专题4.3同角三角函数的基本关系及诱导公式-重难点题型精讲（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）_02高考数学_新高考复习资料_2023年新高考资料_一轮复习

专题 4.3 同角三角函数的基本关系及诱导公式-重难点题型精讲 1．同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的基本关系 (2)基本关系式的变形公式 2．诱导公式 (1)诱导公式 (2)诱导公式的作用【题型1 同角三角函数基本关系式的应用】 【方法点拨】 第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限； 第二步：依据角的终边所在象限进行分类讨论； 第三步：利用同角三角函数的基本关系式及其变形公式，求出其余三角函数值. 4 【例1】（2021秋•仁怀市校级月考）已知sinα=− ，且 是第三象限的角，则tan 的值等于（ ） 5 α α 4 3 3 4 A．− B．− C． D． 3 4 4 3 【解题思路】根据正余弦的同角关系求出cos ，进而可以求解． 4 α 【解答过程】解：因为sinα=− ，且 是第三象限的角， 5 α 3 所以cos =−√1−sin2α=− ， 5 α 4 − sinα 5 4 则tanα= = = ， cosα 3 3 − 5 故选：D． 【变式1-1】（2022春•揭阳期末）已知 1，则 sin3θ+sinθ （ ） tanθ= = 2 cos3θ+sinθcos2θ 1 1 A． B．2 C． D．6 2 6 【解题思路】对所给的代数式进行化简，即可解出． 1 【解答过程】解：∵tanθ= ，∴1+sin ≠0， 2 θ∴ sin3θ+sinθ cos3θ+sinθcos2θ sin3θ+sinθ(sin2θ+cos2θ) = cos3θ+sinθcos2θ 2tan3θ+tanθ = 1+tanθ 1 1 2×( ) 3+ 2 2 1 = = ． 1 2 1+ 2 故选：A． 2√3 π π 【变式1-2】（2022春•温州期末）已知sinα+cosα= ，且α∈( ， )，则cos ﹣sin ＝（ ） 3 4 2 α α √3 √3 √6 √6 A．− B． C． D．− 3 3 3 3 【解题思路】把已知等式两边平方可得2sin cos ，再由cos ﹣sin ，展开完全平方 =−√(cosα−sinα) 2 α α α α 式求解． 2√3 4 【解答过程】解：由sinα+cosα= ，得1+2sinαcosα= ， 3 3 1 则2sin cos = ， 3 α α π π ∵α∈( ， )，∴sin ＞cos ， 4 2 α α √ 1 √6 则cos ﹣sin =−√(cosα−sinα) 2=−√1−2sinαcosα=− 1− =− ． 3 3 α α 故选：D． π 6 【变式1-3】（2022春•凯里市校级期中）若θ∈( ，π)，且满足 −tanθ=1，则sin +cos ＝（ 2 tanθ θ θ ） √10 √5 √5 √10 A． B． C．− D．− 5 5 5 5 3√10 √10 【解题思路】由已知可得tan ＝﹣3，进而可求得sinθ= ，cos =− ，可求sin +cos ． 10 10 θ θ θ θ6 【解答过程】解：由 −tanθ=1， tanθ 得（tan ﹣2）（tan +3）＝0， ∴tan ＝θ﹣3或tan ＝θ 2（舍去）， θ π θ ∵θ∈( ，π)，tan ＜0， 2 θ { sinθ 由 tanθ= ，及sin ＞0， cosθ sin2θ+cos2θ=1 θ 3√10 得sinθ= ， 10 sinθ √10 √10 ∴cosθ= =− ，sin +cos = ． tanθ 10 5 θ θ 故选：A． 【题型2 诱导公式的应用】 【方法点拨】 (1)诱导公式的两个应用 ①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了. (2)含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行 运算. π 2 π 【例2】（2022春•潍坊期中）已知sin(α− )= ，则cos(α+ )=（ ） 3 3 6 2 2 √5 √5 A． B．− C．− D． 3 3 3 3 【解题思路】由已知利用诱导公式即可求解． π 2 【解答过程】解：因为sin(α− )= ， 3 3 π π π π 2 所以cos(α+ )=cos[ +（ − ）]＝﹣sin（ − ）=− ． 6 2 3 3 3 α α 故选：B． 3π 【变式2-1】（2022春•商洛期末）cos(π−x)+sin(x+ )=（ ） 2A．﹣2cosx B．0 C．﹣2sinx D．cosx﹣sinx 【解题思路】由已知利用诱导公式即可求解． 3π 【解答过程】解：cos(π−x)+sin(x+ )=−cosx﹣cosx＝﹣2cosx． 2 故选：A． 3π 3 2021π 【变式 2-2】（2022 春•渭南期末）若sin(α+ )= ，且 是第三象限角，则cos(α+ )= 2 5 2 α （ ） 3 3 4 4 A． B．− C． D．− 5 5 5 5 【解题思路】利用诱导公式和同角三角函数平方关系可求得sin ，再次利用诱导公式可求得结果． 