文档内容
第 02 讲 两条直线的位置关系
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：两直线位置关系的判定........................................................................................................2
题型二：两直线的交点与距离问题....................................................................................................3
题型三：有关距离的最值问题............................................................................................................4
题型四：点关于点对称........................................................................................................................9
题型五：点关于线对称......................................................................................................................10
题型六：线关于点对称......................................................................................................................12
题型七：线关于线对称......................................................................................................................13
题型八：直线系方程..........................................................................................................................14
02 重难创新练....................................................................................................................................15
03 真题实战练....................................................................................................................................27题型一：两直线位置关系的判定
1．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知直线 ： ， ： ，若“
”是“ ”的充要条件，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】由题意可知若 ，则 ，
又因为 即 ，故 ，即 .
故选：B.
2．已知直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若 则 且 所以 或
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选：B．
3．（2024·湖北黄冈·二模）已知角 ，角 的顶点均为坐标原点，始边均与 轴的非负半轴重合，终边分
别过 ，则 （ ）
A．−2或 B．2或 C． D．−2
【答案】D
【解析】记 为坐标原点，因为 ，所以 ，
所以点 ，均在以原点 为圆心 为半径的圆上.
连接 ，取 的中点 ，连接 ，则 ，
不妨设 ，则 ，所以 .
故选：D.
4．（2024·河南·三模）已知直线 与直线 垂直，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】直线 的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线 的斜率为 ，
即 且 ， ，所以 .
故选：D.
题型二：两直线的交点与距离问题
5．已知点 在直线 上，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】 就是 到原点距离，
到原点距离的最小值为
则 的最小值为2，
故选：B.
6．已知点 、 、 ，且 ，则 .
【答案】
【解析】已知点 、 、 ，且 ，则 ，解得 .
故答案为： .
7．若直线 与直线 平行，则直线 与 的距离为 .
【答案】 /
【解析】由于 与 平行，则 ，即 ，解得 或 ，
当 时，两直线方程分别为 ，此时两直线重合，不符合题意；
当 时，两直线方程分别为 ，此时两直线平行，符合题意；
综上所述： ，两直线方程分别为 ，
所以直线 与 的距离为 .
故答案为： .
8．若点 到直线l： 的距离为 ，则实数 ．
【答案】3或 ．
【解析】点 到直线l： 的距离为 ，
则 ，
解得 或 ．
故答案为：3或 ．
题型三：有关距离的最值问题
9．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转
化为几何问题加以解决，如： 可以转化为点 到点 的距离，则
的最小值为（ ）．
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】 ,
可以看作点 到点 的距离之和，作点 关于 轴的对称点 ，显然当 三点共线时，取到最小值，
最小值为 间的距离 .
故选：D.
10．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知 ，满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】
如图，过点 作点 关于线段 的对称点 ，则 .
设 ，则有 ，解得 ，所以 .
设 ，则 ，所以 ，
又 ，所以点 到 轴的距离为 ，
所以， 可视为线段 上的点 到 轴的距离和到 的距离之和.
过 作 轴，显然有 ，当且仅当 三点共线时，和有最小值.
过点 作 轴，则 即为最小值， 与线段 的交点 ，即为最小值时 的位置.
因为 ，所以 的最小值为 .
故选：B．
11．在平面直角坐标系 中，已知点 ，点 为直线 上一动点，则
的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．6
【答案】B【解析】设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当点 为线段 与直线 的交点时等号成立，
所以 的最小值是4，
故选：B.
12．（多选题）已知点 ， ，且点 在直线 ： 上，则（ ）
A．存在点 ，使得 B．存在点 ，使得
C． 的最小值为 D． 最大值为3
【答案】BCD
【解析】对于A：设 ，若 时 ，此时 的斜率不存在，
， 与 不垂直，同理 时 与 不垂直，
当 且 时 ， ，
若 ，则 ，
去分母整理得 ， ，方程无解，故 与 不垂直，故A错误；
对于B：设 ，若 ，则 ，
即 ，由 ，所以方程有解，则存在点 ，使得 ，故B正确；
对于C：如图设 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 、 、 三点共线时取等号（ 在线段 之间），故C正确；
对于D：如下图， ，当且仅当 在 的延长线与直线 的交点时取等号，故D正确.
