定底座 于点O，BA与CB是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体CD始
终保持平行于OE，台灯最外侧光线DM，DN组成的 始终保持不变．如图2，调节台灯使光线
，此时 ，且CD的延长线恰好是 的角平分线，则 ．
6．（2023下·江苏·七年级专题练习）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相
等例如：在图①、图②中，都有 ．设镜子 与 的夹角 ．
(1)如图①，若 ，判断入射光线 与反射光线 的位置关系，并说明理由．
(2)如图②，若 ，入射光线 与反射光线 的夹角 ．探索α与β的数量关系，
并说明理由．
(3)如图③，若 ，设镜子 与 的夹角， 入射光线 与镜面 的夹角
，已知入射光线 从镜面 开始反射，经过n（n为正整数，且 ）次反射，当
第n次反射光线与入射光线 平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）
