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第 07 讲 向量法求距离、探索性及折叠问
题(精练）
A 夯实基础
一、单选题
1．在棱长为1的正方体 中， 为 的中点，则点 到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ， ，所以 ， ，
所以 在 上的投影为 ，
所以点 到直线 的距离 .
故选：C.
2．如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABC D 中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面BDEF
1 1 1 1 1 1
的距离为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
故 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，则 ，故 ，
故 到平面 的距离为 ，
故选：A.
3．在矩形 中， 分别为各边的中点，现沿着虚线折叠得到一个几
何体，使得点 重合于点 ，则该几何体的外接球表面积是（ ）
A．18π B．16π C．20π D．22π
【答案】C
解：折叠后 重合于 ， 重合于 ，平面 与平面 沿 折叠后重合后得平面 ，
得到如图，又因为 垂直 ，,即 垂直 ，所以 ⊥平面 ， ⊥平面
，所以 三点共线，
所以 ，
由该三棱锥对棱相等，所以三棱锥是长方体内的一部分，
设长方体长宽高分别为 外接球半径为 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以外接球表面积为 ，故选:C
4．长方体 中， ， ， 为 的中点，则异面直线 与 之间的距
离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
， ，
设 与 的公垂线的一个方向向量为 ，
则 ，取 ，得 ， ，即 ，
又 ，所以异面直线 与 之间的距离为 ．
故选：D．
5．已知点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2）， ，那么过点P平行于平面ABC的平面
与平面ABC的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），
所以 ，
设平面ABC的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，得 ，则 ，
所以 ，
故选：C
6．由下列平面图形沿虚线折叠围成的几何体中存在面面垂直的有（ ）A．②③ B．①③ C．②④ D．①④
【答案】C
①沿虚线折叠围成的几何体是正三棱锥，没有面面垂直；
②沿虚线折叠围成的几何体三棱锥背面的侧面和底面垂直，②符合题意；
③沿虚线折叠围成的几何体是三棱柱，当是直三棱柱是才存在面面垂直；
④沿虚线折叠围成的几何体是长方体，存在面面垂直，符合题意.
故选：C
7．如图，菱形 的边长为 ， ，将其沿着对角线 折叠至直二面角 ，连接
，得到四面体 ，则此四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
取 的中点 ，连接 、 ，
因为 、 都是边长为 的等边三角形，且 为 的中点，则 ， ，所以，二面角 的平面角为 ，且 ，
设 、 分别为 、 的外心，
过点 作平面 的垂线 ，过点 作平面 的垂线 ，设 ，
易知 ，同理可得 ，
， ， ， 平面 ，
平面 ， ，同理可得 ，
所以，四边形 是边长为 的正方形，
由正弦定理可得 ， ，
因此，四面体 的外接球的表面积为 .
故选：D.
8．已知正方体 的棱长为1，点E、O分别是 、 的中点，P在正方体内部且满足
，则下列说法错误的是（ ）
A．点A到直线BE的距离是 B．点O到平面 的距离为
C．平面 与平面 间的距离为 D．点P到直线AB的距离为
【答案】D
如图，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ，
，所 ， ．设 ，则 ，
．故A到直线BE的距离 ，故A对；
易知 ，平面 的一个法向量 ，则点O到平面 的距离
，故B对；
， ， ．设平面 的法向量为 ，则 ，所以 ，令 ，得 ， ，所以 ，所以点 到平面 的距离
．因为平面 平面 ，所以平面 与平面 间的距离等于点 到
平面 的距离，即为 ，故C对；
因为 ，所以 ， ，则 ，所以点P到AB的距
离 ，故D错．
故选：D
二、多选题
9．已知直线 的方向向量 ， 为直线 上一点，若点P( 1，0， 2)为直线外一点，
则P到直线 上任意一点Q的距离可能为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】AB
由题设条件可知， ，
所以 ，
设 与 的夹角为 ，
则 ，
所以 ，所以点 到直线 的距离为 ，
P到直线 上任意一点Q的距离要大于等于 ，
故选：AB.
10．已知 ， ， 平面 ，则（ ）
A．点A到平面 的距离为 B． 与平面 所成角的正弦值为
C．点A到平面 的距离为 D． 与平面 所成角的正弦值为
【答案】BC
因为 平面 ，所以 是平面 的一个法向量，
所以点A到平面 的距离为 ，故A错误，C正确；
与平面 所成角的正弦值为 ，故B正确，D错误．
故选：BC.
三、填空题
11．已知直线 的方向向量为 ，点 在 上，则点 到 的距离为___________.
【答案】1
，
，
所以 ，
点 到 的距离为 ．
故答案为：1．
12．正方体ABCDABC D 的棱长为a，则平面ABD 与平面BDC 的距离为 _______.
1 1 1 1 1 1 1
【答案】
∵ ， 平面BDC ， 平面BDC ，所以 平面BDC ，
1 1 1
同理 平面BDC ，又 ，
1
所以平面ABD//平面BDC ，则两平行平面间的距离等于点B到平面ABD 的距离.
1 1 1 1 1
以D为坐标原点，DA，DC，DD 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
1则A(a,0,0)，B(a，a,0)， ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面ABD 的一个法向量为 ，
1 1
则 ，即 ，令 ，则 ， ，则 ，
则点B到平面ABD 的距离 ，
1 1
所以平面ABD 与平面BDC 的距离为 .
