专题 18 等腰三角形
模块一：基础知识....................................................................................................................................................2
考点一：等腰三角形........................................................................................................................................2
考点二：等边三角形........................................................................................................................................2
考点三：手拉手模型........................................................................................................................................2
考点四：线段垂直平分线................................................................................................................................3
模块二：题型分类....................................................................................................................................................3
考点一：等腰三角形的性质与判定................................................................................................................3
题型一：等腰三角形的定义..........................................................3
题型二：等边对等角求角度..........................................................4
题型三：根据三线合一求解..........................................................6
题型四：利用等边对等角证明........................................................8
题型五：根据三线合一证明.........................................................10
题型六：格点图中画等腰三角形.....................................................11
题型七：根据等角对等边证明等腰三角形.............................................14
题型八：根据等角对等边证明边相等.................................................15
题型九：根据等角对等边求边长.....................................................16
题型十：确定构成等腰三角形的点...................................................18
题型十一：等腰三角形性质与判定综合...............................................20
题型十二：等腰三角形折叠.........................................................22
题型十三：等腰三角形规律探究.....................................................25
题型十四：等腰三角形新定义.......................................................26
题型十五：等腰三角形动点问题.....................................................28
题型十六：等腰三角形中线段间存在的关系...........................................30
考点二：等边三角形的性质与判定..............................................................................................................31
题型一：等边三角形的性质求解.....................................................31
题型二：手拉手模型...............................................................34
题型三：等边三角形的判定.........................................................36
题型四：等边三角形与折叠问题.....................................................38
题型五：等边三角形规律探究.......................................................39
题型六：等边三角形新定义.........................................................40
题型七：等边三角形多结论问题.....................................................41
考点三：线段垂直平分线的性质与判定定理..............................................................................................43
题型一：利用垂直平分线的性质求解.................................................43
题型二：线段垂直平分线的判定.....................................................47
题型三：线段垂直平分线的实际应用.................................................49专题 18 等腰三角形
模块一：基础知识
考点一： 等腰三角形
1.等腰三角形的概念：有两边相等的三角形角等腰三角形．
2.等腰三角形性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.
3.等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等
边”）.
4.易错点
（1）等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是
顶角还是底角，需要分类讨论.
（2）顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°.
（3）等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．
（4）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
b
（5）等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则 <a .
2
（6）等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=
180°−∠A
2
（7）底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．
（即顶角36°，底角72°）.
（8）等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的
相等关系的重要依据．
考点二：等边三角形
1.等边三角形的概念：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形.
2.等边三角形的性质
（1）等边三角形的三条边相等.
（2）三个内角都相等，并且每个内角都是60°.
3.等边三角形的判定
（1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形.
