文档内容
第 02 讲 两条直线的位置关系 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：两条直线的位置关系
角度1：判断两直线的位置关系
角度2：由两直线的位置关系求参数
角度3：由两直线的位置关系求直线方程
题型二：与距离有关的问题
题型三：对称问题
角度1：点关于直线对称
角度2：直线关于直线对称
题型四：直线系方程的应用
角度1：平行、垂直直线系方程
角度2：过两直线交点的直线系方程
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：两条直线平行与垂直的判断
1、两条直线平行
对于两条不重合的直线 ， ，其斜率分别为 ， ，有 .对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点
(1) 成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；
② 与 不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时， 与 的倾斜角都是 ，则 .
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
或 ， 斜率都不存在.
2、两条直线垂直
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ；反之，如果它们的斜率之积等于
，那么它们互相垂直，即 .
对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点
(1) 成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；② 且 .
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．知识点二：直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系
直线 ： （ ）和 ： （ ）的公共点的坐标
与方程组 的解一一对应.
与 相交 方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
与 平行 方程组无解；
与 重合 方程组有无数个解.
知识点三：距离公式
1、两点之间的距离公式：
平面上任意两点 ， 间的距离公式为
特别地，原点 与任一点 的距离 .
2、点到直线的距离公式
平面上任意一点 到直线 ： 的距离 .
3、两条平行线间的距离一般地，两条平行直线 ： （ ）和 ： （
）间的距离 .
知识点四：对称问题
1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式)
求点 关于点 的对称点
由：
2、点关于直线对称问题（联立两个方程）
求点 关于直线 ： 的对称点
①设 中点为 利用中点坐标公式得 ，将 代入直线 ：
中；
②
整理得：
3、直线关于点对称问题(求 l 关于点P(a,b)的对称直线 l ，则 ）
1 2
l
方法一：在直线
1
上找一点A，求点A关于点P对称的点 ，根据 ，再由点斜式求解；
l //l l //l
方法二：由
1 2 1 2
，设出 的直线方程，由点P到两直线的距离相等 求参数.方法三：在直线 l
2
任意一点(x,y)，求该点关于点P对称的点(2a−x,2b−y)，则该点(2a−x,2b−y)在直
l
线 上.
1
4、直线关于直线对称问题
4.1直线 ： （ ）和 ： （ ）相交,求 关于直
线 的对称直线
①求出 与 的交点
②在 上任意取一点 (非 点），求出 关于直线 的对称点
③根据 ， 两点求出直线
4.2直线 ： （ ）和 ： （ ）平行,求 关于直
线 的对称直线
①
②在直线 上任取一点 ，求点 关于直线 的对称点 ，利用点斜式求直线 .第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·广东汕头·高二期末） 是直线 和 平行的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
解：因为直线 和 平行，
所以 ，解得 或 ，
当 时，两直线分别为 ，两直线平行，
当 时，两直线分别为 ，两直线平行，
所以 或 ，
所以 是直线 和 平行的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2022·河北保定·高一阶段练习）“ ”是“直线 ： 与直线 ：
互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
依题意， ，解得 或 ，
所以“ ”是“直线 ： 与直线 ： 互相垂直”的充分不必要
条件.
故选：A
3．（2022·陕西咸阳·高一期末）已知直线 （ ）与直线 互相平行，且它们之
间的距离是 ，则 ______.【答案】0
因为直线 （ ）与直线 互相平行，
所以 且 .
又两直线间的距离是 ，所以 ，
因为 ，解得： .
所以 .
故答案为：0
4．（2022·安徽省舒城中学高二期中）若直线 与直线 平行，则它们之间的
距离是（ ）
A．1 B． C．3 D．4
【答案】B
由直线 与直线 平行，
可得 ，解之得
则直线 与直线 间的距离为
故选：B
5．（2022·全国·高三专题练习）若点 ， 关于直线l对称，则l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由题意可知AB中点坐标是 ，
，
因为A，B关于直线l对称，
所以直线l经过AB中点且直线l和AB垂直，
所以直线l的斜率为 ，
所以直线l的方程为 ，
即 ，
故选：A.第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：两条直线的位置关系
角度1：判断两直线的位置关系
典型例题
例题1．（2022·湖南湘潭·高二期末）已知直线 ，则 与 （ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
【答案】A
因为 的斜率分别为 ，所以 ，所以 .
