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第三篇 思想方法篇
思想04 化归与转化思想（讲）
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方法技巧 典例分析
1.转化与化归思想的含义
转化与化归的思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到
解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的
问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.
2．转化与化归的原则
(1)熟悉化原则 (2)简单化原则 (3)直观化原则
(4)正难则反原则
3. 转化与化归的策略方法
(1)直接转化法 (2)换元法 (3)数形结合法 (4)构造法
(5)坐标法 (6)类比法 (7)特殊化方法 (8)等价问题法
(9)加强命题法 (10)补集法
4．转化与化归思想在解题中的应用
(1)在三角函数和解三角形中,主要的转化方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的
转化、通过正弦定理、余弦定理实现边角关系的相互转化等.
(2)换元法是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重
要的方法.
(3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时,常将平面向量语言与三角函数、平
面几何、解析几何语言进行转化.
(4)在解决数列问题时,常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解.
(5)在利用导数研究函数问题时,常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题转化为其导函数f'(x)构成的方程、
不等式问题求解.(6)在解决解析几何、立体几何问题时,常常在数与形之间进行转化.
5．转化与化归的常见类型：
(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；如在三角函数和解三角形中,主要
的转化方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化、通过正弦定理、余弦定理实
现边角关系的相互转化等.
(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为
易于解决的基本问题；
(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径；
(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的；
(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，结论适合原问题.
01 等与不等引起的转化
【核心提示】
函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、
不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转
化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．
【典例分析】
典例1.（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先利用不等式 比较a，c的大小，再构造函数，利用函数的单调性比较b，c的大小，
即可得到结果．
【详解】如图，单位圆A中， ， 于D，
则 的长度 ， ，则由图易得， ，即 ，
所以 .设 ， ，则 ，所以 在 上单调递
增，
则 ，即 ，即 .
综上， .
故选：D．
【点睛】方法点睛：（1）比较对数式大小，一般可构造函数，根据函数的单调性来比较大小；
（2）比较非特殊角三角函数大小，可结合单位圆转化为比较长度，则可由数形结合解答.
典例2.（2022重庆市渝东九校联盟高二下学期期中）定义在 上的奇函数 的图像连续不断，其导函数为
，对任意正数 恒有 ，若 ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 的奇偶性和 判断出 在 上的奇偶性和单调性，利用 的单调性和奇
偶性，求不等式 的解集即可.
【详解】∵ 为奇函数，∴ ，
∴当 时， ，
又∵ ，∴ ，当 时， ，∴ 在区间 上单调递减，
又∵当 时， ，
∴ 为 上的奇函数，
∵ 在 上的图象连续不断，∴ 在 上单调递减.
又∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ 在区间 上单调递增，∴ ，
解得 .
故选：D.
典例3.（2020·全国高考真题（理））设函数 ，曲线 在点( ，f( ))处的切线
与y轴垂直．
（1）求b．
（2）若 有一个绝对值不大于1的零点，证明： 所有零点的绝对值都不大于1．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义得到 ，解方程即可；
（2）由（1）可得 ，易知 在 上单调递减，在 ，上单调递增，且 ，采用反证法，推出矛
盾即可.
【详解】
（1）因为 ，
由题意， ，即
则 ；
（2）由（1）可得 ，
，
令 ，得 或 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
且 ，
若 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点 ，则 或 ，
即 或 .
当 时， ，
又 ，由零点存在性定理知 在 上存在唯一一个零点 ，
即 在 上存在唯一一个零点，在 上不存在零点，
此时 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
当 时， ，
又 ，
由零点存在性定理知 在 上存在唯一一个零点 ，
即 在 上存在唯一一个零点，在 上不存在零点，
此时 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
综上， 所有零点的绝对值都不大于1.
02 特殊与一般引起的转化
【核心提示】
特殊与一般转化法是在解决问题过程中将某些一般问题进行特殊化处理或将某些特殊问题进行一般化处理的方
法．这类转化法一般的解题步骤是：
第一步：确立需转化的目标问题：一般将要解决的问题作为转化目标．
第二步：寻找“特殊元素”与“一般元素”：把一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”把特殊问题转
化为一般问题时，寻找“一般元素”．
第三步：确立新目标问题：根据新确立的“特殊元素”或者“一般元素”明确其与需要解决问题的关系，确立
新的需要解决的问题．
第四步：解决新目标问题：在新的板块知识背景下用特定的知识解决新目标问题．
第五步：回归目标问题．
第六步：回顾反思：常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选
择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案；对于填空题，当填空题的结论
唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．
【典例分析】
典例4.（2021·浙江·高考真题）已知 是互不相同的锐角，则在 三个值中，大于 的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
利用基本不等式或排序不等式得 ，从而可判断三个代数式不可能均大于
，再结合特例可得三式中大于 的个数的最大值.
