文档内容
第 03 讲 平方根、立方根（5 个知识点+5 种题型+强化训
练）
知识导图
知识清单
知识点1．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“ ”，负的平方根表示为“﹣ ”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作 ．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平
方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，
0的立方根是0．
知识点2．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为 ．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a
本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平
方根时，可以借助乘方运算来寻找．
知识点3．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也
是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求
值问题．
知识点4．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，
如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作： ．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号 中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、
负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平
方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，
0的立方根是0．
知识点5．计算器—数的开方
正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：
当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或
向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．
知识复习
一．平方根（共8小题）1．（2024•渝中区校级开学）一个正数的两个平方根分别为 和 ，则这个正数是
A．81 B．25 C．16 D．9
【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数，据此可得 ，解得 的
值后代入 中计算出结果后再将其平方即可．
【解答】解： 一个正数的两个平方根分别为 和 ，
，
，
则 ，
那么这个正数为 ，
故选： ．
【点评】本题考查平方根的性质，结合题意列得 是解题的关键．
2．（2023春•涪城区期末）若 与 是同一个正数的两个平方根，则 的值为
A．3 B． C．1 D．
【分析】根据平方根的定义进行计算即可．
【解答】解： 与 是同一个正数的两个平方根，
，
解得 ，
故选： ．
【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提．
3．（2023春•西岗区期末）下列说法正确的是
A．正数的平方根是它本身 B．100的平方根是10
C． 是100的一个平方根 D． 的平方根是
【分析】直接利用平方根的性质分别分析得出答案．
【解答】解： 、正数的平方根是它本身，错误；
、100的平方根是10，错误，应为 ；
、 是100的一个平方根，正确；
、 没有平方根，故此选项错误；故选： ．
【点评】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的性质是解题关键．
4．（2023春•沙河口区期末）9的平方根是
A．3 B． C． D．
【分析】根据平方根的含义和求法，可得9的平方根是： ，据此解答即可．
【解答】解：9的平方根是 ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
5．（2023春•岳麓区校级期末）36的平方根是 ．
【分析】如果一个数的平方等于 ，这个数就叫做 的平方根，由此即可得到答案．
【解答】解： ，
的平方根是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查平方根，关键是掌握平方根的定义．
6．（2023春•黄石期末）已知一个正数的平方根是 和 ，则这个数是 16
．
【分析】根据正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解得到 的值，
即可得到这个正数．
【解答】解：根据题意得： ，
解得： ，
所以 ， ，
则这个数是16．
故答案为：16．
【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
7．（2023春•秀山县校级月考）已知正数 有两个平方根，分别是 与 ．①求
的值；②求这个正数 ．
【分析】正数 有两个平方根，分别是 与 ，所以， 与 互为相反数；即 ，解答可求出 ；根据 ，代入可求出 的值．
【解答】解： 正数 有两个平方根，分别是 与 ，
，
得， ；
所以， ；
【点评】本题主要考查了平方根的定义和性质，以及根据平方根求被开方数；注意：一个
正数有两个平方根，它们互为相反数．
8．（2023春•扎赉特旗期末）一个正数的 的平方根是 与 ，求 和 的值．
