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培优 01 位置的确定与平面直角坐标系（6 大题型）
题型1 用有序数对表示位置和路线
行列定位法：先定参照点，用（列数，行数）表示位置；路线分解为逐步移动指令（如"右3上2"→坐标
+ (3,2)(3,2) )，注意方向正负．
1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）小明在介绍郑州的时候，最准确的表述是（ ）
A．北京的西南方向 B．北纬
C．东经 D．北纬 ，东经
2．（24-25七年级下·福建福州·期中）根据下列表述，能确定准确位置的是（ ）
A．万达影城1号厅2排 B．东经 ，北纬
C．马尾一中南偏东 D．马尾沿山路
3．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）A地在地球上的位置如图所示，则A地的位置是（ ）A．东经 ，北纬 B．东经 ，北纬
C．东经 ，北纬 D．东经 ，北纬
4．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）春节期间，嘉嘉和淇淇去电影院观看电影《哪吒之魔童闹海》，如
果嘉嘉的座位10排7号可以用 表示，则 表示淇淇的座位为 ．
5．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，线段 、 、 的长度分别是 、3、 ，且
平分 ．若将A点表示为 ，B点表示为 ，则C点可表示为
6．（24-25七年级下·广东广州·期末）在如图所示的字母网格中，每个字母的位置由有序数对 列号，行号
确定．例如，字母“ ”对应有序数对 ．现有一个由三个字母组成的英文单词，其字母按顺序分别
对应以下有序数对： 、 、 ．请根据坐标写出该英文单词： ．
7．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【数对】象棋在中国有着三千多年的历史，趣味性强并成为广
泛流行的益智游戏，如图，棋子“车”的位置用数对 表示，那么棋子“炮”的位置用数对 表示．
8．（23-24七年级下·河北廊坊·期中）如图，在一个正方形网格的电焊网上挂着一朵花，这朵花的位置为
，一只小蚂蚁的位置为 ，它只能沿着网格线爬行到达花的位置．比如： → → →
表示这只小蚂蚁爬到花朵上的一条路径．
(1)请写出转弯最少的两条路径．
(2)求（1）中两条路径围成的图形的面积．
9．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图是中国象棋棋盘示意图，部分黑棋的棋子摆在这些交叉点上，
每个交叉点的位置按照先列后行的顺序都可以用一对数来表示如： ．
(1)分别用两对数表示“马”“炮”所在的位置．(2)两对数 和 分别表示哪两枚棋子的位置．
(3)象棋规则规定：“车”只能沿直线行走，一次可以走任意格．请你用三对数来描述“车”的行走路线：
．
10．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在 的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬
行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：
，从B到A的爬行路线为： ，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表
示上下爬行信息．
(1)图中 （________，________）；
(2)若甲虫的爬行路线为 ，计算甲虫爬行的路程；
(3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为 ， ， ， ，最终到达点P，请在图中
标出点P的位置．
题型2 方位角的应用
以正北为基准，顺时针旋转角度即方位角（如东偏北45°=方位角45°）；解三角形问题需转直角坐标，
利用勾股定理和两点距离公式求距离增量．
11．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，小明家与学校的相对位置描述正确的是（ ）
A．学校在小明家南偏东 的方向上，距学校 ；B．学校在小明家北偏东 的方向上，距学校 ；
C．小明家在学校南偏西 的方向上，距学校 ；
D．小明家在学校北偏东 的方向上，距学校 ．
12．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，某轿车行驶在该位置时，前方有四个路口分别为：开拓路、
复兴路、振兴路、建设路，若导航提示“向右前方行驶”，此时司机应驶向（ ）
A．开拓路 B．建设路 C．复兴路 D．振兴路
13．（24-25七年级下·云南昆明·期末）如图，小明从学校出发，步行去少年宫，下列描述行走路线正确的
是（ ）
A．向南偏西 行走600米 B．向南偏东 行走400米
C．向北偏东 行走600米 D．向北偏西 行走400米
14．（24-25七年级下·山东临沂·期中）春天到了，七年级2班组织同学们到人民公园春游，李明、张华利
用平面直角坐标系画出人民公园示意图如图所示（图中每个小正方形边长代表 ，每个小正方形的对角
线长为 ），规定正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且景点A和景点B的坐标分别是
和 ．李明、张华分别对景点C的位置进行了描述，则下列判断正确的是
（ ）
李明：景点C的坐标是 ；张华：景点C在景点D的北偏东 方向，相距 处．
A．只有李明说得对 B．只有张华说得对
C．两人说得都对 D．两人说得都不对
15．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标 的
位置为 ，目标 的位置为 ，现有一个目标 的位置为 ，且与目标 的距离为5，则为
．
16．（24-25八年级下·广西柳州·期中）如图，在一次测绘活动中，某同学站在点 处观测停放于 、 两
处的小船，测得船B在点A北偏东 方向80米处，船C在点A南偏东 方向60米处，则船B与船C之
间的距离为 米．
17．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）小青同学乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探
