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重难点 6-3 立体几何外接球与内切球问题
有关多面体外接球和内切球的问题，是立体几何的一个重点和难点，也是高考的热门考点，要求学生具有
较强的空间想象能力和准确的计算能力。新高考考查一般出现在选择题与填空题，难度中上。
【题型1 正方体与长方体的外接球】
满分技巧
1、长方体的外接球：长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则
a
2、正方体的外接球：正方体的棱长为 ，外接球半径为R，则
长方体的外接球 正方体的外接球
【例1】（2022·吉林长春·高三长春十一高校考阶段练习）若一个正方体的顶点都在球面上，则该正方体表
面积与球表面积的比值是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】设正方体的边长为 ，则正方体的体对角线 ，
则正方体的表面积为 ，球的表面积为 ，
所以该正方体表面积与球表面积的比值是 ，故选:B.
【变式1-1】（2024·四川·高三校联考期末）在长方体 中， ，侧面 的面积为
6， 与底面 所成角的正切值为 ，则该长方体外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】在长方体 中，因为侧面 的面积为6，所以 ，
因为 与底面 所成角的正切值为 ，
所以 ，结合 ，可得 ，
所以该长方体外接球的半径为 ，
表面积 ．
【变式1-2】（2024·四川成都·高三石室中学校考期末）已知长方体 在球 的内部，球心
在平面 上， 若球的半径为 ， ，则该长方体体积的最大值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．18
【答案】A
【解析】设长方体 的高为h，
设 a，则 ，所以 ，
A B C D
若要长方体体积最大，则平面 1 1 1 1内接与长方体，
所以得 ，即 得 ，
所以长方体 的体积为 ，设 ，其中 ，
则 ， 令 ，得 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减，
所以函数 在 处取得极大值，亦即最大值，则 .
因此该长方体的体积的最大值为 .故选：A
【变式1-3】（2023·甘肃·统考一模）在长方体 中，底面 为正方形， ，其外
接球的体积为 ，则此长方体的表面积为（ ）
A．34 B．64 C． D．
【答案】B
【解析】设外接球的半径为 ，因为外接球的体积为 ，所以 ，所以 .
设底面正方形 边长为 ，
因为长方体外接球的球心在体对角线中点，球直径为长方体体对角线，
所以 ，所以 ，
所以长方体的表面积为 ，故选：B
【题型2 正棱锥的外接球】
满分技巧
正棱锥的外接球：正棱锥顶点在底面的投影为底面多边形的外心，球心在高线上。
（1）正三棱锥：设正三棱锥的棱长a，外接球的半径 .
a
（2）正四棱锥：设正四棱锥的棱长为 ，外接球半径
【例2】（2023·河南新乡·统考一模）已知正三棱锥 的侧棱 ， ， 两两垂直，且
，以 为球心的球与底面 相切，则该球的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设球的半径为 ，由题可知 ， ，
所以 ，解得 ．故选： .【变式2-1】（2024·浙江绍兴·高三统考期末）小张同学将一块棱长为 的正方体形状橡皮泥重新捏成一
个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正四面体的棱长为a，由题意可得，正方体的体积即为正四面体的体积，
设正四面体如图，F为为底面 的中心，E为 的中点，F在 上，
O为正四面体外接球的球心，则 为四面体的高，O在 上，
则 ，则 ，
即得 ，所以 ，
又设正四面体外接球的半径R，
则 ，即 ，即得 ，
故外接球体积为 ，故选：C．
【变式2-2】（2022·全国·模拟预测）已知正四棱锥 的底面边长为 ，侧棱 与底面 所
成的角为 ，顶点S，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的表面积为 .
【答案】
【解析】如图，在正四棱锥 中，连接 ， 交于点 ，连接 ，
则 平面 ， 为侧棱 与底面 所成的角，
所以 .
所以 ，
所以顶点S，A，B，C，D在以 为球心，3为半径的球面上，即点O与 重合，
所以球O的表面积为 .
【变式2-3】（2023·重庆·高三西南大学附中校考期中）正四棱锥 的高为3，体积为32，则其外
接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令正四棱锥 的底面棱长为 ，根据题意可得 ，解得 .
