文档内容
第 01 讲 直线的方程 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：直线的倾斜角与斜率
题型二：求直线的方程
题型三：直线方程的综合应用
角度1：直线过定点问题
角度2：与直线方程有关的最值问题
角度3：其它综合问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：直线的倾斜角
以 轴为基准， 轴正向与直线 向上的方向之间所成的角 叫做直线 的倾斜角.
（1）当直线 与 轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为 ；所以倾斜角的取值范围为：
；
特别地，当直线 与 轴垂直时，直线 的倾斜角为 .
（2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度.
知识点二：直线的斜率
1、我们把一条直线的倾斜角 （ ） 的正切值叫做这条直线的斜率.
斜率通常用字母 表示，即（1）倾斜角 不是 的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；
（2）倾斜角 时，直线的斜率不存在.
2、如果直线经过两点 ， （ ），那么可得到如下斜率公式：
（1）当 时，直线与 轴垂直，直线的倾斜角 ，斜率不存在；
（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；
（3）当 时，斜率 ，直线的倾斜角 ，直线与 轴重合或者平行。
知识点三：直线方程的五种形式
1、直线的点斜式方程
已知条件（使用前
直线 过点 和斜率 （已知一点+斜率）
提）
图示
点斜式方程形式
适用条件 斜率存在（注直线 若斜率不存在不可使用该形式直线方程）
2、直线的斜截式方程
已知条件（使用前 直线 的斜率为 且在 轴上的纵截距为 （已知斜率+纵截距）
提）
图示
点斜式方程形式适用条件 斜率存在（注直线 若斜率不存在不可使用该形式直线方程）
3、直线的两点式方程
已知条件（使用前
直线 上的两点 ， （ ， ）（已知两点）
提）
图示
点斜式方程形式
适用条件 斜率存在且不为0；
当直线没有斜率( )或斜率为 0(y =y )时，不能用两点式求出它的方程
1 2
4、直线的截距式方程
已知条件（使用前 直线 在 轴上的截距为 ，在 轴上的截距为
提）
图示
点斜式方程形式
适用条件 ，
5、直线的一般式方程
定义:关于 , 的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于 , 的二元一次方程 (其中
, 不同时为0 )叫做直线的一般式方程,简称一般式.
说明：
1． 、 不全为零才能表示一条直线，若 、 全为零则不能表示一条直线.
当 时，方程可变形为 ，它表示过点 ，斜率为 的直线．
当 ， 时，方程可变形为 ，即 ，它表示一条与 轴垂直的直线．
由上可知，关于 、 的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于 、 的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可
以对应着无数个关于 、 的一次方程.
3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·重庆南开中学高一期末）过 ， 两点的直线的倾斜角是（ ）
A．45 B．60° C．120° D．135°
【答案】D
由已知直线的斜率为 ， ，
所以倾斜角 ．
故选：D
2．（2022·内蒙古包头·高一期末）过点 ，在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】B
当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为 ，
因为直线过点 ，代入可得 ，即 ；
当所求直线过原点时，设直线方程为 ，
因为直线过点 ，代入可得 ，即 ，
综上可得，所求直线的方程为 或 .
故选：B.
3．（2022·江苏·高二）一次函数 所表示直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．150° C．120° D．60°
【答案】C
设直线 的倾斜角为 ，
由直线 的斜率为 ，可得
又 ，则 ，即 =120°
故选：C
4．（多选）（2022·重庆八中高一期末）直线l过点 且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，
， ，则k可以取（ ）
A．－8 B．－5 C．3 D．4【答案】AD
解：由于直线l过点 且斜率为k，与连接两点 ， 的线段有公共点，则 ，
，由图可知，
时，直线与线段有交点，根据选项，可知AD符合．
故选：AD．
5．（2022·浙江温州·二模）直线 过定点_________，倾斜角的最小值是
_________.
【答案】 ； ## .
直线 可以化为 恒定点，则 .
直线可化为 .
.
则倾斜角的最小值是 .
故答案为： ； .
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：直线的倾斜角与斜率
典型例题
例题1．（2022·四川达州·高一期末（理））直线 的倾斜角为______．
【答案】
直线 的斜率为1，设直线的倾斜角为 ，
则 ，所以 ，
故答案为： .
