文档内容
专题 04 全等三角形（3 个知识点 4 种题型 1 个易
错点 1 种中考考法）
【目录】
倍速学习五种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.全等形的概念（重点）
知识点2.全等三角形的概念和表示方法（重点）
知识点3全等三角形的性质（重点）
【方法二】 实例探索法
题型1.根据全等图形的定义作图
题型2.全等三角形性质的应用
题型3.图形变换中的全等三角形问题
题型4.利用全等三角形的性质解决探究性问题
【方法三】差异对比法
易错点. 对应关系考虑不全面而出错
【方法四】 仿真实战法
考法.全等三角形的性质
【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1. 了解全等形的概念，会判断两个图形是不是全等形。
2. 理解全等三角形的概念，学会判断对应元素的方法。
3. 掌握全等三角形的性质，能利用全等三角形的性质解决相关的证明和计算问题。
【知识导图】【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.全等形的概念（重点）
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.
要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻
折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.
【例1】下列各组的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全等图形的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，
B.两个图形不能完全重合，不是全等图形，符合题意，
C.两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，
D.两个图形能完全重合，是全等图形，不符合题意，
【变式】找出下列各组图中的全等图形（ ）
A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦
【答案】C
【详解】解：∵图形②和图形⑥不能够完全重合，故A选项不符合题意；
∵图形②和图形⑦不能够完全重合，
故B选项不符合题意；
∵图形③和图形④能够完全重合，
故C选项符合题意；
∵图形⑥和图形⑦不能够完全重合，
故D选项不符合题意；
知识点2.全等三角形的概念和表示方法（重点）
1.全等三角形的定义
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
2. 对应顶点，对应边，对应角定义
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
要点诠释：
在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如
下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB
和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
3. 找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的
角）是对应边（或角），等等.
【例2】（2022秋·江苏徐州阶段练习）下图中全等的三角形是（ ）A．①和② B．②和④ C．②和③ D．①和③
【答案】D
【详解】A、①和②，SA，角的另一条邻边不相等，两个三角形不全等，不符合题意；
B、②和④，5cm分别是图②和图④ 的邻边和对边，两个三角形不全等，不符合题意；
C、②和③，SA，角的另一条邻边不相等，两个三角形不全等，不符合题意；
D、①和③，SAS，两个三角形全等，符合题意；
【变式】下列各组图形中，一定全等的是（ ）
A.各有一个角是45°的两个等腰三角形
B.两个等边三角形
C.各有一个角是40°，腰长3cm的两个等腰三角形
D.腰和顶角对应相等的两个等腰三角形
【答案】D；
解析：A、两个等腰三角形的45°不一定同是底角或顶角，还缺少对应边相等，所以，两个三角形不一定
全等，故本选项错误；
B、两个等边三角形的边长不一定相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；
C、40°角不一定是两个三角形的顶角，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；
D、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形可以利用“边角边”证明全等，故本选项正确．
【例3】（2022秋·江苏·专题练习）如图， ， 和 ， 和 是对应边．写出其他
对应边及对应角．【答案】其他对应边： 和 ．对应角： 和 ， 和 ， 和 ．
【详解】解：∵△ABC≌△CDA，
∴其他对应边：AC和CA．对应角：∠BAC和∠DCA，∠B和∠D，∠ACB和∠CAD．
【变式】如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB与AC是对应边，写出其他对应边和对应角.
【答案与解析】对应边：AN与AM，BN与CM
对应角：∠BAN与∠CAM， ∠ANB与∠AMC
【总结】全等三角形对应角所对的边是对应边；全等三角形对应边所对的角是对应角.
知识点3全等三角形的性质（重点）
全等三角形的对应边相等；
全等三角形的对应角相等.