故选：A.
例题2．（2022·全国·高二课时练习）直线 和直线 平行，则直线 和直
线 的位置关系是（ ）
A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交
【答案】B
因为直线 和直线 平行，
所以 ，
故直线 为 ，与直线 平行
故选：B
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）设a、b、c分别为 中 、 、 所对边的边长，则
与 的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直 B．垂直
C．平行 D．重合
【答案】B
由题可知：直线 与 的斜率分别为 ，
又在 中 ，所以 ，所以两条直线垂直，
故选：B.
2．（2022·全国·高二课时练习） 中，a、b、c是内角A、B、C的对边，且 、 、
成等差数列，则直线 与 的位置关系是
（ ）．
A．重合 B．相交不垂直 C．垂直 D．平行【答案】A
因为 、 、 成等差数列，
所以有 ，
即 ，
因为 ， ，
所以两直线重合，
故选：A
角度2：由两直线的位置关系求参数
典型例题
例题1．（2022·四川自贡·高一期末（文））若直线 与直线 平行，则
（ ）
A． 或0 B． C．1或0 D．1
【答案】D
当 时，两直线分别为 ， ，此时两直线垂直，不平行，不合题意，
当 时，因为直线 与直线 平行，
所以 ，解得 ，
综上， ，
故选：D
例题2．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））直线 与直线 互相
垂直，且两直线交点位于第三象限，则实数 的值为（ ）
A．1 B．3 C．－1 D．－3
【答案】C
由直线 与直线 互相垂直，
可得 ，解得 或3，
当 时，联立 ，解得交点坐标为 ，不合题意；
当 时，联立 ，解得交点坐标为 ，合乎题意，
故实数a的值为 ，
故选:C
例题3．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）已知 、 ，直线 ，，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因为 、 ，直线 ， ，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 的最小值为 ，
故选：D
例题4．（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）设直线 ，直线 ，
若 ，则 _______.
【答案】 ##0.5
依题可得， ，解得 ．
故答案为：
同类题型归类练
1．（2022·湖北孝感·高二期末）“ ”是“直线 与直线 垂直”的
（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
直线 与直线 垂直,则 ，解得： 或 ，
所以“ ”是“直线 与直线 垂直”的充分不必要条件.
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，则满足 的 的值是
（ ）
A． B．0 C． 或0 D． 或0
【答案】C
由 可得 ，得 或 ,
当 时， ， ，符合题意；
当 时， ， ，符合题意；
故满足 的 的值为0或 ．
故选：C.
3．（2022·江苏·高二）已知直线 ， ，且 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解： ，则 ，∴ ，
所以 ，
二次函数的抛物线的对称轴为 ，
当 时， 取最小值 .
故选：A．
4．（2022·山东德州·高二期末）函数 在点（0，f（0））处的切线与直线 平
行，则a=______．
【答案】
， ，
由题意 ， ．故答案为： ．
5．（2022·全国·高二课时练习）“ ”是“直线 与直线 相互垂直”的______条
件．
【答案】充分不必要
若 ，直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，则两条直线垂直，即充分性成立，
当 ，两条直线方程为 ，和 ，则两条直线垂直；
当 ，直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，满足两直线垂直，故必要性不成
立，
所以“ ”是“直线 与直线 相互垂直”的充分不必要条件
故答案为：充分不必要
6．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知直线 和 互相垂直，
且 ，则 的最小值为____________.
【答案】 ##
解：由题得 .
所以 .
当且仅当 时等号成立.
所以 的最小值为 .
故答案为：
角度3：由两直线的位置关系求直线方程
典型例题
例题1．（2022·重庆南开中学高一期末）已知直线 ， .
(1)若直线 与直线 垂直，求实数 的值
(2)若直线 在 轴上的截距是在 轴上截距的2倍，求直线 的方程.
【答案】(1) 或
(2) 或
(1)因为直线l与直线 垂直，
所以 ，解得 或 .