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
4.易错点
（1）等边三角形具有等腰三角形的一切性质.
（2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．
（3）等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．
（4）在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．
（5）等腰(等边)三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中
线、底边上的高重合．
√3
（6）等边三角形面积的求解方法设等边三角形的边长为a，则等边三角形的面积公式为：S = a2
正△
4考点三：手拉手模型
常见模型种类：
等腰三角形 等边三角形 等腰直角三角形 正方形
手拉手模型 手拉手模型 手拉手模型
手拉手模型
A C C B C
E D
D O G O
D
E A B A B F A D
B C
E
E
【小结】
1）头顶头，左手拉左手，右手拉右手，那么，头左左≌头右右.
2）左手拉左手等于右手拉右手，即BD=CE或GD=BE.
考点四：线段垂直平分线
1.垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段
的中垂线）.
2.线段垂直平分线的作图
(1)分别以点 A、B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点；
(2)作直线 CD，CD 为所求直线
3.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
4.判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
模块二：题型分类
考点一：等腰三角形的性质与判定
题型一：等腰三角形的定义
1.△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2+ +|c﹣3 |＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
2.已知等腰三角形的三边x、y、z满足(x−4) 2+√y−2+|z−a|=0，则a的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2或4
3.若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．70° B．45° C．35° D．50°4.已知等腰△ABC的边是方程x2−7x+10=0的根，则△ABC的周长为（ ）
A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或15
5.已知m，n，5分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m，n分别是关于x的一元二次方程
x2−6x+k=0的两个根，则k的值等于（ ）
A．3 B．5或9 C．5 D．9
6.腰长为5，一边上的高为4的等腰三角形的底边长为（ ）
A．6或4√5 B．6或4√5或2√5 C．4√5或2√5 D．6或2√5
7.已知△ABC是以AB为一腰的等腰三角形，AB=5，AC边上的高为4，则△ABC的底边长为 ．
题型二：等边对等角求角度
1.如图，在正五边形ABCDE的内部，以CD边为边作正方形CDFH，连接BH，则∠BHC=
°．
2.如图，已知l ∥l ，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，顶点A,B分别在l ,l 上，当
1 2 1 2
∠1=70°时，∠2= ．
3.如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C=30°，则∠ABO的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°4.如图，A，B两点分别在直线l ，l 上，且l ∥l ，BA=BC，BC⊥l ，若∠1=116°，则∠CAB的
1 2 1 2 2
度数等于（ ）
A．20° B．22° C．24° D．26°
5.等腰三角形腰长为8，面积为16，则底角的度数为 ．
6.如图，△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，若∠A=40°，则有（ ）
A．∠1=50° B．∠1=40° C．∠1=35° D．∠1=20°
7.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠1= ．
8.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F在矩形ABCD边上，连接OF．若∠ADB=38°，
∠BOF=30°，则∠AOF= ．
9.如图，在△ABC中，AC=BC=16，点D在AB上，点E在BC上，点B关于直线DE的轴对称点为点
B'，连接DB'，EB'，分别与AC相交于F点，G点，若AF=8，DF=7,B'F=4，则CG的长度为
．10.如图，在△ABC中，AC=BC，AE⊥BC．垂足为E，点D在AE上，且CD平分∠ACB，若
∠ABC=54°，则∠ADC的度数为 ．
1
11.等腰△ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，且BD= AC，则等腰△ABC底角的度数为 ．
2
题型三：根据三线合一求解
1.如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格
点上，则sin∠ABC= ．
2.如图，线段AB=8，点P在线段AB上，且AP=5，分别以点A和点B为圆心，AP的长为半径作孤，
两弧相交于点C和点D，连接AC，BC，AD，BD，则点C到边AD的距离是（ ）
24 48
A． B． C．4 D．3
5 5
3.如图，点D,C,E在直线l上，点A,B在l的同侧，AC⊥BC，若AD=AC=BC=BE=5,CD=6，则
CE的长为 ．4.图1为红斑钟螺，壳型为圆锥形．多分布在菲律宾、以及我国台湾垦丁等区域．现有一个“钟螺”小摆
件，可近似看成圆锥形，图2为其主视图，其中AB=13cm，摆件的高度为12cm．现要在AB上选取一个
位置P安装挂钩，在该点与C之间布设导线，线路上安装微型小彩灯，若挂钩以及导线连接处等长度损耗
忽略不计，则最短线路，即CP的最小值为（ ）
120 60
A．10cm B． cm C． cm D．6√3cm
13 13
5.如图，在△ABC中，AB=AC，边BC在x轴上，且点B(−1,0)，点A(2,4)，则△AOC的面积为
（ ）
A．5 B．8 C．10 D．20
6.如图，等腰△AOB在平面直角坐标系中，点B的坐标为(6，0)，OA=AB=5，点A在反比例函数
k
y= （k≠0，x>0）的图象上，则k的值为 ．
x
7.如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中
点，连接EF交AD于点P．若△ABC的面积是24，PD=1.5，则PE的长是（ ）A．2.5 B．2 C．3.5 D．3
题型四：利用等边对等角证明
1.如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE=CD，∠B=∠AED=∠C．
(1)求证：∠EAD=∠EDA；
(2)若∠C=60°，DE=4时，求△AED的面积．
2.如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC的中点，D，E分别为AB，AC上的点，且
∠BDP=∠CEP．
(1)求证：△BDP≌△CEP．
(2)若PD⊥AB，∠A=110°，求∠EPC的度数．
3.如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD=∠ABE．
(1)求证：△ABC∽△AEB；
(2)当AB=6,AC=4时，求AE的长．
4.如图，圆O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且AE=AB．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若DE=2，求圆O的半径．5.已知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，点F在边BC上，连接AE，EF，
DE=BF，BE=BC．
(1)如图①，求证△AED≌△EFB；
(2)如图②，若AB=AD，AE≠ED，过点C作CH∥AE交BE于点H，在不添加任何轴助线的情况下，
请直接写出图②中四个角（∠BAE除外），使写出的每个角都与∠BAE相等．
6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD，连接AC，点M为线段AC上一点，连
接BM，若AC=BC，AB=BM．求证：△ADC≌△CMB．
7.已知：▱ABCD中，DE=BC，BE=EF．
(1)求证：AF=DC；