要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
【例4】（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图， ，若 ，则 的长度为（
）
A．2 B．5 C．10 D．15
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质得到 即可求解．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟记全等三角形对应边相等是解题的关键．
【变式】如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝10°，
∠B＝50°，则∠AFE＝_______°．
【答案】85
【详解】解：在△ABC中，∵∠B＝50°，∠ACB＝105°，
∴∠BAC＝25°，
∵∠CAD＝10°，∠B＝50°，
∴∠AFE＝∠BAD+∠B＝∠BAC+∠CAD+∠B＝25°+10°+50°＝85°，
故答案为：85．
【方法二】实例探索法题型1.根据全等图形的定义作图
1．在3×3的方格纸中，试用格点连线将方格纸分割成两个大小、形状都相同的多边形．试画出四种不同的
分割方法：
【分析】根据全等图形的定义和方格的特点解答即可．
【详解】解：如图：
【点睛】本题考查了图形的分割和全等图形的定义，熟练掌握方格纸的特点是解答本题的关键．
2．（2022秋·吉林长春·八年级统考期中）已知：图①、图②是正方形网格，△PQR的顶点及点A、B、
C、D、E均在格点上，在图①、图②中，按要求各画一个与△PQR全等的三角形要求：
（1）两个三角形分别以A、B、C、D、E中的三个点为顶点；
（2）两个三角形的顶点不完全相同．
【分析】（1）由全等的性质知，对应边相等，对应角相等，由此结合要求画图即可；
（2）由全等的性质知，对应边相等，对应角相等，由此结合要求画图即可．
【详解】解：（1）如图所示， 即为所求．（2）如果所示， 即为所求．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，牢记性质内容并能够灵活应用是解题关键．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）将网格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种．
【分析】根据全等的性质可进行求解．
【详解】如图所示，（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义：形状和大小完全相同的两个图形
叫全等形．
4．（2022秋·全国·八年级专题练习）沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成四个全等的图形．【分析】直接利用图形总面积得出每一部分的面积，进而求出答案．
【详解】 共有 个小正方形，
被分成四个全等的图形后每个图形有 ，
如图所示：
，
【点睛】本题主要考查了应用设计图作图，正确求出每部分面积是解题关键．
5．着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．
【分析】如图所示，按图中实线部分即可将原图形划分为4个全等的图形，且能拼成一个正方形．（答案
不唯一）
【详解】
【点睛】本题考查全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义，学会利用数形结合的思想解决问题，属
于中考常考题型．
题型2.全等三角形性质的应用
6．如图，已知△ABF≌△CDE．
（1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；
（2）若BD＝10，EF＝2，求BF的长．【解答】解：（1）∵△ABF≌△CDE，
∴∠D＝∠B＝30°，
∴∠EFC＝∠DCF+∠D＝70°；
（2）∵△ABF≌△CDE，
∴BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，即BE＝DF，
∵BD＝10，EF＝2，
∴BE＝（10﹣2）÷2＝4，
∴BF＝BE+EF＝6．
7.（2022秋•句容市期末）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F．
（1）当DE＝8，BC＝5时，求线段AE的长；
（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC与∠AFD的度数．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝8，BC＝5，
∴AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，
∴AE＝AB＝BE＝8﹣5＝3；
（2）∵△ABC≌△DEB，∠D＝35°，∠C＝60°，
∴∠DBE＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝35°，∠ABC＝∠DEB，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝85°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝85°﹣60°＝25°，
∵∠ABC＝85°，
∴∠DEB＝85°，∴∠AED＝95°，
∴∠AFD＝∠A+∠AED＝35°+95°＝130°．
题型3.图形变换中的全等三角形问题
8．（2022秋·八年级课时练习）如图， 沿直角边 所在的直线向右平移得到 ，下列结论
错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、 沿直角边 所在的直线向右平移得到 ，则 成立，故正确，
不符合题意；
B、 为直角三角形，则 成立，故正确，不符合题意；
C、 不能成立，故错误，符合题意；
D、 为对应角，正确，不符合题意；
9．（2022秋·八年级课时练习）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若 ，
∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】D
【详解】解： 沿线段DE折叠，使点B落在点F处，
，
，
，
，
，
，，
10．（2022秋·江苏徐州阶段练习）如图．两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着
点B到C的方向平移到 的位置， ，平移距离为6，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【详解】解：由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝8，
∴PE＝DE−DP＝8−3＝5，
根据题意得：△ABC≌△DEF，
∴S ABC＝S DEF，
△ △
∴S PDFC＝S ABEP＝ （AB＋PE）•BE＝ （8＋5）×6＝39，
四边形 梯形
故答案为：39．
11.如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B 位置，A点落在A
位置，若
AC AB
，
BAC
则 的度数是____________.
【答案】70°；
BAC BAC
提示： ＝∠ ＝90°－20°＝70°.
12.如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠
α的度数是_________.