【分析】根据平方根的定义得出 ，进而求出 的值，即可得出 的值．
【解答】解： 一个正数的 的平方根是 与 ，
或
解得： 或 ，
或 ．
或 ．
【点评】此题主要考查了平方根的定义，正确把握定义是解题关键．
二．算术平方根（共11小题）
9．（2023春•石嘴山校级期末）81的算术平方根为
A． B．3 C． D．9
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【解答】解： ，
的算术平方根为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而
导致错误．
10．（2023春•泰来县校级期末）下列计算正确的是A． B． C． D．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．
【解答】解： 、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
、 没有意义，不可以计算，原计算错误，故此选项不符合题意；
、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
、 ，原计算正确，故此选项符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义和性质．
11．（2023春•邯郸期中）要生产一个底面为正方形的长方体形容器，容积为
立方分米），使它的高是底面边长的2倍，则底面边长为
A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米
【分析】设底面边长为 分米，则高为 分米，根据长方体体积公式列出方程，求出 的
值即可．
【解答】解：设底面边长为 分米，则高为 分米，
则 ，
即 ，
解得： ，
即底面边长为（4分）米，
故选： ．
【点评】本题主要考查了立方根的实际应用，正确列出方程是解答本题的关键．
12．（2023春•启东市期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的 的值是64，则输出
的 的 值 是A． B． C．2 D．3
【分析】根据所给出的程序列出代数式，由实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：由所给的程序可知，当输入64时， ，
是有理数，
取其立方根可得到， ，
是有理数，
取其算术平方根可得到 ，
是无理数，
．
故选： ．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知有理数与无理数的概念是解答此题的关键．
13．（2024•渝中区校级开学）5的算术平方根是 ．
【分析】如果一个非负数 的平方等于 ，那么 是 的算术平方根，根据此定义即可求出
结果．
【解答】解：
的算术平方根是 ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而
导致错误，弄清概念是解决本题的关键．
14．（2023春•江岸区期中）若一个数的算术平方根等于它的本身，则这个数是 0 ， 1．
【分析】根据开方运算，可得答案．
【解答】解：若一个数的算术平方根等于它的本身，则这个数是 0，1，
故答案为：0，1．
【点评】本题考查了算术平方根，利用了开方运算，注意一个正数的算术平方根只有一个．
15．（2023春•孟村县期末）小明制作了一张面积为 的正方形贺卡想寄给朋友．现
有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为 ，面积为 ．
（1）求长方形信封的长和宽；
（2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断．
【分析】（1）设长方形信封的长为 ，宽为 ，由长方形的面积可求出 的值，
从而求出长方形信封的长和宽；
（2）先计算出正方形贺卡的边长，然后与长方形信封的宽进行比较，得出结论．
【解答】解：（1）设长方形信封的长为 ，宽为 ，
由题意得 ，
，
， ，
答：长方形信封的长为 ，宽为 ；
（2）面积为 的正方形贺卡的边长是 ，
，
，，即信封的宽大于正方形贺卡的边长，
小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封．
【点评】本题考查了算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根的运算是解题的关键．
16．（2023秋•秦都区校级期中）一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的 为16时，输出的 值是 ；
（2）若输入有效的 值后，始终输不出 值，请写出所有满足要求的 的值，并说明你的
理由；
（3）若输出的 是 ，请写出两个满足要求的 值： ．
【分析】（1）根据算术平方根，即可解答；
（2）根据0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以始终输不出 值；
（3）3和9都可以．
【解答】解：（1） 的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出，
的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出，
的算术平方根是 ，是无理数，输出 ，
故答案为：
（2） 和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，
当 和1时，始终输不出 的值；
（3）25的算术平方根是5，5的算术平方根是 ，
故答案为：5和25．