(2)连接AE，当AE=AF时，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中与∠B互补的角．
8.如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC边上，∠EBC=∠DCB．
(1)求证：BE=CD；
(2)若AB=8，BC=5，当CD⊥AB时，求CE的长．题型五：根据三线合一证明
1.已知矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E是边AD上一点，连接BE,CE,OE，且BE=CE．
(1)如图1，求证：△BEO≌△CEO；
(2)如图2，设BE与AC相交于点F，CE与BD相交于点H，过点D作AC的平行线交BE的延长线于点
G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（△AEF除外），使写出的每个三
角形的面积都与△AEF的面积相等．
2.如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC的中点，一个圆过点A，交边AB于点E，且与BC相切于点
D，则该圆的圆心是（ ）
A．线段AE的垂直平分线与线段AC的垂直平分线的交点
B．线段AB的垂直平分线与线段AC的垂直平分线的交点
C．线段AE的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点
D．线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点
3.如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F分别是AO，CO的中点．
(1)求证：DE=BF；
(2)请从以下三个条件：①AC=2BD；②∠BAC=∠DAC；③AB=AD中，选择一个合适的作为已
知条件，使四边形DEBF为菱形．
你选择添加的条件是：______（填写序号）；添加条件后，请证明四边形DEBF为菱形．
4.如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，连接PC，
交AD于点E．
(1)求证：AD是圆O的切线．
(2)若PC是圆O的切线，BC=4，求PE的长．
5.（1）如图，直线AB经过⊙O上一点C，连接OA,OB，从以下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证明过程．①OA=OB；②CA=CB；③AB是⊙O的切
线．你选择的条件是____________，结论是______（填序号）；
（2）在（1）的条件下，若∠AOB=90°，OA=4√2，求图中阴影部分的面积．
题型六：格点图中画等腰三角形
1.图①、图2均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B
均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形；
（2）在图②中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为3的平行四边形．
2.在4×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，分别按要求画出图形（仅用无刻度直尺，并
保留画图痕迹）．
(1)在图1中，已知线段AB的端点均在格点上，画出一个以AB为腰的等腰△ABC，且C在格点上．
(2)在图2中，已知△ABC为格点三角形，作出△ABC的内心点Ⅰ．3.图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点
上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角
三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．
4.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以AB为边的正方形ABEF，点E和点F均在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出以CD为边的等腰三角形CDG，点G在小正方形的顶点上，且ΔCDG的周长为
10+√10，连接EG，请直接写出线段EG的长．
5.如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，每个小正方形的边长为1，M、N分别是AB、BC上的格
点．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM、PN，则满足∠MPN=45°的点P有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
6.如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．再选择一个格点C，使 ABC
是以AB为腰的等腰三角形，符合点C条件的格点个数是( ) △
A．1 B．2 C．3 D．47.如图，点A，B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，如果以A，B，C为顶点的三
角形是等腰三角形，则满足条件的所有格点C有（ ）个．
A．6 B．7 C．8 D．9
8.图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1
(1)在图1中画一个腰长为5，面积为10的等腰三角形ABC，（点A、B、C在小正方形的顶点上）．
(2)在图2中画出一个腰长为10的等腰三角形DEF（点D、E、F在小正方形的顶点上），并直接写出等腰
三角形DEF的底角的正切值为__________．
9.如图，是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点叫作格点．线段AB的端点
均在网格上，分别按要求作图，每小题各画出一个即可．
(1)在图1中画出以AB为边的平行四边形ABCD，且点C，D在格点上；
(2)在图2中画出等腰三角形ABE，且点E在格点上；
(3)在图3中画出直角三角形ABF，且点F在格点上．题型七：根据等角对等边证明等腰三角形
1.如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
2.如图，D，E是△ABC边上的点，ED∥BC，BE平分∠ABC．
(1)求证：BD=DE；
(2)若BD:BC=2:3．直接写出S :S 的值．
△ADE △EDC
3.如图，D，E是△ABC边上的点，ED∥BC，BE平分∠ABC．
(1)求证：BD=DE；
(2)若BD:BC=2:3．直接写出S :S 的值．
△ADE △EDC4.如图，已知△ABC．
(1)在图中用直尺和圆规作△ABC的角平分线BD，作∠ADE，使得∠ADE=∠C，射线DE交AB于
点E（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，判断△BDE的形状，并证明你的结论．
5.如图，AB是⊙O的直径，D是AB上的一点，C是⊙O上的一点，过点D作AB的垂线，与过点C的切
线相交于点P，PD与AC相交于点E．
（1）求证：△PCE是等腰三角形；
25
（2）连接BC，若AD=OD，AE= ，BC=6，求PC的长．
8
题型八：根据等角对等边证明边相等
1.如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B = ∠C，BD = CE，求证：△ABD≌△ACE
2.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于
点F则CF的长为（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．43.如图锐角△ABC中，AB=4，BC=6，∠A=2∠C，则AC的值为 ．
4.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，EB平分∠DEC．
(1)求证：BC=CE；
(2)若CE=AB，EA=EB，求∠C的度数．
5.如图，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F．
(1)求证：DE=DF；
(2)若∠C=120°，直接写出∠1的度数．
题型九：根据等角对等边求边长
1.如图，正方形ABCD的边长为2，点F为对角线AC上一点，当∠CBF=22.5°时，则AF的长是
（ ）
11
A．2√2−2 B． C．2 D．√5
62.如图，在△ABC中，∠B=45°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E.若DE=2，
则BD的长为（ ）
A．4 B．2√3 C．2 D．2√2
3.如图，AB=CD=3，∠A=15°，∠C=15°，∠D=105°，则线段AD的长为 ．
4.折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同
