文档内容
第 02 讲 两条直线的位置关系
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：两直线位置关系的判定........................................................................................................2
题型二：两直线的交点与距离问题....................................................................................................2
题型三：有关距离的最值问题............................................................................................................3
题型四：点关于点对称........................................................................................................................3
题型五：点关于线对称........................................................................................................................3
题型六：线关于点对称........................................................................................................................4
题型七：线关于线对称........................................................................................................................4
题型八：直线系方程............................................................................................................................4
02 重难创新练......................................................................................................................................5
03 真题实战练......................................................................................................................................8题型一：两直线位置关系的判定
1．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知直线 ： ， ： ，若“
”是“ ”的充要条件，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
2．已知直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·湖北黄冈·二模）已知角 ，角 的顶点均为坐标原点，始边均与 轴的非负半轴重合，终边分
别过 ，则 （ ）
A．−2或 B．2或 C． D．−2
4．（2024·河南·三模）已知直线 与直线 垂直，则（ ）
A． B．
C． D．
题型二：两直线的交点与距离问题
5．已知点 在直线 上，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知点 、 、 ，且 ，则 .
7．若直线 与直线 平行，则直线 与 的距离为 .
8．若点 到直线l： 的距离为 ，则实数 ．题型三：有关距离的最值问题
9．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转
化为几何问题加以解决，如： 可以转化为点 到点 的距离，则
的最小值为（ ）．
A．3 B． C． D．
10．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知 ，满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
11．在平面直角坐标系 中，已知点 ，点 为直线 上一动点，则
的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．6
12．（多选题）已知点 ， ，且点 在直线 ： 上，则（ ）
A．存在点 ，使得 B．存在点 ，使得
C． 的最小值为 D． 最大值为3
13．已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14．已知x，y为实数，代数式 的最小值是 ．
题型四：点关于点对称
15．在 中，已知 ， ，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则顶点
C的坐标为 .
16．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是 ，则A与B坐标分别为 ，
．
17．过点 的直线 ，被直线 ， 所截得的线段 的中点恰好在直线
上，则直线 的方程为 ．题型五：点关于线对称
18．点 关于直线 的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
19．点 关于直线 对称点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
20．已知点A与点 关于直线 对称，则点A的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
21．已知光线从点 入射，经过直线 反射，反射光线经过点 ，则入射光线所在的直
线方程为 .
题型六：线关于点对称
22．直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1,0)对称，则b＝ .
23．直线 关于点 对称的直线 的方程为 ．
24．直线 关于点 的对称直线方程是 ．
25．与直线 关于点 对称的直线的方程为 .
题型七：线关于线对称
26．直线 关于直线 的对称直线方程为 ．
27．已知直线 ，它关于直线 对称的直线方程为 .
28．直线 关于直线 对称的直线方程是 ．
题型八：直线系方程
29．过两直线 和 的交点和原点的直线方程为（ ）
A．3x-19y=0 B．19x-3y=0
C．19x+3y=0 D．3x+19y=0
30．经过点 和两直线 ； 交点的直线方程为 .31．经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为
．
1．（2024·高三·陕西西安·期末）已知 ， ，直线 ： ， ： ，且
，则下列选项中错误的一项是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川绵阳·二模）在平面直角坐标系 中，角 的终边与单位圆的交点分别于A，B两点，
且直线AB的斜率为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知直线 ： 与直线 ，且
，则 的最小值为（ ）
A．12 B． C．15 D．
4．在平面直角坐标系中，集合 ，集合 ，已知点 ，点
，记 表示线段 长度的最小值，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线
向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点
. 若 ， 则 的值为（ ）
A． B．
C． D．6．（2024·黑龙江牡丹江·一模）已知 为虚数单位，复数 ， ， 且满足 ，求点
到直线 距离的最大值为（ ）
A． B． C．√2 D．
7．（2024·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知 ，动点 满足
，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点 的轨迹为圆 B．点 到原点最短距离为2
C．点 的轨迹是一个正方形 D．点 的轨迹所围成的图形面积为24
8．（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍
交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出
发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为
，若将军从山脚下的点 处出发，河岸线所在直线方程为 ，则“将军饮马”的最短
总路程为（ ）
A． B．3 C． D．5
9．（多选题）（2024·江西·模拟预测）已知集合 ， ，则
下列结论正确的是（ ）
A． ， B．当 时，
C．当 时， D． ，使得
10．（多选题）（2024·云南昆明·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽
火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚
的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，
n，其方程分别为 ， ，将军的出发点是点 ，军营所在位置为 ，则下列说法错误
的是（ ）
A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为
B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是
C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是
D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是
11．（多选题）（2024·甘肃定西·一模）下列命题为真命题的是（ ）
A． 的最小值是2
B． 的最小值是C． 的最小值是
D． 的最小值是
12．（多选题）（2024·辽宁·一模）对平面直角坐标系 中的两组点，如果存在一条直线
使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”．对于一条分类直线 ，记所有的点到 的
距离的最小值为 ，约定： 越大，分类直线 的分类效果越好．某学校高三（2）班的7位同学在2020
年期间网购文具的费用 （单位：百元）和网购图书的费用 （单位：百元）的情况如图所示，现将
和 为第I组点将 和 归为第II点．在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直
线，记为 ．给出下列四个结论：
①直线 比直线 的分类效果好；
②分类直线 的斜率为2；
③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应
的点与第II组点位于 的同侧；
④如果从第I组点中去掉点 ，第II组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是 ．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
13．（2024·山东·二模）过直线 和 的交点，倾斜角为 的直线方程为 .
14．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知 ， ，若有且只有一组数对 满足不等式
，则实数 的取值集合为 .
15．（2024·河南·模拟预测）一直线族的包络线是这样定义的曲线：该曲线不包含于直线族中，但过该曲
线上的每一点，都有直线族中的一条直线与它在这一点处相切.若曲线 是直线族
的包络线，则 上的点到直线 的最小距离为 .
16．（2024·四川南充·三模）如图， ，且 与 的距离为1， 与 的距离为2.若 在 上，
分别在 ， 上， ， ， .则四边形 的面积为 .1．（2002年普通高等学校招生考试数学（文）试题（北京卷））若直线 与直线
的交点位于第一象限，则直线 的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（四川卷））如图， 是同一平面内的三条平行
直线， 与 间的距离是1， 与 间的距离是2，正三角形 的三顶点分别在 上，则 的
边长是（ ）
A． B． C． D．
3．（2003 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（全国卷））已知长方形的四个顶点 、
、 、 ，一质点从 的中点 沿与 的夹角 的方向射到 上的点 后，依次反
射到 、 和 上的点 、 和 （入射角等于反射角）．若 与 重合，则 （ ）
A． B． C． D．4．（2003 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（全国卷））直线 关于x轴对称的直线方程为
（ ）
A． B． C． D．
5．（2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（浙江））直线 关于直线 对称
的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2019年江苏省高考数学试卷）在平面直角坐标系 中，P是曲线 上的一个动点，则
点P到直线x+y=0的距离的最小值是 .
