文档内容
第 02 讲 两条直线的位置关系 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：两条直线的位置关系
角度1：判断两直线的位置关系
角度2：由两直线的位置关系求参数
角度3：由两直线的位置关系求直线方程
题型二：与距离有关的问题
题型三：对称问题
角度1：点关于直线对称
角度2：直线关于直线对称
题型四：直线系方程的应用
角度1：平行、垂直直线系方程
角度2：过两直线交点的直线系方程
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：两条直线平行与垂直的判断
1、两条直线平行
对于两条不重合的直线 ， ，其斜率分别为 ， ，有 .对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点
(1) 成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；
② 与 不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时， 与 的倾斜角都是 ，则 .
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
或 ， 斜率都不存在.
2、两条直线垂直
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ；反之，如果它们的斜率之积等于
，那么它们互相垂直，即 .
对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点
(1) 成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；② 且 .
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．知识点二：直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系
直线 ： （ ）和 ： （ ）的公共点的坐标
与方程组 的解一一对应.
与 相交 方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
与 平行 方程组无解；
与 重合 方程组有无数个解.
知识点三：距离公式
1、两点之间的距离公式：
平面上任意两点 ， 间的距离公式为
特别地，原点 与任一点 的距离 .
2、点到直线的距离公式
平面上任意一点 到直线 ： 的距离 .
3、两条平行线间的距离一般地，两条平行直线 ： （ ）和 ： （
）间的距离 .
知识点四：对称问题
1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式)
求点 关于点 的对称点
由：
2、点关于直线对称问题（联立两个方程）
求点 关于直线 ： 的对称点
①设 中点为 利用中点坐标公式得 ，将 代入直线 ：
中；
②
整理得：
3、直线关于点对称问题(求 l 关于点P(a,b)的对称直线 l ，则 ）
1 2
l
方法一：在直线
1
上找一点A，求点A关于点P对称的点 ，根据 ，再由点斜式求解；
l //l l //l
方法二：由
1 2 1 2
，设出 的直线方程，由点P到两直线的距离相等 求参数.方法三：在直线 l
2
任意一点(x,y)，求该点关于点P对称的点(2a−x,2b−y)，则该点(2a−x,2b−y)在直
l
线 上.
1
4、直线关于直线对称问题
4.1直线 ： （ ）和 ： （ ）相交,求 关于直
线 的对称直线
①求出 与 的交点
②在 上任意取一点 (非 点），求出 关于直线 的对称点
③根据 ， 两点求出直线
4.2直线 ： （ ）和 ： （ ）平行,求 关于直
线 的对称直线
①
②在直线 上任取一点 ，求点 关于直线 的对称点 ，利用点斜式求直线 .第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·广东汕头·高二期末） 是直线 和 平行的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·河北保定·高一阶段练习）“ ”是“直线 ： 与直线 ：
互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022·陕西咸阳·高一期末）已知直线 （ ）与直线 互相平行，且它们之
间的距离是 ，则 ______.
4．（2022·安徽省舒城中学高二期中）若直线 与直线 平行，则它们之间的
距离是（ ）
A．1 B． C．3 D．4
5．（2022·全国·高三专题练习）若点 ， 关于直线l对称，则l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：两条直线的位置关系
角度1：判断两直线的位置关系
典型例题例题1．（2022·湖南湘潭·高二期末）已知直线 ，则 与 （ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
例题2．（2022·全国·高二课时练习）直线 和直线 平行，则直线 和直
线 的位置关系是（ ）
A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）设a、b、c分别为 中 、 、 所对边的边长，则
与 的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直 B．垂直
C．平行 D．重合
2．（2022·全国·高二课时练习） 中，a、b、c是内角A、B、C的对边，且 、 、
成等差数列，则直线 与 的位置关系是
（ ）．
A．重合 B．相交不垂直 C．垂直 D．平行
角度2：由两直线的位置关系求参数
典型例题
例题1．（2022·四川自贡·高一期末（文））若直线 与直线 平行，则
（ ）
A． 或0 B． C．1或0 D．1
例题2．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））直线 与直线 互相
垂直，且两直线交点位于第三象限，则实数 的值为（ ）
A．1 B．3 C．－1 D．－3
例题3．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）已知 、 ，直线 ，
，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
例题4．（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）设直线 ，直线 ，
若 ，则 _______.同类题型归类练
1．（2022·湖北孝感·高二期末）“ ”是“直线 与直线 垂直”的
（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，则满足 的 的值是
（ ）
A． B．0 C． 或0 D． 或0
3．（2022·江苏·高二）已知直线 ， ，且 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山东德州·高二期末）函数 在点（0，f（0））处的切线与直线 平
行，则a=______．
5．（2022·全国·高二课时练习）“ ”是“直线 与直线 相互垂直”的______条
件．
6．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知直线 和 互相垂直，
且 ，则 的最小值为____________.