【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
17．（2023秋•市南区校级期中）某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某投
资商，该投资商为减小固定资产投资，将原有的正方形场地改建成 800平方米的长方形场
地，且其长、宽的比为 ．
（1）求改建后的长方形场地的长和宽为多少米？
（2）如果把原来面积为900平方米的正方形场地的金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地的长方形围墙，栅栏围墙是否够用？为什么？
【分析】（1）设长方形围场长为 米，则其宽为 米，根据长方形面积列出方程求出
的值，进而可知长方形长与宽；
（2）由（1）中长方形的长与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知
是否够用．
【解答】解：设长方形围场长为 米，则其宽为 米，根据题意，
得： ，
解得： 或 （舍 ，
长 ，宽 ，
答：改建后的长方形场地的长和宽分别为 米、 米；
（2）设正方形边长为 ，则 ，
解得： 或 （舍 ，
原正方形周长为120米，
新长方形的周长为 ，
，
栅栏不够用，
答：这些金属栅栏不够用．
【点评】本题主要考查一元二次方程的简单应用，根据题意设出合适未知数是基础，依据
相等关系列出方程求出各自周长是解题的关键．
18．（2023春•潼南区期末）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数 ，若 的
百位数字与十位数字的平均数等于个位数字，则称 为“均衡数”．将“均衡数” 的
百位数字与十位数字交换位置后得到的新数再与 相加的和记为 ．若三位数 是
“均衡数”，满足百位数字小于十位数字， 整数，且 能被十位数字与百位数字的差整除，则 的值为 17 4 或 26 4 或 35 4 ．
【分析】（1）本题可假设未知数来求解；
（2）根据题目已知信息列出整式推算．
【解答】解：由题意三位数 是“均衡数”，
即 满足 的百位数字与十位数字的平均数等于个位数字，
假设 的百位数字、十位数字和个位数字分别为 、 和 ，
那么 ，
的百位数字与十位数字的平均数等于个位数字，
，即 ，
由题意得： ，
即 ，
又 ，
，
又 是整数，
是整数，
、 、 均不为零且是三位数的各个位数，
，
，
当 且满足 是整数时，
或 ，
又 ， 且 ， 为正整数，
不成立，
即 ，的百位数字小于十位数字且 能被十位数字与百位数字的差整除，
且 是整数，
即 是整数，
又 ，
是整数，
， 且 ， 为正整数，
，
又 ，
，
即 ，
是整数，
又 ，
是整数，
即 是整数，
又 ，
的取值可为1或2或3，
①当 的取值为1时，
， ，
；
②当 的取值为2时，
， ，
；
③当 的取值为3时，， ，
；
综上， 的值为174或264或354．
故答案为：174或264或354．
【点评】本题考查整式的运算以及立方根为整数的条件，假设未知数的过程中注意找清楚
未知数之间的关系，遇到被整除或者开三次根方为整数时，要注意分情况分析．
19．（2023春•顺庆区校级月考）设 ， ， ，
， ，则
的值为
A． B． C． D．
【分析】观察第一步的几个计算结果，得出一般规律．
【 解 答 】 解 ： ， ，
， ， ，
，
．故选： ．
【点评】本题考查的是算术平方根及数字算式的变化规律，解题的关键是观察式子的结果
由特殊到一般，得出规律．
三．非负数的性质：算术平方根（共9小题）
20．（2023春•平桂区 期中）若 ，则 的值为
A． B． C．1 D．2
【分析】先运用非负数的性质求得 ， 的值，再代入求解．
【解答】解：由题意得，
， ，
解得 ， ，
，
故选： ．
【点评】此题考查了非负数性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行运算．
21．（2023春•祥云县期末）已知 ．那么 的值为
A． B．1 C． D．
【分析】根据算术平方根、绝对值的非负性，求出 、 的值，再代入计算即可．
【解答】解： ．
， ，
即 ， ，
，
故选： ．
【点评】本题考查算术平方根、绝对值，理解算术平方根、绝对值的非负性是正确解答的
前提．
22．（2023春•西城区校级期中）若 ，则 的值是
A． B．2 C．4 D．
【分析】直接利用非负数的性质得出 ， ，进而得出答案．【解答】解： ，
， ，
解得： ， ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出关于 ， 的等式是解题关键．
23．（2023 春•蜀山区校级月考）若 、 为实数，且满足 ，则
的算术平方根为
A．4 B． C．2 D．
【分析】直接利用算术平方根以及绝对值得出 ， 的值，进而代入得出答案．
【解答】解： ，
， ，
解得： ， ，
故 ，
则 的算术平方根是2．
故选： ．
【点评】此题主要考查了算术平方根以及绝对值，正确得出 ， 的值是解题关键．
24．（2023•巧家县一模）若 ，则 ．
【分析】先根据非负数的性质求出 ， 的值，再代入代数式进行计算即可．
【解答】解： ，
， ，
， ，
．故答案为： ．
【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的
关键．
25．（2023春•宣城期中）已知 ， 是实数， ，则 的值是 9
．
【分析】先将原式变形为 ，再根据非负数的性质得出 ， ，
代入计算可得答案．
【解答】解： ，
，
，
， ，
则 ，
故答案为：9．
【点评】考查非负数的性质以及二次根式的性质、完全平方公式，掌握几个非负数的和等
于0，则每个数等于0，是解题的关键．