设 是正四棱锥的高， 是正四棱锥的外接球的球心，
则 在 上（或 的延长线上），则有 ，
设球的半径为 ，因此 ，
显然 （或者 ），
在正方形 中， ，
由勾股定理可知： ，
因此该四棱锥的外接球的表面积为 .故选：C
【题型3 能补形为长方体的外接球】
满分技巧
1、墙角模型
(2R) 2 =a2 +b2 +c2 2R= √a2 +b2 +c2
R
找三条两两垂直的线段，直接用公式 ，即 ，求出
P P P P
O2
c c c c
A b C
a C C b a B b C
B A a B b A a B A
图1 图2 图3 图4
【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖臑
2、对棱相等：对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，这三组对棱构成长方体的三组对面的对角
线。
【例3】（2023·江苏徐州·高三沛县湖西中学学业考试）在三棱锥 中，三条侧棱PA，PB，PC两两
垂直，且 ，若三棱锥 的所有顶点都在同一个球的表面上，则该球的体积是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，补全三棱锥 ，
则三棱锥 的外接球的半径 ，
所以该球的体积是 ，故选：A【变式3-1】（2022·河南·高三校联考专题练习）已知三棱锥 中， 平面 ，若 ，
， ， ，则三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，在 中，由余弦定理，得 ，
即 ，
则 ，故 ，
又而 平面 ，将三棱锥 置于一个长方体中，
可知三棱锥 的外接球半径 ，
则外接球表面积 ，故选:D．
【变式3-2】（2024·云南德宏·高三统考期末）在三棱锥 中， ，
，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，将三棱锥 转化为长方体，
可知三棱锥 的外接球即为长方体的外接球，
则 ，可得 ，
则外接球的半径 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积为 .故选：C.
【变式3-3】（2024·浙江宁波·高三统考期末）在平行四边形 中，已知 ，将
沿 翻折得四面体 ．作一平面分别与 交于点 ．若四边形 是边长
为 的正方形，则四面体 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 为正方形，则 且 ，
又 面 ， 面 ，所以 面 ，又因为面 面 ，
所以 ，同理可知 ，
所以 ，且 均为各边的中点，所以 ，
因为四边形 是边长为 的正方形，
所以 ，
首先求对棱四面体的外接球的半径，将其放在长方体内，如图所示：
，
所以四面体 外接球的半径为 ，
所以四面体 外接球的表面积为 .故选：A.
【题型4 直棱柱汉堡模型的外接球】
满分技巧
直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球形是上下底面三角形外心的连线的中点
1、补形：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同
2、作图：构造直角三角形，利用勾股定理
例如：直三棱柱内接与一球（棱柱的上下底面为直角三角形）
此类题为上面题的特殊情况，解法更简单，AH的长即为底面三角形斜边的一般，
勾股定理： ，则
注意：对于侧棱垂直于的棱锥可考虑补形为直棱柱后再求外接球。
【例4】（2023·天津东丽·高三天津市第一百中学校考阶段练习）在直三棱柱 中， ，
， ， ，该直三棱柱的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在 中，由余弦定理可得 ，
设 外接圆半径为r，再由正弦定理 ，因为三棱柱 是直三棱柱，设外接球半径为R，
所以 ，
所以外接球表面积为 ，故选：C
【变式4-1】（2024·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学开学考试）已知各顶点都在一个球面上的正三棱柱
的高为2，这个球的体积为 ，则这个正三棱柱的体积为（ ）
A． B． C．6 D．4
【答案】B
【解析】设球的半径为 ，则 ，
又正三棱柱的高为 ，
设底面正三角形的外接圆半径为 ，
，故 ，解得 ，
由正弦定理得底面等边三角形的边长为 ，
则这个正三棱柱的体积为 .故选：B.
【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）如图，在正四棱柱 中，底面的边长为 ，
与底面所成角的大小为 ，且 ，则该正四棱柱的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵正四棱柱ABCD﹣ABC D 的侧棱DD⊥底面ABCD，
1 1 1 1 1
∴∠DBD为直线BD 与底面ABCD所成的角，∴tan∠DBD＝ ，
1 1 1
∵正四棱柱ABCD﹣ABC D 中，底面ABCD的边长为 ，∴BD＝ ，
1 1 1 1
∴正四棱柱的高h＝ × ＝∴正四棱柱的外接球半径为R＝
∴正四棱柱的外接球表面积为S＝4πR2＝ ．故选： D．
【变式4-3】（2023·江西·高三校联考阶段练习）某灯笼厂的员工用一条长度为 的木条设计了一个正
六棱柱型的灯笼框架（木条无剩余），则当正六棱柱的外接球的表面积取最小值时，该正六棱柱的侧面积
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正六棱柱的底面边长为 ，侧棱长为 ，
所有的棱长之和为 ，即 ，则 ，
设正六棱柱的外接球半径为 ，底面外接圆的半径为 ，则 ，
所以 ，
所以当 时，此时 ， 取得最小值，即正六棱柱的外接球的表面积取最小值，
所以正六棱柱的侧面积为 .故选：C.
