文档内容
第 04 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：直线与圆的位置关系
题型二：圆的切线与弦长问题
角度1：弦长问题
角度2：切线问题
题型三：圆与圆的位置关系
角度1：圆与圆的位置关系
角度2：圆与圆的公共弦问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：直线与圆的位置关系
1、直线与圆的三种位置关系
直线与圆
的位置关
系的图象 C l C C
l
l
直线与圆的 相交 相切 相离
位置关系
2、判断直线与圆的位置关系的两种方法
几何法（优先推荐）
图象
C l
d
r位置关 相交 相切 相离
系
判定方 C:(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2 C:(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2 C:(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2
法 ； ； ；
l:Ax+By+C=0
。
l:Ax+By+C=0
。
l:Ax+By+C=0
。
圆心
C(a,b)到直线l的距
圆心
C(a,b)到直线l的距
圆心
C(a,b)到直线l的距
|Aa+Bb+C| |Aa+Bb+C| |Aa+Bb+C|
d= d= d=
离： 。 离： 。 离： 。
√A2 +B2 √A2 +B2 √A2 +B2
dr⇒圆与直线相离。
代数法
直线 ： ；圆
联立 消去“ ”得到关于“ ”的一元二次函数
① 直线 与圆 相交
② 直线 与圆 相切
③ 直线 与圆 相离
知识点二：圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系
(1)圆与圆相交，有两个公共点；
(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；
(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.
图象 位置关系 图象 位置关系
外 外
C C
1 2离 切
相 内
C C 交 C C 切
1 2 1 2
内
C 含
C
2
1
2、圆与圆的位置关系的判定
几何法
设 的半径为 ， 的半径为 ，两圆的圆心距为 .
①当 时，两圆相交；
r
C 2 C
1
2
r
1
②当 时，两圆外切；
C C
1 r r 2
1 2
③当 时，两圆外离；
C C
1 2
r r
1 2
④当 时，两圆内切；
r
C
2
C
2
1
r
1⑤当 时，两圆内含.
C r
C 2 2
1
r
1
代数法
设 :
:
联立 消去“ ”得到关于“ ”的一元二次方程 ，求出其
① 与设设 相交
② 与设设 相切（内切或外切）
③ 与设设 相离（内含或外离）
知识点三：直线与圆相交
记直线 被圆 截得的弦长为 的常用方法
1、几何法（优先推荐）
①弦心距（圆心到直线的距离）
②弦长公式：
2、代数法
直线 ： ；圆
联立 消去“ ”得到关于“ ”的一元二次函数
弦长公式：
知识点四：圆与圆的公共弦
1、圆与圆的公共弦圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.
2、公共弦所在直线的方程
设 :
:
联立作差得到： 即为两圆共线方程
知识点五：圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为 ，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为： ；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为： ；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为： ；
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·四川甘孜·高二期末（文））若直线 与圆 相交于 两点， 且
(其中 为原点)， 则 的值为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
【答案】A
由 可知，圆心 到直线 的距离为 ，根据点到直线的距离公式可得
故选：A
【点睛】2．（2022·广西桂林·模拟预测（文））圆 与圆 的位置关系为
（ ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
【答案】A
由 与圆 ，
可得圆心 ，半径 ，
则 ，且 ，
所以 ，所以两圆相交.
故选：A.
3．（2022·陕西·千阳县中学高三阶段练习（文））已知圆 ，若直线 被圆 截得的
弦长为1，则 _______.
【答案】
解：将 化为标准式得 ，故半径为1；
圆心 到直线 的距离为 ，由弦长为1可得 ，解得 .
故答案为： .
4．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期末）实数 满足 ，则 的取值范
围是___________.
【答案】
设 ，
故直线 与圆 有公共点，
所以圆心 到直线 的距离 ，
解得 ，
故答案为： .
5．（2022·全国·高三专题练习）若直线 被圆 截得线段的长为6，则实数
的值为__________.
