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第 02 讲 两条直线的位置关系 (精练）
A 夯实基础 B 能力提升 C 综合素养
A 夯实基础
一、单选题
1．两条平行直线 与 之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为直线 与直线 平行,
所以 ,解得 ,
将 化为 ,
所以两平行直线 与 之间的距离为 .
故选：C
2．直线 ： 与 ： 互相平行，则 的值为（ ）
A．1 B．-1 C．1或-1 D．-1或2
【答案】B
由题意可列 ，解得 或 ，当 时两直线重合，舍去，故
故选：B
3．直线 与 且 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
由于 ，所以 .
故选：A
4．若直线 与直线 垂直，垂足为 ，则 （ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
因为 与直线 垂直，故 即 ，因为垂足为 ，故 ，故 ，
故 ，
故选：D.
5．已知点 关于直线 的对称点为点 ，则点 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
设点 关于直线 对称的点为 ，
则 ，解得 ，故对称的点为 .
故选：D
6．一条光线从点 射出，倾斜角为 ，遇 轴后反射，则反射光线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
点 关于 轴的对称点为 ，
又反射光线倾斜角为 ， 斜率 ，
反射光线所在直线方程为： ，即 .
故选：C.
7．已知直线 与 关于原点对称，若 的方程是 ，则 的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为直线 与 关于原点对称，则只需将 的方程中 改为 ， 改为 ，可得 的方程是
，即
故选：A
8．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何
问题加以解决．例如，与 相关的代数问题，可以转化为点 与点 之间的距
离的几何问题．结合上述观点，对于函数 ， 的最小值为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
表示动点 到定点 和 的距离之和，
因为点 在直线 上运动，
作 关于直线 的对称点 ，则 ，
故 ，
当且仅当 三点共线时取等，
故 的最小值为
故选：A
二、多选题
9．已知直线 ， 则下列结论正确的是（ ）
A．存在实数 ， 使得直线 与直线 垂直
B．存在实数 ， 使得直线 与直线 平行
C．存在实数 ， 使得点 A到直线 的距离为 4
D．存在实数 ， 使得以线段 为直径的圆上的点到直线 的最大距离为
【答案】ABD
解： 直线 ， ， ，
直线 的斜率为 ，直线 的斜率为1，
故当 时，直线 与直线 垂直；当 时，直线 与直线 平行，故AB正确；
直线 ，即 ，令 ，求得 ，可得直线经过定点 ，
由于 ，故点 到直线 的最大距离为3，故C错误；
由于 ， ， ，故以 为直径的圆的圆心 ，且 ，故圆的半径为 ，圆心 到直线 的最大距离为 ，
故以线段 为直径的圆上的点到直线 的最大距离为 ，故D正确，
故选：ABD．
10．已知直线 ， ， ，以下结论正确的是（ ）.
A．不论a为何值时， 与 都互相垂直；
B．当 ， 与x轴的交点A到原点的距离为
C．不论a为何值时， 与 都关于直线 对称
D．如果 与 交于点M，则 的最大值是
【答案】AD
对于A， 恒成立，l 与l 互相垂直恒成立，故A正确；
1 2
对于B， 与x轴的交点 ，点A到原点的距离为 ，故B错误；
对于C，在l 上任取点 ，关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为 ，代入l：x＋ay＋1＝
1 2
0，则左边不等于0，故C不正确；
对于D，联立 ，解得 ，即 ，
所以 ，所以 的最大值是 ，故D正确.
故选：AD.
三、填空题
11．若直线 ： 与直线 ： 平行，则直线 与 之间的距离为___________.
【答案】
解： 直线 与直线 平行，
，
解得 ，
直线 ，直线 ，
直线 与 之间的距离为 ．
故答案为：
12．已知 为正数，且直线 与直线 互相垂直，则 的最小值为________．
【答案】9
因为直线 与直线 互相垂直，
所以两直线斜率之积为 ，即 ，即 ，
，即
，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以 的最小值为9．
故答案为：9．
四、解答题
13．已知 的三顶点是 ， ， ，直线 平行于 ，交 ， 分别于 ， ，
且 、 分别是 、 的中点．求：
(1) 边上的高所在直线的方程．
(2)直线 的方程．
【答案】(1) ；(2) .
(1)在 中， ， ， ，则直线AB的斜率为 ，
于是得 边上的高所在直线斜率为 ，其方程为： ，即 ，
所以 边上的高所在直线的方程是： .
(2)因直线 平行于 ，则直线 的斜率为 ，又边 的中点 在直线 上，于是得直线 的方程为： ，即 ，
所以直线 的方程为 .
14．已知两直线 ， .
(1)求过 ， 交点 ，且在两坐标轴截距相等的直线方程；
(2)若直线 与 ， 不能构成三角形，求实数 的值.
【答案】(1) 或 (2) 或 或
(1)由 ，解得：
所以点 的坐标为 .
设所求直线为 ，（ⅰ）当直线 在两坐标轴截距为不零时，
设直线方程为: ，
则 ，解得 ，
所以直线的 方程为 ，即 .
（ⅱ）当直线 在两坐标轴截距为零时，设直线方程为:
设直线方程为： ，
则 ，解得 ，
所以直线的 方程为 ，即 .