【题型5 棱锥垂面模型的外接球】
满分技巧
如图， 平面 ，求外接球半径．
P
O
C
A O1 D
B
第一步：将 画在小圆面上， 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 ，连接 ，则 必过
球心 ；
第二步： 为 的外心，所以 平面 ，算出小圆 的半径 (三角形的外接圆直径算
法：利用正弦定理，得 )， ；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：** 错误的表达式 **
；
** 错误的表达式 ** ．【例5】（2024·浙江温州·温州中学校考一模）三棱锥 中， 平面 ， 为等边三角形，
且 ， ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，点 为 外接圆的圆心，过点 作平面 的垂线，
点 为 的中点，过点 作线段 的垂线，所作两条垂线交于点 ，
则点 为三棱锥外接球的球心，
因为 平面 ，且 为等边三角形， ，
所以四边形 为矩形， ， ，
所以 ，即三棱锥外接球的半径 ，
则该三棱锥外接球的表面积为 .故选：B
【变式5-1】（2024·河南南阳·高三统考期末）在三棱锥 中， ， ， ，则当该三
棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设点 到底面 的距离为 ，
则 ，
要使该三棱锥的体积最大时,则需 达到最大值，即 ,
即 , 面 ，
所以 的斜边 的中点为外接圆圆心 ，
因为 ， ，所以 ,
如图所示，易得四边形 为矩形，
所以 ，令棱锥外接球半径为R，
设 ，则
即 ，解得 ，
所以 ,解得 ，所以该三棱锥的外接球表面积为 .故选：C.
【变式5-2】（2023·内蒙古鄂尔多斯·高三期末）已知 都在球 的球面上，且 平面
．则该球的体积为 ．
【答案】
【解析】如图设 外接圆的圆心为 ，连接取 中点为 ，连接 ，
则 平面 ，因为 ，
所以 ，所以四边形 为矩形，
所以 ，在 中， ，
由正弦定理得 ，
所以球O的半径 ，
所以 .
【变式5-3】（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知三棱锥 中， ，
．若 的中点分别为 ， 且满足 ．当三棱锥 的体积最大时，其外接
球体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取线段 中点 ，连接 ，
因为 ， ，则 ，
又 面 ，所以 面 ，
又 面 ，所以 ，
又因为 的中点分别为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
又 面 ，所以 面 ，
又 ，
当 ，即 时三棱锥 的体积最大，
故此时 三条线两两垂直，其外接球半径为 ，
外接球体积为 .故选：B.
【题型6 棱锥切瓜模型的外接球】
满分技巧
对于平面 ⊥平面 ， （ 为小圆直径）、
第一步：由图知球心 必为 的外心，即 在大圆面上，先求小圆面直径 的长；
第二步：在 中，可根据正弦定理 ，解出
【例6】（2024·广东·惠州一中校联考模拟预测）已知三棱锥 ， 是以 为斜边的直角三角
形， 为边长是2的等边三角形，且平面 平面 ，则三棱锥 外接球的表面积为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直角三角形 外接圆的圆心是斜边 的中点 ，过该点作一条垂直于平面 的直线．
因为平面 平面 ，
所以所作直线在平面 内，且经过等边三角形 的中心，
所以等边三角形 的中心就是三棱锥 外接球的球心，
所以 外接圆的半径也是三棱锥 外接球的半径．由正弦定理知， ( 是 的外接圆的半径)，即 ，
所以 ，
于是三棱锥 外接球的半径为 ，
故三棱锥 外接球的表面积为 ．故选：A．
【变式6-1】（2022·全国·模拟预测）已知四棱锥 中，底面 为边长为3的正方形，侧面
底面 ，且 为等边三角形，则该四棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，在四棱锥 中，
取侧面 和底面正方形 的外接圆的圆心分别为 ，
分别过 作两个平面的垂线交于点 ，则由外接球的性质知，
点 即为该球的球心，连接 并延长，交教AB于E,则E线段 的中点 ，
连接 ，则四边形 为矩形.
在等边 中，可得 ，则 ，即 ，
在正方形 中，因为 ，可得 ，
在 中， ，即 ，
所以四棱锥 外接球的表面积为 .故选：B.
【变式6-2】（2024·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， 与 都是边长为4的正三角形，
且平面 平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】取AB，CD的中点分别为E，F，连接EF，AF，BF，如图所示
由题意知 ， ， ，
易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，所以 ，
设外接球的半径为R，连接OA，OC，则有 ，
所以 ， ，
所以 ，
又 ，则 ， ，
所以该三棱锥外接球的表面积为 ．
【变式6-3】（2024·云南楚雄·彝族自治州民族中学模拟预测）在三棱锥 中，平面 平面
，底面 是边长为3的正三角形， ，若该三棱锥的各个顶点均在球 上，且该三棱锥的
体积为 ，则球 的半径为 .
【答案】
【解析】连接点 与 中点 ，由 ，故 ，
由平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，故 平面 ，故 是三棱锥 的高，
则 ，即 ，
取底面外接圆圆心 ，连接 ，则有 平面 ，
连接 、 、 、 ，令球 的半径为 ，
， ，
则有 ，
即 ，即 ，
故 ，即 .