【答案】
圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，圆心 到直线 的距离 ．
据题意，得 ，解得 ．
故答案为：
6．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））若圆 与圆 有3条公切线，则正数
a=___________.
【答案】3
两圆有三条公切线，则两圆外切，∴ ∴
故答案为：3
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：直线与圆的位置关系
1．（2022·重庆一中高一期末）若方程 有两个不等的实根，则实数b的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：由 得 ，
所以直线 与半圆 有 个公共点，
作出直线与半圆的图形，如图：
当直线经 过点 时， ，
当直线与圆 相切时， ，解得 或 （舍），
由图可知，当直线 与曲线 有 个公共点时， ，
故选：B.2．（2022·贵州遵义·高二期末（文））若直线 始终平分圆
的周长，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
圆 的圆心为 ，由题意可知，直线 过圆心 ，则 ，
因为 ，则 且 ，
因此， ，
当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 .
故选：A.
3．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（文））若直线y＝kx与圆 的两个交点关于直线
对称，则k，b的值分别为（ ）
A．k＝2，b＝－1 B．k＝－2，b＝1
C． ， D． ，
【答案】A
由题意可知，直线 过圆心 ，且直线y＝kx与直线 垂直，
所以， ，解得 .
故选：A
4．（2022·全国·高二专题练习）不论k为何值，直线kx－y＋1－3k＝0都与圆相交，则该圆的方程可以是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
， 直线恒过点
将点 代入 中可得 ；
将点 代入 中可得 ；
将点 代入 中可得 ；
将点 代入 中可得 ；所以直线恒过的定点 在 内，
所以当 为任意实数时，直线 都与圆 相交，
故选：B
题型二：圆的切线与弦长问题
角度1：弦长问题
典型例题
例题1．（2022·四川乐山·高一期末）已知直线 过点 交圆 于 、 两点．
(1)当直线 的倾斜角为 时，求 的长；
(2)当 最小时，求直线 的方程．
【答案】(1) (2)
(1)圆 的圆心 ，半径
因为直线l的斜率为 ，
则过点 的直线l的方程为 ，即 ，
则圆心 到直线l的距离 ，
所以 ．
(2)由题知，当直线 时， 最小，此时 ，
故直线l的方程为 ，即 ．
例题2．（2022·陕西渭南·高一期末）已知圆 的圆心为点 ，且与坐标轴相切.
(1)求圆 的方程；
(2)求直线 被圆 所截得的弦长.
【答案】(1) (2)
(1)∵圆C的圆心为点 ，且与坐标轴相切，
∴圆C的半径为 ，
∴圆C的方程为 .
(2)∵圆C的圆心 ，
∴圆心C到直线l的距离为 .∴所求的弦长为 .
例题3．（2022·上海市复旦实验中学高二期末）已知圆 ： ，其中 ．
(1)已知圆 与圆： 外切，求 的值；
(2)如果直线 与 相交所得的弦长为 ，求 的值．
【答案】(1) ；(2) .
（1）解：由圆 ，可得 ，则圆心 ，半径 ，
由圆 ，可得圆心 ，半径 ，因为两圆外切，则 ，解得
．
（2）解：圆 的圆心坐标为 ，半径为 ．圆心到直线的距离 ，又直线
与圆 相交所得的弦长为 ， ，解得 ． 的值为 ．
同类题型归类练
1．（2022·广西柳州·模拟预测（理））已知直线 与圆 相交于A，B两点
，则k＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
圆 的圆心 ，
所以圆心 到直线 的距离为 ，则 ，
而 ，所以 ，解得： .
故选：B.
2．（2022·全国·高二）已知圆C： ，直线l恒过点
(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且 时，求l的方程.