(2)令 ，得 ，令 ， ，由题意知 ，解得 或 ，
所以直线l的方程为 或 .
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线 ， ，分别求实数
的值，使得：
(1) ；(2) ．
【答案】(1) 或 (2)
(1)由 得： ，解得： 或 .
(2)由 得： ，解得： .
例题3．（2022·全国·高二课时练习）求过 与 的交点且与直线
平行的直线方程．
【答案】 .
由 ，即交点坐标为 ，
设所求直线为 ，把 代入所设方程中，得
，故而所求直线方程为 ．
例题4．（2022·全国·高二课时练习）求经过两条直线 和 的交点，且与直线
垂直的直线的方程．
【答案】
由 解得： ，
而与直线 垂直的直线的斜率为： ，解得： ，
所以所求直线为： ，即 .
同类题型归类练
1．（2022·陕西·铜川阳光中学高一期末）已知直线 经过点 ．
(1)若点 在直线 上，求直线 的方程；
(2)若直线 与直线 平行，求直线 的方程．
【答案】(1) (2)(1)∵直线 经过点 ，且点 在直线 上，
∴由两点式方程得 ，即 ，
∴直线 的方程为 ．
(2)若直线 与直线 平行，则直线 的斜率为 ，
∵直线 经过点 ，
∴直线 的方程为 ，即 ．
2．（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（文））已知直线 ： 和 ：
．
(1)若 ，求实数m的值；
(2)若 ，求实数m的值．
【答案】(1)2(2) 或
(1)由直线 的斜率存在，且为 ，则直线 的斜率也存在，且为 ，
因为 ，
所以 ，
解得 或2，
①当 时，由 此时直线 ， 重合，
②当 时， ，此时直线 ， 平行，
综上：若 ，则实数m的值为2．
(2)①当 时，直线 的斜率为0，此时若 必有 ，不可能.
②当 时，若 必有 ，解得 ，
由上知若 ，则实数m的值为 或 ．
3．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线 和直线
.
(1)当m为何值时，直线 和 平行？(2)当m为何值时，直线 和 重合？
【答案】(1) 或 (2)
(1)由题意， ，
得 ，解得 或
当 或 时，直线 和 平行.
(2)由题意， ，
得 ，解得 ，
当 时，直线 和 重合.
题型二：与距离有关的问题
典型例题
例题1．（2022·重庆长寿·高二期末）在第一象限的点 到直线 的距离为3，则 的值为
__________．
【答案】4
在一象限，所以 ，
点 到直线 的距离为3，则
，解得： 或 .
因为 ，所以 .
故答案为：4.
例题2．（2022·江苏·高二专题练习）点 为直线 上任意一个动点，则 到点 的距离的
最小值为___________.
【答案】3
由题意得当点P和点 的连线和直线 垂直时距离最小，此时距离等于点 到直线
的
距离 ，故P到点 的距离的最小值为3.
故答案为：3.例题3．（2022·全国·高二专题练习）两条平行线 分别过点 ，它们分别绕 旋转，
但始终保持平行，则 之间距离的取值范围是____．
【答案】
过点P作PR垂直于 ，垂足为R，
．
记 与 的夹角为 ，则
则
所以 ，即 之间距离的取值范围是
故答案为：
例题4．（2022·江苏·高二专题练习）（1）已知实数对 满足 ，求 的最小
值；
（2）求 的最小值．（提示：联想两点间的距离公式）
【答案】（1） ；（2） .
（1） 表示点 到点 的距离，而点 在直线 上，
所以其最小值为 ；
（2） 表示 到 和 的距离之和，
与 点关于 轴对称，
，当且仅当 是 与 轴交点时取等号，即 时取等号．
所以 的最小值是 ．
例题6．（2022·山东聊城·二模）实数 ， ， ， 满足： ， ，则
的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．8
【答案】D
由 ，则 ，又 ，
的最小值转化为：
上的点与 上的点的距离的平方的最小值，
由 ，得： ，
与 平行的直线的斜率为1，
∴ ，解得 或 （舍 ，可得切点为 ，
切点到直线 之间的距离的平方，即为 的最小值，
的最小值为： .