【题型7 共斜边拼接模型的外接球】
满分技巧
如图，在四面体 中， ， ，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形
拼接而形成的， 为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点 为公共斜边 的中点，根
据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知， ，即点 到 ， ， ， 四点的距离相等，故点 就是四面体 外接球的球心，公共的斜边 就是外接球的一条直径．
【例7】（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）如图，在四面体 中， ， ，
则四面体 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设，若 是 中点，
又 ，故 ，
所以 是四面体外接球的球心，且半径为 ，
所以外接球的表面积为 .故选：B
【变式7-1】（2022·全国·高三专题练习）三棱锥 中，平面 平面 ， ，
， ，则三棱锥 的外接球的半径为
【答案】1
【解析】因为 ， ，
故 是公共的斜边， 的中点是球心 ，球半径为 ．
【变式7-2】（2023·全国·高三专题练习）在矩形 中， ，沿 将矩形 折成一个
直二面角 ，则四面体 的外接球的体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设矩形对角线的交点为 ，则由矩形对角线互相平分，
可知 ．
∴点 到四面体的四个顶点 的距离相等，
即点 为四面体的外接球的球心，
∴外接球的半径 ，则 ．故选：C.
【变式7-3】（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿
对角线AC把 折起，则三棱锥D-ABC的外接球表面积等于（ ）
A． B． C． D．不确定的实数
【答案】B
【解析】设矩形 的边长分别为 、 ，则 ，
所以矩形周长 ，
， ，
当且仅当 时取等号，
矩形周长最小时， ，
， ，
因为
外接球的半径 ，
外接球表面积 ．故选：B．
【题型8 二面角模型的外接球】
满分技巧
两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠
第一步：先画出如图所示的图形，将ΔBCD画在小圆上，找出ΔBCD和ΔA'BD的外心 H 1和 H 2；
第二步：过 H 1和 H 2分别作平面BCD和平面A'BD的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接 OE,OC
；
第三步：解
ΔOEH
1，算出
OH
1，在
RtΔOCH
1中，勾股定理：
OH
1
2 +CH
1
2 =OC2
O,H ,E,H
注：易知 1 2四点共面且四点共圆，证略.【例8】（2024·广东湛江·高三统考期末）已知 是边长为8的正三角形， 是 的中点，沿 将
折起使得二面角 为 ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在三棱锥 中， 平面 ，
由二面角 为 ， ，得 是正三角形，
令其外接圆圆心为 ，则 ，
令三棱锥 外接球的球心为 ，球半径为 ，
则 平面 ，即有 ，
显然球心 在线段 的中垂面上，
令线段 的中垂面交 于 ，则 ，
显然 ，于是 ，四边形 是平行四边形，且是矩形，
而 ，因此 ，
所以三棱锥 外接球的表面积 .故选：C
【变式8-1】（2024·山东德州·高三统考期末）在三棱锥 中， 是以 为斜边的等腰直角三
角形， 是边长为2的正三角形，二面角 的大小为 ，则三棱锥 外接球的表面
积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，取 的中点 ，连接 ， ，
由题意， ，所以 ，
所以 为二面角 的平面角，所以 ，因为 是以 为斜边的等腰直角三角形，且 ，
所以 ， 为 外接圆的圆心，
又 是边长为2的等边三角形，所以 ，
过点 作与平面 垂直的直线，则球心 在该直线上，
设球的半径为 ，连接 ，可得 ，
在 中， ，
利用余弦定理可得 ，
所以 ，解得 ，
所以外接球的表面积为 .故选：A.
【变式8-2】（2024·广东广州·广东实验中学校考模拟预测）在三棱锥 中， ，
， ，二面角 的大小为 ，则三棱锥 外接球的表面积为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 为等边三角形，
所以 .
取 的中点D，连接 和 ，
则 为二面角 的平面角，即 .
因为 为直角三角形，所以D为 的外心.
设 的外心为 ，过点D作平面 的垂线，过点 作平面 的垂
线，
则交点 为球心，连接 ， .
设三棱锥 外接球的半径为R.
在 中， ，
由已知得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，
故三棱锥 外接球的表面积为 .故选：C.【变式8-3】（2022·河南·高三校联考期末）在边长为1的菱形 中 ，将 沿 折起，
使二面角 的平面角等于 ，连接 ，得到三棱锥 ，则此三棱锥 外接球的
表面积为 .
【答案】
【解析】取 的中点 ，连接 ，
因为 为菱形，所以 即为二面角 的平面角，
因为 ，所以 和 均为正三角形，
取 靠近 的三等分点 ，取 靠近 的三等分点 ，
过点 作 平面 ，过点 作 平面 ， 交于点 ，
则 为三棱锥 外接球的球心，连接 ，
由对称性知 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，
所以外接球的半径 ，
所以外接球的表面积为 .
