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考点 4-3 解三角形
1．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
， ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
由正弦定理得 ，在 中，由余弦定理即可求解.
【详解】
因为 ，由正弦定理可知 ，
在 中，由余弦定理可得： ，解得 ， ，
故
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在 中，已知 ，D是 边上的一点，
，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由余弦定理求出 ，得到 ，由正弦定理进行求解出答案.
【详解】
在 中，由余弦定理得： ，
因为 ，
所以 ，在 中，由正弦定理得： ，即 ，
解得：
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ， ，
，则 （ ）
A． B．5 C．8 D．
【答案】A
【分析】
由三角形的面积和 计算出 的值，再根据余弦定理求出 的值，即可得到答案
【详解】
由题意可知， ，得
，
由余弦定理可得：
整理得： ，
故选：A
4.（2021·福建省华安县第一中学高三期中）如图所示，在 中，M是在线段 上， ，
， ，则边 的长为_____________.
【答案】
【分析】
根据 ， 可得 ，再在 中用正弦定理求解 即可
【详解】
因为 ， ，故 ，在 中由正弦定理有，故
故答案为：
5．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
，则 ___________．
【答案】
【分析】
由正弦定理角化边，即可得到 ，从而得到 ，再由余弦定理求出 ，最后由同角三角函数
的基本关系计算可得；
【详解】
解：因为 ，即 ，由正弦定理可得 ，
又 ，即 ，即 ，
由余弦定理 ，即 ，
所以 ，
所以 ；
故答案为：
6.（2023·全国·高三专题练习）在 中，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由余弦定理及已知条件可得 ，即可求 的取值范围.
【详解】
由 ，故 .
故选：A
7．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ，
，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意，利用正弦定理边化角，由三角形内角和定理，展开化简得 ．
【详解】
由 ，边化角得 ，
又 ，所以 ，
展开得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
故选：B．
8．（2022·青海·模拟预测（理））在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，
则△ABC的面积为 时，k的最大值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】
由三角形的面积公式，可得 ，
根据余弦定理，可得 ，
则整理出以 为函数值的三角函数，根据三角函数的性质，可得 的最值.
【详解】
由题意得 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，其中 ，且 ，
所以 的取值范围为 ，
故选：B.
9.（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知， ，则 的最小值为______．
【答案】
【分析】
先利用正弦定理将角化为边，然后利用余弦定理结合基本不等式求解即可.
【详解】
，则原等式为 ，由正弦定理得 ，
，当且仅当 时取等号．
故答案为： .
10．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
， ， ，则 的面积为______．
【答案】
【分析】
根据 ，结合 ，利用正弦定理得到 ，进而求得 ，再利用余弦定理，结
合 ，求得a，b，c求解.
【详解】
解：因为 ，
所以 ,又 ，
所以 ，因为 是锐角三角形，
所以 ，
由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，
又 ，则 ，
所以 的面积为 ，
故答案为：11.（2022·广东深圳·高三阶段练习）在 中， ， 的内切圆的面积为 ，则边 长
度的最小值为（ ）
A．16 B．24 C．25 D．36
【答案】A
【分析】
由条件可求内切圆半径，根据内切圆的性质和三角形的面积公式可得三边关系，结合基本不等式可求边 长度的最小值.
【详解】
因为 的内切圆的面积为 ，所以 的内切圆半径为4．设 内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．
因为 ，所以 ，所以 ．因为 ，所以
．设内切圆与边 切于点 ，由 可求得 ，则 ．又因为
，所以 ．所以 ．又因为 ，所以
，即 ，整理得 ．因为 ，所以 ，当且
仅当 时， 取得最小值．
故选：A．
12．（2022·全国·高三专题练习）在锐角 中，若 ，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由 ，可得 ；再结合正弦定理将 中的角化边，化
简整理后可求得 ；根据锐角 和 ，可推出 ， ，再根据正弦
定理可得 ，最后结合正弦的两角差公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质即
可得解．
【详解】
由 ，得 ， ，
， ．由题 ，由正弦定理有 ，故
，即 ，故 ，即，由正弦定理有 ，故 ， ，又锐角 ，且
， ， ，解得 ， ，
，
， ， ， ， ， ，
的取值范围为 ．
故选：A．
13．（2022·四川眉山·三模（文））已知 中， ， ，
，D是边BC上一点， .则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用正弦定理及余弦定理可得 ，结合条件可得 ，然后利用余弦定理可得 ， ，进而
可得 ，即得.
【详解】
设 中，角 的对边为 ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ，又 ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故 ，
∴ ， ， ，
又 ， ，
∴ ， .故选：B.
14．（2022·北京·测试学校四高三）在 中， ，其外接圆半径 ，且
，则 ___________.
【答案】1
【分析】
利用正弦定理的边角互化结合三角恒等变换即可求解
【详解】
因为 ，
所以
因为 ，
所以 ,
进而有 ，
于是
因为 ，
所以 .
故答案为：1
15．（2022·全国·高三专题练习）已知四边形 的面积为2022，E为 边上一点， ， ，
的重心分别为 ， ， ，那么 的面积为___________．
【答案】 ##
【分析】以点A为原点，射线AD为x轴非负半轴建立坐标系，设出点B，C，D，E的坐标，由此表示出点 ， ，
，再借助向量探求 的面积与四边形 的面积的关系即可计算作答.
【详解】
以点A为原点，射线AD为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，
设 ，因 ， ， 的重心分别为 ， ， ，
则 ， ， ， ，
面积
，同理可得四边形 的面积：
，
于是得 ，
所以 的面积为 .
故答案为：