故选：BCD
13．已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设点 为直线 上的动点，
由 可看作 与 的距离和
与 的距离之和，设点 则点 为点 关于直线 的对称点，
故 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 三点共线时，取等号，
所以 的最小值为 .
故选：C
14．已知x，y为实数，代数式 的最小值是 ．
【答案】5
【解析】 即 ，几何意义为点 与点 的距离；
即 ，几何意义为点 与点 的距离；
即 ，几何意义为点 与点 的距离，
分别作 关于 轴的对称点 ， 关于 轴的对称点 ，
连接 ，则 ，
∴
，
当且仅当 分别为 与 轴， 轴的交点时，等号成立，
故答案为：5.题型四：点关于点对称
15．在 中，已知 ， ，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则顶点
C的坐标为 .
【答案】
【解析】设 ，则AC边的中点为 ，BC边的中点为 ，
因为点M在y轴上，所以 ，解得 .
因为点N在x轴上，所以 ，解得 ，即 .
故答案为: .
16．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是 ，则A与B坐标分别为 ，
．
【答案】 ，
【解析】设 ， ，
因为AB中点 ，
所以 ，即 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
故答案为： ， ； .17．过点 的直线 ，被直线 ， 所截得的线段 的中点恰好在直线
上，则直线 的方程为 ．
【答案】
【解析】设 中点为 ，
因为 ，所以 在直线 上，
由 在直线 上，
联立可得 ，解得 ，即 中点为 ，
所以直线 的斜率 ，所以 的方程为 ，即 ．
故答案为： ．
题型五：点关于线对称
18．点 关于直线 的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，
在直线 中，斜率为 ，
垂直于直线 且过点 的直线方程为 ，即 ，
设两直线交点为 ，
由 ，解得： ，
∴ ,
∴点 关于直线 的对称点的坐标为 ，
即 ，
故选：C.19．点 关于直线 对称点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设点 关于直线 的对称点Q ，
则 ，解得： ．
所以 .
故选：A．
20．已知点A与点 关于直线 对称，则点A的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设 ，因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线 上且直线AB与直线
垂直，
则 ，
即点A坐标为 .
故选：C
21．已知光线从点 入射，经过直线 反射，反射光线经过点 ，则入射光线所在的直
线方程为 .
【答案】
【解析】 直线 的斜率为1， 根据点 关于斜率为 的直线直接求对称点 的结论：
知 求 ，知 求 可得，
当 时代入 得 ；当 时代入 得 ，即得 关于 的对称点 ；
入射光线所在直线方程为： ；
化简得： .
故答案为： .
题型六：线关于点对称
22．直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1,0)对称，则b＝ .
【答案】2
【解析】因为直线 与直线 关于点 对称，
所以 ，解得 ，
又 ，解得 ，或 （重合，舍），
所以 ．
23．直线 关于点 对称的直线 的方程为 ．
【答案】
【解析】设 为 上任意一点，则 关于点 的对称点为 ，
因为 在直线l上，所以 ，即直线 的方程为 ．
故答案为：
24．直线 关于点 的对称直线方程是 ．
【答案】
【解析】设对称直线为 ，
则有 ，即
解这个方程得 （舍）或 .
所以对称直线 的方程中 .
故答案为： .
25．与直线 关于点 对称的直线的方程为 .【答案】
【解析】直线 关于点 对称的直线的方程可设为 ，其中
又 点到直线 与到直线 的距离相等
所以 ，即 ，所以 或 （舍）.
故所求直线方程为： .
故答案为： .
题型七：线关于线对称
26．直线 关于直线 的对称直线方程为 ．
【答案】
【解析】设直线 关于直线 对称的直线为 ，
由 得： ，则点 在直线 上；
在直线 上取一点 ，设其关于直线 对称的点为 ，
则 ，解得： ，即 ；
直线 的方程为： ，即 .