【答案】(1) 或 (2) 或
(1)由题意可知，圆C的圆心为 ，半径 ，
①当直线l的斜率不存在时，即l的方程为 时，此时直线与圆相切，符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设斜率为k， 直线l的方程为 ，
化为一般式： ，若直线l与圆相切，则 ，即 ，解得 ，
： ，即l： ，
综上，当直线l与圆C相切时，直线l的方程为 或 ；
(2)由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k，
直线l的方程为 ，即 ，
设圆心到直线l的距离为d，则 ，
由垂径定理可得， ，即 ，
整理得， ，解得 或 ，
则直线l的方程为 或
3．（2022·全国·高二专题练习）已知圆M过点 ．
(1)求圆M的方程；
(2)若直线 与圆M相交所得的弦长为 ，求b的值．
【答案】(1) (2)6或16
(1)设圆M的方程为 ，
因为圆M过 三点，
则
解得 ，
所以圆M的方程为 ，
即 ；
(2)由题意，得圆心 到直线l的距离 ，
故 ，即 ，
解得 或16．
故所求b的值为6或16．
角度2：切线问题
典型例题例题1．（2022·广东·高二期末）已知圆 ， 为抛物线 上的动点，过点 作圆的
切线，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
解：圆 的圆心为 ，半径 ，
因为 为抛物线 上的动点，设 ，
则 ，
所以当 时 ，过点 作圆的切线，此时切线长最小，最小为 ；
故选：C
例题2．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））过点 的直线经 轴反射后与圆
相切，则切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
圆 的圆心 ，半径
点 关于 轴对称的点为 ，则过点 与圆 相切的直线即为所求．
由题意可知切线 的斜率存在，可设切线 的斜率为
则 的方程为 即
圆心 到 的距离为 ，解得 ，
故选：D．
例题3．（2022·河北廊坊·模拟预测）已知 ： ，点 ， ，从点 观察点 ，
要使视线不被 挡住，则实数 的取值范围是（ ）
A．（－∞，－2）∪（2，＋∞） B． ∪
C． ∪ D．
【答案】B
解：易知点 在直线 上，过点 作圆的切线，设切线的斜率为 ，则切线方程为 ，
即 ，
由 ，得 ，
∴切线方程为 ，和直线 的交点坐标分别为 ，
故要使视线不被 挡住，则实数 的取值范围是 .
故选：B.
同类题型归类练
1．（2022·江苏盐城·高二期末）已知直线 与圆 相切，则实数a的值为_________．
【答案】
解：由题可得圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为直线 与圆 相切，
所以圆心 到直线的距离 ，
即 ，解得 .
故答案为： .
2．（2022·天津·静海一中高三阶段练习）过圆 上一点 作圆的切线 ，则直线 的方程为
______．
【答案】x-2y-5=0
根据题意易知直线 得斜率存在，则 ，即 ．则直线 得方程为： 即：x-2y-5=0．
故答案为：x-2y-5=0．
3．（2022·全国·高二专题练习）经过圆 上一点 且与圆相切的直线的一般式方程为
__________．
【答案】
由题意，圆 ，可得圆心坐标为 ，
因为 ，则 ，
则过点 且与圆相切的直线的斜率为 ，
根据直线的点斜式方程，可得直线的方程为 ，即 ，
即点 且与圆相切的直线的一般式方程为 .
故答案为：
4．（2022·湖北·模拟预测）已知圆 ： ， 为过 的圆的切线， 为 上任一点，过 作
圆 ： 的切线，则切线长的最小值是__________.
【答案】
由题，直线 的斜率为 ，故直线 的斜率为 ，故 的方程为 ，即
.又 到 的距离 ，故切线长的最小值是
故答案为：
5．（2022·全国·高二专题练习）已知圆 ．求满足下列条件的切线方程．
(1)过点 ；
(2)过点 ．
【答案】(1) (2) 或
(1)解：因为圆 的圆心为 ，半径为 ，点 在圆 上，
所以过点 的切线斜率存在，且其与直线 垂直，
因为 ，所以，所求切线的斜率为 ，所以，所求切线方程为 ，即： .