26．（2023春•泸州期末）已知实数 ， 满足 ，则 等于 3 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出 、 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得， ， ，
解得 ， ，
所以， ．
故答案为：3．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．27．（2023春•开封期末）已知实数 ， 满足 ．
（1）求 ， 的值；
（2）求 的平方根．
【分析】非负数之和等于0时，各项都等于0，由此即可求出 、 的值，由平方根的定义
即可求出 的平方根．
【解答】解：（1） ，
， ，
， ，
（2）
，
的平方根是 ．
【点评】本题考查非负数的性质：算术平方根、绝对值，平方根，关键是掌握非负数之和
等于0时，各项都等于0，平方根的定义．
28．（2023春•永善县期中）已知：实数 ， 满足 ，
（1）求 ；
（2）当一个正实数 的两个平方根分别为 和 时，求 的值．
【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性可得 ， ，从而可得 ，
，然后把 ， 的值代入式子中，进行计算即可解答；
（2）根据平方根的意义可得 ，再利用（1）的结论，进行计算即可解答．
【解答】解：（1） ，
， ，
， ，，
的值为 ；
（2） 一个正实数 的两个平方根分别为 和 ，
，
，
解得： ，
，
的值为100．
【点评】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，平方根，准确熟练地进行计算是解题
的关键．
四．立方根（共10小题）
29．（2023春•讷河市期末）下列说法不正确的是
A．0.09的平方根是 B．
C．1的立方根是 D．0的立方根是0
【分析】根据平方根和算术平方根的概念判断 和 ，根据立方根的概念判断 和 ．
【解答】解： 、0.09的平方根是 ，说法正确，故此选项不符合题意；
、 ，计算正确，故此选项不符合题意；
、1的立方根是1，原说法错误，故此选项符合题意；
、0的立方根是0，说法正确，故此选项不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查平方根，立方根，掌握平方根，算术平方根和立方根的概念是解题关键．
30．（2023春•巴东县期末）已知 ， ，那么下列各式正确的是
A． B． C． D．【分析】根据立方根的规律解答即可．
【解答】解： ；
故选： ．
【点评】本题考查立方根的意义，根据立方根的规律解答是解决问题的前提．
31．（2023秋•新安县期末）已知 ， ，且 ，则 3 ．
【分析】根据 可得 、 的值，再根据 可确定 、 的值，代入即可
得到答案．
【解答】解： ， ，
， ，
，
，
，
故答案为：3．
【点评】本题考查二次根式的运算，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
32．（2023秋•碑林区校级期末） 的立方根是 ； 的平方根是 ．
【分析】本题根据立方根和平方根的定义可知 ， 的立方根是 ；而
，6的平方根是 ，由此就求出．
【解答】解： ， 的立方根是 ，而 ，6的平方根是 ，
故答案为： ； ．
【点评】本题主要考查了平方根和立方根的概念，熟练掌握相关定义是解题的关键．
33．（2023秋•句容市期末）求下列各式中 的值：
（1） ；（2） ．
【分析】（1）利用平方根解方程即可求出．
（2）利用立方根解方程即可求出．
【解答】解：（1）
或 ；
（2）
．
【点评】本题主要考查平方根解方程和立方根解方程的知识，熟练掌握平方根和立方根的
实际应用是解题的关键．
34．（2023春•五华区校级期中）求下列各式中实数 的值
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）直接开立方可求解；
（2）直接开平方可求解．
【解答】解：（1） ，
，
；
（2） ，
，，
， ．
【点评】本题考查了实数的性质，正确掌握立方根和平方根的定义是解题关键．
35．（2023春•涵江区期中）如果一个正数 的两个平方根分别是 和 ， 是
的立方根．
（1）求 和 的值．
（2）求 的算术平方根．
【分析】（1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，如果一个数的立方等于
，那么这个数叫做 的立方根，由此即可求解；
（2）如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么这个正数 叫做 的算术平方根，记
为 ，由此即可得到答案．
【解答】解：（1） 一个正数 的两个平方根分别是 和 ，
，
，
，
，
，
；
（2）
，
的算术平方根是 ．
【点评】本题考查平方根，算术平方根，关键是掌握平方根，算术平方根的定义．
36．（2023春•南漳县期中）方程 的实数解的个数为A．0 B．1 C．2 D．大于2
【分析】令 ， ，分别求出 ， ，所以 、
是方程 的两个实数根，△ ，可知方程无解，由此可求解．
【解答】解：令 ， ，
，
，
，
，
，
，
、 是方程 的两个实数根，
△ ，
方程无解，
方程无实数根，
故选： ．
【点评】本题考查立方根、一元二次方程，利用换元法和立方和公式进行量的转换，再构
造一元二次方程，借助判别式求解是解题的关键．
37．已知 ， ，则 12.58 4 ， ．
【分析】当被开方数的小数点每移动三位，那么其立方根的小数点也向相同方向移动一位
由此即可解决问题．
【解答】解： ， ，，
．
故填12.584， ．
【点评】此题主要考查了立方根的性质：当被开方数的小数点每移动三位，那么其立方根
的小数点也向相同方向移动一位．
38．（2021春•天山区校级期中）已知甲数是 的平方根，乙数是 的立方根，则甲、
