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2021-2022学年七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（北师大版）
专题9 易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解得问题
►易错点一 求长度时忽略三边关系
例题：已知一个等腰三角形的两边长是3cm和7cm，则它的周长为（ ）
A．13cm B．17cm C．13或17cm D．10cm
【答案】B
【解析】
【详解】
由题意得：三角形的三边可能为3、3、7或3、7、7，然后根据三角形的三边关系可知只能是3、7、7，
∴周长为3+7+7=17cm.
故选B.
【变式训练】
1．等腰三角形的两边长分别为4厘米和9厘米，则这个三角形的周长为( )
A．22厘米 B．17厘米 C．13厘米 D．17厘米或22厘米
【答案】A
【解析】
【详解】
解：若4厘米为腰长，9厘米为底边长，由于4+4＜9，则三角形不存在；
若9厘米为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为9+9+4=22（厘米）．
故选A．
2．已知实数x，y满足 ，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）
A．20 B．25 C．20或25 D．以上答案均不对
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分5是腰长与底边两种情况讨论求解即可．
【详解】
解： ， ，x−5=0，y−10=0，
解得x=5，y=10，
当5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、10，
∵5+5=10，
∴不能组成三角形；
当5是底边时，三角形的三边分别为5、10、10，
能组成三角形，周长=5+10+10=25，
所以，三角形的周长为25，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质，绝对值非负数，平方非负数的性质，根据几个非负数
的和等于0，则每一个算式都等于0，求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角
形的三边关系进行判断．
3．等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则该三角形的周长是__．
【答案】15
【解析】
【详解】
解：∵等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，
∴有两种情况：①6为底，3为腰，而3+3=6，那么应舍去；
②3为底，6为腰，那么6+6+3=15，
∴该三角形的周长是15．
故答案为15．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边的关系，要解本题，应分为两种情况：（1）3为底；（2）6为
底，还要注意是否符合三角形三边的关系．
4．（1）等腰三角形一腰上的中线把周长分为 和 两部分，求该三角形各边的长．
（2）已知一个等腰三角形的三边长分别为 ，求这个等腰三角形的周长．
【答案】（1） 或者 ；（2）周长为 或者10
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，列出方程求解，注意分类讨论．
（2）分三种情况，进行讨论，结合三角形三边关系得出答案．
【详解】
设腰长为2x,底为y，根据题意得：
①
解得：
三边为10,10,7
②
解得：
三边为8,8,11
故本题答案为： 或者
①当 时，解 ，此时 ，能构成三角形．
此时周长为10
②当 时，解 ，此时 不能构成三角形．
③当 ，解得 ，
此时 ，能构成三角形，周长为＝7
综上，三角形的周长为7或者10．
【点睛】
本题考查等腰三角形性质，以及三角形三边关系，属于基础提高题．
►易错点二 当腰和底不明求角度时没有分类讨论
例题：若等腰三角形的一个角等于80°，则其顶角的度数为（ ）
A．80° B．20° C．100° D．80°或20°
【答案】D
【解析】【分析】
根据等腰三角形的一个角是80°，分两种情况考虑这个角为顶角与底角解答即可．
【详解】
解：∵等腰三角形的一个角是80°，分两种情况考虑，
当80°的角为底角时，顶角为180°-160°=20°，
当80°的角为顶角时，顶角为80°，
∴该等腰三角形的顶角是80°或20°．
故答案选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，解题的关键是熟练地掌握等腰三角形的性质．
【变式训练】
1．已知等腰三角形的一个内角是72°，那么这个等腰三角形的顶角是______度．
【答案】72或36
【解析】
【分析】
本题应分底角为72°、顶角为72°这两种情况，分别计算每种情况下等腰三角形是否存在．
【详解】
解∶ ①当72°角是顶角时，顶角为72°，
②当72°角是底角时，顶角＝180°－72°×2＝36°，
综上顶角为72°或36°．
故答案为：72或36．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，，树立分类讨论思想，培养学生全面思考问题的数学素养， 在计算等腰三
角形有关边、角的问题时，要注意利用分类讨论的思想进行全面讨论是解题的关键．
2．有一张三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两
张纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是__________．
【答案】25°或40°或10°
【解析】
【详解】
【分析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三种情况根据等腰三角形的性质求出∠ADB，再求出∠BDC，然后
根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【详解】由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，
对于△ABD可能有
①AB=BD，此时∠ADB=∠A=80°，
∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-80°=100°，
∠C= （180°-100°）=40°，
②AB=AD，此时∠ADB= （180°-∠A）= （180°-80°）=50°，
∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-50°=130°，
∠C= （180°-130°）=25°，
③AD=BD，此时，∠ADB=180°-2×80°=20°，
∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-20°=160°，
∠C= （180°-160°）=10°，
综上所述，∠C度数可以为25°或40°或10°
故答案为25°或40°或10°
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．
3．如图，直线a，b交于点O，∠α=40°，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，且始终位于
直线a的上方，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB=_________°．
【答案】40或70或100
【解析】
【分析】
根据△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：①当OB=AB时，②当OA=AB时，③当OA=OB时，分别求
得符合的点B，即可得解．
【详解】
解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：①当OB=AB 时，∠OAB=∠α=40°；
1 1
②当OA=AB 时，∠OAB=180°-2×40°=100°；
2
③当OA=OB 时，∠OAB=∠OBA= （180°-40°）=70°；
3
故答案为：40或70或100．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
►易错点三 三角形的形状不明时与高结合没有分类讨论
例题：若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则这个等腰三角形的底角的度数为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】D
【解析】
【分析】
首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况，
所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．
【详解】
（1）当这个三角形是锐角三角形时，如图所示：
∵高与另一腰的夹角为50°，即 ，
∴顶角 ，
∵ ，；
（2）当这个三角形是钝角三角形时，如图所示：
∵∠ABD=50°，BD⊥CD，
∴∠BAD=90°-50°=40°，
∵ ， ，
∴ ；
综上所述，这个等腰三角形的底角的度数为70°或20°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的高线，可能在三角
形的内部，边上、外部几种不同情况，因此遇到与等腰三角形的高有关的计算时应分类讨论．
【变式训练】
1．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为____
【答案】60°或120°
【解析】
【分析】
等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可
知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．
【详解】
解：当高在三角形内部时（如图1），∵ ，
∴ ，即顶角是60°；
当高在三角形外部时（如图2），
∵ ，
∴ ，
∴ ，即顶角是120°．
故答案为：60或120．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出
现的错误是只是求出60°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．
2．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为56°，则这个等腰三角形底角度数是_______．
【答案】 或
【解析】
【分析】
在等腰 中， ， 为腰 上的高， ，讨论：当 在 内部时，如图1，
先计算出 ，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出 ；当 在 外部时，
如图2，先计算出 ，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出 ．
【详解】
解：在等腰 中， ， 为腰 上的高， ，
当 在 内部时，如图1，
为高，
，
，
，；
当 在 外部时，如图2，
为高，
，
，
，
，
而 ，
，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