【答案】∠α＝80°
x x x
【解析】∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28 ，∠2＝5 ，∠3＝3 ，x x x x x
∴28 ＋5 ＋3 ＝36 ＝180°， ＝5°
即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°
∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，
∴△ABE≌△ADC≌△ABC
∴∠2＝∠ABE，∠3＝∠ACD
∴∠α＝∠EBC＋∠BCD＝2∠2＋2∠3＝50°＋30°＝80°
13.已知：如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B逆时针
旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数.
解：∵Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°，
∴∠ECB＝________°.
∵将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，
∴△________≌△_________.
∴∠ADB＝∠________＝________°.
【思路点拨】由旋转的定义，△ABD≌△EBC，∠ADB与∠ECB是对应角，通过计算得出结论.
【答案】55；ABD，EBC；ECB，55
【解析】旋转得到的图形是全等形，全等三角形对应边相等，对应角相等.
题型4.利用全等三角形的性质解决探究性问题
14.如图，△ABD≌△EBC，AB=3cm，BC=6cm，
（1）求DE的长．
（2）若A、B、C在一条直线上，则DB与AC垂直吗？为什么？
【答案与解析】解：（1）∵△ABD≌△EBC，
∴BD=BC=6cm，BE=AB=3cm，
∴DE=BD﹣BE=3cm；
（2）DB⊥AC．理由如下：
∵△ABD≌△EBC，
∴∠ABD=∠EBC，
又∵∠ABD+∠EBC=180°，
∴∠ABD=∠EBC=90°，
∴DB⊥AC．
15．（2022秋•盐都区月考）如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
（1）线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明．
【解答】（1）解：DE＝CE+BC．
理由：∵△ABC≌△DAE，
∴AE＝BC，DE＝AC．
∵A，E，C三点在同一直线上，
∴AC＝AE+CE，
∴DE＝CE+BC；
（2）当△ADE满足∠AED＝90°时，DE∥BC，
证明：∵△ABC≌△DAE，∠AED＝90°，
∴∠C＝∠AED＝90°，∠DEC＝180°﹣∠AED＝90°，
∴∠C＝∠DEC．∴DE∥BC，
即当△ADE满足∠AED＝90°时，DE∥BC．
16．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝
12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速
度为3cm/s，设运动时间为ts．
(1)如图①，当P在BC上，t＝ 时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；
(2)如图②，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个
动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止，在两点运动过程中的某一时
刻，恰好△APQ与△DEF全等，求点Q的运动速度．
【答案】(1)当t= 或 时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；
(2)
【详解】（1）解： ，
∵△APC的面积等于△ABC面积的一半，
，
当P点运动到BC边上时，此时 ，即 ，
，
此时 ，
当P点运动到AB边上时，
此时 ，
∵△APC的边AP上的高与△ABC的边AB上的高相等，
∴ ，
∴此时P点在AB边的中点，
此时 ，
综上所述，当t= 或 时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；
（2）设点Q的运动速度为xcm/s，
①当点P在AC上，点Q在AB上，△APQ≌△DEF时，AP=DE=4cm，AQ=DF=5cm，
∴4÷3=5÷x
解得x= cm/s；
②当点P在AC上，点Q在AB上，△APQ≌△DFE时，
AP=DF =5cm，AQ=DE=4cm，
∴5÷3=4÷x，
解得x= cm/s；
③当点P在AB上，点Q在AC上，△AQP≌△DEF时，AP=DF=5cm，AQ=DE=4cm，
∴点P的路程为9+12+15-5=31cm，点Q的路程为9+12+15-4=32cm，
∴31÷3=32÷x
解得x= cm/s；
④当点P在AB上，点Q在AC上，△APQ≌△DEF时
AP=DE=4cm，AQ=DF=5cm，
∴点P的路程为9+12+15-4=32cm，点Q的路程为9+12+15-5=31cm，
∴32 ÷3=31÷x
解得x= cm/s；
∴Q运动的速度为 cm/s或 cm/s或 cm/s或 cm/s．
【方法三】差异对比法
易错点. 对应关系考虑不全面而出错17．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知四边形ABCD中，AB＝BC＝8cm，CD＝6cm，∠B＝
∠C，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，点Q运动的速度是每秒2cm，点
P运动的速度是每秒acm（a≤2），当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒，
（1）BQ＝ ；BP＝ ；（用含a或t的代数式表示）