乙两个数的积是 ．
【分析】分别根据平方根、立方根的定义可以求出甲数、乙数，进而即可求得题目结果．
【解答】解： 甲数是 的平方根
甲数等于 ；
乙数是 的立方根，
乙数等于 ．
甲、乙两个数的积是 ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了立方根、平方根的定义，其中求一个数的立方根，应先找出所要
求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立
方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
五．计算器—数的开方（共8小题）
39．（2023春•庐江县月考）下列计算结果正确的是
A． B． C． D．
【分析】利用计算器对各选项分别进行计算，然后利用排除法求解．
【解答】解： 、 ，故本选项错误；、 ，故本选项正确；
、 ，故本选项错误；
、 ，故本选项错误．
故选： ．
【点评】本题考查了利用计算器进行数的开方计算，比较简单，熟练掌握计算器的使用是
解题的关键．
40．（2023春•确山县期中）某计算器中有 、 、 三个按键，以下是这三个按键的
功能．
① ：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；
② ；将荧幕显示的数变成它的倒数；
③ ：将荧幕显示的数变成它的平方．
小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第1步到第3步循环按键．
若开始输入的数据为3，那么第2023步之后，显示的结果是 9 ．
【分析】看完题目后就应想到是让其找规律的．输入数据后，找出规律数．
【解答】解：依据题意，依次得： ， ， ， ， ， ，
， 可知结果每6步一循环，则依次为：9， ， ， ，9，3．
第2023步与第一步相同，是9．
故答案为：9．
【点评】本题本质考查找规律，找出循环数便可解决问题．
41．（2023春•安达市期中）我们可以利用计算器求一个正数 的算术平方根，其操作方法是按顺序进行按键输入： ．小明按键输入 显示结果
为4，则他按键 输入显示结果应为 4 0 ．
【分析】根据被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，直接解答即可．
【解答】解： ，
．
故答案为：40．
【点评】本题主要考查数的开方，根据题意找出规律是解答本题的关键．
42．（2023•蕉岭县校级开学）用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：
1， ， ， ， ， 、如果从中选出若干个数，使它们的和大于
3，那么至少需要选 5 个数．
【分析】本题中分母越大，数的值就越小，所以这一系列的数是按从大到小的
顺序排列的．如果从中选出若干个数，使它们的和大于 3，就要从左边选，
估算出它们的值后，看几个相加的和大于3即可．
【解答】解：左边第一个数是1，
第二个是 ，
第三个数是 ，
第四个数是 ，
第五个数是 ，
第六个数是 ，所以可以把这些数加起来，得出至少要5个数和才大于3．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了估算的能力，但本题的关键是理解本题中分母越大，
数的值就越小，所以这一系列的数是按从大到小的顺序排列的，如果从中选
出若干个数，使它们的和大于3，就要从左边开始依次选．
43．（2023春•江城区期中）下面是一个简单的数值运算程序，当输入 的值为16时，输
出的数值为 3 ．（用科学计算器计算或笔算）．
【分析】当输入 的值为16时， ， ， ．
【解答】解：由题图可得代数式为 ．
当 时，原式 ．
故答案为：3
【点评】此题考查了代数式求值，此类题要能正确表示出代数式，然后代值计算，解答本
题的关键就是弄清楚题目给出的计算程序．
44．（2023春•五华区校级期中）在我校科技节活动中爱探究思考的小明，在实验室利
用计算器计算得到下列数据：
0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180
（1）通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 1 0 倍；
（2）已知 ，根据上述规律直接写出下列各式的值： ，
；
（3）已知 ， ， ，则 ， ；
（4）小明思考如果把平方根换成立方根，若 ， ，则 ，
．
【分析】（1）根据表中的数据找出变化规律；（2）利用（1）中的规律进行求解；
（3）利用（1）中的规律进行求解；
（4）类比（1）的规律，求解即可．
【解答】解：（1）被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大10倍，
故答案为：10；
（2） 0.2646， 26.46，
故答案为：0.2646，26.46；
（3） ， ， ，
， ，
故答案为：104.04，1040400；
（4）由（1）的规律可知：被开方数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，
若 ， ，
， ，
故答案为：6.69，14.42．
【点评】本题考查了利用算术平方根的定义进行规律判断，通过一种计算出，找出小数
点移动的规律是解题的关键
45．（2023春•香洲区校级期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250
（1）分析发现：被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大 1 0 倍；
（2）若一块长方形纸片的面积是 ，长与宽之比为 ，求这块长方形纸片的长与
宽（精确到0.1， ， ．
