文档内容
第 06 讲 拓展一：平面向量的拓展应用
(精讲）
目录
第一部分：典型例题剖析
高频考点一：平面向量夹角为锐角（或钝角）问题
高频考点二：平面向量模的最值（或范围）问题
高频考点三：平面向量数量积最值（或范围）问题
高频考点四：平面向量与三角函数的结合
第二部分：高考真题感悟
第一部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：平面向量夹角为锐角（或钝角）问题
例题1．（2021·重庆第二外国语学校高三阶段练习）已知向量 ， ，则“ ”是“ ，
夹角为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
由题设， ，
当 时， ，注意可能 ，故充分性不成立；
当 ， 夹角为锐角时， ，即 ，故必要性成立；
故选：B
例题2．（2022·河北承德·高一阶段练习）已知向量 ， ，若向量 ， 的夹角是锐角，
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C因为 ， ，
所以 ，
因为向量 ， 的夹角是锐角，所以 ，解得 ，且 ．
所以，实数 的取值范围是 .
故选：C
例题3．（2022·山东·淄博中学高一阶段练习）设 ， ，则 与 的夹角为钝角时，
的取值范围为___________.
【答案】
因为 ， ，
所以 ，
当 与 的夹角为钝角时， ，
解得： ，
当 与 反向共线时， ，解得 ， ,
所以 的取值范围为
故答案为：
题型归类练
1．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）已知 ， ，且 与 的夹角 为锐角，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由 与 的夹角 为锐角知 且 与 不共线，即 且 ，即 且 .
故选：D.
2．（2022·广东茂名·高一期中）已知向量 ，则“ 与 的夹角为锐角”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
因为 与 的夹角为锐角，则 且 与 不共线.
时， ，
当 时 ，
则 与 不共线时， ，
所以 与 的夹角为锐角的充要条件是 且 ，
显然 且 是 的真子集，
即“ 与 的夹角为锐角”是“ ”的充分不必要条件，A正确.
故选：A
3．（2022·广东·海珠外国语实验中学高一期中）已知 ，若 与 的夹角为钝角.则实
数 的取值范围为______________.
【答案】 且
由 ，又 与 的夹角为钝角，
所以 ，即 .
当 与 反向共线时，即 有 ，则 ，此时 与 的夹角为 ，
综上， 的取值范围为 且 .
故答案为： 且 .
4．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）设向量 ， 满足 ， ，且 ．若向量
与 的夹角为钝角，则实数m的取值范围是________．
【答案】由题设可得： ，
因为向量 与 的夹角为钝角，
所以 且 与 不反向共线，
可得： ，
所以 ，解得 ，
若向量 与 反向共线时，存在实数 ，使得 成立，
可得 ，解得： （正解舍），
所以 与 不反向共线， ，
综上所述，
故答案为： .
高频考点二：平面向量数量积的最值（或范围）问题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，若点 是 所在平面内的一
点，且 ，则 的最大值等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
【答案】C
∵ ，∴可以A为原点， 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系；
不妨设 ，则 ，故点P坐标为
则 ，∴
令 ，则 ，
则当 时， ，当 时， ，
则函数 在 递增，在 上递减，则 ，即 的最大值为12．
故选：C．例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知 是边长为2的正方形， 为平面 内一点，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
是边长为2的正方形，则以点A为原点，直线AB，AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：
则 ，设点 ，
，
于是得： ，
当 时， 取得最小值 ，
所以 的最小值是 .
故选：B
例题3．（2021·河北武强中学高一阶段练习）已知 是边长为1的正六边形 内或其边界上的
一点，则 的取值范围是________.【答案】
如图，作 ，垂足为 ，作 于 ， 于 ，
则 ，
当 是锐角时， ，此时 ，
当 是钝角时， ，此时 ， 取最小值 ，
当 是直角时， ，
综上， 的取值范围是 ．
故答案为： ．
题型归类练
1．（2022·北京市第五十中学高一期中）如图，线段 ，点A，B分别在x轴和y轴的非负半轴上运动，
以AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD， ，设O为原点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：如图令 ， ，由于 ，故 ， ，
如图 ， ，故 ， ，
故 ，同理可求得 ，即 ，
∴ ，∵ ，∴ ．∵ ，∴ 的最大值是3，最小值是1，
故选：C．
2．（2021·云南·昆明市官渡区第一中学高二期中）已知直角梯形
是 边上的一点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
法一：因为 在 上，不妨设 ，
则 （其中 ）
所以
，
因为 ，所以
法二：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系.则 ，
， ， ，其中∠ABC=45°，设点 ，
其中 ， ，
∴
∵
∴故选：D.
3．（2022·全国·高一课时练习）在矩形ABCD中，AB=2 ，AD=2，点E为线段BC的中点，点F为线段
CD上的动点，则 的取值范围是（ ）
A．[2，14] B．[0，12]
C．[0，6] D．[2，8]
【答案】A
如图建立平面直角 ，
则A(0，0)，E(2 ，1)，
设F(x，2)(0≤x≤2 )，
所以 =(2 ，1)， =(x，2)，因此 =2 x+2，
设f(x)=2 x+2(0≤x≤2 )，f(x)为增函数，
则f(0)=2，f(2 )=14，故2≤f(x)≤14， 的取值范围是[2，14].