角度3：由两直线的位置关系求直线方程
典型例题
例题1．（2022·重庆南开中学高一期末）已知直线 ， .
(1)若直线 与直线 垂直，求实数 的值
(2)若直线 在 轴上的截距是在 轴上截距的2倍，求直线 的方程.
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线 ， ，分别求实数
的值，使得：
(1) ；(2) ．例题3．（2022·全国·高二课时练习）求过 与 的交点且与直线
平行的直线方程．
例题4．（2022·全国·高二课时练习）求经过两条直线 和 的交点，且与直线
垂直的直线的方程．
同类题型归类练
1．（2022·陕西·铜川阳光中学高一期末）已知直线 经过点 ．
(1)若点 在直线 上，求直线 的方程；
(2)若直线 与直线 平行，求直线 的方程．
2．（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（文））已知直线 ： 和 ：
．
(1)若 ，求实数m的值；
(2)若 ，求实数m的值．
3．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线 和直线
.
(1)当m为何值时，直线 和 平行？
(2)当m为何值时，直线 和 重合？题型二：与距离有关的问题
典型例题
例题1．（2022·重庆长寿·高二期末）在第一象限的点 到直线 的距离为3，则 的值为
__________．
例题2．（2022·江苏·高二专题练习）点 为直线 上任意一个动点，则 到点 的距离的
最小值为___________.
例题3．（2022·全国·高二专题练习）两条平行线 分别过点 ，它们分别绕 旋转，
但始终保持平行，则 之间距离的取值范围是____．
例题4．（2022·江苏·高二专题练习）（1）已知实数对 满足 ，求 的最小
值；
（2）求 的最小值．（提示：联想两点间的距离公式）
例题6．（2022·山东聊城·二模）实数 ， ， ， 满足： ， ，则
的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．8
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二专题练习）到直线 的距离为 且与此直线平行的直线方程是____．
2．（2022·江苏·高二）两条平行线 与 之间的距离是___________.
3．（2022·全国·高二课时练习）直线l过点 且到点 和点 的距离相等，求直线l的方
程．
4．（2022·陕西渭南·高一期末）已知直线l经过点 ， .
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且它们间的距离为4，求直线m的方程.5．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期末）若实数 满足 ，则
的最小值为___________.
6．（2022·全国·高二专题练习）设 的最小值为_______.
题型三：对称问题
角度1：点关于直线对称
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二）点 关于直线 对称的点的坐标是______．
例题2．（2022·广东·高二阶段练习）在平面直角坐标系内，一束光线从点 出发，被直线 反射
后到达点 ，则这束光线从 到 所经过的距离为（ ）
A． B． C．4 D．5
例题3．（2022·全国·高二课时练习）将一张坐标纸折叠一次，使点 与点 重合，则折痕所在直线
的一般式方程为___________.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二专题练习）原点关于 的对称点的坐标为_____．
2．（2022·全国·高二单元测试）点 关于直线 的对称点的坐标为______．
角度2：直线关于直线对称
典型例题
例题1．（2022·安徽省六安中学高二期末（理））直线 关于直线 对称的直线方程为
（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线 ： 与直线 关于直线 ： 对称，直
线 与直线 ： 垂直，则 的值为（ ）A． B． C．3 D．
例题3：（2022·江苏·高二）已知点 ，直线 ，直线 .
(1)求点 关于直线 的对称点 的坐标；
(2)求直线 关于直线 的对称直线方程.
同类题型归类练
1．（2022·陕西·长安一中高一期末）直线 关于直线 的对称直线方程为
__________．
2．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线 ，求：
(1)直线l关于点 对称的直线的方程；
(2)直线 关于直线l对称的直线的方程．
3．（2022·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）已知直线l： 和直线 ： .
(1)求直线l关于点 对称的直线 的方程；
(2)求直线l关于直线 对称的直线 的方程.
题型四：直线系方程的应用
角度1：平行、垂直直线系方程
典型例题
例题1求过直线 ： 和 ： 的交点 ，且与直线 ： 垂直的直
l
线 方程．
例题2：求过点 且与直线 平行的直线方程．同类题型归类练
1、求与直线 平行且过点 的直线 的方程。
角度2：过两直线交点的直线系方程
典型例题
例题1： 求过直线： 与直线： 的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
同类题型归类练
1、求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3,1)，B(5,7)等距离的直线方程．