【分析】（1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为根号内的小数
点移动2位，对应的结果小数移动1位，小数点的移动方向保持一致；
（2）设这块长方形的纸片的宽为 ，则长为 ，根据题意列出方程，进而根据（1）的结
论，即可求解．【解答】解：（1）被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大10倍；
故答案为：10．
（2）设这块长方形的纸片的宽为 ，则长为 ，
，
即 ，
，
，
， ，
答：这块长方形纸片的长为 ，宽为 ．
【点评】本题考查了算术平方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．
46．（2023春•乌鲁木齐期中）计算： （精确到
【分析】利用计算器分别求出 ， ，然后进行计算即可得解．
【解答】解： ，
．
【点评】本题考查了计算器的使用，四舍五入求近似数，利用计算器分别求出 ， 的
值是解题的关键．
强化训练
一、单选题
1．（2024下·全国·七年级假期作业）已知 ，则 的平方根是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】略
2．（2024下·全国·七年级假期作业）面积为20的正方形的边长为m，则m的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】C
【分析】根据题意可得 ，然后估算 ，即可求解．
【详解】解：∵面积为 的正方形的边长为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根的估算是解题的关键．
3．（2024下·全国·七年级假期作业）估算 的值在（ ）
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
【答案】B
【分析】根据 即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴
故选：B
【点睛】本题考查了算术平方根的估值．明确 是解题关键．
4．（2024下·全国·七年级专题练习）若 是 的算术平方根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据算术平方根的定义，即可解答．【详解】解： 是 的算术平方根，则 ，即 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了算数平方根，熟练掌握算数平方根的意义是解题的关键．
5．（2024下·全国·七年级假期作业）给出下列各数： ， ，0， ， ，
， ．其中有平方根的数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【解析】略
6．（2024下·七年级课时练习）求 的平方根，用式子来表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方
根；熟练掌握平方根定义是解题关键．根据平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：根据平方根的定义可知，
的平方根为 ．
故选：C．
7．（2023下·山西晋城·七年级期末）下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根与立方根的计算；根据算术平方根与立方根逐项分析判断，
即可求解．
【详解】解：A、 ，故A不符合题意；B、 ，故B不符合题意；
C、 ，故A不符合题意；
D、 ，故D符合题意；
故选：D
8．（2023下·河北邢台·七年级校考期中）若有个大的正方体木块，现把这个木块分割成
个大小相同的小正方体木块，则 的值可以是（ ）
A．26 B．27 C．28 D．29
【答案】B
【分析】根据开立方运算，可得答案．
【详解】解；A、 是无理数，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项符合题意；
C、 是无理数，故本选项不符合题意；
D、 是无理数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了立方根的应用，能开立方是解题关键．
9．（2023下·河北廊坊·七年级校考期中）已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律即可得到答案．
【详解】∵ ，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律．当被开方数的小数点每向右(或向左)移动3位，它的立方根的小数点就相应的向右(或向左)移动1位．
10．（2023下·西藏那曲·七年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．5是25的一个平方根 B．8的立方根是
C．9的平方根是3 D． 的平方根是
【答案】A
【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根与立方根的定义进行逐项判断即可．
【详解】解：25的平方根为 ，则5是25的一个平方根，故A符合题意；
8的立方根是2，故B不符合题意；
9的平方根是 ，故C不符合题意；
，它的平方根是 ，故D不符合题意；
故选：A．
二、填空题
11．（2024下·全国·七年级专题练习）当 时，对于实数 ，代数式
的最小值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的性质．分 和 两种情况讨论，利用
绝对值的性质和算术平方根的性质计算即可求解．
【详解】解： ，
由 ，所以 ，
令 .