故选：A
4．（2021·上海市延安中学高三期中）如图， 为 外接圆 上一个动点，若
，则 的最大值为__________.【答案】
由余弦定理得 ，
由正弦定理得外接圆半径 ，
所以 ，其中 是 在 上的投影，
过点 作 交圆于点 ，如图所示，
则 ，
所以 的最大值为 .
故答案为：
高频考点三：平面向量模的最值（或范围）问题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ， 满足 ， ，若
且 （ ， ），则 的最小值为
A．1 B． C． D．
【答案】D
，当且仅当 时，
例题2．（2022·全国·高一专题练习）已知单位向量 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由 ，得 ，两边平方，得 ，
即 ，整理得 ，
所以 或
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 .
故选:B.
例题3．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））已知平面向量 ， ， ，若 ， ， ，
，则 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
【答案】C
因 ， ， ，则 ，
又 ，于是有 ，
当且仅当 与 同向共线时取“=”，
所以 的最大值为4.
故选：C
题型归类练
1．（2022·全国·高一专题练习）已知 为等边三角形， ， 所在平面内的点 满足
， 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，
所以， ，
由平面向量模的三角不等式可得 .当且仅当 与 方向相反时，等号成立.
因此， 的最小值为 .
故选：C.
2．（2022·广东·广州市第二中学高一阶段练习）如图，在等腰 中，已知
分别是边 的点，且 ，其中 且
，若线段 的中点分别为 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
在等腰 中，已知 则 ，因为 别是边
的点，所以 ，而
，左右两边平方得
，又因为 ，所以 ，
因为 ，即 ，所以当 时， 的最小值为 ，即 的最小值为 .
故选：D.
3．（2022·江苏·辅仁高中高一期中）已知向量 为单位向量，且 ，向量 与 共线，则
的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．【答案】D
由题意，向量 与 共线，
故存在实数 ，使得
当且仅当 时等号成立
故选：D
4．（2022·全国·高一专题练习）已知向量 ， ， 满足：| + |=3， 且 ，则| －
|的取值范围是______．
【答案】
而 ，故 ，
故答案为：
高频考点四：平面向量与三角函数的结合
例题1．（多选）（2022·河北石家庄·高三阶段练习）已知 ，函数
，则下列选项正确的是（ ）
A．函数 的值域为 ．
B．将函数 图像上各点横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再将所得图像向左平移 个单位
长度，可得函数 的图像．
C．函数 是偶函数．
D．函数 在区间 内所有零点之和为 ．
【答案】AD
解：因为 且 ，
所以 ，因为 ，所以 ，故A正确；
将 图像上各点横坐标变为原来的 （纵坐标不变）得到 ，
再将 向左平移 个单位长度得到 ，故B错误；
，故 为非奇非偶函数，故C错误；
令 ，即 ，所以 ，所以 或
，解得 或 ，
因为 ，所以 或 ，即 ，故D正确；
故选：AD
例题2．（2022·河南宋基信阳实验中学高一阶段练习）已知向量 ， ．
(1)当 时，求 的值；
(2)设函数 ，将 的图像向左平移 个单位得到函数 的图像，求 在 的
值域．
【答案】(1) ；(2) .
(1)向量 ， ，由 得： ，
所以 .
(2)由（1）知， ， ，
当 时， ，则有 ，即有 ，
所以 在 的值域是 .
例题3．（2022·贵州·遵义四中高一期中）已知向量 ， ，
．(1)若 ，求 ；
(2)若 在区间 上的值域为 ，求 的取值范围．
【答案】(1) 或 ；(2) .
(1)由题设， ，
所以 ，可得 或 .
(2)由（1）得： ，
在 上 ，且对应值域为 ，
所以 ，则 .
例题4．（2022·河北·张北县第一中学高一阶段练习）已知 ， ，
．
(1)化简函数 的解析式，并求最小正周期；
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ， (2)
(1)因为 ，
所以最小正周期为 ；
(2)由于 ，所以 ，故 ，
因为 ，所以 ，因此 ，
所以 ，因此 ，
由题意可得 ，解得 ，故实数m的取值范围为 ；综上， ，最小正周期为 ， .
第二部分：高考真题感悟
1．（2020·海南·高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到 在 方向上的投影的取值范围是 ，
结合向量数量积的定义式，
可知 等于 的模与 在 方向上的投影的乘积，
所以 的取值范围是 ，
故选：A.
2．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交AB于
点E． 且交AC于点F,则 的值为____________； 的最小值为____________．
【答案】 1
设 ， ， 为边长为1的等边三角形， ，
，
， 为边长为 的等边三角形， ，
，
，
，所以当 时， 的最小值为 .
故答案为：1； .
3．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形 中， ， ，且
，则实数 的值为_________，若 是线段 上的动点，且 ，则
的最小值为_________．
【答案】
， ， ，
，
解得 ，
以点 为坐标原点， 所在直线为 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 ，
,∵ ，∴ 的坐标为 ,
∵又∵ ,则 ，设 ，则 （其中 ），
， ，
，
所以，当 时， 取得最小值 .
故答案为： ； .
4．（2019·浙江·高考真题）已知正方形 的边长为1，当每个 取遍 时，
的最小值是________；最大值是_______.
【答案】 0
正方形ABCD的边长为1，可得 ， ，
• 0，
要使
的最小，只需要
，此时只需要取
此时等号成立当且仅当 均非负或者均非正，并且 均非负或者均非正．
比如
则 .