学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图1，在矩形ABCD中，点M在边AD上，将矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，使点D
落在点D'处，M D'与BC交于点N．
【猜想】】MN=CN
【验证】请将下列证明过程补充完整：
∵矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠∴∠CMD=
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC（矩形的对边平行）
∴∠CMD= （ ）
∴ = （等量代换）
∴MN=CN（ ）
【应用】
如图2，继续将矩形纸片ABCD折叠，使AM恰好落在直线M D'上，点A落在点A'处，点B落在点B'处，
折痕为ME．
（1）猜想MN与EC的数量关系，并说明理由；
（2）若CD=2，MD=4，求EC的长．
5.如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，CD于
1
M，N两点，分别以M，N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠BCD的内部交于点P，射
2
线CP交AD于点E，交BA的延长线于点F，则AF的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型十：确定构成等腰三角形的点
1.如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只
有3个，则AB的长为 ．2.如图，在矩形ABCD中， AB=4,BC=6,点E是AD的中点，点F在DC上，且CF=1,若在此矩形上
存在一点P，使得△PEF是等腰三角形，则点P的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3.如图，点A是直线y=−2x+3上的动点，过点A作AB垂直x轴于点B，y轴上存在点C，能使以A、
B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．请写出所有符合条件的点C的坐标 ．
4.已知直线y=−√3x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y=−(x−√3) 2+4上，能使△ABP
为等腰三角形的点P的个数有( )
A．8个 B．4个 C．5个 D．6个
5.如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另
一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）个．
A．6 B．8 C．10 D．12
6.如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有
且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 ．7.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点
为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
题型十一：等腰三角形性质与判定综合
1.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点P，Q分别在AB和AC上，PQ∥BC，M为PQ上一点，
且满足PM=2MQ．连接AM、DM，若MA=MD，则AP的长为 ．
2.如图，在△ABC中，AD，BD分别是∠BAC，∠ABC的平分线，过点D作EF∥AB，分别交AC，
BC于点E，F．若AE=4，BF=6，则EF的长为 ．
3.已知点A(2，m)，点P在y轴上，且 POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，则m=
． △
4.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点P，Q分别在AB和AC上，PQ∥BC，M为PQ上一点，
且满足PM=2MQ．连接AM、DM，若MA=MD，则AP的长为 ．
5.如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=4，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接DE，1
分别以D，E为圆心，以大于 DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF，交DE于点M，过点
2
M作MN∥AB交BC于点N．则MN的长为 ．
6.如图，已知AB=6√3，点C在线段AB上，△ACD是底边长为6的等腰三角形且∠ADC=120°，以
CD为边在CD的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为
．
k (8 )
7.如图，函数y= (x>0)的图象过点A(n,2)和B ,2n−3 两点．
x 5
(1)求n和k的值；
(2)点C是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，若S =6，求C点的坐标；
△AOC
(3)过C点作DE∥OA，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得△≝¿是以DE为
腰的等腰直角三角形?若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
8.如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将矩形ABCD沿BE所在的直线折叠，C，D的对应点分
别为C'，D'，连接AD'交BC'于点F．(1)若∠DED'=70°，求∠DAD'的度数；
(2)连接EF，试判断四边形C'D'EF的形状，并说明理由．9.如图，四边形ABCD是矩形，AB=√6，BC=6．点E为边BC的中点，点F为边AD上一点，将四边
形ABEF沿EF折叠，点A的对应点为点A'，点B的对应点为点B'，过点B'作B'H⊥BC于点H，若
B'H=2√2，则FD的长是 ．
题型十二：等腰三角形折叠
1.【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在△ACD中，∠D=2∠C，AB⊥CD，垂
足为B，且BC>AB．求证：BC=AD+BD．
①如图2，小鹏同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在BC上截取BE=BD，连接AE，将线段
BC与AD，BD之间的数量关系转化为AD与CE之间的数量关系．
②如图3，小亮同学从∠D=2∠C这个条件出发给出另一种解题思路：作AC的垂直平分线，分别与
AC，CD交于F，E两点，连接AE，将∠D=2∠C转化为∠D与∠BEA之间的数量关系．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类此分析】
（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；
为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．
如图4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，过点A作AD∥BC（点D与点C在AB同侧），若
∠ADB=2∠C．求证：BC=AD+BD．【学以致用】
（3）如图5，在四边形ABCD中，
100 121 3
AD= ,CD= ,sinD= ,∠BCD=∠BAD,∠ABC=3∠ADC，求四边形ABCD的面积．
3 3 5
2.在等腰三角形ABC中，AB=AC，△DEC是由△ABC绕点C按顺时针方向旋转α角(0<α<180°)得
到，且点A的对应点D恰好落在直线BC上，如图1．
(1)判断直线CE与直线AB的位置关系，并证明；
(2)当∠ADC=2∠BAC时，求∠BAC的大小；
(3)如图2，点F为线段AD的中点，点G在线段AB上且AG=AF，当点E在线段AD上时，求证：
AB=AE+2BG．
3.如图1，已知三角形纸片ABC，AB=AC，∠A=50°，将其折叠，如图2，使点A与点B重合，折痕
为ED，点E，D分别在AB，AC上，那么∠DBC的度数为（ ）A．10° B．15° C．20° D．30°4.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，E为AD边的中点，连接BE，CE，点F，G分别是BE，
BC边上的两个动点，连接FG，将△BFG沿FG折叠，使点B的对应点H恰好落在边EC上，若
△CGH是以GH为腰的等腰三角形，则EH的长为 ．
5.（1）如图①，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，B'C与AD交于点E，求证：
△AEC是等腰三角形；
