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专题 4.3 含参函数的单调性
题型一 求导后为一次函数型
题型二 求导后为指数型
题型三 求导后为对数型
题型四 求导后为二次可因式分解型
题型五 求导后为二次不可分解型
题型六 求导后为二次指数型
题型七 二次求导
题型一 求导后为一次函数型
例1．（2022秋·福建泉州·高三校考开学考试）已知函数
.
(1)求函数 的极值点；
例2．（2023春·广东深圳·高二校考阶段练习）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
练习1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)讨论函数 的单调性；
练习2．（2023春·贵州铜仁·高二校考阶段练习）已知函数
(1)讨论函数 的单调性;
练习3．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知函数
.
(1)讨论函数 的单调性；练习4．（2023春·河北衡水·高二校考阶段练习）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
练习5．（2023春·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）已知函数 ．
(1)求 的单调区间．
题型二 求导后为指数型
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
.
(1)讨论 的单调性；
例4．（2021春·陕西咸阳·高二统考期中）已知函数 .
(1)设 ，其中 是 的导函数，讨论函数 的单调性；
练习6．（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调区间；
练习7．（2023春·宁夏中卫·高二中卫中学校考阶段练习）设函数 ．
(1)求 的单调区间；
练习8．（2023·北京·高三专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间；练习9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性．
练习10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，
(1)求函数 的单调区间；
题型三 求导后为对数型
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)记 ，若对定义域内任意的x， 恒成立，求实数a的范围；
(2)试讨论函数 的单调性．
例6．（2022·河南·校联考模拟预测）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
练习11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ．
讨论 的单调性；
练习12．（2023秋·山西太原·高二统考期末）已知函数 .
(1)讨论函数 在 上的单调性；
练习13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
练习14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)讨论 在区间 上的单调性；
练习15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .(1)讨论 的单调性；
题型四 求导后为二次可因式分解型
例7．（2021春·陕西榆林·高三陕西省神木中学校考阶段练习）已知函数
， ．
(1)若 ，讨论函数 的单调性；
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
练习16．（2023春·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考阶段练习）已知函数
（ 为自然对数的底数）．
(1)若 是函数 的极值点，求 的值；
(2)若 ，讨论 的单调性．
练习17．（2023春·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校考期中）已知函数
.
(1)若 ，求 的极值；
(2)讨论函数 的单调性.
练习18．（2023春·四川成都·高二统考期中）已知函数 其中
， 为 的导函数.
(1)讨论函数 的单调性；
练习19．（2018·北京·高三强基计划）已知函数
．(1)当 时，求函数 在 上的最大值和最小值．
(2)若 ，讨论 的单调性．
练习20．（2023·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）给出定义：设 是函数
的导函数， 是函数 的导函数，若方程 有实数解 ，则称
为函数 的.“固点”.经研究发现所有的三次函数
都有“固点”，且该“固点”也是函数 的图象的对称中心.根据以上信息和
相关知识回答下列问题：已知函数 .
(1)当 时，试求 的对称中心.
(2)讨论 的单调性；
题型五 求导后为二次不可分解型
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （e为自然对数的底
数），a， .
(1)当 时，讨论 在 上的单调性；
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．试讨论函
数 的单调性．
练习21．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
练习22．（2023春·重庆·高二四川外国语大学附属外国语学校校联考期中）已知函数
．
(1)若 的图象在 处的切线与直线 垂直，求实数 的值；
(2)讨论 在 上的单调性．练习23．（2023·安徽黄山·统考二模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （ ）.
(1)讨论函数 的单调性；
练习25．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）设 ，函数
.
(1)讨论 的单调性；
题型六 求导后为二次指数型
例11．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考开学考试）已知函数
.
(1)讨论函数 的单调性；
例12．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知函数 (a≠0)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
练习26．（2023春·福建泉州·高二校考阶段练习）已知函数 ，
．
(1)若 时，求 在 处的切线方程.
(2)讨论函数 的单调性；
练习27．（2023春·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知函数(1)当 时，求函数 的极值；
(2)当 时，讨论函数 的单调性.
练习28．（2023·天津·校联考一模）设函数 ．
(1)讨论 的单调性；
练习29．（2023春·湖南邵阳·高二湖南省邵东市第一中学校考期中）已知函数
（其中 ， 为自然对数的底数）．
(1)讨论 的单调性；
练习30．（2023春·北京·高二北京市广渠门中学校考阶段练习）已知函数
(1)当 时，求证 恒成立：
(2)讨论 的单调性：
题型七 二次求导
例13．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
例14．（2022秋·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)求 的极值；
练习31．（2023·云南·校联考二模）函数 的单调递增区间为
____________．
练习32．（2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知函数 ，
为函数 的导函数．
(1)讨论函数 的单调性；练习33．（2023春·河南郑州·高二郑州十九中校联考期中）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
练习34．（2023·江苏·统考二模）已知函数 ， .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
练习35．（2023·湖北·统考二模）已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