当 时， .
当 时， ，
综上， 的最小值为4．
故答案为：4．
12．（2024下·全国·七年级专题练习）若a，b为实数，且 ，那么的值是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查平方根和绝对值的非负性，裂项法求式子的值．
先由非负性求得a，b的值，再代入式子中，采用裂项法即可求解．
【详解】∵ ， ，且 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， 或 ， ，
①当 ， 时，
；
②当 ， 时，
；∴ 的值是 或 ．
故答案为： 或 ．
13．（2024下·全国·七年级专题练习）已知 那么 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的性质是解题关键．直接利用
算术平方根的性质化简得出答案．
【详解】解： ，
，
，
∴ ，
；
故答案为：
14．（2024下·全国·七年级专题练习）已知 、 、
…则第四个式子为 ．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根的规律探索问题，根据题意找到规律
即可完成．
【详解】根据前三个式子的规律可得第四个式子为： ．
故答案为： ．15．（2023下·河北石家庄·七年级校考期中）（1） 的算术平方根是 ；（2）
的值为 ．
【答案】 4
【分析】先开方，再求算术平方根，再利用立方根的意义计算即可．
【详解】解： ，
则 的算术平方根是 ，
，
故答案为：4， ．
【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根，熟练掌握算术平方根的定义、立方根的定义
是解决本题的关键．
16．（2023下·福建厦门·七年级校考期中）口算（1） （2）
（3） （4）
【答案】
【分析】（1）根据平方根的定义：如果正数 的平方等于 ,那么这个正数 叫做 的算术
平方根即可解答；
（2）根据立方根的定义：如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根(或叫三次
方根)；
（3）根据开平方运算法则及有理数的减法运算法则即可解答；
（4）根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数， 的绝对
值是 即可解答．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ 的平方根为 ，
∴ ，故答案为 ；
（2）∵ ，
∴ ，
故答案为 ；
（3）∵ ， ，
∴ ，
故答案为 ；
（4）∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了立方根的定义，平方根的定义，绝对值的性质，开平方运算，掌握平
方根的定义及绝对值的性质是解题的关键．
17．（2023下·山东滨州·七年级校考阶段练习）已知 的平方根是 ， 的立方根
是3，求 ．
【答案】32
【分析】先根据平方根、立方根的定义得到关于 、 的方程，解方程即可求出 、 的值，
进而得到 的值．
【详解】解：∵ 的平方根是 ， 的立方根是3，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：32．
【点睛】本题考查了平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于 ，这个数就叫做的平方根，也叫做 的二次方根．如果一个数 的立方等于 ，那么这个数 就叫做 的立
方根．
18．（2023下·全国·七年级专题练习）某计算器上的三个按键 、 、 的功能分别是：
将屏幕显示的数变成它的算术平方根； 将屏幕显示的数变成它的倒数； 将屏幕显
示的数变成它的平方．小明输入一个数x后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，
若第2021次按键后，显示的结果是4，则输入的数x是 ．
【答案】
【分析】根据题意分别计算出第1、2、3、4、5、6步显示结果，从而得出数字的循环规律，
利用周期规律求解可得．
【详解】解：由题意知第1步结果为x2，
第2步结果为 ，
第3步结果为 = ，
第4步结果为 ，
第5步结果为x2，
第6步计算结果为x，
第7步计算结果为x2，
……
∴运算的结果以x2， ， ， ，x2，x六个数为周期循环，
∵2021÷6=336……5，
∴第2021步之后显示的结果为4，即x2=4，
∴输入的数x是±2，
故答案为：±2．
【点睛】本题考查了计算器，通过列举发现：答案按照x2， ， ， ，x2，x六个数循环，这是解题的关键．
三、解答题
19．（2024下·全国·七年级专题练习）求下列各数的平方根和算术平方根：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1) ；
(2) ；7
(3) ；
