文档内容
第 09 讲 拓展四：三角形中周长（定值，
最值，取值范围）问题 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
高频考点一：周长（边长）定值
高频考点二：周长（边长）最值
高频考点三：周长（边长）取值范围
第三部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、基本不等式
核心技巧：利用基本不等式 ，在结合余弦定理求周长取值范围；
2、利用正弦定理化角
核心技巧：利用正弦定理 ， ，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根
据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.
第二部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：周长（边长）定值
1．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（理））在 中，角 的对边分别为 ， .
(1)求角 ；
(2)若 ， 面积 ，求△ 的周长.
【答案】(1) ；(2)
(1)在 中，∵ ，
∴由正弦定理可得 ．
又∵ ， ，∴ ．
整理得 ．
∵ ，∴ ， ．∴ ．
(2)∵ ，∴ ，
即 ，
亦即 ．
又由余弦定理知 ，∴ ．
∴ ．∴ ．
∴ 的周长为 ．
2．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））△ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)若 ，求 ；
(2)当A取得最大值时，求△ 的周长．
【答案】(1) (2)
(1)由正弦定理得 ，即 ，解得 ，
∵ , ∴ ，
∴ ；
(2)由余弦定理得 ，
∴ ，当且仅当 时，等号成立，
此时，△ 的周长为 .
3．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
.
(1)求B；(2)若 ， 面积为 ，求 周长.
【答案】(1) (2)
(1)因为 ，由正弦定理： ，
得 ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，即 .
(2)由题意知 ，∴
由余弦定理得 ，又∵ ， ，
∴
∴ ，故 ，
所以 的周长 .
4．（2022·河南·模拟预测（理））在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ，
．
(1)若 ，求 外接圆的面积；
(2)若 ，求 的周长．
【答案】(1) (2)答案见解析
(1)因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以
则 ，则 ．因为 ，所以 ．
设 外接圆的半径为 ，由正弦定理得 ，
则 ，则 外接圆的面积 ．
(2)由余弦定理可得 ，
代入数据，得 ，解得 或3．
当 时， 的周长为 ；当 时， 的周长为 ．
5．（2022·四川绵阳·高一期中）在 中，内角 的对边分别为 ， ， ，已知
．
(1)求 的值；
(2)若 ， ，求 的周长．
【答案】(1) ；(2) .
(1)解：由已知得：
由余弦定理得 .
(2)解： ，解得 ，
所以 ， ，
由余弦定理知 ，
于是 ，
解得 ，
故 的周长为 .
6．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一期中）在 中，
(1)求角A的大小
(2)若BC边上的中线 ，且 ，求 的周长
【答案】(1) ；(2) .
(1)由已知 ，
由正弦定理得： ，由余弦定理得： ，
在 中，因为 ，
所以 ；
(2)由 ，得 ①，
由（1）知 ，即 ②，
在 中，由余弦定理得： ，
在 中，由余弦定理得： ，
因为 ，所以 ③，
由①②③，得 ，
所以 ，
所以 的周长 .
7．（2022·河南省实验中学高一期中）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2C＝
sin2A+cos2B+sinAsinC．
(1)求角B的大小；
(2)若 ，角B的角平分线交AC于D，且BD＝1，求 的周长．
【答案】(1)120°(2)
(1)解：因为cos2C＝sin2A+cos2B+sinAsinC，
所以1﹣sin2C＝sin2A+1﹣sin2B+sinAsinC，
即sin2B＝sin2A+sin2C+sinAsinC，
由正弦定理得，b2＝a2+c2+ac，
由余弦定理得，cosB ，
由B为三角形内角得B＝120°；
(2)由题意得: ，且 ABD CBD B＝60°，BD＝1，所以 ，
所以 （a+c），即ac＝a+c，
因为b＝2 ，由余弦定理得，b2＝12＝a2+c2﹣2accos120°＝a2+c2+ac，
因为 ，
所以ac=a+c＝4或ac＝﹣3（舍），
故 的周长为 ．
8．（2022·江苏南通·高一期中）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量 ，
，且
(1)求A；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长．
【答案】(1) ；(2) .
(1)由 ，则 ，
由正弦定理得： ，
在 中 ，故 ，即 ，
因为 ，所以 ；
(2)由余弦定理得 ，即 ，可得 ，
又 ，得 ，则 ，即 ，
所以 的周长为
高频考点二：周长（边长）最值
一、解答题
1．（2022·山西·高一阶段练习）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，
且满足 .
(1)求角A的大小；
(2)若 ，求△ABC周长的最大值.
【答案】(1) (2)12
(1)∵ ， ，∴ ，
即 ，
∵ ，∴ ，
∴ ；
(2)∵ ， ，
∴由余弦定理得 ，
，
（当且仅当 时取“=”），
即 ， ，
∴ 的最大值为8， 的最大值为12，
∴△ABC周长的最大值为12.