(2)解：因为圆 的圆心为 ，半径为 ，
所以，当过点 的切线斜率不存在时，其方程为 ，满足题意；
当切线斜率存在时，设斜率为 ，则其方程为 ，即 ，
所以，圆心 到切线的距离为 ，解得 ，
所以，切线方程为 ，即： .
综上，所求切线方程为 或
题型三：圆与圆的位置关系
角度1：圆与圆的位置关系
典型例题
例题1．（2022·广东江门·高二期末）直线 ： 与圆 ： 的位置关系为
（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【答案】A
解：圆 ： 的圆心为 ，半径 ，
圆心到直线 ： 的距离 ，
所以直线与圆相切；
故选：A
例题2．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知圆 ： 与圆 ：
，若圆 与圆 有且仅有一个公共点，则实数 等于（ ）
A．14 B．34 C．14或45 D．34或14
【答案】D
圆 ： 的圆心为 ,
圆 ： 的圆心为 ,
，
因为圆 与圆 有且仅有一个公共点，故圆 与圆 相内切或外切，
故 或 ，从而 或 ，所以 或 ，解得： 或
所以实数a等于34或14
故选：D
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 与圆 相切，
则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．8
【答案】B
由题，圆 的圆心为 ，半径为3，圆 的圆心为 ，半径为1.
若圆 与圆 外切，则 ，即 ，则 ，即 ，
当且仅当 时等号成立.
若圆 与圆 内切，则 ，即 ，则 ，即 ，
当且仅当 时等号成立.
综上， 的最小值为2.
故选：B.
例题4．（2022·全国·高二专题练习）已知圆 与圆
内切，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题设， ， ，
又 与 内切，而 ， 且 ，
所以 内切于 ，则 ，故 ，当 时等号成立.
所以 的最小值为 .
故选：B
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二专题练习）已知直线 与圆 交于 两个不
同点，则当弦 最短时，圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．内切 B．相离 C．外切 D．相交
【答案】D易知直线 过定点 ，弦 最短时直线 垂直 ，
又 ，所以 ，解得 ，
此时圆 的方程是 .
两圆圆心之间的距离 ，
又 ，所以这两圆相交.
故选：D.
2．（2022·全国·模拟预测）已知点 为圆 上一点，点 ，
， ，若对任意的点 ，总存在点 ， ，使得 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题可得点 ， 在直线 上，
圆 的方程为 ，则圆心 到直线 的距离 ，
所以圆 上的点到直线 的距离的范围为 .
因为对任意的点 ，总存在点 ， ，使得 ，
所以以 为直径的圆包含圆 ，故 ，
所以 ，得 ，
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习）与直线 和圆 都相切的半径最小的圆的方程
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
过圆心 与直线 垂直的直线方程为 ，所求圆的圆心在此直线上，又圆心 到直
线 的距离为 ，则所求圆的半径为 ，
设所求圆的圆心为 ，且圆心在直线 的上，所以 ，且 ，解得 （ 不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程
为 .
故选：C．
4．（2022·全国·高二专题练习）已知圆 ，圆 ，则同时
与圆 和圆 相切的直线有（ ）
A．4条 B．2条 C．1条 D．0条
【答案】B
由 ，得圆 ，半径为 ，
由 ，得 ，半径为
所以 ，
， ，
所以 ，所以圆 与圆 相交，
所以圆 与圆 有两条公共的切线.
故选：B.
5．（2022·湖南岳阳·高二期末）圆 与圆 外切，则实数
_________．
【答案】9
圆 的圆心 ，半径 ，圆 的圆心 ，半径 ，则
根据题意可得： ，即 ，∴
故答案为：9．
角度2：圆与圆的公共弦问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高二专题练习）已知两圆 和 .
圆 和 公共弦方程为___________；圆 和 公共弦的长度为___________.
