专题6.3平面向量的应用2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题6.3 平面向量的应用 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 新课程考试要求 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 3.正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算 核心素养 （多例）等. （1）以平面图形为载体，借助于平面向量研究平面几何平行、垂直等问题；也易同三 角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现． （2）正弦定理或余弦定理独立命题； （3）正弦定理与余弦定理综合命题； 考向预测 （4）与三角函数的变换结合命题； （5）考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦 定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积 有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、立体几何等结合考查. 【知识清单】 知识点1.向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下方面： (1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义． (2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件： a ∥ b ⇔ a ＝ λ b ( 或 xy － xy ＝ 0 ) ． 1 2 2 1 (3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直 的条件： a ⊥ b ⇔ a · b ＝ 0 ( 或 xx ＋ yy ＝ 0 ) ． 1 2 1 2 (4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式 co s θ ＝ ． (5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量 用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 知识点2．向量在物理中的应用 数学中对物理背景问题主要研究下面两类： (1)力向量 力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量， 在不计作用点的情况下，__可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力__． (2)速度向量 速度向量是具有大小和方向的向量，因而__可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度__． 知识点3．正弦定理 正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题． 面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B 知识点4．余弦定理 a2 b2 c2 2abcosC b2 c2 a2 2accosA c2 a2 b2 2accosB 余弦定理： ， ， . 变形公式cos A＝，cos B＝，os C＝ 【考点分类剖析】 考点一 ：平面向量在平面几何中的应用 【典例1】（2021·四川省内江市第六中学高一期中）已知非零向量 与 满足 ，且 ，则 为（ ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解析】 由 推出 ，由 推出 ，则可得答案. 【详解】 由 ，得 ，得 ，得 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ，即 ，所以 为等腰直角三角形. 故选：C 【典例2】（2021·吉林吉林市·高三三模（文））已知 ､ 为平面上的两个定点，且 ，该平面上 的动线段 的端点 ､ ，满足 ， ， ，则动线段 所形成图形的面 积为（ ） A．36 B．60 C．72 D．108 【答案】B 【解析】 根据题意建立平面直角坐标系，根据 和 ，得到动点 在直线 上，且 ， 进而得到 扫过的三角形的面积，再由 ，同理得到 扫过的三角形的面积，两者求和即 可. 【详解】 根据题意建立平面直角坐标系，如图所示：则 ， ，设 ， ∴ ， ； 由 ，得 ； 又 ， ∴ ， ； ∴ ； ∴ ， ∴动点 在直线 上，且 ，即线段CD上，则 , 则 扫过的三角形的面积为 ， 设点 ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴动点 在直线 上，且 ，即线段MN上，则 , ∴ 扫过的三角形的面积为 ， ∴因此和为60， 故选：B. 【典例3】（2021·济南市·山东师范大学附中高一期中）设 为 所在平面上一点，且满足，若 的面积为2，则 面积为_______________． 【答案】3 【解析】 由已知条件可得 ，令 ，则可得 ，从而可 得 为 上靠近 的三等分点，由 ，得 ∥ ，从而有 ， 进而可求得答案 【详解】 解：因为 ， 所以 ， 令 ，则 ， 所以 ，所以 为 上靠近 的三等分点， 因为 ，所以 ∥ , 所以 ， 所以 ， 故答案为：3 【总结提升】 1.用平面向量解决几何问题，往往涉及平行、垂直． 2.处理几何问题有两个角度，一是注意选定基底，用相同的向量表示研究对象；二是通过建立坐标系，利 用向量的坐标运算求解．3.要证明两线段平行，如AB∥CD，则只要证明存在实数λ≠0，使AB＝λCD成立，且AB与CD无公共点． 