（2）运动过程中，连接PQ、DQ，△BPQ与△CDQ是否全等？若能，请求出相应的t和a的值；若不能，
请说明理由．
【答案】（1）2tcm，（8﹣at）cm；（2）a＝2，t＝3或a＝1，t＝2
【详解】解：（1）由题意得，AP＝atcm，BP＝(8﹣at)cm，BQ＝2tcm，
故答案为：2tcm，(8﹣at)cm；
（2）△BPQ与△CDQ能全等；
∵∠B＝∠C，
∴△BPQ与△CDQ全等存在两种情况：
①当△PBQ≌△QCD时，PB＝CQ，BQ＝CD，
∴2t＝6，8﹣at＝8﹣2t，
∴a＝2，t＝3；
②当△PBQ≌△DCQ时，PB＝DC，BQ＝CQ，
∴8﹣at＝6，2t＝8﹣2t，
∴a＝1，t＝2；
综上，△BPQ与△CDQ能全等，此时a＝2，t＝3或a＝1，t＝2．
【方法四】 仿真实战法
考法.全等三角形的性质
18．（2020•淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
19．（2023•成都）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝
5，则CF的长为 ．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
又BC＝8，
∴EF＝8，
∵EC＝5，
∴CF＝EF﹣EC＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根据全等形的定义判断即可．
【详解】解：观察选项可知，选项B，C，D中的虚线把图形分成全等的两部分，
故选：A．
【点睛】此题考查了全等图形的定义：对应边相等，对应角相等的图形是全等图形，解题的关键是理解全
等图形的定义，属于中考基础题．
2．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形的周长和面积分别相等 B．全等三角形是指形状相同的两个三角形
C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形
【答案】A
【分析】根据全等三角形的定义和性质，即可进行解答．
【详解】解：形状大小完全相同的三角形是全等三角形，故B、C、D不正确，不符合题意；
全等三角形对应边相等，故周长和面积分别相等，故A正确；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的定义和性质，解题的关键是掌握形状大小完全相同的三角形是全等
三角形，全等三角形对应边相等．
3．（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图 ，点 、 、 在一条直线上，已知
长为 ， 长为 ， 的长不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质和三角形的三边关系解答即可.
【详解】解：∵ ， 长为 ， 长为 ，∴ ， ，
则在 中，根据三角形的三边关系可得： ，即 ，
所以 的长不可能为 ；
故选：D.
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形的三边关系，正确求出 是解题的关键.
4．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图， ，则 为
（ ）
A．77° B．62° C．57° D．55°
【答案】A
【分析】根据全等三角形的对应角相等得到 ，根据三角形内角和定理求出 ，进而求
出 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握全等三角形的对应角相等，是解题
的关键．
5．（2023秋·全国·八年级专题练习）下列说法中，正确的有（ ）
①形状相同的两个图形是全等形 ②面积相等的两个图形是全等形 ③全等三角形的周长相等，面积相等
④若 ，则 ，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据全等的定义和性质判断即可．【详解】①形状大小都相同的两个图形是全等形，故①错误；
②面积相等的两个图形不一定是全等形，故②错误；
③全等三角形的周长相等，面积相等，是对的，故③正确；
④若 ，则 ， ，故④错误；
故正确的有1个．
故选：A
【点睛】此题考查全等三角形的定义和性质，解题关键是掌握全等三角形的定义．
6．（2022秋·江苏徐州·八年级校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．两个直角三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等
【答案】D
【分析】根据全等三角形定义进行分析即可．
【详解】解：A，两个直角三角形只满足一组角相等，不一定全等，说法不正确；
B，形状相同的两个三角形大小不一定相同，不一定全等，说法不正确；
C，面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定全等，说法不正确；
D，全等三角形能够完全重合，因此面积一定相等，说法正确．
故选D．
【点睛】本题考查全等三角形的定义，解题的关键是牢记定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角
形．
7．（2023秋·河南周口·八年级校考期末）如图，已知 ， ， ， ，则
的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据全等三角形对应边相等解答即可．
【详解】解： ， ，
，
故选： ．【点睛】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上准确
找出 的对应边是解题的关键．
8．（2023春·四川达州·八年级四川省万源中学校考阶段练习）如果△ABC的三边长分别为3、5、7，
△DEF的三边长分别为3，3x-2，2x-1，若这两个三角形全等，则x的值为( )
A． B．4 C．3 D．5
【答案】C