（2）点O是矩形纸片ABCD对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段EF折叠，使点A的对应点为A'，
点B与点D重合，连接BF，求证：四边形FBED是菱形；
6.综合与实践
(1)【操作发现】如图1，诸葛小组将正方形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的
点M处，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，请写出图中的一
个45°角：______．
(2)【拓展探究】如图2，孔明小组继续将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕AE上
的点N处，连接NF交AM于点P．
①∠AEF=______度；
②若AB=√3，求线段PM的长．
(3)【迁移应用】如图3，在矩形ABCD，点E，F分别在边BC、CD上，将矩形ABCD沿AE，AF折
叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为CD的三等分点，
AB=3，AD=5，请直接写出线段BE的长．题型十三：等腰三角形规律探究
1.如图，在平面直角坐标系中，所有三角形均为等边三角形，已知点A (3,0)，A (2,0)，A (4,0)，
1 3 5
A (1,0)，A (5,0)，依据图形所反映的规律，则A 的坐标是 ．
7 9 2024
2.如图△OA B 、△A A B 、△A A B 都是等腰直角三角形，直角顶点B 、B ，B 均在直线l上，
1 1 1 2 2 2 3 3 1 2 3
1 2
直线l的解析式为y= x+ ，点B 的横坐标为1，根据此规律第n个等腰直角三角形A ❑ A B 的面积
3 3 1 n −1 n n
为 ．
3.如图，直角坐标系中，△A A A ，△A A A ，△A A A …，是斜边在x轴上，斜边长分别为
1 2 3 3 4 5 5 6 7
4，8，12，16，…的等腰直角三角形，若△A A A 的顶点坐标分别为A (4,0)，A (2,2)，A (0,0)，
1 2 3 1 2 3
则依图中所示规律，A ❑❑的坐标为 ．
2022
4.如图，在等腰RtΔABC中，已知∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上．将ΔABC绕点
顺时针旋转到位置①可得到点 ，此时 ；将位置①的三角形绕点 顺时针旋转到位置②，
A P AP =√2 P
1 1 1
可得到点 ，此时 ；将位置②的三角形绕点 顺时针旋转到位置③，可得到点 ，此时
P AP =1+√2 P P
2 2 2 3；···，按此规律继续旋转，直至得到点 为止，则 ．
AP =2+√2 P AP =
3 2022 20225.如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB=90°，直角边AO在x轴上，
且AO=1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A OB，且A O=2AO，再将
1 1
Rt△A OB ，绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A OB ，且A O=2A O……，依此规律，
1 1 2 2 2 1
得到等腰直角三角形A OB ，则点B 的坐标是 ．
2021 2021 2022
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在Rt△ABC内部作正方形D E F G ，其中点D ，E 分别
1 1 1 1 1 1
在AC，BC边上，边F G 在BC上，它的面积记作S ；按同样的方法在△CD E 内部作正方形D E F G ，它
1 1 1 1 1 2 2 2 2
的面积记作S ，S = ，…，照此规律作下去，正方形D E F G 的面积S = ．
2 2 n n n n n
题型十四：等腰三角形新定义
1.给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角
形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三角形”．
(1)如图①，△ABC和△ADE互为“友好三角形”，点D是BC边上一点（异于B点），AB=AC，
AD=AE，∠BAC=∠DAE=m°，连接CE，则CE______BD（填“<”或“=”或“>”），
∠BCE=______°（用含m的代数式表示）．
(2)如图②，△ABC和△ADE互为“友好三角形”，点D是BC边上一点，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE=60°，M、N分别是底边BC、DE的中点，请探究MN与CE的数量关系，并说明
理由．
(3)如图③，△ABC和△ADE互为“友好三角形”，点D是BC边上一动点，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE=90°，BC=6，过D点作DF⊥AD，交直线CE于F点，若点D从B点运动到C点，
直接写出F点运动的路径长．2.新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
(1)如图1，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：BD=CE．
(2)如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在△ABC外，
连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME．
3.定义：△ABC中，∠A+2∠B=90°，则称△ABC为倍余三角形．
(1)下列说法正确的是 ．
①倍余三角形一定是钝角三角形；
②等腰三角形不可能是倍余三角形．
(2)如图1，△ABC内接于⊙O，点D在直径BC上(不与B，C重合)，满足AB=AD，求证：△ACD
为倍余三角形；
(3)在（2）的条件下，
①如图1，连接AO，若△AOD也为倍余三角形，求∠C的度数；
AD
②如图2，过点D作DE⊥BC交AC于点E，若△ABC面积为△ADE面积的7.5倍，求 的值．
BC题型十五：等腰三角形动点问题
1.如图，线段AB=8，点C是线段AB上的动点，将线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段BD，连接
CD，在AB的上方作RtΔDCE，使∠DCE=90∘,∠E=30∘，点F为DE的中点，连接AF，当AF最
小时，ΔBCD的面积为 ．
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连
接AD，BE=3,BD=3√5．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为 ．
3.如图，等腰Rt△ABC中，D是AC上一动点，连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAE，
连接ED．若BC=5，则△AED周长最小值是 ．
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(−8，6)，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别
为点C、点A，直线y=−2x−6与AB交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段BC上，动点N在直线
y=−2x−6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为5.正方形ABCD中，E为对角线AC上的动点（不于B、C重合），连接BE，DE，作EF⊥BE交CD或
其延长线于F，下列结论：①BE=DE；②△≝¿为等腰三角形；③AE=CF；④CE<BF，其中正确
结论的序号是
6.（1）如图，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90o，点C在OA上，点D在
线段BO延长线上，连接AD，BC，则AD，BC的数量关系为______．
（2）如图2，将图1中的△COD绕点O顺时针旋转α(0°<α<90°)，第一问的结论是否仍然成立，
证明你的结论，若不成立说明理由．
（3）如图3，若AB=8，点C是线段AB外一动点，AC=3√3，连接BC，若将CB绕点C逆时针旋转
90°得到CD，连接AD，则AD的最大值是_____．
7.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，过点C(2,2)作x轴垂线，垂
足为D，连BC．现有动点P、Q同时从A点出发，分别沿AB、AD向点B和点D运动（P、Q两点中有
一点到达目标点，两者的运动随即停止），若点P的运动速度为√2cm/s，点Q的运动速度为2cm/s．
设运动的时间为ts．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)当CQ∥AB时，求t的值；