4.要证明A、B、C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB＝λAC． 5.要求一个角，如∠ABC，只要求向量BA与向量BC的夹角即可． 6.在解决求长度的问题时，可利用向量的数量积及模的知识，解题过程中用到的整体代入使问题得到简捷、 明了的解决． 【变式探究】 1．（2021·河北高一期中）已知 是边长为2的正三角形，点 为 所在平面内的一点，且 ，则 长度的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 通过建立直角坐标系，利用向量的坐标表示结合基本不等式解决向量模长问题. 【详解】 如图，以 的中点 为原点， ， 所在直线分别为 轴， 轴建立直角坐标系 ，即 ， ， ， 则 ， . 设 ，则 ， ， ， 所以 . 设 ， ，解得 ， ， 则 ， 所以 长度的最小值为 . 故选：B 2. （2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（理））若 为 所在平面内任意一点，且满足 ，则 的形状为______．（填：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、 等腰直角三角形） 【答案】等腰三角形 【解析】 取 的中点 ，根据平面向量的线性运算计算 ，从而 ，于是 ． 【详解】 取 中点 ，连接 ， 则 ， 又 ， ， ， ， ； ；的形状是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形. 考点二：用向量方法探究存在性问题 【典例4】在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，M是边AC上靠近点A的一个三等分点，试问：在线 段BM(端点除外)上是否存在点P，使得PC⊥BM? 【答案】线段BM上不存在点P使得PC⊥BM． 【解析】[思路分析] 本题是存在性问题，解题时利用共线向量，把向量BP的坐标设出，从而得到CP的坐 标，然后根据垂直关系，利用数量积为零得到问题的答案． 解：以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系． ∵AB＝AC＝5，BC＝6， ∴B(0,0)，A(3,4)，C(6,0)， 则AC＝(3，－4)． ∵点M是边AC上靠近点A的一个三等分点， ∴AM＝AC＝(1，－)， ∴M(4，)， ∴BM＝(4，)． 假设在BM上存在点P使得PC⊥BM， 设BP＝λBM，且0<λ<1， 即BP＝λBM＝λ(4，)＝(4λ，λ)， ∴CP＝CB＋BP＝(－6,0)＋(4λ，λ)＝(4λ－6，λ)． ∵PC⊥BM，∴CP·BM＝0， 得4(4λ－6)＋×λ＝0， 解得λ＝． ∵λ＝∈/(0,1)，∴线段BM上不存在点P使得PC⊥BM． 【规律总结】 本题若用平面几何知识解非常复杂，利用共线向量则能巧妙解决，在今后解题中注意体会和应用． 【变式探究】 ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是边BC的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连接 DF，求证：∠ADB＝∠FDC． △ 【答案】 【解析】如图，B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设A(0,2)，C(2,0)，则D(1,0)，AC＝(2，－2)． 设AF＝λAC， 则BF＝BA＋AF＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)． 又DA＝(－1,2)，BF⊥DA，∴BF·DA＝0， ∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝． ∴BF＝(，)，DF＝BF－BD＝(，)． 又DC＝(1,0)，∴cos∠ADB＝＝， cos∠FDC＝＝， 又∠ADB，∠FDC∈(0，π)，∴∠ADB＝∠FDC． 考点三：平面向量在物理中的应用 【典例5】（2021·全国高一课时练习）空间作用在同一点的三个力 两两夹角为 ，大小分别为 ，设它们的合力为 ，则（ ） A． ，且与 夹角余弦为 B． ，且与 夹角余弦为 C． ，且与 夹角余弦为 D． ，且与 夹角余弦为 【答案】C 【解析】 设三个力对应的向量分别为 、 、 ，以 、 、 为过同一个顶点的三条棱，作平行六 面体如图，再以平面 为 平面， 为原点、 为 轴建立如图空间直角坐标系．分别算出点、 、 的坐标，运用向量的加法法则，可得 ， ， ．最后利用向量模的公式算出 ， 并且利用向量夹角公式算出 与 夹角余弦，即得解. 【详解】 设向量 ， ， 以 、 、 为过同一个顶点的三条棱， 作平行六面体 ，如图所示 则可得向量 ， 以平面 为 平面， 为原点， 为 轴建立空间直角坐标系，如图所示 可得 ，0， ， ，1， ， ，3， 设 ， ， ，可得 ，解之得 ， ， ． ， ， ， 结合 ，1， ， ，3， ， 可得 ， ， 设 与 所成的角为 ，可得即 与 所成角的余弦之值为 . 故选：C． 【典例6】（2021·全国高一课时练习）如图，重为 的匀质球，半径 为 ，放在墙与均匀的 木板之间， 端锁定并能转动， 端用水平绳索 拉住，板长 ，与墙夹角为 ，如果不计 木板的重量，则 为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？ 【答案】 时， 有最小值 ． 【解析】 设木板对球的支持力为 ，得到 ，绳子的拉力为 ，化简得 ，利用三角 函数的基本性质和基本不等式，即可求解. 【详解】如图所示，设木板对球的支持力为 ，则 ， 设绳子的拉力为 ，又由 ， ， 由动力矩等于阻力矩得 ， 所以 ， 当且仅当 即 ，即 时， 有最小值 ． 【总结提升】 1.