【分析】根据全等三角形的对应边相等分类讨论，分别求出x值判断即可．
【详解】此题需要分类讨论．
①若 ，则 ，
所以
所以此种情况不符合题意；
②若 ，则 ，
所以 ．
所以此种情况符合题意．
综上所述：
故选C．
【点睛】此题考查的是根据全等三角形的性质求字母的值，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关
键．
9．（2022秋·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点
E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在
线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（ ）s时，能够使△BPE与△CQP全等．
A．1 B．1或4 C．1或2 D．3
【答案】B
【分析】根据题意用时间t表示出线段BP和线段PC的长度，再分类讨论两个三角形全等的不同情况，或 ，利用全等的性质列式求出t的值．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
当 时，有 ，则 ，解得 ，
当 时，有 ，则 ，解得 ．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的动点问题，解题的关键是对全等三角形进行分类讨论，再利用全等三角形
的性质求出动点运动的时间．
10．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，点 在线段 上， 于 ， 于 ．
，且 ， ，点 以 的速度沿 向终点 运动，同时点 以
的速度从 开始，在线段 上往返运动（即沿 运动），当点 到达终点时，
， 同时停止运动．过 ， 分别作 的垂线，垂足为 ， ．设运动时间为 ，当以 ， ，
为顶点的三角形与 全等时， 的值为（ ）
A．1或3 B．1或
C．1或 或 D．1或 或5
【答案】C
【分析】分三种情况讨论，①当点P在AC上，点Q在CE上时，②当点P在AC上，点Q第一次从点C返
回时，③当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，由全等三角形的判定和性质可求解．
【详解】解：当点P在AC上，点Q在CE上时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5−2t＝6−3t，∴t＝1，
当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5−2t＝3t−6，
∴t＝ ，
当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴2t−5＝18−3t，
∴t＝
综上所述：t的值为1或或 或
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．
二、填空题
11．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图， ，其中 ，则
的周长为 ．
【答案】15
【分析】根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ 的周长 ，
故答案为：15．
【点睛】本题考查全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．
12．（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）如图，D在 边上， ， ，
则 的度数为 ．
【答案】 /40度
【分析】根据全等三角形的性质得出 ，即可求出 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，能根据全等三角形的性质得出 是解此题的关键．
13．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知图中的两个三角形全等，则 °
【答案】
【分析】三角形全等，有对应边相等，对应角相等，找到 的对应角即可．
【详解】解：如图， 是边 和 的夹角，左图是 ，
故【点睛】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等．
14．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形 四边形 ，若 ， ，
，则 ．
【答案】105
【分析】根据全等的性质求出 ′， ，利用四边形的内角和公式求出 的度数即可求
出 度数．
【详解】解： 四边形 四边形 ，
′， ．
，
，
， ，
．
故答案为：105．
【点睛】本题考查了全等图形的性质和四边形内角和公式，解题的关键在于熟练掌握全等图形的性质．
15．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图， ， ， ，点P在线段
上以 的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线 上运动速度为 ，它们运动的时间为
（当点P运动结束时，点Q运动随之结束），当点P，Q运动到某处时，有 与 全等，此
时 ．
【答案】 或 ．【分析】根据题意分两种情况讨论：① ，② ，然后分别列出方程求解即
可．
【详解】解：分两种情况：
①若 ，则 ，可得
，
解得 ，
②若 ，则 ，
，
解得 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是分两种情况讨论．
16．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，在 中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
点C的坐标为 ，如果要使以A，B，D为顶点的三角形与 全等（点D不与点C重合），那么点
D的坐标是 .
