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第 31 讲 平面向量的应用
【基础知识全通关】
一：法向量与点到直线的距离
1．对于直线 是直线的方向向量， 是直线的法向量．
2．已知直线 和定点 ，且 ， 为与 垂直的单位向
量，则P到直线 的距离 = ．
【微点拨】
（1）如果给出的方程不是一般式，应先将方程化为一般式；
（ 2 ） 利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 ， 可 以 得 到 两 平 行 直 线
之间的距离 ，应用此公式时，要
预先把两直线中的 的系数调整到分别相同才行．
二：向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：
（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向
量减法的意义．
（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共
线）的条件： （或xy－xy=0）．
1 2 2 1
（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直
等，常运用向量垂直的条件： （或xx+yy=0）．
1 2 1 2
（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式 ．（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直
角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
【微点拨】
用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基
底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性
运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就
可以达到解决几何问题的目的了．
三：向量在解析几何中的应用
在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向
量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量
方法解决．
常见解析几何问题及应对方法：
（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质．
（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于
点的坐标的方程．
（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件．
（4）夹角问题：利用公式 ．
四：向量在物理中的应用
（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学
问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关
物理现象．
（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位
移的合成与分解就是向量的加减法；③动量 mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s
的数量积．
（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化
为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论．
【考点研习一点通】
考点一：点到直线的距离公式1．求经过P（-1，2）与直线 平行的直线的方程．
【变式1-1】已知直线 与 的方程分别为 ，直线 平行于
，直线 与 的距离为 ，与 的距离为 ，且 ，求直线 的方程．
考点二：向量在平面几何中的应用
2．用向量法证明：直径所对的圆周角是直角．
已知：如下图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点（不与 A、B重合），求证：
∠APB＝90°．
【变式2-1】如下图，正三角形 ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且AE、CD交于点P．求证：BP⊥CD．
【变式2-2】如图所示，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上一点，PFCE是矩形，证
明： .
【变式2-3】在平面直角坐标系xOy中，已知点A（―1，―2），B（2，3），C（―2，
―1）．
（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
（2）设实数t满足 ，求t的值．
【变式2-4】四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于
点F．
求证：AF=AE．考点三：向量在解析几何中的应用
3．已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，
且 ，求动点P的轨迹方程．
【变式3-1】已知圆C：（x-3）2+（y-3）2=4及定点A（1，1），M为圆C上任意一点，点
N在线段MA上，且
，求动点N的轨迹方程．
【变式3-2】已知△ABC的三个顶点A（0，―4），B（4，0），C（―6，2），点D、
E、F分别为边BC、CA、AB的中点．
（1）求直线DE、EF、FD的方程；（2）求AB边上的高CH所在直线的方程．
考点四：向量在物理学中“功”的应用
4．如图所示，已知力F与水平方向的夹角为30°（斜向上），大小为50 N，一个质量为8
kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f
所做的功分别为多少？（g=10 m / s2）
考点五：向量在力学中的应用
5．如图，用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到重力为G．两绳受到的拉力分别为F、
1F，夹角为 ．
2
（1）求其中一根绳子受的拉力|F|与G的关系式，用数学观点分析F 的大小与夹角 的关
1 1
系；
（2）求F 的最小值；
1
（3）如果每根绳子的最大承受拉力为|G|，求 的取值范围．
【考点易错】
1．如图，在△OAB中， ， ，AD与BC交于点M，设 ，
，试以a，b为基底表示 ．
2．已知A、B、C是不共线的三点，O是△ABC内一点，若 ，证明O是△ABC的重心．
3．设 、 、 是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A、B、P共
线，当且仅当存在实数m、n使m+n=1且 ．
【巩固提升】
1.等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为
A． B．
C． D．
2.已知 ， ，函数 .
（Ⅰ）求函数 的零点；
（Ⅱ）若锐角 的三个内角 、 、 的对边分别是 、 、 ，且 ，求
的取值范围.3．在 中,内角 的对边分别为 ,且向量
，若 .
（1）求 的值；
（2）若 , 求 在 方向上的投影.
4.一质点受到平面上的三个力F 、F 、F (单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 、
1 2 3 1
F 成60°角，且F 、F 的大小分别为2和4，则F 的大小为________．
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5．在水流速度为 的河流中，有一艘船正沿与水流垂直的方向以 的速度航
行，则船自身航行的速度大小为____________ .
6．在平行四边形 中， .
（1）用 表示 ；（2）若 ， ，求 的值.
7．如图，在四边形 中， ， ， ，且 .
（1）用 表示 ；
（2）点 在线段 上，且 ，求 的值.
