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第 31 讲 平面向量的应用
【基础知识全通关】
一：法向量与点到直线的距离
1．对于直线 是直线的方向向量， 是直线的法向量．
2．已知直线 和定点 ，且 ， 为与 垂直的单位向
量，则P到直线 的距离 = ．
【微点拨】
（1）如果给出的方程不是一般式，应先将方程化为一般式；
（ 2 ） 利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 ， 可 以 得 到 两 平 行 直 线
之间的距离 ，应用此公式时，要
预先把两直线中的 的系数调整到分别相同才行．
二：向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：
（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向
量减法的意义．
（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共
线）的条件： （或xy－xy=0）．
1 2 2 1
（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直
等，常运用向量垂直的条件： （或xx+yy=0）．
1 2 1 2
（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式 ．（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直
角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
【微点拨】
用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基
底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性
运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就
可以达到解决几何问题的目的了．
三：向量在解析几何中的应用
在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向
量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量
方法解决．
常见解析几何问题及应对方法：
（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质．
（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于
点的坐标的方程．
（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件．
（4）夹角问题：利用公式 ．
四：向量在物理中的应用
（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学
问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关
物理现象．
（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位
移的合成与分解就是向量的加减法；③动量 mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s
的数量积．
（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化
为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论．
【考点研习一点通】
考点一：点到直线的距离公式1．求经过P（-1，2）与直线 平行的直线的方程．
【点拨】由于两线平行，它们的方向向量共线，只要求出已知直线的方向向量即为所求直
线的方向向量，从而可求出直线方程．
【答案】
【解析】
方法一：直线 的方向向量为 ，设 是所求直线上任意一点，
则 ，得 ，
即 为所求直线方程．
方法二：由直线 的方向向量为 ，故所求直线的斜率为-1，由点斜式
可得过点P（-1，2）的直线方程为 ，即 ．
【总结】方法二是大家通常能想到的方法，方法一是利用向量来解决问题，若能熟练使
用，可达到事半功倍的效果．
【变式1-1】已知直线 与 的方程分别为 ，直线 平行于
，直线 与 的距离为 ，与 的距离为 ，且 ，求直线 的方程．
【答案】
【解析】
因为直线 平行于 ，可设 的方程为 ，在 上取一点 ，平行线间
距离处处相等，
所以点 到直线 的距离为 ，即 ．
同理，在 上取点 ，可得
因为 ，所以 ．
解得 或 ，于是直线 的方程为 ．
考点二：向量在平面几何中的应用
2．用向量法证明：直径所对的圆周角是直角．
已知：如下图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点（不与 A、B重合），求证：
∠APB＝90°．
→ → → → → →
OA=⃗a，OP= ⃗b OB=−⃗a PA=OA−OP=⃗a− ⃗b
证明：联结 OP，设向量 ，则 且 ，
→ → →
PB=OB−OP=−⃗a− ⃗b
→ →
∴PA⋅PB= ⃗ b2 − ⃗ a2 =| ⃗b| 2 −|⃗a| 2 =0
→ →
∴PA⊥PB
，即∠APB＝90°．
【总结】解决垂直问题，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的数量积为零，而在
此过程中，则需运用向量运算，将目标向量用基底表示，通过基底的数量积运算式使问题
获解，如本题便是将向量 ， 由基底 ， 线性表示．当然基底的选取应以方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知．
【变式2-1】如下图，正三角形 ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且
AE、CD交于点P．求证：BP⊥CD．
【点拨】将向量 和 用基底表示，然后把证明线段垂直问题，转化成 的
问题．
【解析】设 ，正三角形ABC的边长为a，
则 ．
又 ， ，∴ ．
∴ ．
于是有 ，解得 ．
∴ ， ，
，，
从 而 ， 即
，故BP⊥CD．
【总结】解决垂直问题，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的内积为零，而在此
过程中，则需运用向量运算，将目标向量用基底表示，通过基底的内积运算式使问题获
解，如本题便是将向量 ， 由基底 ， 线性表示．当然基底的选取应以方便运
算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知．
【变式2-2】如图所示，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上一点，PFCE是矩形，证
明： .
【点拨】如果我们能用坐标表示 与 ，则要证明结论，只要用两向量垂直的充要条
件进行验证即可.因此只要建立适当的坐标系，得到点A、B、E、F的坐标后，就可进行论
证.
【解析】以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴建立如图所示坐标系，设正方形的边长为
1，
2 2 2 √2
P( , ) E(1, ) F( λ,0)
A(0,1) 2 2 2 2 y
，则 ， ， ， ，
A B
P
于是 ， ， E
DO F C x∵
√2 √2 √2 √2
=− λ⋅( λ−1+1− λ)=− λ×0=0
2 2 2 2
∴ .