【答案】 或 或
【分析】根据题意画出图形，根据A、B、C的坐标和全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：符合题意的有3个，如图，
∵点A、B、C坐标为 ， ， ，∴ 的坐标是 ， 的坐标是 ， 的坐标是 ，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是正确画出图形，此题难度不大．
17．（2022秋·北京·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系 中，点 ，P，Q是两个
动点，其中点P以每秒2个单位长度的速度沿折线 （按照 ）的路线运动，点Q以每秒5个单
位长度的速度沿折线 （按照 ）的路线运动，运动过程中点P和Q同时开始，而且都要运动
到各自的终点时停止．设运动时间为t秒，直线l经过原点O，且 ，过点P，Q分别作l的垂线段，
垂足为E，F，当 与 全等时，t的值为 ．
【答案】 或 或
【分析】根据题意可分三种情况：①点 在 上，点 在 上；②点 、 都在 上，③点 在 上，
点 在点 处，可画出对应图形，利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：根据题意， ， ，当点 运动到点 时， ，当点 运动到点B时， ，
点 运动到点 时， ，点 运动到点 时， ，
故可分三种情况：
①点 在 上，点 在 上，如图，
当 与 全等时 ，
∵ ， ，
∴ ，解得： ；
②点 、 都在 上，如图，
当 与 全等时，点 、 重合，即 ，
∵ ， ，
∴ ，解得： ；
③点 在 上，点 在点 处，如图，当 与 全等时 ，
则 ，解得： ，
综上，满足条件的t值为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查全等三角形的性质、坐标与图形、一元一次方程的应用，理解题意，利用数形结合和分
类讨论思想解决动点问题是解答的关键．
18．（2022秋·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）如图，在 中， ，
， ， ，现有一动点 ，从点 出发沿着三角形的边 运动
回到点 停止，速度为 ，设运动时间为 ．
（1）如上图，当 时， 的面积等于 面积的一半；
（2）如图，在 中， ， ， ， ．在 的边上，若另外有一
个动点Q，与点P同时从点 出发，沿着边 运动回到点A停止，在两点运动过程中的某一时
刻，恰好 与 全等，则点Q的运动速度是 ．【答案】 或 或 或 或
【分析】（1）根据三角形中线的性质，分 点运动到 边上时和 点运动到 边上时两种情况分别讨
论即可；
（2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点 所走的路程，进而可求出 的运
动时间，即 的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可．
【详解】解：∵ 的面积等于 面积的一半，
∴P点运动到BC的中点，
此时 ，
当P点运动到AC边上时，
此时 ，
∴此时P点在AC边的中点，此时 ，
综上所述，当 或 时， 的面积等于 面积的一半；
（2）设点 的运动速度为 ，
①当点 在 上，点 在 上， 时，
，
∴
解得 ；
②当点 在 上，点 在 上， 时，
，
∴ ，
解得 ；
③当点P在 上，点 在 上， 时，，
∴点P的路程为 ，点Q的路程为 ，
∴
解得 ；
④当点P在 上，点Q在 上， 时
，
∴点P的路程为 ，点Q的路程为 ，
∴
解得 ；
∴ 运动的速度为 或 或 或 ．
故答案为： 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况
讨论是解题的关键．
三、解答题
19．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图所示，已知 ，指出它们的对应边和对应角．
【答案】见解析
【分析】根据全等三角形的概念，正确的确定对应边和对应角即可．【详解】解：∵ ，
∴ 的对应边是 ， 的对应边是 ， 的对应边是 ，
的对应角是 ， 的对应角是 ， 的对应角是 ．
【点睛】本题考查全等三角形的概念．熟练掌握全等三角形对应边和对应角的概念，是解题的关键．
20．（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图， ，点B， 在同一直线上，点 在
上．
(1)若 ，求 的长；
(2)判断 与 所在直线的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
【分析】（1）根据全等三角形的性质可得 ，再根据线段的和差即可得出答案；
（2）根据全等三角形的性质结合平角的定义求出 ，再根据三角形的外角性质可得
，进而可得结论．
【详解】（1） ，
点 在 上，
；
（2） 与 所在直线的位置关系为 ，
理由如下：延长 交 于点 ，
，
，
点 在同一直线上，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、三角形的外角性质、线段的和差以及垂线定义等知识，熟练掌握
全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
21．（2022秋·江苏宿迁·八年级沭阳县怀文中学校考阶段练习）如图，某校有一块正方形花坛，现要把它
分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，图中给出了一种设计方案，请你再给出四种不同的
设计方案．
【答案】见解答过程．
【分析】根据正方形的性质，①两条对角线把正方形分成四个全等的三角形；②作一组对边的平行线也能
把正方形分成四个全等的矩形；③连接一组对边的中点，把正方形分成两个全等的矩形，再作矩形的对角
线就把每个矩形都分成两个全等的三角形，这样就分成了四个全等的三角形；④过正方形的中心做互相垂
直的两条线也能把正方形分成四个全等的四边形．
【详解】解：设计方案如下：
【点睛】本题主要考查了全等图形的意义，要利用正方形及全等形的性质求解，方案多种多样，只需要满
足要求即就．
22．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形．
【答案】画图见解析.