2．（2022·宁夏·平罗中学三模（文））已知函数 ，向量 ，
，在锐角 中内角 的对边分别为 ，
(1)若 ，求角 的大小；
(2)在（1）的条件下， ，求 的最大值.
【答案】(1) (2)
(1)由题
所以 ，即
又因为 ，所以 ， .
(2)由余弦定理 ，代入数据得： ，
整理得到
解得 ，当且仅当 时，等号成立.故 的最大值为 .
3．（2022·山西运城·高一阶段练习）已知 的内角 所对的边分别为 .
(1)若 的面积为 为边 的中点，求中线 的长度；
(2)若 为边 上一点，且 ，求 的最小值.
【答案】(1) (2)
(1)由正弦定理，得 ，
得 ，
得 ，
，即 .
的面积为 .
为边 的中点，
，
又 ，
，
，即 ，
中线 的长度为 .
(2) 为边 上一点， ，
，
，即 ，
，又 ，
，
，即 ，
，当且仅当 ，即 取等号，
故 的最小值为 .
4．（2022·湖南·模拟预测）在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，已知 .
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的最大值.
【答案】(1) (2)
(1)由 ，得 ，
由余弦定理可得 ，
因为 ，所以 .
(2)在 中，由（1）及 ，由正弦定理 ，
所以 ， ，
所以
，其中 ， ，
因为 ， ，所以存在角 使得 ，
所以 的最大值为 .
5．（2022·浙江·模拟预测）向量 ， ，函数 .
(1)求函数 的对称中心；
(2)若函数 在 上有5个零点，求 的取值范围；
(3)在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 的角平分线交 于点 ，且 恰好为
函数 的最大值.若此时 ，求 的最小值.
【答案】(1) （ Z）(2) (3)(1)∵ ， ，∴ ，
∴ .
令 得 ，∴ 的对称中心为 （ Z）.
(2)当 时， ，又 在 上有5个零点，
∴ ，∴ 的取值范围为 .
(3)由 恰好为函数 的最大值可得 ，
即 ，∵ ，则可解 ，则 ，
在 中，由 ，可得 ，
在 中，由 ，可得 ，
∴ ，
在 中， ，
则可得 ， ，
则
，
∵ ， ，
∴ ，
当且仅当 等号成立，故 的最小值为 .
6．（2022·广东东莞·高一期中）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(1)若 ， ，D为边BC上的中点，求 ；
(2)若E为边BC上一点，且 ， ，求 的最小值.
【答案】(1) (2)
(1)依题意得： ，
由 ，得：
∴
∵D为边BC的中点，∴
∴
即
(2)∵E为边BC上一点， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
当且仅当 ，即 取等号，
故 的最小值为 .
7．（2022·吉林·东北师大附中高一期中）在 中，角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，且
.
(1)当 时，求 面积的最大值；(2)当 的面积为 时，求 周长的最小值.
【答案】(1) (2)
(1)解：由 及正弦定理可得 ，
因为 ，则 ，所以， ，故 .
因为 ，由余弦定理可得 ，
当且仅当 时，等号成立，故 ，
故 面积的最大值为 .
(2)解：因为 ，可得 ，
所以， ，
所以， ，
当且仅当 时，等号成立，故 周长的最小值为 .
8．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ， ， 分别为内角 ，B， 的对边，且
.
(1)求 的大小；
(2)若 ，试判断 的形状；
(3)若 ，求 周长的最大值.
【答案】(1) (2)等腰钝角三角形(3)最大值为
(1)因为 ，
根据正弦定理得 ，整理得
由余弦定理可得
又 ，所以
(2)由（1）知 ，又 得 ，
即 ，因为 ，则 ，
，即 ， ，
则 为等腰钝角三角形；
(3)由 ， 及余弦定理知
则 ，知 ，当且仅当 时等号成立
所以
因此 周长的最大值为 .
高频考点三：周长（边长）取值范围
1．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调递减区间；
(2)当 时，求函数 的值域；
(3)在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ， ，求 的取值范围.
【答案】(1) (2) (3)
(1)解：依题意， ，
由 ，解得 ，
所以函数 的单调递减区间是 ；
(2)解：由（1）知，当 时， ，
则 ， ，
所以函数 的值域是 ；
(3)解：由（1）知， ，
即 ，而 ，则 ，
因此， ，解得 ，
由正弦定理得： ，
即 ，且 ，
则 ，
， ，
，
，
所以 的取值范围是 .