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过 、 （ ）两点，求直线 的倾斜角的
取值范围.
【答案】
∵直线l过 ， 两点，
∴直线l的斜率为 ，
设直线l的倾斜角为 ，则 ，且 ，
解得 或
∴直线l的倾斜角 的取值范围是 .
例题3．（2022·湖南师大附中高一期末）已知直线l： 在 轴上的截距的取值范
围是（ ，3），则其斜率的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． 或 D． 或
【答案】D
已知直线l：(2+a)x+(a−1)y−3a=0，所以(x+y-3)a+2x-y=0
，所以直线 过点 ，
由题知，在 轴上的截距取值范围是 ，
所以直线端点的斜率分别为： ，如图：
或 .
故选：D.例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知两点 ， ，直线 过点 且与线段 相交，
则直线 的斜率 的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】B
如下图示，
当直线 过A时， ，
当直线 过B时， ，
由图知： 或 .
故选：B
同类题型归类练
1．（2022·湖南·长沙一中高一期末）直线 的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
设直线 的倾斜角为 ，可得 ，所以 的取值范围为
故选：D
2．（2022·全国·高二专题练习） 在线段 上运动，已知 ，则 的取值范围
是_______.
【答案】
表示线段 上的点与 连线的斜率，
因为
所以由图可知 的取值范围是 ．
故答案为：
3．（2022·全国·高二专题练习）直线 经过点 ， ， ，则直线 倾斜角的取值范
围是_____.
【答案】
直线 经过点 ， ，
，
，
，设直线 的倾斜角为 ，则 ，
得 ，
故答案为： .
4．（2022·全国·高二专题练习）直线 的倾斜角 的取值范围是_______.
【答案】
若 ，则直线方程为 ，即倾斜角 ；
若 ，则直线方程为 ，即 ，
∵ ，∴ 或 ，
即 或 ，解得
综上可得 .
故答案为：
题型二：求直线的方程
典型例题
例题1．（2022·内蒙古包头·高一期末）直线 被直线 和 所截得的线段中点
恰为坐标原点，则直线 的方程为______．
【答案】
设直线 与 和 ，分别交于点 和 ，
因为所截得的线段中点恰为坐标原点，可得 ，解得 ，
所以 和 ，则 ，
可得直线 的方程为 ，即 .
故答案为： .
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知菱形 的三个顶点 ､ ､ .
(1)求顶点 的坐标；(2)求对角线 和 所在直线的方程.
【答案】(1)
(2) ，
(1)计算AB，BC，AC的长度： ，
， ，
∴ ，则菱形必然是以AB和BC为邻边的菱形，
作图如下：
设菱形的中心为E，E为AC和BD的中点，则E（4,0），
设D（x,y），则有 ，解得x=5，y=3，
故D点的坐标为（5,3）；
(2)根据（1）的结果得AC方程为 ，即 ，
BD的方程为： ，即 ，
综上，D（5,3），AC的方程为x+3y-4=0，BD的方程为3x-y-12=0.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二专题练习）根据所给条件求直线方程.
(1)直线过点 ，倾斜角 的正弦值为 ；
(2)直线过点 ，且在两坐标轴上的截距之和为 ；
(3)直线过点 ， .
【答案】(1) 或 (2) 或
(3)(1) ， ，
则直线方程为 ，
即 或 .
(2)依题意得，直线的横截距、纵截距均不为 ，
可设直线方程为 ，
代入点 ，可得 ，解得 或 ，
所以所求直线方程为 或 ，
即所求直线方程为 或 .
(3)直线斜率 ，
则所求直线方程为 ，整理得 .
2．（2022·全国·高二课时练习）已知三角形的三个顶点的坐标分别是 ､ ､ .
(1)求BC边所在直线的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
【答案】(1)
(2)
(1)解：因为 ､ ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，即 ；
(2)解：因为 ， ､ ，所以 的中点为 ，
所以 ，所以中线 的方程为 ，即 ；
题型三：直线方程的综合应用
角度1：直线过定点问题
典型例题
例题1．（2022·四川眉山·高一期末（理））直线 经过的定点是______．
【答案】（－2，－3）
因为 ，即令 ，即
所以过定点 .
