文档内容
第 07 讲 向量法求距离、探索性及折叠问
题(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：利用空间向量求点到直线的距离
题型二：利用空间向量求点到平面的距离
题型三：立体几何中的折叠问题
题型四：立体几何综合问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：点 到直线 的距离
已知直线 的单位方向向量为 ， 是直线 上的定点， 是直线 外一点.设 ，则向量 在直线
上的投影向量 ，在 中，由勾股定理得：
知识点二：点 到平面 的距离
如图，已知平面 的法向量为 ， 是平面 内的定点， 是平面 外一点.过点 作平面 的垂线 ，
交平面 于点 ，则 是直线 的方向向量，且点 到平面 的距离就是 在直线 上的投影向量
的长度.第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·广东茂名·高二期末）已知 为平面 的一个法向量， 为 内的一点，则点
到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·福建厦门·高二期末）直线l的方向向量为 ，且l过点 ，则点 到l
的距离为( )
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知点 ， ， ，则点A到直线BC的距离是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知平面 的一个法向量为 ，点 在
平面 内，且 到平面 的距离为 ，则 的值为（ ）
A．1 B．11 C． 或 D．
5．（2022·云南·会泽县实验高级中学校高二开学考试）在棱长为 的正方体 中， 是
的中点，则点 到平面 的距离是（ ）
A． B． C． D．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：利用空间向量求点到直线的距离
典型例题
例题1．（2022·浙江绍兴·高二期末）如图，在正三棱柱 中，若 ，则 到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，已知 ， ，则点 到直
线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高二专题练习）已知直线 过定点 ，且 (0，1，1)为其一个方向向量，则
点 到直线 的距离为_______.
题型归类练
1．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二期末）如图，在棱长为1的正方体 中，点B到
直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习） ， ， 是从点P出发的三条线段，每两条线段的夹角均为60°，
，若M满足 ，则点M到直线 的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知棱长为3的正方体 中，点 是棱 的中点，
，动点P在正方形 (包括边界)内运动，且 平面 ，则 的取值范围为______.
4．（2022·全国·高三专题练习）在直三棱柱 中， ， ，M为的中点，则点M到直线 的距离为___________.
题型二：利用空间向量求点到平面的距离
典型例题
例题1．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知经过点 的平面 的法向量为 ，则点
到平面 的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
例题2．（2022·江苏·高二期中）在空间直角坐标系 中，平面 的法向量为 ， 已知
，则 到平面 的距离等于 （ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱 中，所有棱长均为 ，且 底面
，则点 到平面 的距离为______.
题型归类练
1．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末（理））设正方体 的棱长为 ，则点
到平面 的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏·高二课时练习）平面 的一个法向量 ，点 在 内，则点 到平
面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·重庆·高二期末）已知空间中四点 ， ， ， ，则点D到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C． D．0
4．（2022·江苏泰州·高二期末）长方体 中， ， ，则点B到平面
的距离为________．
5．（2022·北京东城·高二期末）已知点 ，平面 过 ， ， 三点，则点
到平面 的距离为________.
题型三：立体几何中的折叠问题
典型例题
例题1．（2022·广东茂名·高二期末）如图1，在一个正方形 , , , 内，有一个小正方形和四个全等
的等边三角形.将四个等边三角形折起来，使 , , , 重合于点 ，且折叠后的四棱锥 的
外接球的表面积是 (如图2)，则四棱锥 的体积是___________；若在四棱锥 内放
一个正方体，使正方体可以在四棱锥 内任意转动，则正方体棱长的最大值为___________.
例题2．（2022·山西·长治市第四中学校高一期中（理））如图，四边形 中， ，
， ， ， ， 分别在 ， 上， ，现将四边形 沿
折起，使 ．
(1)若 ，在折叠后的线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
(2)求三棱锥 的体积的最大值，并求出此时点 到平面 的距离.
例题3．（2022·山西太原·三模（理））已知三角形 是边长为2的正三角形，现将菱形 沿
折叠，所成二面角 的大小为 ，此时恰有 .
(1)求 的长；
(2)求二面角 的余弦值.
题型归类练
1．（多选）（2021·重庆市第十一中学校高三阶段练习）重庆市第十一中学校高三年级某班组织了《诵经
典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为
，托盘由边长为 的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，如图②.则下列结论正
确的是（ ）A．经过三个顶点 、 、 的球的截面圆的面积为
B．平面 平面
C．直线 与平面 所成的角为
D．球面上的点离球托底面 的最大距离为
2．（2022·河北唐山·高一期中）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝ ＝
1．现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF折叠，使ED⊥DC，M为ED的
中点，如图2．
图1 图2
(1)求证：AM∥平面BEC；
(2)求证：BC⊥平面BDE；
(3)求点D到平面BEC的距离．
3．（2022·浙江·模拟预测）已知梯形 ，现将梯形沿对角线 向上折叠，连接 ，问：
(1)若折叠前 不垂直于 ，则在折叠过程中是否能使 ？请给出证明；(2)若梯形 为等腰梯形， ，折叠前 ，当折叠至面 垂直于面 时，二面
角 的余弦值．
题型四：立体几何综合问题
典型例题
例题1．（2022·广东·高二阶段练习）如图，三棱柱 中， 侧面 ，已知
， ， ，点 是棱 的中点.
(1)求异面直线 与 所成的角的余弦值；
(2)在棱 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由.
例题2．（2022·辽宁·高三期末）如图，已知三棱柱 的侧棱与底面垂直，
， ， ， 分别是 ， 的中点，点 在直线 上．(1)证明： ；
(2)当平面 与平面 所成的锐二面角为 时，求平面 与侧面 的交线长．
题型归类练
1．（2022·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱 中， 为 的中点，
分别是棱 上的点，且 ．
(1)求证：直线 平面 ；
(2)若 是正三角形 为 中点，能否在线段 上找一点 ，使得 平面 ？若存在，确
定该点位置；若不存在，说明理由．
2．（2022·湖南师大附中高一期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，AD BC，
E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为 .(1)在平面PAB内是否存在一点M，使得直线CM 平面PBE，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，
请说明理由；
(2)若二面角P−CD−A的大小为 ，求P到直线CE的距离.
3．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）如图，在四棱锥 中， 平面 ，四
边形 为直角梯形， ， ， ， ， ， 为 的中
点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)在线段 上是否存在点 满足直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由.