2．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）在① ，②
，③ 这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，
问题：在 中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边， ，_______．
(1)求角B﹔
(2)求 的范围．
【答案】(1)任选一条件，都有 (2)
(1)选择①：∵ ，
∴由正弦定理可得： ，
∴可得： ，可得： ，
∴由余弦定理可得： ，
整理可得： ，∴ ，
∵ ，可得：选择②：，因为
，
所以 ，
又因为 ，所以 ；
选择③：因为 ，
由正弦定理可得 ，
又
由 ，可得 ，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ．
(2)在 中，由（1）及 ，
故 ，
所以
因为 ，则
﹒
所以 的范围为
3．（2022·辽宁沈阳·三模）在① ，② ，
③ 三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．
已知锐角 的内角A，B，C，的对边分别为a，b，c满足_______（填写序号即可）
(1)求B﹔
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)(1)解：选①，
因为 ，
所以 ，
即 ，
又 ，所以 ，
因为 ，
所以 ；
选②，因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ；
选③，
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ；
(2)解：由正弦定理 ，
得 ，
，则 ，
由锐角 得 ，
得 ，则 ，
所以 ，从而 ，
所以 的取值范围为 .
4．（2022·四川成都·高一期中（文））已知向量 ， ，函数
的最小正周期为 ．
(1)求函数 的最大值；
(2)已知 的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 且 ，求 周长的取值
范围．
【答案】(1)1(2)
(1) ．
因为 的最小正周期为 ，所以 ．所以 ．所以 ．所以 的最大值为
1．
(2) ．因为 ， ，所以 ， ．
由正弦定理可得 ，所以 ， ．因为 ，
所以 ， ．所以
．因为 ，所以 ．所以．
所以 ．所以 周长的取值范围为 ．
5．（2022·四川成都·高一期中（理））已知向量 ，函数
(1)求函数 的最大值；
(2)
的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 且 ，求 周长的取值范围．
【答案】(1)1；(2) .
(1)依题意， ，
所以函数 的最大值为1．
(2)因函数 与x轴的三个连续交点的横坐标构成以 为公差的等差数列，则 的最小正周期为 ，
即 ，解得 ，
，有 ，而 ，
因此， ，在 中，由正弦定理得： ，
即 ，而 ，
则 ，
因 ，则 ，有 ，于是有 ，
所以 周长的取值范围为 ．
6．（2022·河北·高一期中）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 ，
，且 ．
(1)求C；(2)若 ，求 周长的取值范围．
【答案】(1) (2)
(1)解：因为向量 ， ，且 ，
所以 ，
即 ，
即 ，
即 ，
因为 ，
所以 ．
(2)由余弦定理得 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ．
又三角形的两边之和大于第三边，所以 ，
所以 周长的取值范围为 ．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件； ，
．
（I）求角A的值；
（Ⅱ）求 的范围．
【答案】（I） ；（Ⅱ） .
（I）由 ，
利用正弦定理可得 ，即
故 ，
又 ，
（Ⅱ） ， ，利用正弦定理故 ，
在 中， ，故
， ，
所以 的范围是
8．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ．令函数 ．
（1）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
（2） 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的角平分线交 于D．其中，函数 恰
好为函数 的最大值，且此时 ，求 的最小值．
【答案】（1） 的最小正周期为 ，单调递增区间为 ；
（2）
【详解】
（1） ，
，
则 的最小正周期为 ，
令 ，解得 ，
故 的单调递增区间为 ；（2）由 恰好为函数 的最大值可得 ，
即 ， ，则可解得 ，则 ，
在 中，由 ，可得 ，
在 中，由 ，可得 ，
，
在 中， ，
则可得 ， ，
则 ，
，
，
当且仅当 等号成立，故 的最小值为 .
第三部分：高考真题感悟
一、解答题
1．（2020·全国·高考真题（理）） 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求 周长的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
（1）由正弦定理可得： ，
，， .
（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式
由余弦定理得： ，
即 .
（当且仅当 时取等号），
，
解得： （当且仅当 时取等号），
周长 ， 周长的最大值为 .
[方法二]：正弦化角（通性通法）
设 ，则 ，根据正弦定理可知 ，所以
，当且仅当 ，即
时，等号成立．此时 周长的最大值为 ．
[方法三]：余弦与三角换元结合
在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得 ，即 ．
令 ，得 ，易知当 时，
，
所以 周长的最大值为 ．
2．（2017·全国·高考真题（理））△ABC的内角 的对边分别为 ,已知△ABC的面积为
(1)求 ;
(2)若 求△ABC的周长.
【答案】(1) (2) .
解析：（1）由题设得 ，即 .由正弦定理得 .
故 .
（2）由题设及（1）得 ，即 .
所以 ，故 .
由题设得 ，即 .
由余弦定理得 ，即 ，得 .
故 的周长为 .
3．（2016·全国·高考真题（理）） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知
.
（1）求角C；（2）若 ， ，求 的周长.
【答案】（1） （2）
解析：（1）由已知可得
（2）
又
， 的周长为