(3)是否存在这样的时刻t，使△CPQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．题型十六：等腰三角形中线段间存在的关系
1.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是边AB上一点，点D与E关于直线AC对称，过点E作
EF⊥CD交CD于G，交BC于F．
(1)补全图形；
(2)探究线段CD和EF的数量关系，并证明；
(3)直接写出线段BF的DE的数量关系______．
64022319881029051564022319881029640223198810290515640223198810290515640223198810290515640223198810290515
2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在直线AC上，连接BD,将DB绕点D逆时针
旋转120°，得到线段DE，连接BE，
(1)线段BC与AB的数量关系为 ；
拓展迁移
(2)当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，判断线段CE与AD之间的数量关系，并说明理由．
类比运用
AN
(3)过点A作AN∥DE交BD于点N，若AD=2CD，请直接写出
CE3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E分别在AB，BC上，且
∠EAD=∠EDA.延长DE，交AC的延长线于点F．
(1)求证：DE=EF；
(2)判断线段BD和CF的数量关系，并说明理由；
(3)若AB=AC=3，CF=1，求BE的长．
4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在线段AB上，连接CD，AE⊥CD于点E，
以点A为圆心，CD长为半径画弧，交AE于点F，连接DF．
(1)依题意补全图形：
①设∠BCD=α，则∠DFA的度数为________________；（用含α的式子表示）
②求证：DF∥BC；
(2)探究DF、AF、BC之间的数量关系并证明．
考点二：等边三角形的性质与判定
题型一：等边三角形的性质求解
1.如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则
∠DEC＝（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°2.如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
3.已知点P为等边三角形ABC的重心，D为△ABC一边上的中点，如果这个等边三角形的边长为2，那
么PD= ．
4.如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，△BPC是等边三角形，则阴影部分的面积为 ．
5.如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直
平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（ ）
A．2 B．2√3 C．√3 D．3
6.如图是由三个大小相同的正方形组成的“品”字型轴对称图案，测得顶点A，B之间的距离为5．现用
一个等边三角形纸片将其完全覆盖，当此等边三角形面积最小时，则它的外接圆半径是（ ）
2 5 2 8 4 5 4 8
A． √3+ B． √3+ C． √3+ D． √3+
3 3 3 3 3 3 3 37.如图，△ABC中，∠ABC=30°，AB=3√3，D为BC边上一点，且BD=4，点E为AB边上一动点，
△≝¿为等边三角形，则线段AF的取值范围是 ．
8.如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A(3,0)，B(0,4)，点C在x轴负半轴上，连接
AB，BC，若tan∠ABC=2，以BC为边作等边三角形BCD，则点C的坐标为 ；点D的坐标为
．
9.△ABC是等边三角形，点E是射线BC上的一点（不与点B，C重合），连接AE，在AE的左侧作等边
三角形AED，将线段EC绕点E逆时针旋转120°，得到线段EF,连接BF．交DE于点M．
(1)如图1，当点E为BC中点时，请直接写出线段DM与EM的数量关系；
(2)如图2．当点E在线段BC的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；
若不成立，请说明理由；
(3)当BC=6，CE=2时，请直接写出AM的长．10.如图1，点G为等边△ABC的重心，点D为BC边的中点，连接GD并延长至点O，使得DO=DG，
连接GB，GC，OB，OC
(1)求证：四边形BOCG为菱形．
(2)如图2，以O点为圆心，OG为半径作⊙O
①判断直线AB与⊙O的位置关系，并予以证明．
②点M为劣弧BC上一动点（与点B、点C不重合），连接BM并延长交AC于点E，连接CM并延长交
AB于点F，求证：AE+AF为定值．
题型二：手拉手模型
1.由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在
相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．
(1)【问题发现】
如图1所示，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，
∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE，两线交于点P，BD和CE的数量关系是 ；BD和CE的
位置关系是 ；
(2)【类比探究】
如图2所示，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形
PBEF，连接DE分别交线段BC、PC于点M、N．
①求∠DMC的度数；DH
②连接AC交DE于点H，直接写出 的值；
BC
(3)【拓展延伸】
如图3所示，已知点C为线段AE上一点，AE=6，△ABC和△CDE为AE同侧的两个等边三角形，
连接BE交CD于N，连接AD交BC于M，连接MN，直接写出线段MN的最大值．
2.两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一
组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：
如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：BD=CE；
图1
(2)解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，
D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，
BE之间的数量关系并说明理由.
图23.△ABC和△ADE都是等边三角形．
(1)将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有
PA+PB=PC（或PA+PC=PB）成立；请证明．
(2)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之
间有怎样的数量关系？并加以证明；
(3)将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之
间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
题型三：等边三角形的判定
1.如图，点D在△ABC内部，△DAB逆时针旋转得到△EAC，请添加一个条件： ．使得
△ADE是等边三角形．
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
(1)求证：AE=2CE；
(2)连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．(1)请用尺规作图法，在AB边上求作一点P，使得PC=PB（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)连接CP，若∠ABC=30°，证明△ACP为等边三角形．
4.如图，已知在⊙O中，弦AB垂直平分半径ON，NO的延长线交⊙O于P，连接AP，过点A，B的
切线相交于点M．
(1)求证：△ABM是等边三角形；
(2)若⊙O的半径为2，求AP的长．
5.如图，在△ABC中，点O是AB边上的一点，⊙O与AC、BC分别相切于点A、E，AB与⊙O相交
于点D，作▱ACEF，点F恰好为⊙O上一点．
(1)连接AE，求证：△ACE是等边三角形；
(2)若AC=√6，求图中阴影部分面积．6.如图，在正方形ABCD中，E是边AD上一动点（不与点A，D重合）．边BC关于BE对称的线段为BF，
连接AF．
(1)若∠ABE=15°，求证：△ABF是等边三角形；
(2)延长FA，交射线BE于点G；
①△BGF能否为等腰三角形？如果能，求此时∠ABE的度数；如果不能，请说明理由；
②若AB=√3+√6，求△BGF面积的最大值，并求此时AE的长．
7.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针旋转