【题型9 棱锥的内切球问题】
满分技巧
三棱锥
P−ABC
是任意三棱锥，求其的内切球半径（最优法）
方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等
第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
V =V +V +V +V
第二步：设内切球的半径为r，建立等式： P−ABC O−ABC O−PAB O−PAC O−PBC⇒
1 1 1 1 1
V = S ⋅r+ S ⋅r+ S ⋅r+ S ⋅r= (S +S +S +S )⋅r
P−ABC 3 ΔABC 3 PAB 3 PAC 3 PBC 3 ΔABC ΔPAB PAC ΔPBC
3V
第三步：解出
r=
P−ABC
S +S +S +S
O−ABC O−PAB O−PAC O−PBC【例9】（2022·福建·高三校联考阶段练习）已知正三棱锥 中，侧面与底面所成角的正切值为 ，
，这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为三棱锥 为正三棱锥，底面边长为6，
且侧面与底面所成角的正切值为 ，所以可得正三棱锥的高 ，侧面的高 ；
设正三棱锥底面中心为 ，其外接球的半径为 ，内切球半径为 ，
则有 ，也即 ，解得： ，
正三棱锥的体积 ，
也即 ，解得： ，
所以 ，故选：B.
【变式9-1】（2023·陕西西安·高三校联考阶段练习）已知正四棱锥 内切球的半径为 ，且
，则正四棱锥 的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在正四棱锥 中，连接 ， ， ，连 ，
则 平面 ，
设 ，
则 ，
由等体积法可得 ，
故 ，解得 ，故 故选：D．
【变式9-2】（2023·贵州铜仁·高三统考期末）已知正四棱锥的体积为 ，则该正四棱锥内切球表面积的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，在正四棱锥 中，M、N分别是线段 的中点，
该正四棱锥内切球的大圆是 的内切圆．圆心为E．
设 ，则圆E的半径
． ．
于是，正四棱锥的体积为 ，即有 ，
所以 ，
此时，该正四棱锥内切球的表面积 ．
，
即 ．
当 ，即 时取等号，故 ．故选：A．
【变式9-3】（2024·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）在三棱锥 中， 两两互
相垂直， ，当三棱锥 的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球半径为
.
【答案】
【解析】设 ，则 ，
由题意知 两两互相垂直，
可得三棱锥 的体积为 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，故当 时， 取到最大值，此时三棱锥 的体积取得最大值，
设此时三棱锥 的内切球的半径为r，
则 ，
则 ，
则
即 ，解得 .
【题型10 圆柱与圆锥的切接问题】
满分技巧
1、圆锥的内切球：圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆为内切球的大圆，内切圆的半径即
1
为内切球的半径，设圆锥底面半径为r，高为ℎ，则S ∆PAB = 2 ×2r×ℎ =rℎ，C ∆PAB =2r+2√ ℎ 2+r2 ，
所以R=
2S
∆PAB=
rℎ
C
∆PAB
r+√
ℎ
2+r2
2、圆柱的内切球：不是所有的圆柱独有内切球，只有当圆柱的高ℎ与圆柱的底面半径r满足ℎ =2r，即
圆柱的轴截面为正方形时，才有内切球，此时内切球的半径为圆柱的底面半径r.
3、求圆柱与圆锥的外接球的方法主要通过轴截面来解决。
【例10】（2022·北京昌平·高三昌平一中校考阶段练习）古希腊阿基米德被称为“数学之神”.在他的墓碑
上刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个球，这个球的直径恰好等于圆柱的高，则球的表面积与圆柱的表面积
的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设球半径为 ，则圆柱底面半径为 ，圆柱的高为 ，
则 ， 所以 ，故选：B.
【变式10-1】（2024·山西运城·统考一模）已知圆锥的高为 ，其顶点和底面圆周都在直径为 的球面上，
则圆锥的体积为 .
【答案】
【解析】取圆锥的轴截面如图所示：
设圆锥 的外接球为球 ，易知 ，
且 ， ，则 ，故圆锥 的底面半径为 ，
因此，该圆锥的体积为 .