【答案】
和 两式相减得出 ，即圆 和 公共
弦方程为设圆 和 相交于 两点，由 可得
则圆 和 公共弦的长度为
故答案为： ；
例题2．（2022·全国·高二课时练习）过点 作圆 的两条切线 ，切点分别为
， ，求直线 的方程．
【答案】
圆 化为标准方程为 ，设圆心为 ，半径R=5.
所以 连线中点坐标 ,而 .
故以 为直径的圆的方程为 .
因为 是圆 的两条切线，切点分别为A，B，
所以A，B为圆 和 的交点，
所以直线 为两圆的公共弦，两圆方程相减，消去二次项，可得：
.
所以直线 的方程： .
例题3．（2022·全国·高二专题练习）已知圆 和圆 ，若点 (
， )在两圆的公共弦上，求 的最小值．
【答案】8
圆 和圆 的两个方程相减即可得到两圆的公共弦所在直线方程为
，
∵点 ( ， )在两圆的公共弦上，∴ ，
∴ ，当且仅当 ，即
、 时等号成立，
∴ 的最小值为8．
例题4．（2022·江苏镇江·高二期末）圆 经过两点 ，且圆心在直线 上.
(1)求圆 的方程；(2)求圆 与圆 的公共弦的长.
【答案】(1) (2)
(1)设圆 的方程为 ，
，
，
所以圆 的方程为 ；
(2)由圆 的方程和圆 的方程可得公共弦的方程为：
，
整理得到： ，
到公共弦的距离为 ，
故公共弦的弦长为： .
同类题型归类练
1．（2022·河南·二模（文））已知圆 与圆 的公共弦所在直线
恒过点P，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由 ，
两式相减得公共弦所在直线方程为： ，
分别取 ，得 ，解得 ，即
故选：A
2．（2022·山东威海·三模）圆 与圆 的公共弦长为______．
【答案】
设圆 ： 与圆 ： 交于 ， 两点
把两圆方程相减，化简得
即 ：
圆心 到直线 的距离 ，又而 ，所以
故答案为：
3．（2022·江苏·高二）已知圆
FC⊥ED
与 相交于 两点，则公共弦
的长是___________.
【答案】
解：由题意 所在的直线方程为： ，即 ，
因为圆 的圆心 ，半径为 ，
所以，圆心 到直线 的距离为1，
所以 .
故答案为：
4．（2022·天津市新华中学高三阶段练习）若圆 与圆 相交，且公共弦长
为 ，则 __________.
【答案】
圆 与圆 的方程相减即为公共弦所在直线方程：
，
圆 圆心(0，0)到公共弦距离d＝ ，
则公共弦长度为 ，解得a＝ ．
故答案为： ．
5．（2022·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）已知圆 ，直线 的斜率为2，
且过点 ．
(1)判断 与 的位置关系；
(2)若圆 ，求圆 与圆 的公共弦长．
【答案】(1) 与 相切；(2)
(1)由圆 ，可得 ，
所以圆心 为 ，半径 ，
直线 的方程为 ，即 ．因为圆心 到 的距离为 ，
所以 与 相切．
(2)联立方程可得 ，作差可得 ，
即 ，即公共弦所在直线的方程为 ．
易知圆 的半径 ，圆心 到直线 的距离为 ，
则公共弦长 ．
6．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期末（文））已知圆 与
．
(1)过点 作直线 与圆 相切，求 的方程；
(2)若圆 与圆 相交于 、 两点，求 的长．
【答案】(1) 或 (2)
(1)解：圆 的方程可化为： ，即：圆 的圆心为 ，半径为 ．
若直线 的斜率不存在，方程为： ，与圆 相切，满足条件．
若直线 的斜率存在，设斜率为 ，方程为： ，即：
由 与圆 相切可得： ，解得：
所以 的方程为： ，即：
综上可得 的方程为： 或 ．
(2)联立两圆方程得： ，
消去二次项得 所在直线的方程： ，
圆 的圆心到 的距离 ，
所以 .