故答案为: .
例题2．（2022·江苏·高二）经过直线 的定点，且斜率为 的直线方程为
__________．
【答案】
直线 化简为 ，则 ，则恒过的定点
为： ，经过 ，且斜率为 的直线方程为： ，化简为： .
故答案为： .
同类题型归类练
1．（2022·四川省通江中学高二阶段练习（理））直线 过定点P，则P的坐标是____
【答案】
由题意，直线 ，可化为 ，
联立方程组 ，解得 ，
所以直线 恒过定点 .
故答案为： .
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，直线 ： ，求直线 经过的定点的坐标.
【答案】 .
由 ， 知，
，解得： ，
所以直线 经过定点 .
3．（2022·全国·高二课时练习）求证：无论a取何值，方程 总表示一条直线，且
恒过一定点．
【答案】详见解析.
方程 可变为 ，由 ，解得 ，
又a与1-2a不可能同时为0，
所以方程 总表示一条直线，且恒过一定点 .
角度2：与直线方程有关的最值问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）直线 过点 ，且 轴正半轴､ 轴正半轴交于 两点，当
面积最小时，直线 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
根据题意，直线 不与 轴垂直，则其斜率存在，设为 ， 则 ，
因此，直线 ，
令 则有 ，则 ，
令 则有 ，则 .
因此，
当且仅当 即 时取等（舍去 ），
故 面积最小值为4，此时 ，即 .
故选：C.
例题2．（2022·陕西·无高一阶段练习）已知 ， ， 三个数成等差数列，直线 恒过定点
，且 在直线 上，其中 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
易知 ，则 ，整理得 ，由 解得 ，则 ，则 ，即 ，又 ，则 ，
则 ，
当且仅当 即 时取等，故 的最小值为 .
故选：B.
例题3．（2022·全国·高二课时练习）求经过点 ，且分别满足下列条件的直线方程：
(1)在两坐标轴上的截距相等；
(2)在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小．
【答案】(1) 或
(2)
(1)①当过 时，两坐标轴上截距为0， ，
所以直线方程为 ；
②当直线不过原点时，设直线方程为 ，即 ，
过点 ， ， ， 直线方程 .
综上：直线方程 或
(2)设直线的方程为 ，则有 ，
，
当且仅当 ，即 ， 时取“ ”．
直线方程为 ．
同类题型归类练
1．（2022·陕西·长安一中高一期末）在平面中，过定点 作一直线交 轴正半轴于点 ，交 轴正半
轴于点 ， 面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
易得直线 不经过原点，故设直线 的方程为 ，因为直线 过定点 ，
故 ，所以 ，故 .当 时等号成立故
故选：C
2．（2022·江苏·高二）设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 相交
于点 不重合），则 面积的最大值是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
由题意直线 过定点 ，
直线 可变为 ，所以该直线过定点 ，
所以 ，
又 ，
所以直线 与直线 互相垂直，
所以 ，
所以 即 ，
当且仅当 时取等号,
所以， ，即 面积的最大值是 .
故选：D.
3．（2022·江苏·高二）若 ，直线 和直线 与两坐标轴围成一
个四边形，则使这个四边形面积最小的k值中______．
【答案】 #
如图所示，直线 ，过定点 ，与 轴的交点 ，
直线 过定点 ，与 轴的交点 ，
由题意知，四边形的面积等于 的面积和梯形 的面积之和，所以所求四边形的面积为： ，
当 时，所求四边形的面积最小.
故答案为：
4．（2022·全国·高二课时练习）已知 ， ， 三点在直线l上．
(1)求实数 的值；
(2)求直线l的方程；
(3)已知 ，在直线上求一点 ，使过 、 的直线与直线l及x轴在第一象限内围成的三角形面积最
小．
【答案】(1) (2) (3)
(1)因为 ， ， 三点在直线l，
所以 ，即 ，解得 或 （舍去）.
(2)由（1）知 ，又直线l过点 ，
所以直线l的方程为 ，即 .