故答案为： .
27．已知直线 ，它关于直线 对称的直线方程为 .
【答案】
【解析】设对称的直线方程的点为 ，对称点为 ，
直线 斜率为1，
则有 ，消去 得 ，
故答案为：28．直线 关于直线 对称的直线方程是 ．
【答案】
【解析】联立 ，解得 ，
即两直线的交点为 ．
在直线 上取一点 ，
设点P关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，即 ．
所以直线MQ的方程为 ，
即 .
故答案为: ．
题型八：直线系方程
29．过两直线 和 的交点和原点的直线方程为（ ）
A．3x-19y=0 B．19x-3y=0
C．19x+3y=0 D．3x+19y=0
【答案】D
【解析】设过两直线交点的直线系方程为 ，
代入原点坐标，得 ，解得 ，
故所求直线方程为 ，即 .
故选：D.
30．经过点 和两直线 ； 交点的直线方程为 .
【答案】
【解析】设所求直线方程为 ，点 在直线上，
，
解得 ，
所求直线方程为 ，即 ．
故答案为： .
31．经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为
．
【答案】x－y＝0.
【解析】设直线方程为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，再求出 的值即得解.过两直线交点的直线方程可设为
3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，
即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0，
因为它与直线x－y＋4＝0平行，
所以3＋λ＋3λ－2＝0，
即λ＝－ ，
故所求直线为x－y＝0.
故答案为：x－y＝0.
1．（2024·高三·陕西西安·期末）已知 ， ，直线 ： ， ： ，且
，则下列选项中错误的一项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
， ， ，A选项正确；，B选项正确；
，C选项错误；
，D选项正确.
故选：C.
2．（2024·四川绵阳·二模）在平面直角坐标系 中，角 的终边与单位圆的交点分别于A，B两点，
且直线AB的斜率为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不妨设 且 ，C为AB的中点，直线AB与 轴相交于点D，
， ， ，
.
故选：C
3．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知直线 ： 与直线 ，且
，则 的最小值为（ ）
A．12 B． C．15 D．
【答案】B
【解析】由题意知直线 ： 与直线 ， ，
则 ，即 ，故 ，
当且仅当 ，结合 ，即 时等号成立。
故 的最小值为 ，
故选：B
4．在平面直角坐标系中，集合 ，集合 ，已知点 ，点
，记 表示线段 长度的最小值，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【解析】集合 可以看作是表示直线 上的点的集合，
由 变形可得， ，
由 可得， ，
所以直线 过定点 .
集合 可看作是直线 上的点的集合，
由 变形可得， ，
由 可得， ，
所以，直线 过定点 .
显然，当点 与点 分别重合，且线段 与直线 都垂直时， 有最大值
.
故选：D.
5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线
向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点
. 若 ， 则 的值为（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【解析】
如图，设点 关于直线 的对称点为 ，
则 得 ，即 ，
由题意知 与直线 不平行，故 ，
由 ，得 ，即 ，
故直线 的斜率为 ，
直线 的直线方程为： ，
令 得 ，故 ，
令 得 ，故由对称性可得 ，
由 得 ，即 ，
解得 ，得 或 ，
若 ，则第二次反射后光线不会与 轴相交，故不符合条件．故 ，
故选：B.
6．（2024·黑龙江牡丹江·一模）已知 为虚数单位，复数 ， ， 且满足 ，求点
到直线 距离的最大值为（ ）
A． B． C．√2 D．
【答案】D
【解析】 ， ，
则 ，即 ，圆心为 ，半径为 ，
圆心 到直线 的距离 ，
故点 到直线 距离的最大值为 ．
故选： ．
7．（2024·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知 ，动点 满足
，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点 的轨迹为圆 B．点 到原点最短距离为2
C．点 的轨迹是一个正方形 D．点 的轨迹所围成的图形面积为24
【答案】D
【解析】设点 的坐标为 ，因为 ，动点 满足 ，
所以 ，得 ，
因为 ，所以 ，
即点 的轨迹方程为 ，
当 时，方程为 ，
当 时，方程为 ，
当 时，方程为 ，
当 时，方程为 ，
所以点 对应的轨迹如图所示，且 ， ,
所以点 的轨迹为菱形，所以AC错误，
原点到直线的距离为 ，所以B错误，点 的轨迹所围成的图形面积为 ，所以D正确.