3π 3 3 α 【解答过程】解：∵sin(α+ )=−cosα= ，∴cosα=− ， 2 5 5 4 又 是第三象限角，∴sinα=−√1−cos2α=− ， 5 α 2021π 4 ∴cos(α+ )=−sinα= ． 2 5 故选：C． 1 π 【变式2-3】（2022春•榕城区校级月考）如果sinα= ，那么sin(π+α)−cos( −α)等于（ ） 3 2 2√2 2 2 2√2 A．− B．− C． D． 3 3 3 3 【解题思路】利用诱导公式即可化简求解． 1 【解答过程】解：因为sinα= ， 3 π 2 所以sin(π+α)−cos( −α)=−sin ﹣sin ＝﹣2sin =− ． 2 3 α α α 故选：B． 【题型3 同角关系式和诱导公式的综合应用】 【方法点拨】 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进 行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响. (2)用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.π 4 【例3】（2022春•华阴市期末）已知 为第二象限角，sin( −α)=− ． 2 5 α （Ⅰ）求sin 的值； α 7π cos( −α)tan(−π+α)cos(2π−α) （Ⅱ）若 2 ，求f（ ）的值． f(α)= −tan(−19π−α)sin(5π−α)sin(π+α) α π 4 【解题思路】（Ⅰ）根据 为第二象限角，sin( −α)=− ，利用三角函数的诱导公式和同角三角函 2 5 α 数的关系求解即可； （Ⅱ）利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的关系，求解即可． π 4 【解答过程】解：（Ⅰ） 为第二象限角，sin( −α)=− ． 2 5 α π 4 3 所以sin( −α)=cosα=− ，故sinα=√1−cos2α= ； 2 5 5 7π cos( −α)tan(−π+α)cos(2π−α) （Ⅱ） 2 (−sinα)⋅tanα⋅cosα 1 ， f(α)= = = −tan(−19π−α)sin(5π−α)sin(π+α) tanα⋅sinα⋅(−sinα) tanα cosα 4 故f(α)= =− ． sinα 3 3π sin(π+α)cos(2π−α)cos( +α) 2 【变式3-1】（2022春•宝鸡期末）已知f(α)= ． π cos( +α)sin(α−π) 2 （1）化简f（ ）； α 1 （2）若 是第四象限角，且sin(α−π)= ，求f（ ）的值． 3 α α 【解题思路】（1）利用诱导公式即可化简得解． （2）由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求解． 3π sin(π+α)cos(2π−α)cos( +α) 2 (−sinα)cosαsinα 【解答过程】解：（1）f(α)= = =−cos ； π −sinα(−sinα) cos( +α)sin(α−π) 2 α 1 1 （2）若 是第四象限角，且sin(α−π)= ，即sin =− ， 3 3 α α 2√2 所以cos =√1−sin2α= ， 3 α2√2 所以f（ ）＝﹣cos =− ． 3 α α 2√5 【变式3-2】（2022春•梧州期末）已知sin(π+α)=− ，且 为第二象限角． 5 α （1）求tan 的值； α π 2sin(α+4π)+sin( −α) （2）求 2 的值． sinα+3cos(α−π) 【解题思路】（1）由题意，利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，计算求得结果． （2）由题意，利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，计算求得结果． 2√5 2√5 【解答过程】解：（1）由sin（ + ）＝﹣sin =− ，得sinα= ． 5 5 π α α ∵ 为第二象限角， α ∴ √ 2√5 2 √5， cosα=−√1−sin2α=− 1−( ) =− 5 5 sinα ∴tan = =−2． cosα α π 2sin(α+4π)+sin( −α) （2） 2 2sinα+cosα 2tanα+1 2×(−2)+1 3． = = = = sinα+3cos(α−π) sinα−3cosα tanα−3 −2−3 5 5 3 sin(α− π)cos( π+α)tan(π−α) 【变式3-3】（2022春•赣州期中）已知 为第三象限角， 2 2 ． f(α)= tan(−α−π)sin(−α−π) α （1）化简f（ ）； α 3 1 （2）若cos(α− π)= ，求f（ ）． 2 3 α 【解题思路】（1）由诱导公式化简； （2）由诱导公式化简已知式得sin ，再由平方关系求得cos 即可得． 【 解 答 过 α程 】 解 α： （ 1 ） 因 为 5 3 sin(α− π)cos( π+α)tan(π−α) 2 2 −cosα⋅sinα⋅(−tanα) cos ． f(α)= = =− tan(−α−π)sin(−α−π) −tanα⋅sinα α 3 1 （2）∵cos(α− π)= ， 2 31 1 ∴﹣sin = ，sin =− ， 3 3 α α ∵ 是第三象限角， α 2√2 ∴cos =−√1−sin2α=− ， 3 α 2√2 ∴f（ ）＝﹣cos = ． 