(3)设 ，又 ，则直线 ，
令 ，则 ，即直线 与 轴交点的坐标为 ， ，
所以直线 与 以及 轴在第一象限内所围成的三角形的面积：
，
当且仅当 ，即 时取等号，此时 ，三角形面积最小.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 ： ，当 为何值时，原点到直线 的距离最大.
【答案】
解：由 ，得 ，
联立 ，解得 ，则直线 过定点 ；
由 ，得 ，
当直线 与 垂直时，原点到直线 的距离最大，最大值为 ，
因为 ，所以 ，即当 时原点到直线 的距离最大.
6．（2022·全国·高二专题练习）已知直线 方程为 ．那 为何值时，点
到直线的距离最大，最大值为多少？
【答案】 时，点 到直线的距离最大，最大值为
直线 化为 ．
由 ，得 ，
直线必过定点 ．
当点 到直线的距离最大时， 垂直于已知的直线，
即点 与定点 的连线长就是所求最大值，
此时直线 与直线 垂直，
，解得 ，
此时，点 到直线的最大距离是 ．
综上所述， 时，点 到直线的距离最大，最大值为 ．
角度3：其它综合问题
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二课时练习）已知 ， ，则下列直线的方程不可能是 的
是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
，
直线的方程 在 轴上的截距不小于2，且当 时， 轴上的截距为2，
故D正确，当 时， , 故B不正确，当 时， 或 ，由图象知AC正确.
故选：B
例题2．（2022·江苏·高二专题练习）已知 是圆 上一个动点，且直线
与直线 相交于点 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
解：直线 整理可得， ，即直线 恒过 ，
同理可得，直线 恒过 ，
又 ，
直线 和 互相垂直，
两条直线的交点 在以 ， 为直径的圆上，即 的轨迹方程为 ，设该圆心为
，
圆心距 ，
两圆相离，，
的取值范围是 ．
故选：B．
例题3．（2022·全国·高二课时练习）若直线 不经过第二象限，则实数 的取值范围
为______．
【答案】
由直线不过第二象限需满足 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为：
例题4．（2022·四川资阳·高一期末）已知直线 ， 互相垂直，且相交于点 ．
(1)若 的斜率为2， 与 轴的交点为 ，点 在线段 上运动，求 的取值范围；
(2)若 ， 分别与 轴相交于点 ， ，求 的最小值．
【答案】(1) ；(2)2.
(1)由于 的斜率为2，则 的斜率为 ，
则 的方程为 ，令 ，得 ，
表示点 与 连线的斜率，由于 ， ，
所以， 的取值范围是 ．
(2)由题可知，直线 ， 的斜率均存在，且不为0，
设 的斜率为 ，则 的斜率为 ，
直线 的方程为 ，令 ，得 ，
直线 的方程为 ，令 ，得 ，
则 ，
当且仅当 时取“=” ．故 的最小值为2．
同类题型归类练
1．（2022·陕西·千阳县中学一模（理））已知点 在直线 上．则当 变化时，实数
a的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
∵点 在直线 上，
∴ ，
∴ ，其中 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得 或 .
故选：B.
2．（2022·江苏·高二专题练习）已知直线 过定点A，直线 过定点B，
与 的交点为C，则 的最大值为___________.
【答案】
由 ，则 过定点 ，
由 ，则 过定点 ，
显然 ，即 、 相互垂直，而 与 的交点为C，
所以 的轨迹是以 为直径的圆，且圆心为 、半径为 ，
令 ，则 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最大为 .
故答案为：
3．（2022·全国·高三专题练习）直线 ， 相交于点 ，其中 .
(1)求证： 、 分别过定点 、 ，并求点 、 的坐标；
(2)当 为何值时， 的面积 取得最大值，并求出最大值.【答案】(1)证明见解析， ，
(2) 时， 取得最大值
（1）在直线 的方程中，令 可得 ，则直线 过定点 ，在直线 的方程中，令 可得
，则直线 过定点 ；
（2）联立直线 、 的方程 ，解得 ，即点 .
， ， ，
所以， ； 且 ，因此，
当 时， 取得最大值，即 .