【变式2-3】在平面直角坐标系xOy中，已知点A（―1，―2），B（2，3），C（―2，
―1）．
（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
（2）设实数t满足 ，求t的值．
【答案】（1） ， （2）
【 解 析 】 （ 1 ） 由 题 设 知 ， ， 则 ，
．
所以 ， ．
故所求的两条对角线长分别为 ， ．
（2）由题设知 ， ．
由 ，得(3+2t，5+t)·(―2，―1)=0，
从而5t=―11，所以 ．
【变式2-4】四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于
点F．
求证：AF=AE．
【点拨】建立直角坐标系，写出向量 和 ，证明 = ．【证明】如下图，以点C为坐标原点，以DC边所在直线为x轴，建立直角坐标系，设正
方形的边长为 1，则 A（－1，1），B（0，1），若设 E（x，y）（x＞0），则
， ．
因为BE∥AC，即 ，所以x+y―1=0．
又因为AC=CE，所以x2+y2―2=0．
由 ，得 ，即 ．
又设F（x＇，1），由 和 共线，
得 ，解得 ，
所以 ．
所以 ， ．
所以 ．
所以AF=AE．
【总结】通过建立坐标系，将几何问题代数化，根据向量的相关运算，使问题得以解决．
考点三：向量在解析几何中的应用
3．已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，
且 ，求动点P的轨迹方程．
【点拨】设动点P的坐标，先把向量之间的关系化简，然后代入向量坐标，化简整理即得
轨迹方程．【答案】
【解析】设P ，则
由
得：
即
化简得 ．
【总结】该题的难点是向量条件的转化与应用，解决此题应从向量的坐标运算入手，这也
是解决解析几何的基本方法——坐标法，在解题过程中应该注意结合向量的有关运算技
巧，先化简后运算．
【变式3-1】已知圆C：（x-3）2+（y-3）2=4及定点A（1，1），M为圆C上任意一点，点
N在线段MA上，且
，求动点N的轨迹方程．
【点拨】设出动点的坐标，利用向量条件确定动点坐标之间的关系，利用M为圆C上任意
一点，即可求得结论．
【答案】x2+y2=1
【解析】设N（x，y），M（x ，y ），则由 得（1―x ，1―y ）=2（x―1，
0 0 0 0
y―1），
∴ ，即 ．
代入(x―3)2+(y―3)2=4，得x2+y2=1．
【总结】本题考查轨迹方程，解题的关键是利用向量条件确定动点坐标之间的关系，属于
中档题．【变式3-2】已知△ABC的三个顶点A（0，―4），B（4，0），C（―6，2），点D、
E、F分别为边BC、CA、AB的中点．
（1）求直线DE、EF、FD的方程；
（2）求AB边上的高CH所在直线的方程．
【答案】（1）x―y+2=0，x+5y+8=0，x+y=0（2）x+y+4=0
【解析】 （1）由已知得点D（―1，1），E（―3，―1），F（2，―2），
设M（x，y）是直线DE上任意一点，
则 ． ， ．
∴(－2)×(x+1)―(―2)(y―1)=0，
即x―y+2=0为直线DE的方程．
同理可求，直线EF，FD的方程分别为
x+5y+8=0，x+y=0．
（2）设点N（x，y）是CH所在直线上任意一点，则 ．
∴ ．又 ， ．
∴4(x+6)+4(y―2)=0，
即x+y+4=0为所求直线CH的方程．
【总结】
（1）利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进
行运算．
（2）要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相
等．
考点四：向量在物理学中“功”的应用
4．如图所示，已知力F与水平方向的夹角为30°（斜向上），大小为50 N，一个质量为8
kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f
所做的功分别为多少？（g=10 m / s2）【答案】 ―22
【解析】 设木块的位移为s，
则W=F·s=|F|·|s|cos30°=50×20× （J）．
F在竖直方向上的分力的大小为 ．
则 （N）．
则f·s=|f|·|s|cos180°=1.1×20×(―1)=―22（J）．
即F与f所做的功分别是 J与―22 J．
【总结】向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量平行四边
形法则把物理问题抽象转化为数学问题．
考点五：向量在力学中的应用
5．如图，用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到重力为G．两绳受到的拉力分别为F、
1
F，夹角为 ．
2
（1）求其中一根绳子受的拉力|F|与G的关系式，用数学观点分析F 的大小与夹角 的关
1 1
系；
（2）求F 的最小值；
1
（3）如果每根绳子的最大承受拉力为|G|，求 的取值范围．
【答案】（1） 增大时，|F|也增大（2） （3）[0°，120°]
1
【解析】（1）由力的平衡得F+F +G=0，设F，F 的合力为F，
1 2 1 2则F=―G，由F+F =F且|F|=|F |，|F|=|G|，解直角三角形得 ，
1 2 1 2
∴ ， ∈[0°，180°]，由于函数y=cos 在 ∈[0°，180°]上为减函数，∴
逐渐增大时， 逐渐减小，即 逐渐增大，∴ 增大时，|F|也增大．
1
（2）由上述可知，当 =0°时，|F|有最小值为 ．
1
（3）由题意， ，
∴ ，即 ．
由于y=cos 在[0°，180°]上为减函数，∴ ，
∴ ∈[0°，120°]为所求．
【总结】生活中“两人共提一桶水，夹角越大越费力”，“在单杠上做引体向上，两臂的