故选：D.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二专题练习）到直线 的距离为 且与此直线平行的直线方程是____．
【答案】 ，或
由平行关系可设所求直线的方程为 ，
由平行线间的距离公式可得 ，
解得 ，或
所求直线的方程为： ，或
2．（2022·江苏·高二）两条平行线 与 之间的距离是___________.
【答案】 ##0.5
直线 可化为 ，
又直线 与直线 的距离为 ，
所以平行线 与 之间的距离是 ，故答案为： .
3．（2022·全国·高二课时练习）直线l过点 且到点 和点 的距离相等，求直线l的方
程．
【答案】 或
解法1：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ，即 ．
由题意知 ，即 ，∴ ，
∴直线l的方程为 ，即 ．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 ，也符合题意．
解法2：当 时， ，直线l的方程为 ，即 ．
当l过AB中点时，AB的中点为 ，∴直线l的方程为 ．
故所求直线l的方程为 或 ．
4．（2022·陕西渭南·高一期末）已知直线l经过点 ， .
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且它们间的距离为4，求直线m的方程.
【答案】(1)
(2) 或
(1)由直线方程的两点式，得 ，
∴直线l的方程为 .
(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为 ，
由平行直线间距离公式得 ，解得 或 .
∴直线m的方程为 或 .
5．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期末）若实数 满足 ，则
的最小值为___________.
【答案】 ##0.1
令 ，
则 的最小值为两个函数 与的图像上的两点之间的距离的最小值的平方， ，
设与直线 平行且与曲线 相切的切点为 ，
则 ，解得 ，可得切点 ，
切点 到直线 的距离 .
的最小值为 .
故答案为： .
6．（2022·全国·高二专题练习）设 的最小值为_______.
【答案】
从几何意义看，
+ 表示点 到点 和 距离的和，
其最小值为 和 两点间的距离 .
故答案为：
题型三：对称问题
角度1：点关于直线对称
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二）点 关于直线 对称的点的坐标是______．
【答案】
设点 关于直线 对称的点的坐标是 ，
则 ，解得 ，
所以点 关于直线 对称的点的坐标是 .
故答案为：
例题2．（2022·广东·高二阶段练习）在平面直角坐标系内，一束光线从点 出发，被直线 反射
后到达点 ，则这束光线从 到 所经过的距离为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】B作出点A关于直线 的对称点 ，
连接 ，交直线 于点 ，
则 即为光线经过路程的最小值，
且 ，
此即光线从A到B所经过的距离为 .
故选：B．
例题3．（2022·全国·高二课时练习）将一张坐标纸折叠一次，使点 与点 重合，则折痕所在直线
的一般式方程为___________.
【答案】
点 与点 连线斜率 ， 折痕所在直线斜率 ，
又点 与点 的中点为 ，
折痕所在直线方程为： ，即 .
故答案为： .
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二专题练习）原点关于 的对称点的坐标为_____．
【答案】
设原点关于 的对称点的坐标为 ，
则 ，解得 ．
要求的点( )．
故答案为： ．
2．（2022·全国·高二单元测试）点 关于直线 的对称点的坐标为______．【答案】
点 关于直线 的对称点的坐标为 ，则 ，解得
故对称点的坐标为 .
故答案为： .
角度2：直线关于直线对称
典型例题
例题1．（2022·安徽省六安中学高二期末（理））直线 关于直线 对称的直线方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：联立方程 得 ，即直线 与直线 的交点为
设直线 的点 关于直线 对称点的坐标为 ，
所以 ，解得
所以直线 关于直线 对称的直线过点 ，
所以所求直线方程的斜率为 ，
所以所求直线的方程为 ，即
故选：C
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线 ： 与直线 关于直线 ： 对称，直
线 与直线 ： 垂直，则 的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
解：直线 与直线 ： 垂直，则 ，即 ，
∵直线 ： 与直线 关于直线 ： 对称，∵由 得 得交点坐标 ，
在直线 上取点 ，设该点关于 对称的点为 ，则 ，得 ，故
，解得 ，
故选：B.
例题3：（2022·江苏·高二）已知点 ，直线 ，直线 .
(1)求点 关于直线 的对称点 的坐标；
(2)求直线 关于直线 的对称直线方程.