【变式10-2】（2024·陕西安康·陕西省安康中学校联考模拟预测）已知底面半径为2的圆锥的侧面积为
，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，设圆锥的母线长为 ，
由圆锥的侧面积公式，得 ，解得 ，
所以圆锥的高为 ．
设圆锥的外接球半径为 ，
则在 中，由勾股定理， ，解得 ，
所以该圆锥的外接球的表面积为 ．故选：D．
【变式10-3】（2024·全国·高三专题练习）已知圆锥的底面半径为2，高为 ，则该圆锥内切球的体积
为 ．
【答案】
【解析】如图所示，圆锥与内切球的轴截面图，
设点O为球心，内切球的半径为 ， 为切点，则 ，
因为圆锥的底面半径为2，高为 ，
可得 ，且 ，
在 中，可得 ，即 ，解得 ，
所以该圆锥内切球的体积 ．
【题型11 圆台与棱台的切接问题】
满分技巧
球内接圆台，棱台： ，其中 分别为圆台的上底面、下底面、高．
基本规律：正棱台外接球，以棱轴截面为主【例11】（2024·广东深圳·统考一模）已知某圆台的上、下底面半径分别为 ，且 ，若半径为2
的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，
设圆台上、下底面圆心分别为 ，
则圆台内切球的球心O一定在 的中点处，
设球O与母线 切于M点，所以 ，所以 ，
所以 与 全等，所以 ，
同理 ，所以 ，
过A作 ，垂足为G，则 ， ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以该圆台的体积为 .故选：C
【变式11-1】（2024·河北·高三校联考期末）（多选）已知圆台上､下底面半径分别为1，2，且上下底面圆
周均在半径为 的球 的球面上，则该圆台的体积可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】设圆台外接球球心为 ，球心到上，下底面的距离为 ，则 ，解得 ，同理可得 ，
若 位于上下底面之间，则圆台的高为 ，
此时圆台体积为 ，
若 位于下底面下方，则圆台的高为 ，
此时圆台体积为 .故选：AC．
【变式11-2】（2023·江苏·高三海安高级中学校联考阶段练习）若一个小球与一个四棱台的每个面都相切，
设四棱台的上、下底面积分别为 ， ，侧面积为S，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设小球半径为R，因为一个小球与一个四棱台的每个面都相切，
所以四棱台的体积等于以球心为顶点，
以四棱台的上、下底面和四个侧面为底面的六个四棱锥的体积之和，
其高都是球的半径R，且棱台的高是2R，
则四棱台的体积为 ，
得 ，即 ，故选：C
【变式11-3】（2024·山东济南·高三济南一中校联考开学考试）在正三棱台 中， 、
，直线 与底面 所成的角为 ，则该三棱台的体积为 ，该三棱台的外接球的
表面积为 .
【答案】 ；
【解析】记 分别是 的中心，过 作 交 于点 ，如图，
则由正三棱台的结构特征可知 底面 ，所以 底面 ，
所以 为侧棱 与底面 所成角的平面角，故 ，在 中，由正弦定理得 ，即 ，
，
在 中， ，即 ， ，
所以在 中， ，
则该三棱台的高为 ，
所以该三棱台的体积为 .
连接 ，则 ，
所以 为正三棱台的外接球的球心，且外接球的半径 ，
所以该三棱台的外接球的表面积 .
【题型12 球与球的相切问题】
【例12】（2022·全国·高三专题练习）已知有大、小两个球外切．若大球与某正四面体的所有棱都相切，
小球与该正四面体的三条侧棱都相切，记大球与小球的半径分别为 ，则 ．
【答案】
【解析】如图，设正四面体的棱长为 ，
因为大球与所有的棱都相切，取 中点 ，取底面 的中心 ，
记大球的球心为 ，则 在 上，，作 ，
易知 ，所以 ，
因为小球与该正四面体的三条侧棱都相切，
记小球球心为 ，作 ，则 ，
因为 ， ，
所以 ， ， ，
所以 ，所以 .【变式12-1】（2023·全国·模拟预测）空间中有四个球（记作球 ，球 ，球 ，球 ），它们的半径分
别是 ， ， ， （ 且 ），每个球都与其余三个球外切，另有一个半径为 的小球
（记作球 与这四个球都外切，若四面体 的体积为 ，则四面体 的外接球的表面积为
．
【答案】
【解析】连接四个球的球心 ， ， ， ，得到一个四面体 ，
如图所示．由题意可知， ， ， ，
设球 的半径为 ，则 ．
如图1，取 ， 的中点分别为 ， ，则球 的球心 必在 上．
因为 ， ，
，
由 ，得 ①．
因为四面体 的体积为 ，
所以 ，
所以 ②．联立①②可得 ，
两边平方，得 ，
整理，得 ，
两边平方，得 ，整理，得 ，
把 代入得 ，可得 或 （舍），
所以 ， ．于是， ， ， ．
如图2，过点 作 ，垂足为 ，取 的外心为 ，
过点 作 ，则四面体 的外接球的球心为 ，连接 ，
设 的外接圆的半径为 ，则 ，解得 ．
设四面体 的外接球的半径为 ，则
，
整理，得 ，即 ，解得 ，
所以其外接球的表面积 ．
【变式12-2】（2023·山东济南·高三省实验中学校考阶段练习）棱长为2的正四面体内切一球，然后在正
四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题，当球和正四面体 的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，
设内切球的球心为 ，半径为R，空隙处最大球的球心为 ，半径为 ，
为 的中心，得 平面 ， 为 中点，
球 和球 分别和平面 相切于 ， ，
在底面正三角形 中，易求 ， ，
，
又 ，
由 ，即得 ，
又 ，， ，
，
又 ，可得 即 ，即球的最大半径为 .故选：C.