1 1 1
故答案为：
四、解答题
13．如图：在长方体 中， ， ， ， 是 的中点， 是 的中点.
(1)求异面直线 ， 所成角的余弦值.
(2)求三棱锥 的体积
【答案】(1) (2)8
(1)解：以A为原点， ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，设异面直线 ， 所成角为 ，则 ；
(2)解： ， ， ，
设 为平面 的法向量，则 ，即 ，
令 ，得 ，
所以 到平面 的距离 ，
又 ，
所以 .
14．如图，在等腰直角三角形 中, 分别是 上的点，且
分别为 的中点，现将 沿 折起，得到四棱锥 ，连接
(1)证明： 平面 ；
(2)在翻折的过程中，当 时，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2) .
(1)在四棱锥 中，取 的中点 ，连接 .因为 分别为 的中点， ，
所以
又 平面 , 平面 ，所以 平面 ，
同理可得， 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，
因为 MN C平面 ，所以 平面 .
(2)因为在等腰直角三角形 中 所以 ，
在四棱锥 中，
因为 则
又 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以
因为 则
所以 ，故 ，
所以以点 为坐标原点，分别以 所在方向为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系
，如图所示，
，
所以 ，
设 为平面 的一个法向量，则
，即 ，
令 ，则 ， ，设 为平面 的一个法向量，则
，即 ，
令 ，则 ， ，
设二面角 所成角为 ，则
.
因为二面角 的余弦值为 .
B 能力提升
1．如图，四边形 中， 是等腰直角三角形， 是边长为2的正三角形，以
为折痕，将 向一方折叠到 的位置，使D点在平面 内的射影在 上，再将
向另一方折叠到 的位置，使平面 平面 ，形成几何体 .
（1）若点F为 的中点，求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
解：（1）如图，设D点在平面 内的射影为O，连接 ，连接 .
∵ ，∴ ，
∴在等腰 中，O为 的中点.∵F为 中点，∴ .
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .取 的中点H，连接 ，
则易知 ，又平面 平面 ，
平面 平面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，
∴ ，又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又 .∴平面 平面 .
又 平面 ，∴ 平面 .
（2）连接 ，由（1）可知 两两垂直，以O为坐标原点 所在直线分别为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
从而 .
设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，
得 ，取 ，则 .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
得 ，取 ，则 ，
从而 .∴ ，
∴平面 与平面 所成角的正弦值为 ．
2．如图1，在梯形 中， ，且 ， 是等腰直角三角形，其中 为斜边.若
把 沿 边折叠到 的位置，使平面 平面 ，如图2.
（1）证明： ；
（2）若 为棱 的中点，求点 到平面 的距离.
【答案】（1）见解析；（2） .
（1）证明：∵ 是等腰直角三角形， 为斜边，
∴ .
∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ；
（2）解：由（1）知 ， 平面 ，
由题意可得 ， ， ，
则 ， ，∵ 为棱 的中点，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
即 ，
则 的面积为 ，
设点 到平面 的距离为
∵ ，
∴ ，
∴ .
C 综合素养
1．（2021·广东·佛山一中高二阶段练习）如图，已知多面体 中， 底面 ， ，
，其中底面是由半圆 及正三角形 组成.
(1)若 是半圆 上一点，且 ，求证： 平面 ；
(2)半圆 上是否存在点 ，使得二面角 是直二面角?若存在，求出 的值；若不存在，请
说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
(1)证明：∵ ，且 ，∴
∵ 是正三角形.∴ ，∴ ，∴
∵ ，∴
∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .(2)以 的中点为原点，以 的中垂线所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，建立如图的空间直角坐
标系
易得 ， ， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则由 ， 得
， ，取 ，则 ， ，∴
设点 ，则 ，且
设平面 的一个法向量为 ，则由 ， 得
， ，取 ，则 ， ，∴ .
∵二面角 是直二面角，∴ ，∴ .
结合 ，可得 ， ； ， （舍掉）.
∴ ，∴ .
∴ ，故存在点 ，使得结论成立.
2．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市实验中学高二期中）如图，在 中， ， ， 为
的外心， 平面 ，且 .(1)求证： 平面 ；
(2)设平面 面 ，若点 在线段 （不含端点）上运动，当直线 与平面 所成角取最大
值时，求二面角 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)如图，连接 ，交 于点 ， 为 的外心，
所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，
故 和 都为等边三角形，可得 ，
即四边形 为菱形，所以 ；
又 平面 、 平面 ，
所以 平面 ，
(2)因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，所以 .
如图，以点 为原点，分别以 ， 所在的直线为 ， 轴，过点 垂直于面 的直线为 轴建立
空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ， .
因为点 在线段 不含端点）上运动，所以 ，设 ，
所以 ，设平面 的法向量为 ，
则可得： ，令 可得 ，所以 ，
所以直线 与平面 所成角 的正弦值为： ，
即当 时直线 与平面 所成角取最大值.
此时 ，所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ， ， ，
所以 ，所以 ，
设二面角 的平面角为 ，则 ，
所以 ，则二面角的正弦值为 .