【详解】
法1：由基本不等式有 ，
同理 ， ，
故 ，
故 不可能均大于 .
取 ， ， ，
则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设 ，则 ，
由排列不等式可得：
，
而 ，
故 不可能均大于 .取 ， ， ，
则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，
故选：C.
典例5.（2023·江苏南通·统考一模）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列 的通项公式
__________.
① ；②
【答案】 （答案不唯一）
【分析】可构造等比数列，设公比为 ，由条件，可知公比 为负数且 ，再取符合的值即可得解.
【详解】可构造等比数列，设公比为 ，
由 ，可知公比 为负数，
因为 ，所以 ，
所以 可取 设 ，
则 .
故答案为： .
典例6.（2023·全国·高三专题练习）若 ， ， .
(1)求证： ；
(2)令 ，写出 、 、 、 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式 .
【答案】(1)证明见解析(2) ， ， ， ，
【分析】（1）假设 ，根据已知条件得出 ，解得 ，结合题设条件推出矛盾，即可证得原结
论成立；
（2）根据递推公式可写出 、 、 、 的值，由此可归纳出数列 的通项公式，然后通过递推公式得出
，可知数列 为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列 的通项公式.
【详解】（1）证明：假设 ，因 ， ，则 ，解得 或 ，
于是得 或 ，与题设 且 矛盾，故假设不成立，所以 成立.
（2）解：因 ， ， ，
则 ， ， ，
，
显然有 ， ， ， ， ，
猜想 ，
由 得 ，即 ，
又 ，因此数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以， ，则 ，所以 .
03 正与反引起的转化
【核心提示】
正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题
目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”
“至少”情形的问题中．
【典例分析】
典例7.（2022·全国·高三专题练习）中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，
假设空间站要安排甲､乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的
种数有（ ）
A．60 B．66 C．72 D．80
【答案】C
【分析】根据分步计数原理结合部分平均分组以及结合间接法运算求解.
【详解】5名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有 种安排方法，
若甲乙在同一实验舱的种数有 种，
故甲乙不在同一实验舱的种数有 种.
故选：C.
典例8.（2022·全国·高三专题练习） 个点将半圆分成 段弧，以 个点（包括 个端点）为顶点的三角形中
钝角三角形有（ ）个
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，用间接法，先利用组合数公式计算其中三角形的数目，排除其中直角三角形的数目计算可
得答案．
【详解】根据题意，如图：在10个点中，任意三点不共线，
在其中任取3个点，可以组成 个三角形，
其中没有锐角三角形，直角三角形是包含 点和余下的8点任意取一个构成的三角形，有8个，则钝角三角
形有 个．
故选：B．典例9.（2021秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，证明： ， ， 这三个数中至少有一个数不大于1；
(2)若 ，且 ，证明： .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意可知，此题宜采用反证法证明，假设每个数都大于1，得出矛盾即可；（2）由
可得 ，对要证明的不等式整理变形，利用基本不等式、辅助角公式并采用分析法即
可证明.
【详解】（1）因为 ，所以 .
假设 ， ， 这三个数中没有一个数不大于1，即每个数都大于1，
即 ， ， ，则 ， ， ，
所以 ，这与 矛盾，假设不成立，
所以 ， ， 这三个数中至少有一个数不大于1.
（2）因为 ，且 ，所以 ，且 ， .
要证明 ，
只需证 ，即证 .
，当且仅当 ，即 时，等号成立.
因为 ，且 ，
所以 ，
即 .
04 空间与平面引起的转化
【核心提示】
立体几何中有些问题的解答，可以转化为平面几何问题来解决，即考虑转化成在一个平面上的问题，运用平面
几何知识求解.特别是涉及旋转体的问题，通过研究轴截面，寻找几何体与几何体几何元素之间的关系．
【典例分析】
典例10.【多选题】（2021·全国·高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N
为正方体的顶点．则满足 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线 构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.
【详解】
设正方体的棱长为 ，
对于A，如图（1）所示，连接 ，则 ，故 （或其补角）为异面直线 所成的角，
在直角三角形 ， ， ，故 ，
故 不成立，故A错误.
对于B，如图（2）所示，取 的中点为 ，连接 ， ，则 ， ，
由正方体 可得 平面 ，而 平面 ，
故 ，而 ，故 平面 ，
又 平面 ， ，而 ，
所以 平面 ，而 平面 ，故 ，故B正确.对于C，如图（3），连接 ，则 ，由B的判断可得 ，
故 ，故C正确.