【详解】如图所示：
．
23．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知 ，点B，E，C，F在同一条直线上．
(1)若 ， ，求 的度数；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）由三角形外角性质，得 ，由三角形全等知 ；
（2）由条件可推出 ，由三角形全等知 ，故 ．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ；（2）解：∵ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：7．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，全等三角形的性质，由全等三角形得出角之间，线段之间的相等关
系是解题的关键．
24．（2022秋·甘肃定西·八年级校联考阶段练习）如图，已知 ，且 ．
(1) 与 有何关系？请说明理由；
(2) 与 相等吗？为什么？
【答案】(1) ，理由见解析
(2)相等，理由见解析
【分析】(1)根据全等三角形的性质，利用等式性质证明即可．
(2)根据全等三角形的性质，利用等式性质证明即可．
【详解】（1） ．
理由： ．
．
（2）相等．
理由： ，
，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质，等式的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
25．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，长方形 中， cm， cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A—B—C—D—A返回到点A停止，点P的运动时间为t秒．
(1)当 秒时， cm；
(2)Q为 边上的点，且 ，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与 全
等．
【答案】(1)2
(2)2.5或4.5或7.5或9.5
【分析】（1）当 秒时，点P运动到线段 上，即可得到 的长度；
（2）根据题意，要使一个三角形与 全等，则点P的位置可以有四个，根据点P运动的位置，即可
计算出时间．
【详解】（1）解：当t＝3秒时，点P走过的路程为： ，
∵ ，
∴点P运动到线段 上，
∴ cm，
故答案是：2；
（2）根据题意，如图，连接 ，则 ， ， ，
∴要使一个三角形与 全等，则另一条直角边必须等于 ，①当点P运动到 时， ，此时 ，
∴点P的路程为： ，
∴ ，
②当点P运动到 时， ，此时 ，
∴点P的路程为： ，
∴ ，
③当点P运动到 时， ，此时 ，
∴点P的路程为： ，
∴ ，
④当点P运动到 时，即P与Q重合时， ，此时 ，
∴点P的路程为： ，
∴ ，
综上所述，时间的值可以是：t＝2.5s，4.5s，7.5s或9.5s．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段的动点问题，等腰三角形的判定，解题
的关键是掌握全等三角形的判定与性质及动点的运动状态，从而进行分类讨论．
26．（2022秋·浙江宁波·八年级统考阶段练习）如图①，在 中， ， ，
， ，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边 运动，到点C停止，速度
为 ，设运动时间为t ．
(1)如图①，当t ＝ 时， 的面积等于 面积的一半；(2)如图②，在 中， ， ， ， ． 在 的边上，若另外有一动
点Q，与点P同时从点A出发，沿着边 运动，到点C停止． 在两点运动过程中的某一时刻，恰好使
与 全等，求点Q的运动速度．
【答案】(1) 或 ；
(2) 或 ．
【分析】（1）分两种情况进行解答，①当点 在 上时，②当点 在 上时，分别画出图形，利用三
角形的面积之间的关系，求出点 移动的距离，从而求出时间即可；
（2）由 与 全等，分两种情况进行解答：①当 时，即，对应顶点为 与 ， 与
， 与 ， ， ，②当 时，即，对应顶点为 与 ， 与 ， 与 ，
， ，分别求出 移动时间，进而求出 的移动速度．
【详解】（1）解：①当点 在 上时，如图
若 的面积等于 面积的一半；则 ，
此时，点 移动的距离为 ，
移动的时间为： 秒，
②当点 在 上时，如图若 的面积等于 面积的一半；则 ，即点 为 中点，
此时，点 移动的距离为 ，
移动的时间为： 秒，
故答案为： 或 ；
（2）解：①当 时，即，对应顶点为 与 ， 与 ， 与 ；
如图：
此时， ， ，
点 移动的速度为 ，
②当 时，即，对应顶点为 与 ， 与 ， 与 ；如图所示：
此时， ， ，
点 移动的速度为 ，
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好使 与 全等，点 的运动速度为 或 ．
【点睛】考查三角形中线等分面积，全等三角形的判定，画出相应图形，求出各点移动的距离，其中分类
讨论思想是正确解答的关键．