测得到的结果如图，每相邻两个圆之间的距离是 （小圆半径是 ），小艇C在游船的正南方 处，则小艇A在游船的北偏东 ，距游船 处．
18．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）我国在南极建有长城、昆仑、中山、泰山、罗斯海新站5
个科学考察站，位置示意图如图所示，完成下面各题．
(1)中山站在昆仑站（ ）方向，距离是（ ）千米．
(2)请你根据以下信息在平面图上标出泰山站和罗斯海新站的位置．
①泰山站在昆仑站的东偏北 方向500千米处．
②罗斯海新站在昆仑站的东偏南 方向1500千米处．
19．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下图是豆豆从家到学校的路线．请按要求填答．
(1)豆豆从家出发，先向正东行驶 米到游乐园，再向（ ）方向行驶（ ）米到图书
馆，最后向（ ）方向行驶（ ）米到学校．
(2)学校8：00开始上课，一天早上，豆豆7点30从家出发骑车到游乐园时，发现没带数学课本，于是他赶
回家取了课本后继续上学．如果豆豆每分钟骑行 米，他会迟到吗？
20．（23-24六年级上·北京房山·期中）如果下面每个小正方形的对角线长 ，请按要求填一填，画一画．
(1)学校的位置用数对表示是 （ ， ）；公园的位置是 ，请在图中标出公园的位置；
(2)学校东偏北 方向 处是小桥，请在图中标出小桥的位置；
(3)公园位于小桥的 偏 方向上，距离是 ．
题型3 求点的坐标及坐标中的字母参数
几何特征转方程：点在轴上则一坐标为0；对称点用中点公式；平行轴则邻坐标相等。含参时分类讨论象
限位置列等式．
21．（24-25七年级下·江西上饶·期末）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为
4，到y轴的距离为3，则点M的坐标是（ ）
A． B． C． D．
22．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）若点P在某直角坐标系的第四象限，且到x轴的距离为2，到y
轴的距离为3，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
23．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）若点 在x轴上，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
24．（24-25八年级下·河北唐山·期末）若点 在第三象限，则x的值可以是（ ）
A．0 B． C．2 D．1
25．（24-25七年级下·山东日照·期末）在平面直角坐标系中，点 位于 轴上，则 的值是．
26．（24-25七年级下·湖北随州·期末）长征是中国共产党和中国革命事业从挫折走向胜利的伟大转折点．
如图，是红一方面军的长征路线图，若表示吴起镇会师的点的坐标为 ，表示湘江战役的点的坐标为
，则表示会宁会师的点的坐标为 ．
27．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期末）在平面直角坐标系中：
(1)若点 在x轴上，求点P的坐标；
(2)已知点 在第四象限，求a的取值范围．
28．（24-25七年级下·陕西安康·期末）在平面直角坐标系中，已知点
(1)若点P的横坐标为2，求点P的坐标；
(2)若 ，试判断点P所在的象限．
29．（24-25七年级下·云南丽江·期中）已知点 ．
(1)若点P在x轴上，求点P的坐标；
(2)若点 在第一象限， 轴，且 ，求b的值．
30．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知点 ，分别根据下列条件求出点 的坐标．
(1)点 在 轴上；
(2)点 在 轴上；
(3)点 的坐标为 ，直线 轴．31．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为 ．
(1)若点P在过点 且与y轴平行的直线上，求点P的坐标；
(2)将点P先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距
离为7，求m的值．
32．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知
．
(1)若点 在 轴上，且线段 的长度为4，则点 的坐标为___________．
(2)在平面直角坐标系中画出 ，则 的面积是___________．
(3)已知 为坐标轴上一点，若 的面积为6，则点 的坐标是___________．
题型4 在坐标系中描点及应用
横纵坐标对应轴刻度；多边形问题先标顶点再连线；图形面积问题经常使用用割补法或鞋带公式计算．
33．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，数轴上 四个点表示的数为 其中
的某一个．
(1)直接写出点 表示的数分别为___________，___________，___________，___________；
(2)将该数轴作为横轴，在平面内再画一条与该数轴垂直且公共原点的数轴建立平面直角坐标系，并在坐标系中画出点 ．
34．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 、
B(4,1)、 ．
(1)在平面直角坐标系中，画出 ；
(2)求 的面积．
(3)画出 关于 轴对称的
(4)在 轴上画出点 ，使 的周长最小．
35．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）已知： ， ， ．
(1)在坐标系中描出各点，画出 ；
(2)求四边形 的面积（写出求解过程）；
(3)设点P在y轴上，且 与四边形 面积相等，直接写出点P的坐标______．
36．（24-25七年级下·北京·期末）已知， 在平面直角坐标系 中， 点 ， ，．
(1)若点A在x轴上，在坐标系中画出 并直接写出m的值；
(2)将线段 先向右平移n个单位长度，再向上平移n个单位长度得到线段 ，其中点A，B的对
应点分别是点 ， ．
①若点 在y轴上， 求n的值和 的面积；
②若 ， 且 的面积为9， 求m的值．
37．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）小明设计了一款程序，可以用程序命令绘制出对应的图形及
变换后的图形．如图①，是一个正方形网格电子屏示意图，其中每个小正方形的边长均为1，位于平面直