60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是 ．
题型四：等边三角形与折叠问题
1.如图，在等边△ABC中，AB=2，点D在边AB上，点E是BC边上一动点，将∠B沿DE折叠，点B
的对应点B'在AC边上，当△B'EC为直角三角形时，BE的长为 ．
2.如图，在平行四边形ABCD中，将△ABD沿BD折叠后，点A恰好落在AD的延长线上的点E处．若
∠C=60°，BC=4，则△ABE的周长为 ．3.如图，点D是等边△ABC边BC上一点，将等边△ABC折叠，使点A与点D重合，折痕为EF（点E
在边AB上）．（1）当FD⊥BC时，AE:EB= ；（2）当BD=2DC时，AE:EB= ．
题型五：等边三角形规律探究
1.如图所示，在平面直角坐标系中，△A A A ，△A A A ，△A A A ，⋯都是等边三角形，其
1 2 3 3 4 5 5 6 7
边长依次为2，4，6，⋯其中点A 的坐标为(2,0)，点A 的坐标为(1,−√3)，点A 的坐标为(0,0)，点
1 2 3
A 的坐标为(2,2√3)，…，按此规律排下去，则点A 的坐标为（ ）
4 100
A．(1,50√3) B．(1,51√3) C．(2,50√3) D．(2,51√3)
2.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知点A的坐标为(0,2)，以OA为边在右侧作等边三角形OA A ，过
1
点A 作x轴的垂线，垂足为点O ：以O A 为边在右侧作等边三角形O A A ，再过点A 作x轴的垂线，
1 1 1 1 1 1 2 2
垂足为点O ；以O A 为边在右侧作等边三角形O A A ,⋅⋅⋅，按此规律继续作下去，得到等边三角
2 2 2 2 2 3
形O A A ，则点A 的纵坐标为 ．
2022 2022 2023 20233.如图，直线l 与直线l 所成的角∠B OA =30°，过点A 作A B ⊥l 交直线l 于点B ，OB =2，以
1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1
A B 为边在△OA B 外侧作等边三角形A B C ，再过点C 作A B ⊥l ，分别交直线l 和l 于A ，
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2
B 两点，以A B 为边在△OA B 外侧作等边三角形A B C ，…按此规律进行下去，则第2022个等
2 2 2 2 2 2 2 2
边三角形A B C 的周长为 ．
2022 2022 2022
4.定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样
的图形运动叫作图形的γ(a,θ)变换．如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重
合，点C在x轴的正半轴上，△A B C 就是△ABC经γ(1,180°)变换后所得的图形，若△ABC经
1 1 1
γ(1,180°)变换后得到△A B C ，△A B C 经γ(2,180°)变换后得到△A B C ，△A B C 经
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
γ(3,180°)变换后得到△A B C ，依此类推••••••，△A B C 经γ(n,180°)变换后得到
3 3 3 n−1 n−1 n−1
△A B C ，点A 的坐标为 ．
n n n 2023
题型六：等边三角形新定义1.定义：平面上一点P到图形的最短距离为d．如图，OP=3，等边三角形ABC的边长为2√3，点O为
等边三角形的中心，当等边三角形ABC绕点O旋转时，d的取值范围是 ．2.给出如下定义：对于线段PQ，以点P为中心，把点逆时针旋转60°得到点R，点R叫做线段PQ关于
点P的“完美点”，例如等边△ABC中，点C就是线段AB关于点A的“完美点”．
在平面直角坐标系xOy中．
(1)已知点A(0,2)，在A (√3,1)，A (−√3,1)，A (1,√3)，A (1,−√3)中，_____是线段OA关于点O
1 2 3 4
的“完美点”；
(2)直线y=x+4上存在线段BB'，若点B'恰好是线段BO关于点B的“完美点”，求线段BB'的长；
(3)若OC=4，OE=2，点D是线段OC关于点O的“完美点”，点F是线段EO关于点E的“完美点”，
当线段DF分别取得最大值和最小值时，直接写出线段CE的长．
题型七：等边三角形多结论问题
1.如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于
1
点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于 FG的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线
2
1
BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于 BD的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直
2
1
线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①∠AED=∠ABC；②BC=AE；③ED= BC；④
2
当AC=2时，AD=√5−1．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．42.如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△BCE．设△ACD，△BCE，
△ABC的面积分别是S ,S ,S 现有如下结论：①S :S =AC2:BC2 ；②连接AE，BD，则
1 2 3 1 2
3
△BCD≌△ECA；③若AC⊥BC，则S ⋅S = S2 ，其中正确结论的序号是（ ）
1 2 4 3
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
3.如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交
于点H，连接DH交AC于点O．则下列结论：①△ABF≌△CAE，②∠AHC=120°，③
AH+CH=DH，④AD2=OD⋅DH中，正确的是 ．（填序号）
4.如图，△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DEB=∠AEF=90°，点E在
△ABC内，BE>AE，连接DF交AE于点G,DE交AB于点H，连接CF．给出下面四个结论：①
∠DBA=∠EBC；②∠BHE=∠EGF；③AB=DF；④AD=CF．其中所有正确结论的序号是
．
5.如图，点D为ΔABC的AB边上的中点，点前E为AD的中点，ΔADC为正三角形，给出下列结论，①
3
CB=2CE,②tan∠B= ，③∠ECD=∠DCB，④若AC=2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC
4边的距离分别为d ，d ，则d 2+d 2 的最小值是3.其中正确的结论是 （填写正确结论的番号）
1 2 1 26.如图，Rt△ABC中，∠BAC=30°，以斜边AB和直角边AC为边分别作等边三角形△ABD和
△ACE，F为AB的中点，连接DE交AB于点G，EF与AC交于点H．以下结论：① EF⊥AC；② 四
边形ADFE为菱形；③ AD=4 AG；④ AH·HC=EH·HF．其中正确的结论有 ．（填写所有正
确结论的序号）
1 1
7.如图，等边ΔABC的边长为3，点D在边AC上，AD= ，线段PQ在边BA上运动，PQ= ，有下列结
2 2
论：
31√3
①CP与QD可能相等；②ΔAQD与ΔBCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为 ；④四边形
16
√37
PCDQ周长的最小值为3+ ．其中，正确结论的序号为（ ）
2
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
1
8.在Rt△ABC中，用尺规作图，分别以点A和点B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点
2
M和N，作直线MN交AB于点O，分别连接AM、BM、BN、AN、CO．则下列结论不一定正确的是
（ ）
A．AM=AN B．CO=AO C．∠MAO=∠NAOD．∠CAN=∠NAO
考点三：线段垂直平分线的性质与判定定理
题型一：利用垂直平分线的性质求解1.如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是 ．
2.如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B和点C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点D，
作直线AD交BC于点E．若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为 度．