故选：D
8．（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍
交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出
发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为
，若将军从山脚下的点 处出发，河岸线所在直线方程为 ，则“将军饮马”的最短
总路程为（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】C
【解析】设点 关于直线 对称的点为 ，
则有 ，
所以“将军饮马”的最短总路程为 ，
故选：C
9．（多选题）（2024·江西·模拟预测）已知集合 ， ，则
下列结论正确的是（ ）
A． ， B．当 时，C．当 时， D． ，使得
【答案】AB
【解析】对于选项A：因为 表示过定点 ，且斜率不为0的直线，
可知 表示直线 上所有的点，
所以 ，故A正确；
对于选项B：当 时，则 ， ，
联立方程 ，解得 ，所以 ，B正确；
对于选项C：当 时，则有：
若 ，则 ；
若 ，可知直线 与直线 平行，且 ，
可得 ，解得 ；
综上所述： 或 ，故C错误；
对于选项D：若 ，由选项C可知 ，且 ，无解，故D错误．
故选：AB．
10．（多选题）（2024·云南昆明·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽
火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚
的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，
n，其方程分别为 ， ，将军的出发点是点 ，军营所在位置为 ，则下列说法错误
的是（ ）
A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为
B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是
C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是
D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是
【答案】ABD
【解析】对于A，如图①所示，设点 关于直线 的对称点为 ，
由 解得 ，所以将军在河边饮马的地点的坐标为 ，故A错误；
对于B，如图②所示，因为点 关于直线 的对称点为 ，
将军先去河流 饮马，再返回军营的最短路程是 ，故B错误；
对于C，如图③所示，因为点 关于直线 的对称点分别为， ；
点 关于直线 的对称点为 ，
所以将军先去河流 饮马，再去河流 饮马，最后返回军营的最短路程 ，故C正确；
对于D，如图④所示，设点 关于直线 的对称点分别为 ，
由 解得 ；点 关于直线 的对称点为 ，
将军先去河流 饮马，再去河流 饮马，最后返回军营的最短路程是 ，故D错误.
故选：ABD.11．（多选题）（2024·甘肃定西·一模）下列命题为真命题的是（ ）
A． 的最小值是2
B． 的最小值是
C． 的最小值是
D． 的最小值是
【答案】BC
【解析】设 ，
易知点 的轨迹是抛物线 的上半部分，
抛物线 的准线为直线 到准线的距离 ， 为抛物线 的焦点，
对于AB，
，
所以 的最小值为 ，故A错误，B正确；
对于CD，
，
所以 的最小值是 ，故C正确，D错误.
故选：BC.
12．（多选题）（2024·辽宁·一模）对平面直角坐标系 中的两组点，如果存在一条直线
使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”．对于一条分类直线 ，记所有的点到 的距离的最小值为 ，约定： 越大，分类直线 的分类效果越好．某学校高三（2）班的7位同学在2020
年期间网购文具的费用 （单位：百元）和网购图书的费用 （单位：百元）的情况如图所示，现将
和 为第I组点将 和 归为第II点．在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直
线，记为 ．给出下列四个结论：
①直线 比直线 的分类效果好；
②分类直线 的斜率为2；
③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应
的点与第II组点位于 的同侧；
④如果从第I组点中去掉点 ，第II组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是 ．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】BCD
【解析】由图象知：
， ， ， ， ， ， ，
当直线 为分类直线时， ，
当直线 为分类直线时，其过 ，
由图可知 ， 到直线 距离最小，
到直线 的距离为 ，到直线 的距离为 ，
所以 ，所以直线 分类效果好，故①错误；
由图知 的位置由 ， ， 确定，
所有的点到 的距离的最小值为 ，约定： 越大，分类直线 的分类效果越好．
可知点 ， ， 直到线 的距离相等，
所以直线 过点 ， 的中点，而 的中点为 , 的中点为 ，
故直线 的斜率为 ，故②正确；
又直线 的方程为 ，
此时点 在 的右侧，故③正确；
去掉点 后， ， 到直线 的距离相等，
此时直线 为线段 ， 的垂直平分线 ，故④正确；
故答案为：BCD
13．（2024·山东·二模）过直线 和 的交点，倾斜角为 的直线方程为 .