【分析】本题考查求一个数的平方根和算术平方根，熟记定义是解题的关键．
（1）根据平方根和算术平方根的定义，进行计算即可；
（2）根据平方根和算术平方根的定义，进行计算即可；
（3）根据平方根和算术平方根的定义，进行计算即可．
【详解】（1）解： 的平方根是 ，算术平方根是 ；
（2） 的平方根是 ，算术平方根是7；
（3） 的平方根是 ，算术平方根是 ．
20．（2024下·全国·七年级专题练习）已知± 是 的平方根，3是 的算术
平方根，求 的平方根．
【答案】±
【分析】根据题意求出 ， ，解出a，b的值代入 中，即可求解．
【详解】解：∵± 是 的平方根解得：
∵3是 的算术平方根，
，
解得：
当 ， 时，
∴ 的平方根为 ．
【点睛】本题考查的是平方根及算术平方根的定义，熟知一个数的平方根有两个，这两个
数互为相反数是解答此题的关键．
21．（2024下·全国·七年级假期作业）已知 的算术平方根是 ， 的平方根是 ，
是 的整数部分，求 的平方根．
【答案】
【分析】根据平方根与算术平方根的定义分别求出 的值；进而得出 的值，
求出它的平方根即可；
【详解】解：∵ 的算术平方根是 ； 的平方根是 ，
∴ ， ，
∴ ， ．
∵ 是 的整数部分， ，
∴ ．
∴ ．
∵ 的平方根是 ．
∴ 的平方根为 ．
【点睛】本题考查了考查了平方根与算术平方根；熟练掌握平方根与算术平方根的定义是
解题的关键．22．（2023下·河南信阳·七年级统考期中）（1）若 ，则 ；
（2）若 与 互为相反数，求m的值．
【答案】（1）9；（2）4
【分析】本题考查二次根式计算，相反数定义．
（1）根据题意两边平方即可得到本题答案；
（2）利用相反数定义列式计算即可得到本题答案．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：9；
（2）∵ 与 互为相反数，
∴ ，
∴ ，即： ．
23．（2023下·广东广州·七年级西关外国语学校校考期中）求下列各数的算术平方根：
(1)121， ， ，1，900， ， ；
(2) ，7，29，106， ， ．
【答案】(1)11； ； ；1； ； ；
(2) ； ； ； ； ；3
【分析】根据算术平方根的定义逐个解答即可．
【详解】（1）解：121的算术平方根为 ；
的算术平方根为 ；的算术平方根为 ；
1的算术平方根为 ；
900的算术平方根为 ；
的算术平方根为 ；
的算术平方根为 ；
（2）解： 的算术平方根为 ；
7的算术平方根为 ；
29的算术平方根为 ；
的算术平方根为 ；
的算术平方根为 ；
的算术平方根为 ．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，熟记算术平方根的定义是解决本题的关键．
24．（2023下·湖北十堰·七年级校考期中）求下列各式中 的值．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据求平方根的方法解方程即可；
（2）根据求立方根的方法解方程即可．【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
（2）解： ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知平方根和立方根的定义
是解题的关键．
25．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）求下列各
式中x的值
(1)
(2)
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了平方根，立方根的定义求解方程，熟练掌握平方根立方根的定义是解
题关键．
（1）应用求平方根的方法求解即可；
（2）应用求立方根的方法进行求解即可．【详解】（1）解： ，
开方，得： ，
，
解得： ， ；
（2） ，
移项，得， ，
，
，
，
解得： ．
26．（2023上·七年级课时练习）借助计算器计算下列各题．
（1） ________；
（2） ________．
（3） ________；
（4） ________；
（5）从上面的计算结果，你发现了什么规律？利用你发现的规律求 的值．
【答案】（1）1；（2）3；（3）6；（4）10；（5）规律为：被开方数等于被开方数中每
个加数底数的和，结果为项数乘以（项数加1）的 ；结果为
【分析】（1）直接计算可得；
（2）直接进行计算发现： ；
（3）直接进行计算发现： ；（4）直接进行计算发现： ；
（5）总结（1）-（4）总结规律为：被开方数等于被开方数中每个加数底数的和，结果为
项数乘以（项数加1）的 ，根据规律即可得出答案．
【详解】（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5）规律为：被开方数等于被开方数中每个加数底数的和，结果为项数乘以（项数加1）
的 ；
．
∴
【点睛】题目主要考查了算术平方根的一般规律性问题，解题的关键是认真观察给出的算
式总结规律．