求几个力的合力，可以用几何法，通过解三角形求解，也可用向量法求解． 2．如果一个物体在力G的作用下产生位移为s，那么力F所做的功W＝|F||s|cosθ，其中θ是F与s的夹角． 由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积． 【变式探究】 1．【多选题】（2021·浙江高一期末）在水流速度为 的河水中，一艘船以 的实际航行 速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（ ） A．这艘船航行速度的大小为 B．这艘船航行速度的大小为C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为 D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为 【答案】BD 【解析】 根据题意作出图示，结合向量的平行四边形法则计算出船的速度以及船的航行方向和水流方向的夹角. 【详解】 设船的实际航行速度为 ，水流速度为 ，船的航行速度为 ， 根据向量的平行四边形法则可知： ， 设船的航行方向和水流方向的夹角为 ， 所以 ，所以 ， 故选：BD. 2.（2021·云南昆明市·高三三模（理））两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则 与 大 小之比为___________．【答案】 【解析】 物体处于平衡状态，所以水平方向的合力为0，然后可算出答案. 【详解】 物体处于平衡状态，所以水平方向的合力为0 所以 ，所以 故答案为： 考点四： 正弦定理 VABC 【典例7】（2019·全国高考真题（文）） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 bsinA+acosB=0，则B=___________.3 【答案】 4 . 【解析】 sinBsin Asin AcosB 0  A(0,),B(0,) sin A0, sinBcosB 0 由正弦定理，得 ． ， 得 ， 3 B . 即tanB1， 4 故选D． 【典例8】（2021·济南市·山东师范大学附中高一期中）已知 ， ， （1）求 与 的夹角 ； （2）在平面四边形 中，若 ， ， ， ，求 的面 积． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 （1）根据平面向量数量积的运算律得到 ，再根据 计算可得； （2）由 ，再根据平面向量数量积的运算律求出 ，再利用正弦定理求出 ，即 可得到 ，从而得解； 【详解】 （1）∵ ， ， ∴ ∴∴ ， 又 ，∴ ； （2）∵ ， ∴ ， ∴ 边的长度为 ． 在 中，由正弦定理可得 即 所以 所以 又 ，∴ ∴ ， ∴ 【总结提升】 已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． 已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意． 已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则 A为锐角 A为钝角或直角 图形 bsin A＜a 关系式 a＜bsin A a＝bsin A a≥b a＞b a≤b ＜b 解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 【变式探究】 3 1.（2019·北京高考模拟（理））在ΔABC中，已知BC=6，AC=4，sinA= ，则∠B=______． 4 π 【答案】 6 【解析】 3 3 BC AC 4× ∵BC=6，AC=4，sinA= ，由正弦定理 = ，得：sinB=AC⋅sin A 4 1， 4 sinA sinB = = BC 6 2 π ∵AC＜BC，∴得B为锐角，所以B= ． 6 π 故答案为： ． 6 1 2. （2018·北京高考真题（理））在△ABC中，a=7，b=8，cosB= – ． 7 （Ⅰ）求∠A； （Ⅱ）求AC边上的高． π 3√3 【答案】(1) ∠A= (2) AC边上的高为 3 2 【解析】 1 π 4√3 （1）在△ABC中，∵cosB=– ，∴B∈（ ，π），∴sinB=√1−cos2B= ．由正弦定理得 7 2 7 8 a b 7 √3 π π π = ⇒ =4√3，∴sinA= ．∵B∈（ ，π），∴A∈（0， ），∴∠A= ． sinA sinB sinA 2 2 2 3 7 √3 1 1 4√3 3√3 （2）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA= ×(− )+ × = ． 2 7 2 7 14ℎ 3√3 3√3 3√3 如图所示，在△ABC中，∵sinC= ，∴h=BC⋅sinC=7× = ，∴AC边上的高为 ． BC 14 2 2 考点五 余弦定理 【典例9】（2020·全国高考真题（文）） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°. （1）若a= c，b=2 ，求 的面积； （2）若sinA+ sinC= ，求C. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）已知角 和 边，结合 关系，由余弦定理建立 的方程，求解得出 ，利用面积公式，即可得 出结论； （2）将 代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关 角的三角函数值，结 合 的范围，即可求解. 【详解】 （1）由余弦定理可得 ， 的面积 ； （2） ，， ， . 【典例10】（2021·济南市·山东省实验中学高一期中）在平面四边形ABCD中，AB=4，AD=2 ，对角线 AC与BD交于点E；E是BD的中点，且 . （1）若 ，求cos∠AED的值； （2）若 ，求BD的长. 