【答案】(1) :(2)
(1)设点 ，则由题意可得 ，
解得 ，
所以点B的坐标为 ，
(2)由 ，得 ，所以两直线交于点 ，
在直线 上取一点 ，设其关于直线 的对称点为 ，则
，解得 ，即 ，
所以 ，
所以直线 为 ，即 ，
所以直线 关于直线 的对称直线方程为同类题型归类练
1．（2022·陕西·长安一中高一期末）直线 关于直线 的对称直线方程为
__________．
【答案】
联立 和直线 ，
求得它们的交点为 ,
在直线 取点 ，设其关于 的对称点为 ，
则 ，解得 ，
故直线 关于直线 的对称的直线为AC,
其斜率为 ，直线方程为 ，即 ，
故答案为：
2．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线 ，求：
(1)直线l关于点 对称的直线的方程；
(2)直线 关于直线l对称的直线的方程．
【答案】(1) (2)
(1)解：设直线 关于 的对称直线上任意一点为 ，
则点 关于点 的对称为 ，
则 ，解得 ，即 ,
将点 代入直线 ，可得 ，
整理得 ，即对称直线的方程为 .
(2)解：由 ，解得 ，
即直线 与 的交点坐标为 ，
再在直线 上取一点 ，
设点 关于直线 的对称点为 ，则 ，解得 ，即 ，
又由 ，所以直线 的方程为 ，
整理得 ，
即直线 关于直线l对称的直线的方程为 .
3．（2022·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）已知直线l： 和直线 ： .
(1)求直线l关于点 对称的直线 的方程；
(2)求直线l关于直线 对称的直线 的方程.
【答案】(1) (2)
(1)解：因为直线l关于点 对称的直线 与直线l平行，所以设直线 的方程为 ，
在直线l上取点 ，则点 关于点 的对称点 必在直线 上，
所以 ，解得 ，
故所求直线 的方程为 ；
{x+2y−2=0
(2)解：由 解得交点 ，
y=x−2
在直线 上取点 ，设 关于直线 的对称点 ，
则 ，解得 ，所以 ，
又直线 过点 ，
所以 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
题型四：直线系方程的应用
角度1：平行、垂直直线系方程
典型例题例题1求过直线 ： 和 ： 的交点 ，且与直线 ： 垂直的直
l
线 方程．
设所求直线 ：
整理得
∵l⊥l ∴3(λ＋1)－4(λ－2)＝0
3
∴λ＝11 ，∴l的方程为：(x－2y＋4)＋11(x＋y－2)＝0
即4x＋3y－6＝0．
例题2：求过点 且与直线 平行的直线方程．
解：设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠5)，由题意知，2×1＋3×(－4)＋c＝0，所以c＝10，故所求直线方
程为2x＋3y＋10＝0.
同类题型归类练
1、求与直线 平行且过点 的直线 的方程。
【解析】依题意，设所求直线方程为3x＋4y＋C ＝0（C ≠1），因为直线过点（1，2），
1 1
所以3×1＋4×2＋C ＝0，解得C ＝－11。
1 1
因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0。
角度2：过两直线交点的直线系方程
典型例题
例题1： 求过直线： 与直线： 的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
设所求直线方程为： ，
当直线过原点时，则 =0，则 =－1，此时所求直线方程为： ；
当所求直线不过原点时，令 =0，解得 = ，
令 =0，解得 = ，
由题意得， = ，解得 ，
此时，所求直线方程为： .
综上所述，所求直线方程为： 或 .
同类题型归类练
1、求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3,1)，B(5,7)等距离的直线方程．【解析】设所求直线方程为2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0，
即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0，
|(2+7λ)×(−3)+(7−21λ)×1−4−λ|
由点A(－3,1)，B(5,7)到所求直线等距离，可得
√ (2+7λ) 2 +(7−21λ) 2
|(2+7λ)×5+(7−21λ)×7−4−λ|
＝ ，
√ (2+7λ) 2 +(7−21λ) 2
29 1
整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，解得λ＝ 或λ＝ ，
35 3
所以所求的直线方程为21x－28y－13＝0或x＝1.