综上，直线的 方程为 或 .
(2)（ⅰ）当 与 平行时不能构成三角形，此时： ，解得 ；
（ⅱ）当 与 平行时不能构成三角形，此时：
，解得 ；
（ⅲ）当 过 的交点时不能构成三角形，此时：
，解得 .
综上，当 或 或 时，不能构成三角形.
B 能力提升1．已知直线 与 关于直线 对称， 与 垂直，则
A． B． C．-2 D．2
【答案】B
直线 关于直线 对称的直线，即是交换 位置所得，即 ， 相互垂直，故斜率乘积
.
点睛:本题主要考查了直线关于直线 对称直线的方程，考查了直线与直线垂直的概念与运用.点 关
于直线 的对称点为 ，故 关于 对称的直线即是交换 的位置得到，也即
，再根据 相互垂直，故斜率乘积为 可求得 的值.
2．已知 ，点 为 轴上一动点，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由已知点 关于 轴的对称点为 ，
，直线 方程为 ，令 得 ，
所以直线 与 轴交点为 ，
，当且仅当 是 与 轴交点 时等号成立．
故选：A．
3．若点 在直线 ： 上，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由已知 的几何意义为点 到点 距离的平方，故其最小值为点 到直线 ： 的距离的平方，
即 ，
故选：B.
4．若两条平行直线 ： 与 ： 之间的距离是 ，则直线 关于直线
对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
因为直线 ： 与 ： ，
所以 ，
又两条平行直线 ： 与 ： 之间的距离是 ，
所以 解得
即直线 ： ， ： ，
设直线 关于直线 对称的直线方程为 ，
则 ，解得 ，
故所求直线方程为 ，
故选：A
5．已知直线 ，直线 ，则 关于 对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由题知直线 与直线 交于点 ，且点 在 上，
设点 关于 对称的点的坐标为 ，则 解得
则直线 的方程为 ，即 关于 对称的直线方程为 ．
故选：
C 综合素养1．已知三条直线 和 ，且 与 的距离是 ．
(1)求 的值；
(2)能否找到一点 ，使同时满足下列三个条件：①点 是第一象限的点；②点 到 的距离是点 到 的
距离的 ；③点 到 的距离与点 到 的距离之比是 ，若能，求点 的坐标；若不能，请说明理
由．
【答案】(1)
(2)能，
(1)解：因为 可化为 ，所以 与 的距离为 ．
因为 ，所以 ．
(2)解：设存在点 满足，则点 在与 ， 平行直线 上．
且 ，即 或 ．
所以满足条件②的点满足 或 ．
若点 满足条件，由点到直线的距离公式，有 ，即 ，
所以 或 ，因为点 在第一象限，所以 不成立．
联立方程 和 ，解得 （舍去），联立方程 和
，解得 ，所以 即为同时满足条件的点.
2．已知直线 和 ， 两点.
(1)求直线 上一点 使得 最小；
(2)设点 到直线 的距离为 ，求直线 上一点 使得 .
【答案】(1) ；(2) 和 .
(1)解：设点 关于直线 的对称点为 ，则直线 为线段 的垂直平分线，
由 ，解得： ，即 的坐标为 ，
如图，连接 ，交直线 于点 ，则 ，
对于直线 上的任意一点 ，有 ，
所以 最小，可知直线 的方程为 ，
由 ，得 ，即点 的坐标为 ，
所以使得 最小的点 的坐标为 .
(2)解：由题可知，点 到直线 的距离为 ，且 ，
由于 ， ，
，所以 ，
而 ，直线 的方程为： ，
即直线 的方程为 ，设与 平行的直线为 ，
由两平行线间距离公式得 ，解得： 或 ，
所以到直线 距离为 的点都在直线 或 上，
又因为点 在直线 上，且点 到直线 的距离为 ，
所以联立 和 ，
解得： 和 ，
所以直线 上使得 的点 的坐标为 和 .3．如图所示， 是三条公路， 与 是互相垂直的，它们在 点相交， 与 的交点分别是 且
工厂A在公路 上， 工厂B到 的距离分别为 .货车 在公路 上．
(1)要把工厂A，B的物品装上货车 ，问： 在什么位置时，搬运工走的路程最少？
(2) 在什么位置时，B工厂搬运工与A工厂搬运工走的路程差距最多？(假设货物一次性搬运完)
【答案】(1) (2)
(1)以 所在直线分别为 轴建立平面直角坐标系如图示：
则有 ,故公路 所在的直线方程为
求 在什么位置时，搬运工走的路程最少，即求 的值最小时 的位置．
设点 关于直线 的对称点 ，
则
又 为直线 上的一点，则 当且仅当 三点共线时等号成立，
此时 取得最小值 点 就是直线 与直线l的交点．
联立 解得(2)求 在什么位置时，B工厂搬运工与A工厂搬运工走的路程差距最多，
等价于求点 的位置，使 的值最大， 两点在直线 的同侧， 是直线 上的点，
则 ，当且仅当 三点共线时等号成立，此时 取得最大值 ，
点 即直线 与直线 的交点．
又 直线AB的方程为 ,
由