【答案】（1） ；（2） ； 【解析】 （1）利用正弦定理得 ，接着在直角三角形中利用边长求解即可. （2）利用中线的向量表示，结合向量的数量积得到 ，最后利用余弦定理进行解题即可. 【详解】 （1）由题意可知：在 中， ， ， , 由正弦定理可知： ,即 ， 解得 ，所以 ，所以 为直角三角形， 由勾股定理可知： , 又因为E是BD的中点，所以 , 则在直角 中， . （2）因为 ，所以 ， 又因为E是BD的中点，所以 , 所以 即 所以 , 解得： ， 在 中，利用余弦定理得：, 所以 . 【规律方法】 应用余弦定理解答两类问题：【变式探究】 1. （2021·四川雅安市·雅安中学高一期中）已知 的角 所对的边分别为 ，设向量 . （1）若 ，求证 为等腰三角形； （2）若 ， ， ，求 的面积. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 （1）根据平面向量共线的条件以及正弦定理可得结果；（2）根据平面向量垂直的坐标表示得 ，根据余弦定理求出 ，再根据三角形的面积公式 可求出结果. 【详解】 （1） ， ，所以 ， ， 为等腰三角形. （2）由题意可知 ，即 ， ， 由余弦定理可知 ，所以 或 （舍去）， . 1  b–c2 2 2. （2019·北京高考真题（文））在△ABC中，a=3， ，cosB= ． （Ⅰ）求b，c的值； （Ⅱ）求sin（B+C）的值． 3 3 b7,c5 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 14 . 【解析】 a2 c2 b2 1 cosB   （Ⅰ）由余弦定理可得 2ac 2， b7  因为 a 3 ，所以 c2 b2 3c90 ；因为 bc2 ，所以解得 c5. b2 c2 a2 13 cosA  （Ⅱ）由（Ⅰ）知a 3,b7,c5，所以 2bc 14 ；3 3 sin A 1cos2 A  因为A为ABC的内角，所以 14 . 3 3 sin(BC)sin(A)sin A 因为 14 . 【总结提升】 如(a、b、c） A、B ABC 180 C 已知三边 ，由余弦定理求 ，再由 求角 ，在有解时只有一解. 如(a、b、C） 已知两边和夹角 ，余弦定理求出对边. 考点六 正弦定理与余弦定理的综合运用 【典例11】（2020·江苏省高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 a3,c 2,B45 ． sinC （1）求 的值； 4 （2）在边BC上取一点D，使得cosADC  ，求 的值． 5 tanDAC 5 2 sinC  tanDAC  【答案】（1） 5 ；（2） 11. 【解析】 2 b2 a2 c2 2accosB 9223 2 5 （1）由余弦定理得 2 ，所以b 5. c b csinB 5  sinC   由正弦定理得sinC sinB b 5 .  3 cosADC  4 ADC  ,  sinADC  1cos2ADC  （2）由于 5 ，  2 ，所以 5.     2 5 ADC  ,  C  0,  cosC  1sin2C  由于  2 ，所以  2，所以 5 . sinDAC sinDAC sinADCC 所以 3 2 5  4 5 2 5         . sinADCcosCcosADCsinC 5 5  5 5 25   11 5 DAC  0,  cosDAC  1sin2DAC  由于  2，所以 25 . sinDAC 2 tanDAC   所以 cosDAC 11. 【典例12】（2021·天津滨海新区·高一期末）在 中，已知内角 所对的边分别为 ， 向量 ，向量 ，且 ∥ . （1）求角 的大小； （2）若 求 的取值范围； （3）若 的内切圆的周长为 ，当 的值最小时，求 的面积. 【答案】（1） ；（2） ；（3） . 【解析】（1）由 ∥ ，可得 ，从而可求得角 的大小； （2） 可得 为钝角，即 ，再利用正弦定理表示出 ，从而有 ，再由 可求出 的取值 范围； （3）由余弦定理得 ，由 的内切圆的周长为 ，可得内切圆半径 ，设圆 为 的内切圆圆心， ， 为切点，则可得 ， ，再由切线长定理可得 ，结合前的式子可得 ，则有 ，从而可得当 时， 的值最小，进而可求出 的面积 【详解】 解：（1） ∥ ， ， ，即 ， （2） 为钝角，从而 由正弦定理，得 ，， （3）由余弦定理得： ， 由题意可知： 的内切圆周长 ， 所以内切圆半径 如图，设圆 为 的内切圆圆心， ， 为切点， 可知 ≌ ，又 ，可得： ， ， 由切线长定理可知从圆外一点引圆的两条切线长相等， ， 化简得 (当且仅当 时取等号) 即，或 又 ， ，即 ， 当且仅当 时， 的值最小为24， 此时 的面积： 【总结提升】 应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个 定理更方便、简捷就用哪一个定理． 【变式探究】 1.（2020·天津高考真题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a=2√2,b=5,c=√13． （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）求sin A的值；( π) （Ⅲ）求sin 2A+ 的值． 4 π 2√13 ( π) 17√2 【答案】（Ⅰ）C= ；（Ⅱ）sin A= ；（Ⅲ）sin 2A+ = . 4 13 4 26 【解析】 （Ⅰ）在△ABC中，由a=2√2,b=5,c=√13及余弦定理得 a2+b2−c2 8+25−13 √2 cosC= = = ， 2ab 2×2√2×5 2 π 又因为C∈(0,π)，所以C= ； 4 √2 π 2√2× 2√13 （Ⅱ）在△ABC中，由C= ，a=2√2,c=√13及正弦定理，可得 asinC 2 ； 4 sinA= = = 13 c √13 2√13 3√13 （Ⅲ）由a