对于D，如图（4），取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，
则 ，
因为 ，故 ，故 ，
所以 或其补角为异面直线 所成的角，
因为正方体的棱长为2，故 ， ，
， ，故 不是直角，
故 不垂直，故D错误.故选：BC.
典例11.（2022秋·广东佛山·高二校联考阶段练习）如图1，在 ABC中，D为AC的中点， ， ，
△
，将 ABD沿BD折起，得到如图2所示的三棱锥P-BCD，且平面PBD⊥平面BDC.
△
(1)证明： 面PBD；
(2)求二面角C-PD-B的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据余弦定理可得 ，利用勾股定理的逆定理可得 ，结合面面垂直的性质即可证明；
(2)建立如图所示的空间直角坐标系，根据余弦定理求出AB，进而求得点P的坐标，得平面PCD的法向量，利
用空间向量的数量积的定义即可即可求解.
【详解】（1）在△BCD中， ， ， ，
由余弦定理知 ，即 ，
所以 ，即 .
因为平面PBD⊥平面BDC，平面 平面 ，
所以BC⊥平面PBD.
（2）以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，过点B且垂直于平面BCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， .
在△ABC中，由余弦定理知 ，
解得 ，
所以 ， ，
可求得 ，
从而 ， .
设平面PCD的法向量为 ，
由 ，得 ，令 ，可得 .
因为BC⊥平面PBD，
所以可取平面PBD的一个法向量为 ，
所以 ，
即二面角C-PD-B的余弦值为 .
典例12.（2021秋·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）如图①，在等腰三角形 中，， ， ， 分别在边 上，且满足 ． 将 沿直线 折起到
的位置，连接 ， ，得到如图②所示的四棱锥 ，点 满足 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)当 时，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) ．
【分析】（1）要证明一条直线平行于一个平面，只需证明该直线平行于平面内的一条直线，根据条件构造平
行四边形即可；
（2）建立空间直角坐标系，运用空间向量数量积计算二面角.
【详解】（1）如图，在棱 上取点 满足 ，连接 ， ．∵ ，
∴ 且 ．由题意，知： 且 ，
∴ 且 ，即四边形 为平行四边形，
∴ ，又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ；
（2）如图，分别取 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ，
由题意，知 ， ， ， ，
在 中， ，
在 中， ，而 ，
∴ ，又 ， ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，
以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标
系 ，
则 ， ， ， ， ， ，
设 ，则 ，
由条件 ，解得 ，
∴ ， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，得 ，令 ，得 ，
设平面 的一个法向量为 ，由 ，得 ，令 ，得 ，∴ ，
∴平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ；
综上，平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
05 数与形引起的转化
【核心提示】
利用数形结合思想，往往可以实现数与形的相互转化，特别是涉及函数方程与函数图象、曲线与方程等问题，
适时进行数与形的相互转化，可以达到化难为易、化繁为简的良好效果.
【典例分析】
典例13. 【多选题】（2021·全国·高考真题）已知点 在圆 上，点 、 ，则
（ ）
A．点 到直线 的距离小于
B．点 到直线 的距离大于
C．当 最小时，
D．当 最大时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】
计算出圆心到直线 的距离，可得出点 到直线 的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，
当 最大或最小时， 与圆 相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】
圆 的圆心为 ，半径为 ，
直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，所以，点 到直线 的距离的最小值为 ，最大值为 ，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当 最大或最小时， 与圆 相切，连接 、 ，可知 ，
， ，由勾股定理可得 ，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】
结论点睛：若直线 与半径为 的圆 相离，圆心 到直线 的距离为 ，则圆 上一点 到直线 的距离的取
值范围是 .
典例14.（2018·浙江高考真题）已知点P(0，1)，椭圆 +y2=m(m>1)上两点A，B满足 =2 ，则当
m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．
【答案】5
【解析】
设 ，由 得
因为A,B在椭圆上,所以
，与 对应相减得 ，当且仅当 时取最大值.
典例15.（2023·山东日照·统考一模）已知 中，a，b，c是角A，B，C所对的边， ，
且 .
(1)求角B；
(2)若 ，在 的边AB，AC上分别取D，E两点，使 沿线段DE折叠到平面BCE后，顶点A
正好落在边BC（设为点P）上，求AD的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边角互化得 ，又 ，可得 ，结合
二倍角公式可求得结果；
（2）由题意可知 为等边三角形，设 ，则 ，由余弦定理得
，设 ，所以 ，利用基本不等式可求得答案.
【详解】（1）因为 ，所以由正弦定理边角互化得 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 .（2）因为 ，所以 为等边三角形，即 ，
设 ，则 ，
所以在 中，由余弦定理得 ，整理得
，
设 ，所以 ，
由于 ，故 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，此时 ，
所以AD的最小值为 ．