夹角越小就越省力”等物理现象，通过数学推理与分析得到了诠释．
【考点易错】
1．如图，在△OAB中， ， ，AD与BC交于点M，设 ，
，试以a，b为基底表示 ．【点拨】直接利用 、 表示 比较困难，可以先设 ，再根据三点共线
的知识寻找出 的两个方程，联立方程组，解之即得．
【答案】
【解析】设 （m，n∈R），则 ．
，
∵A、M、D三点共线， ，
∴ ，即m+2n=1． ①
而 ， ，
∵C、M、B三点共线， ，
∴ ，即4m+n=1． ②
由 ，解得 ，∴ ．【总结】
（1）充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注重方程思想的应用；
（2）用基底表示向量也是运用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握．
2．已知A、B、C是不共线的三点，O是△ABC内一点，若 ，证明O
是△ABC的重心．
【点拨】 要证明O是△ABC的重心，即证O是△ABC各边中线的交点，可联系重心的性
质证之．
【证明】 ∵ ，
∴ ，即 是与 方向相反且长度相等的向量．
如图所示，以OB、OC为相邻两边作 OBDC，则 ，
∴ ．
在 OBDC中，设BC与OD相交于E，则 ， ，
∴AE是△ABC的BC边上的中线，且 ．
根据平面几何知识，知O是△ABC的重心．
【总结】若 且直线AB与直线CD不重合，则AB∥CD．若 且直线
AB与直线CD不重合，则以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．
3．设 、 、 是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A、B、P共
线，当且仅当存在实数m、n使m+n=1且 ．
【点拨】本题包含两个问题：（1）A、B、P共线 m+n=1，且 成立；
（2）上述条件成立 A、B、P三点共线．
【证明】（1）由三点共线 m、n满足的条件．
若A、B、P三点共线，则 与 共线，由向量共线的条件知存在实数 使，即 ，∴ ．
令 ，n= ，则 且m+n=1．
（2）由m、n满足m+n=1 A、B、P三点共线．
若 且m+n=1，则 ．
则 ，即 ．
∴ 与 共线，∴A、B、P三点共线．
由（1）（2）可知，原命题是成立的．
【总结】 本例题的结论在做选择题和填空题时，可作为定理使用，这也是证明三点共线的
方法之一．
【巩固提升】
1.等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图，分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐
标系，设 ，则 ，
∴ .
设向量 的夹角为 ，
则 .【思路点拨】根据已知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为
x轴和y轴，分别设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的
向量的数量积和模，进而求得夹角的余弦值.
2.已知 ， ，函数 .
（Ⅰ）求函数 的零点；
（Ⅱ）若锐角 的三个内角 、 、 的对边分别是 、 、 ，且 ，求
的取值范围.
【 解 析 】 （ Ⅰ ） 由 条 件 可 知 :
，
∴ .
故函数 的零点满足 ,
由 ，解得 , ．
（Ⅱ）由正弦定理得 ①.
由（Ⅰ）知 ，而 ，得 ，
∴ ，
又 ，得 .
∵ ， ，代入①化简得：
，
又在锐角 中，有 ，
又 ， ，∴ ，
则有 ，即： .
【名师点睛】利用向量的共线与垂直和数量积之间的关系建立三角方程或三角函数式，从
而解决三角函数中的求值、求角或求最值等问题是高考考查的热点.
3．在 中,内角 的对边分别为 ,且向量
，若 .
（1）求 的值；
（2）若 , 求 在 方向上的投影.【解析】（1）∵ ， ，
，
又 为 的内角， .
（2）在 中，由正弦定理 ，得 ， ，
， 为锐角， ，
由余弦定理 ，得 ，
解得 或 （舍去）.
∴ 在 方向上的投影为 .
4.一质点受到平面上的三个力F 、F 、F (单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 、
1 2 3 1
F 成60°角，且F 、F 的大小分别为2和4，则F 的大小为________．
2 1 2 3
【答案】
【解析】由题意知F =−(F ＋F )，∴|F |=|F ＋F |，
3 1 2 3 1 2
∴|F |2=|F |2＋|F |2＋2|F ||F |cos60°=28，
3 1 2 1 2
∴|F |= .
3
5．在水流速度为 的河流中，有一艘船正沿与水流垂直的方向以 的速度航
行，则船自身航行的速度大小为____________ .4√5
【答案】
【解析】如图， 代表水流速度， 代表船自身航行的速度，而 代表实际航行的
速度，所以有 ，所以船自身航行的
速度大小为 .
6．在平行四边形 中， .
（1）用 表示 ；
（2）若 ， ，求 的值.
【解析】（1） .
（2）∵ ， ，
∴ .
由图可得： ，∴ .
7．如图，在四边形 中， ， ， ，且 .
（1）用 表示 ；
（2）点 在线段 上，且 ，求 的值.
【解析】（1）因为 ，所以 .
因为 ，所以
.
（2）因为 ，所以 .
因为 ，所以点 共线.
因为 ，所以 .
以 为坐标原点， 所在的直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.因为 ， ， ，
所以 .
所以 ， .
因为点 在线段 上，且 ，
所以 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