【变式12-3】（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，
遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等
国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体 的内切球，中等球
与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体 棱长
为 ，则模型中九个球的表面积和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，取 的中点 ，连接 ， ，
则 ， ，
过点 作 ⊥底面 ，垂足在 上，且 ，
所以 ，故 ，
点 为最大球的球心，连接 并延长，交 于点 ，则 ⊥ ，
设最大球的半径为 ，则 ，
因为 ∽ ，所以 ，即 ，解得 ，
即 ，则 ，故
设最小球的球心为 ，中间球的球心为 ，则两球均与直线 相切，设切点分别为 ，
连接 ，则 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为 ，
则 ，则 ，
又 ，所以 ，解得 ，
又 ，故 ，解得 ，所以 ，模型中九个球的表面积和为 .故选：B
（建议用时：60分钟）
1．（2024·重庆长寿·高三统考期末）将棱长为2的正方体木块做成一个体积最大的球，则这个球的表面积
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将棱长为2的正方体木块做成一个体积最大的球,
则该球为正方体的内切球，故球的半径为 ，则球的表面积为 .故选：C.
2．（2023·全国·模拟预测）在直三棱柱 中， ，侧面 的面积为 ，则直三
棱柱 外接球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设 的外接圆半径为 ，直三棱柱外接球的半径为 ．
由正弦定理，得 ，所以 ，
又因为侧面 的面积为 ，所以 ，所以 ，
而 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时， 取得最小值 ，
所以直三棱柱外接圆的表面积的最小值 ．故选：B．
3．（2024·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的
四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥 为鳖臑， 平面
， ， ，三棱锥 的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将三棱锥 补形为长方体，
则长方体的外接球即为三棱锥 的外接球，
如图， 的中点即为外接球的球心， 为直径，
由勾股定理得 ，故半径为 ，球的表面积为 .故选：B
4．（2022·全国·模拟预测）已知正四面体的内切球半径为1，则外接球半径为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】如图， 为 中点，，设 在底面 的投影为 ， 为 的中心，，
设正四面体 棱长为 ，
则 ， ， ，
正四面体 的体积为 ，
正四面体 的表面积为 ，体积为 ，设正四面体 的内切球半径为 ，
设 为内切球的球心，所以 ，
即 ，
则有 ，即 ，解可得 ，
因为正四面体的内切球半径为1，所以 ，解得： ，
若四面体的外接球的球心为 ，则外接球半径 ，解得 .故选：
D.
5．（2023·全国·高三校联考阶段练习）若正四棱锥 体积为 ，内接于球O，且底面 过
球心O，则该四棱锥内切球的半径为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【解析】因为正四棱锥 内接于球O，且底面 过球心O，
设球的半径为 ，所以 ，
所以 ，
于是正四棱锥 的体积 ，解得 ，
所以正四棱锥 的表面积 ，设正四棱锥 内切球的半径为 ，
则 ，解得 .故选：A.
6．（2024·重庆·高三统考期末）将一副三角板排接成平而四边形ABCD（如图）， ，将其沿BD折起，
使得而ABD⊥面BCD．若三棱锥A-BCD的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 ， ，因为面 面BCD，
面 面BCD ，且 ， 面 ，则 面 ，
因为 面 ，所以 ，
又因为 ， 面 ，且 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
取 中点为 ，则 ，则球心即为 中点，
而 ，则球的半径为 ，
则球O的表面积为 ，故选：C.
7．（2024·福建福州·高三长乐第一中学校考阶段练习）在三棱锥 中，侧棱 ，
则其外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设 的外接圆半径为 ，
由正弦定理： ，解得： ，
过点 作 平面 ，垂足为 ，分别连接 ，
因 ，故 ，即点 是 的外心，
则
依题，三棱锥 的外接球球心 必在直线 上，连接 ，不妨设外接球半径为 ，则 ,
在 中，由勾股定理， ，解得：
故外接球的表面积为 故选：B.
