文档内容
24.1.2 圆-垂径定理
【考点1 利用垂径定理求值】
【考点2 利用垂径定理求平行弦问题】
【考点3 利用垂径定理求同心圆问题】
【考点4 利用垂径定理求解其他问题】
【考点5 垂径定理的实际应用】
【考点6 利用弧、弦、圆心角的关系求解】
【考点7利用弧、弦、圆心角的关系求证】
知识点1 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条
弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
知识点2 垂径定理的应用
经常为未知数，结合方程于勾股定理解答
【考点1 利用垂径定理求值】
【典例1】如图是高铁隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面
米，净高 米，则 的长为 ．【变式1-1】如图， 为 的直径，弦 于点E，已知 ，则
的半径为 ．
【变式1-2】如图， 的半径 为 ，弦 的长是 ， ，垂足为 ，则
的长为 ．
【变式1-3】如图，古人在计算残缺的不确定圆心的圆形物件的半径时，会采用以下的方法：
在圆上找两点A，B，连接并确定 的中点C，弧 的中点D．若测得 为20分米，
为5分米，则半径为 分米．
【考点2 利用垂径定理求平行弦问题】
【典例2】⊙O的半径是10，弦 ， ，则弦 与 的距离是
（ ）
A．2 B．14 C．2或14 D．7或1
【变式2-1】已知在 中两条平行弦 ， ， ， 的半径是10，
则AB与CD间的距离是（ ）
A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12
【变式2-2】已知 的直径为 ， ， 是 的两条弦， ，， ，则 与 之间的距离为 cm．
【变式2-3】在半径为10的 中，弦 ，弦 ，且 ，则 与 之
间的距离是 ．
【考点3 利用垂径定理求同心圆问题】
【典例3】如图，在两个同心圆 中，大圆的弦 与小圆相交于C，D两点．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，大圆的半径 ，求小圆的半径r的值．
【变式3-1】如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，
AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm
A．5 B．4 C． D．
【变式3-2】如图，在两个同心圆 中，大圆的弦 与小圆相交于C，D两点．(1)求证： ．
(2)若 ，大圆的半径 ，求小圆的半径r．
【变式3-3】已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
求证：AC=BD．
【考点4 利用垂径定理求解其他问题】
【典例4】如图， 的两条弦 、 互相垂直，垂足为E，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
【变式4-1】如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点 、 、．
(1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心 的位置，点 坐标为______；
(2)求圆 半径的长度；
(3)若点 的坐标为 ，请通过计算说明点 与圆 的位置关系．
【变式4-2】如图， 的两条弦 、 互相垂直，垂足为E，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
【变式4-3】如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点 、 、
．(1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心 的位置，点 坐标为______；
(2)求圆 半径的长度；
(3)若点 的坐标为 ，请通过计算说明点 与圆 的位置关系．
【考点5 垂径定理的实际应用】
【典例5】“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而
盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．
如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当
圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一
点距离水面的最大距离）．
(1)求该圆的半径；
(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多
少米？
【变式5-1】如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意、
(1)在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)已知拱门高 （优弧 中点到 的距离）， ，
，求拱门的圆弧半径．
【变式5-2】小勇要帮助船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥
下水面 宽度 时，拱顶高出水平面 ，货船宽 ，船舱顶部为矩形并高出水面
．请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．
【变式5-3】如图，隧道的截面由圆弧 和矩形 构成，矩形的长 为 ，宽
为 ，隧道的顶端E（圆弧 的中点）高出道路（ ） ．(1)求圆弧 所在圆的半径；
(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高 ，宽 ，通过计算问这辆货运
卡车能否通过该隧道，写出理由．
【考点6 利用弧、弦、圆心角的关系求解】
【典例6】如图，在 中，弦 是直径，点 ， 是 上的两点，连接 ， ，
且满足 ．
(1)若 的度数为 ，求 的度数．
(2)求证： ．
(3)连接 ，若 ， ，求 的长．
【变式6-1】如图，点A，B，C在 上，顺次连结 ， ， ，且 ，
，
(1)求 的度数；