3 α α 【题型4 三角恒等式的证明】 【方法点拨】 三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有： (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简； (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子； (3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除差异. 【例4】（2021秋•芜湖期末）已知 ， 为锐角，tan（ ﹣ ）＝sin2 ，求证：tan +tan ＝2tan2 α β α β β α β β 【解题思路】由已知条件推导出 tanα−tanβ 2tanβ ，从而得到tana tan3β+3tanβ，由此能够 = = 1+tanαtanβ 1+tan2β 1−tan2β 证明tan +tan ＝2tan2 ． 【解答过α程】β解：∵ β， 为锐角，tan（ ﹣ ）＝sin2 ， tanα−tanβ 2αsinββcosβ 2taαnβ β β ∴ = = ， 1+tanαtanβ cos2β+sin2β 1+tan2β ∴tana tan3β+3tanβ， = 1−tan2β ∴tana+tan β ＝tan tan3β+3tanβ + 1−tan2β β tanβ−tan3β+tan3β+3tanβ = 1−tan2β 4tanβ = 1−tan2β ＝2tan2 ， ∴tan +βtan ＝2tan2 ． α β βtan(2π−α)sin(−2π−α)cos(6π−α) =− 【变式4-1】（2021秋•龙川县校级期中）求证： 3π 3π tan ． sin(α+ )cos(α+ ) 2 2 α 【解题思路】已知等式左边利用诱导公式变形，约分得到结果，与右边等式相等，得证． −tanα(−sinα)cosα 【解答过程】证明：已知等式，左边= =−tan ＝右边， −cosαsinα α 则原式成立． 1−2sinxcosx 1−tanx 【变式4-2】（2022春•平阴县校级月考）（1）求证： = cos2x−sin2x 1+tanx （2）已知tan +sin ＝a，tan ﹣sin ＝b，求证：（a2﹣b2）2＝16ab． 【解题思路】θ（1）θ利用同角θ三角函θ数的基本关系化简等式的坐标，可得它等于等式的右边，从而证得 等式成立． （2）利用同角三角函数的基本关系化简等式的左边为16⋅sin4θ，同理化简等式的右边也等于 cos2θ 16⋅sin4θ，从而证得等式成立． cos2θ 【 解 答 过 程 】 解 ： 证 明 ： ∵ 1−2sinxcosx cos2x+sin2x−2sinxcosx (cosx−sinx) 2 cosx−sinx 1−tanx， = = = = cos2x−sin2x cos2x−sin2x (cosx−sinx)⋅(cosx+sinx) cosx+sinx 1+tanx 1−2sinxcosx 1−tanx ∴ = 成立． cos2x−sin2x 1+tanx （2）证明：∵tan +sin ＝a，tan ﹣sin ＝b，∴（a2﹣b2）2＝[（a+b）•（a﹣b）]2＝（2tan •2sin ）2 θ θ θ θ θ θ 16sin4θ， = cos2θ 再根据16ab＝16（tan2 ﹣sin2 ）＝16sin2θ−sin2θ⋅cos2θ 16•sin2θ⋅(1−cos2θ) 16⋅sin4θ， = = cos2θ cos2θ cos2θ θ θ ∴（a2﹣b2）2＝16ab 成立． 【变式4-3】（2022春•禅城区校级期中）求证：1−sin2α = （1） π sin ﹣cos ； √2sin(α− ) 4 α α 1−tanα （2）已知 =1，求证3sin2 ＝﹣4cos2 ． 2+tanα α α 【解题思路】（1）由同角三角函数基本关系化简可得左边等于右边，从而原式成立． （2）由同角三角函数基本关系化简即可，可用分析法，直接法两种方法证明． (sinα−cosα) 2 (sinα−cosα) 2 = = = 【解答过程】解：（1）左边 √2 √2 sinα−cosα sin ﹣cos ＝右边 √2(sinα⋅ −cosα⋅ ) 2 2 α α 所以原式成立． 1−tanα （2）解法1（分析法）：因为 =1，所以1+2tan ＝0，从而2sin +cos ＝0， 2+tanα α α α 另一方面，要证3sin2 ＝﹣4cos2 ，只要证2sin cos ＝﹣4（cos2 ﹣sin2 ）， 即证2sin2 ﹣3sin cosα﹣2cos2 ＝α0， α α α α 即证（2sinα +cos α）（αsin ﹣2cαos ）＝0， 由2sin +coαs ＝0α可得（2αsi +cosα）（sin ﹣2cos ）＝0成立，于是命题成立． α α 1−taαnα α α 1 α 解法2（直接证明）由 =1知tan = 所以cos2 ≠0． 2+tanα 2 α α 1 3×(− ) 3sin2α 6sinαcosα 3tanα 2 因为 = =− = =1 −4cos2α −4(cos2α−sin2α) 2(1−tan2α) 1 2×(1− ) 4 所以3sin2 ＝﹣4cos2 ． α α