3.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的
长是 ．
4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝
10°，则∠C的度数是 ．
5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，按下列步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，大于AC一半
的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，与边AC相交于点
E，连结CD．下列说法不一定正确的是（ ）A．∠B=∠BDC B．∠ACD=∠A C．∠BCD+∠A=90° D．BC=2DE1
6.如图，在△ABC中，∠A=90°，分别以点B和点C为圆心，大于 BC的长为半径画弧，两弧相交于
2
M，N两点；作直线MN交AB于点E．若线段AE=5，AC=12，则BE长为 ．
7.如图，△ABC中，若∠BAC=80°，∠ACB=70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误
的是（ ）
1
A．∠BAQ=40° B．DE= BD
2
C．AF=AC D．∠EQF=25°
1
8.如图，在菱形ABCD中，分别以C、D为圆心，大于 CD为半径画弧，两弧分别交于点M、N，连
2
接MN，若直线MN恰好过点A与边CD交于点E，连接BE，则下列结论错误的是（ ）
A．∠BCD=120° B．若AB=3，则BE=4
1 1
C．CE= BC D．S = S
2 △ADE 2 △ABE
9.如图，已知∠BAC=60°，AD是角平分线且AD=10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作
DE⊥AC，则△≝¿周长为 ．10.如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC分割成4×10的小正方形网格．在该矩形边上
取点P，来表示∠POA的度数．阅读以下作图过程，并回答下列问题：
（答题卷用）
作法（如图） 结论
∠P OA=45°
1
①在CB上取点P ，使CP =4． ，点P 表示45°
1 1 1
．
∠P OA=30°
②以O为圆心，8为半径作弧，与BC交 2
，点P 表示30°
于点P ． 2
2
．
③分别以O,P 为圆心，大于OP 长度一
2 2
半的长为半径作弧，相交于点E,F，连 …
结EF与BC相交于点P ．
3
④以P 为圆心，OP 的长为半径作弧，
2 2
与射线CB交于点D，连结OD交AB于点 …
P ．
4
(1)分别求点P ,P 表示的度数．
3 4
(2)用直尺和圆规在该矩形的边上作点P ，使该点表示37.5°（保留作图痕迹，不写作法）．
5
11.如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，
DF⊥EG，交AC于点F．
(1)求证：BE＝CG；
(2)判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论．
12.问题提出(1)如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP=AC，则∠APC的度数为
__________．
问题探究
(2)如图2，在△ABC中，CA=CB=6,∠C=120°．过点A作AP∥BC，且AP=BC，过点P作直线
l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积．
问题解决
(3)如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC=45°．工人师傅想用这块板材裁出一个
△ABP型部件，并要求∠BAP=15°,AP=AC．工人师傅在这块板材上的作法如下：
①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；
②作CD的垂直平分线l，与CD于点E；
③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP．
请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论．
题型二：线段垂直平分线的判定
1.如图，在ΔABC中，AB=BC=√3,∠BAC=30° ，分别以点A,C为圆心，AC的长为半径作弧，两
弧交于点D，连接DA,DC,则四边形ABCD的面积为（ ）
A．6√3 B．9 C．6 D．3√3
2.如图，AC=BC，AD=BD，这个图形叫做“筝形”，数学兴趣小组几名同学探究出关于它的如下结
论：①△ACD≌△BCD；②AO=BO；③AB⊥CD；④∠CAB=∠ABD．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
3.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是（ ）
A．AC=AD B．CE=DE C．OE=BE D．BD=BC
4.如图，已知等腰△ABC，AD⊥BC于D，点E是AC边上的一点，将△ABC沿线段BE翻折，点A的
对应点F恰好落在BC的延长线上，若CF=2DC，则sin∠FBE的值是 ．
MAC 地址 B0-A4-60-28-3B-3DMAC 地址 B0-A4-60-28-3B-3D
5.如图，点D在等边△ABC的外部，连接AD、CD，AD=CD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交
BC于点E．
(1)判断△CEF的形状，并说明理由；
(2)连接BD，若BC=10，CF=4，求DE的长．6.如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．
7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，点P,Q分别是边BC，线段OD上的点，连接
AP,QP,AP与OB相交于点E．
(1)如图1，连接QA．当QA=QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；
(2)如图2，若∠APB=90°，且∠BAP=∠ADB，
①求证：AE=2EP；
②当OQ=OE时，设EP=a，求PQ的长（用含a的代数式表示）．
题型三：线段垂直平分线的实际应用
1．图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢
慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有
PM＝PN，CM＝CN．
（1）求证：PC垂直平分MN；
（2）若CN＝PN＝60cm，当∠CPN＝60°时，求AP的值．2.《中共中央国务院关促进农民增加收入若干政策的意见》中提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理
规划和试点，节约农村建设用地”．政策出台后，湖南陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的
三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电
动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在三条边的 的交点处．
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3.如图，已知△ABC中，AB=AC，请利用尺规作图法，在BC上求作一点D，使得△ABD与
△ACD的周长相等（保留作图痕迹，不写作法）．
4.为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C
村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方
法确定点P的位置．
要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．
5.近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某乡镇计划在C村、D村之间建一个医疗站P
，两村座落在两相交的笔直公路AO，BO内(如图所示).医疗站必须满足下列条件：①P点到两公路距离
相等，②P点到两村的距离也相等.请你通过尺规作图确定P点的位置.(保留作图痕迹，不写作法)6.城镇A、B与公路l 、l 的位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到城镇A
1 2
、B的距离相等，且到公路l ，l 的距离也相等，请在图中用尺规作图标出所有符合条件的点C(不写作
1 2
法，保留作图痕迹)
7.用尺现作图的方法在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