【答案】
【解析】联立 与 可得 ，
故交点为 ，倾斜角为 ，所以斜率为1，
故直线方程为 ，即 ，
故答案为：
14．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知 ， ，若有且只有一组数对 满足不等式
，则实数 的取值集合为 .
【答案】
【解析】平面直角坐标系中, ， ， , ， ， ， ，∵有且只有一组数对 满足不等式，∴ ， 的取值集合为
故答案为: .
15．（2024·河南·模拟预测）一直线族的包络线是这样定义的曲线：该曲线不包含于直线族中，但过该曲
线上的每一点，都有直线族中的一条直线与它在这一点处相切.若曲线 是直线族
的包络线，则 上的点到直线 的最小距离为 .
【答案】 /
【解析】曲线 上任一点 对应的切线方程为 ，
将其整理为关于 的方程为 .
由题意知，一个解对应一条切线，即关于 的方程仅有一解，
所以 ，整理，得 ，
即曲线 的方程为 ，
故 上的点到直线 的最小距离为 .
故答案为：
16．（2024·四川南充·三模）如图， ，且 与 的距离为1， 与 的距离为2.若 在 上，
分别在 ， 上， ， ， .则四边形 的面积为 .
【答案】 /
【解析】如图，设 ， ，则
因为 与 的距离为1， 与 的距离为2，所以 ，
因为 ，所以 ，得到 ，
由图易知 ， ，所以 ，得到 ，所以 ， ，
过 分别作 的垂线，交 于 ，在 中， ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
在 中， ，所以 ，得到 ，
所以四边形 的面积为 ，
故答案为： .
1．（2002年普通高等学校招生考试数学（文）试题（北京卷））若直线 与直线
的交点位于第一象限，则直线 的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为直线 恒过点 ，直线 与坐标轴的交点分别为 ，
直线 的斜率 ，此时倾斜角为 ；
直线 的斜率不存在，此时倾斜角为 ；
所以直线 的倾斜角的取值范围是 .
故选：B.
2．（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（四川卷））如图， 是同一平面内的三条平行
直线， 与 间的距离是1， 与 间的距离是2，正三角形 的三顶点分别在 上，则 的
边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
作高 （如图），设 ，则 ，
于是 ，
， ，
与 相似，
，即 ，
，
，
，
.
故选：D
3．（2003 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（全国卷））已知长方形的四个顶点 、
、 、 ，一质点从 的中点 沿与 的夹角 的方向射到 上的点 后，依次反
射到 、 和 上的点 、 和 （入射角等于反射角）．若 与 重合，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如下图所示：
由题意可知点 ，取点 、 ，
则 、 、 三点共线， 、 、 三点共线，
且直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，所以，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，即点 ，
因为点 在直线 上，所以， ，解得 .
故选：C.
4．（2003 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（全国卷））直线 关于x轴对称的直线方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 为直线 关于x轴对称的直线方程上任意一点，则
关于x轴对称的点 在直线 上，
即有， 满足直线 方程，
即， 化简得， .
故选：C.
5．（2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（浙江））直线 关于直线 对称
的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设所求直线上任一点（ ），则它关于 对称点为 在直线 上，∴
化简得 故选答案 ．
故选 ． D
D
6．（2019年江苏省高考数学试卷）在平面直角坐标系 中，P是曲线 上的一个动点，则
点P到直线x+y=0的距离的最小值是 .
【答案】4.
【解析】当直线 平移到与曲线 相切位置时，切点Q即为点P到直线 的距离最小.
由 ，得 ， ，
即切点 ，则切点Q到直线 的距离为 ，
故答案为 ．