(2)若 的半径为3．求 的面积．【变式6-2】如图，已知圆O的弦 与直径 交于点 ，且 平分 ．
(1)已知 ， ，求圆O的半径；
(2)如果 ，求弦 所对的圆心角的度数．
【变式6-3】如图，在 中， ，以点C为圆心， 长为半径的 与
相交于点 ．
(1)若弧 的度数为 ，则 ______°；
(2)若 ， ，求线段 的长．
【考点7利用弧、弦、圆心角的关系求证】
【典例7】如图，半圆 中，点 是 的中点，点 在直径 上，且 ，半径
交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．【变式7-1】如图，在 中， 是直径， 且交圆于 ，求证： ．
【变式7-2】如图，在 中， ，求证： ．
【变式7-3】 是 的弦，半径 、 分别交 于点E、F，且 ，连接 、
．(1)求证： ；
(2)求证： ．
一、单选题
1．如图，在⊙O中，①分别以弦AB的端点A，B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧
相交于点M；②作直线OM交AB于点N，交⊙O于点C．若OB=10，AB=16，则CN=
（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE=4，则⊙O的半径长为
（ ）
A．4 B．4❑√2 C．5 D．5❑√2
3．如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD的宽度为2m,F是线段CD的中点，EF经
过圆心O交⊙O与点E，EF=3m，则⊙O直径的长是（ ）2 5 4 10
A． m B． m C． m D． m
3 3 3 3
4．如图，是一个底部呈球形的蒸馏瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD=2cm，
则截面圆中弦AB的长为（ ）
A．3❑√2cm B．3❑√3cm C．6❑√3cm D．8cm
5．如图，在带有正方形网格的平面直角坐标系xOy中，一条圆弧经过
A(0,3),B(2,3)C(3,2)三点，那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．(0,0) B．(1,1) C．(0,1) D．(1,0)
6．已知⊙O的半径是5cm，弦AB平行于弦CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD之
间的距离是（ ）
A．7cm B．7cm或1cm C．5cm或2cm D．7cm或2cm
7．赵洲桥是我国建筑史上一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和地震却安
然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径为
（ ）A．25米 B．30米 C．35米 D．50米
8．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，理在壁中，
不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦
AB⊥CD，垂足为点E，CE=1寸，AB=14寸，则直径CD的长度是（ ）
A．24寸 B．48寸 C．50寸 D．56寸
二、填空题
9．如图所示，在⊙O中，直径AB=10，弦DE⊥AB于点C，连接DO．若OC=3，则
DE的长为 ．
10．一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水(阴影部分)，测得水面宽AB为
8cm，水的最大深度CD为2cm，则此管件的直径为 ．11．如图是某车轮的部分简单示意图，在车轮上取A，B两点，设A´B所在圆的圆心为O，
半径为rcm．过点O作弦AB的垂线OC，D为垂足，交A´B于点C．经测量，AB=120
cm，CD=30 cm，则此车轮半径为 cm．
12．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，
埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如
图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度CD为1寸，锯
长AB为1尺(10寸)，问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为 寸．
13．一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞
（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是 ．
14．如图，在⊙O中，直径AB=10cm，位于点O两侧且垂直于直径AB的两条弦长分别为
CD=8cm，EF=6cm，若点G为直径AB上任意一点，则CG+EG的最小值为 cm．三、解答题
15．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CE=8,DE=2，求AB的长．
16．玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆形器物．据《尔雅·释器》记载“肉
好若一，谓之环”，其中“肉”指玉质部分（边），“好”指中央的孔．结合图1“肉好若
一”的含义可以表示为：中孔直径d=2ℎ ，图2是一枚破损的汉代玉环，为器物原貌，需
推算出该玉环的孔径尺寸．如图3，文物修复专家将破损玉环的外围边缘表示为弧AB，设
弧AB所在圆的圆心为O，测得弧所对的弦长AB=12，半径OC⊥AB于点D，测得
CD=3，连接OB，求该玉环中孔半径的长．
17．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，若
AB=52cm，MN为水面截线，MN=48cm，GH为桌面截线，AB∥MN∥GH．(1)请在图1中画出线段CP，用其长度表示水面的最大高度（不要求尺规作图，不说理由），
并直接写出CP的长；
(2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少．