8．（2023·河北石家庄·高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习）某厨房用品“升”可看作是一棱台其上
底面 、下底面 均为正方形，且 ，外接球的表面积为 ，则该“升”的体积
为（ ）
A．448 B． 或448 C． 或224 D． 或448
【答案】D
【解析】连接 ， 交于点 ，连接 ， 交于点 ，
连接 ，则由球的几何性质可知，“升”的外接球的球心 必在直线 上，
由题意可得 ， ，
设球 的半径为 ，由 ，得 ．
连接 ， ，在 中， ，
即 ，得 ．
在 中， ，
即 ，得 ．
当球心 在线段 上时， ，
则该“升”的体积 ；
当球心 在线段 的延长线上时， ，
则该“升”的体积为 ．故选：D．
9．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校考阶段练习）一个封闭的圆台容器（容器壁厚度忽略不计）的上
底面半径为2，下底面半径为12，母线与底面所成的角为 .在圆台容器内放置一个可以任意转动的正方
体，则此正方体棱长的最大值是（ ）
A． B．8 C． D．10
【答案】B
【解析】如图所示，由题意知 ，
母线与底面所成的角 ，可得 ，
设圆台内能放置的最大球的球心为 ，且与底面和母线分别切于 两点，
可知球的半径 ，此时球的直径为 ，即此时球与圆台上底面不相切，
因此圆台内能放置的最大球的直径为 ；
若放置一个可以任意转动的正方体，要求正方体棱长最大，需要正方体的中心与球心重合，
且该球是正方体的外接球，
设正方体的最大棱长为 ，满足 ，解得 .故选：B.
10．（2023·陕西西安·统考一模）将平面内等边 与等腰直角 （其中 为斜边），沿公共边
折叠成直二面角，若 ，且点 在同一球 的球面上，则球 的表面积为 .
【答案】
【解析】如图所示取 中点 ，连接 ，
根据题意易知 ，
又 为等腰直角三角形， 为等边三角形，
所以可知 ，
易知 点在直线 上，设 ，球半径为R，
所以 ，
故外接球 的表面积为 .
11．（2024·全国·模拟预测）在正三棱台 中， ， ，侧棱 与底面ABC所成
角的正切值为 ．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为 ．
【答案】
【解析】如图，取BC和 的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为 ， ，
设 ，内切球半径为r，因为 ，棱台的高为2r，
所以 ，
，同理 ．
因为内切球与平面 相切，切点在 上，
所以 ①，
在等腰梯形 中， ②，
由①②得 ．在梯形 中， ③，
由②③得 ，代入得 ，则棱台的高 ，
所以棱台的体积为 ．
12．（2023·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）在三棱锥 中， 是等边三角形，
，平面 平面 ，若该三棱锥的外接球表面积为 ，则 .
【答案】2
【解析】依题意，作出三棱锥 的直观图，如图，不妨记 ，
因为该三棱锥的外接球表面积为 ，设该外接球的半径为 ，
则 ，解得 ，
因为 ，所以 是 外接圆的直径，即 ，
因为 是等边三角形，记 外接圆的直径为 ，
则 ，
因为平面 平面 ，两者交线为 ，即 ，
所以由 ，得 ，解得 ，
记 的中点为 ，连接 ，
因为 是等边三角形，所以 ，
又平面 平面 ，两者交线为 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
在等边 中， ，则 ，
在 中， ，
所以在 ， .
13．（2024·广东深圳·高三统考期末）已知菱形 的边长为2，且 ，将 沿直线
翻折为 ，记 的中点为 ，当 的面积最大时，三棱锥 的外接球表面积为
.
【答案】
【解析】根据题意可知 ，如下图所示：当 的面积最大时，即 取得最大值，
可得 ，
由对称性可知 ，可得 ；
又因为 为 的中点，所以 ，
又 ，由勾股定理可知棱 两两垂直，
所以三棱锥 的外接球半径为 ，
可得该外接球的表面积 .
14．（2024·广东广州·华南师大附中校考二模）在三棱锥 中，侧面 底面 是等腰
直角三角形，且斜边 ， ，则三棱锥 的外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】方法一：设球心为 ，如图①，取线段 的中点 ，
过点 作直线 平面 ，则易知球心 在直线 上．
连接 ，设外接球的半径是 ，则 ．
因为侧面 底面 ，过点 作 于 ，
连接 ，则由面面垂直的性质定理知， 平面 ，所以 ．
过点 作 （或 的延长线）于 ，则四边形 是矩形．
又由题意易知， 是 的中点， ，而 ，
则 ，所以 ，
在Rt 中，由 ，所以 ，
化简得 ，解得 ，所以 ．方法二：如图②，调换视图角度，将平面 作为底面，由题意知， 平面 ．
设 的外心为点 ，过点 作直线 平面 ，则 ．
取 的中点 ，在平面 内过点 作 的垂直平分线，交直线 于点 ，
则点 为所求外接球的球心，在 中，利用正弦定理，得 ．
在等腰三角形 中， ，得 ，
所以 ，所以 ，
所以所求外接球的半径 ，所以 ．
15．（2023·江苏·高三白蒲高级中学校联考阶段练习）如图，若圆台的上、下底面半径分别为 且
，则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为 .
【答案】
【解析】设圆台上、下底面圆心分别为 ，则圆台内切球的球心O一定在 的中点处,
设球O与母线 切于M点,所以 ，
所以 (R为球O的半径),
所以 与 全等, 所以 ,同理 ，
所以 ， ，所以 ，所以圆台的内切球半径 ，内切球的表面积为 .