角坐标系中的光点A，B，C按图②所示的程序移动．
(1)请在图①中画出程序生成的三角形 及经过变换后的三角形 ；
(2)小明想用此方法生成一个三角形 ，其顶点坐标分别是 ， ， ，请写出需要输入
的点A，B，C的坐标．
38．（24-25七年级下·山西忻州·期末）已知点 ， 在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)点 在第 象限，点 的坐标为 ．
(2)点 的坐标为 ，请在平面直角坐标系中描出点 ．
(3)点 的坐标为 ，则点 到 轴的距离为 ．若点 ， ，则 轴（填“平行”或
“垂直”）．
39．（24-25七年级下·西藏·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点 ，且 满足
．
(1)求点 两点的坐标，并直接写出 的面积；
(2)若点 在线段 上，且 ，求点 的坐标；
(3)若点 是第四象限的一点， 点到 轴、 轴和直线 的距离分别记为 ，且满足 ；
直接写出点 的坐标．
题型5 两点距离公式的应用直接套用公式： ；验证等腰/直角三角形时计算三边距离，勾股定理逆定理判
直角．
40．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 在 轴上运动，当
以点 、 ， 为顶点的三角形为等腰三角形时，点 的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
41．（24-25八年级下·广西崇左·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务：利用勾股定理可以得出两点
间的距离公式，如图，平面直角坐标系内有两点 ， ，那么
，即两点间的距离 ．
例如：若点 ， ，则 ．
(1)若点 ， ，则 ___________；
(2)在（1）的条件下，已知点 ，判断 的形状，并说明理由．
42．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读下列一段文字，然后回答问题．
已知在平面内两点 ， ，其两点间的距离 ，同时，当两点所
在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为 或 ．
(1)已知 、 ，则 ；
(2)已知 轴，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为 ，则 ．(3)已知一个三角形各顶点坐标为 、 、 ，请判定此三角形的形状，并说明理由．
43．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点
， ，其两点间的距离 ．同时，当两点所在的直线在坐标轴
或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为 或 ．
(1)已知 ， ，试求 、 两点间的距离；
(2)求代数式 的最小值．
(3)已知 ，在 轴上是否存在一点 ，使 为等腰三角形，若存在请直接写出点 的坐标；若不
存在说明理由．
44．（24-25八年级下·广东汕头·期中）阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点 ，
，我们把 叫做 ， 两点间的距离，记作 ．如 ，
，则 ．
请根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)若 ， ，直接写出 的值；
(2)当 ， 的距离 时，求出 的值；
(3)若在平面内有一点 ，使式子 有最小值，请求出这个最小值．
45．（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知在平面内有两点 、 ，其两点间的距离 ，同时，当两点
所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为 或 ．
(1)已知 ，试求A、B两点间的距离______；(2)已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为 ，试求M、N两点的距离为
______；
(3)已知一个三角形各顶点坐标为 ，你能判定此三角形的形状吗？说明理由；
(4)在（3）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使 的长度最短，求 的最短
长度．
题型6 中点坐标公式的应用
中点即平均数：坐标 ；求对称中心、平行四边形顶点或线段比例点均可用此公式转化．
46．（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点 ，
轴，点 的纵坐标为 ．则以下说法正确的是（ ）
A．当 时点P是线段 的中点
B．无论 取何值，线段 的长度恒为3
C．存在唯一一个 的值，使得
D．存在唯一一个 的值，使得
47．（24-25八年级下·江西宜春·期末）在平面直角坐标系中，四边形 的四个顶点坐标分别是 ，
， ， ， 为 的中点， 是 轴正半轴上一个动点，若 为等腰三角形，则点的坐标为 ．
48．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为 ，
，将线段 向右平移4个单位长度后得到线段 ，再将线段 向下平移4个单位长度后得到
线段 ．
(1)请画出平移后的线段 和 ；
(2)连接 ， ， ，分别写出三条线段的中点坐标；
(3)若点 和 ，直接写出线段 的中点坐标．
49．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）在平面直角坐标系中，以任意两点 为端点的线段
的中点坐标为 ．例如：点 ，则线段 的中点坐标为 ．
请利用以上结论解决问题：(1)若点 ， ，则以点 和点 为端点的线段的中点坐标为_____．
(2)已知点 ，若 为线段 的中点，求点 的坐标．
(3)已知点 和点 的坐标分别为 ，线段 与 轴平行，且 ．若线段 的中点与线
段 的中点在第一象限重合，直接写出点 的坐标．
50．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知点 ，点 ，且a，b满足关系式
(1)点A的坐标为______，点 B的坐标为______；
(2)如图1，点C在x轴上，当三角形 的面积为15时，求点C的坐标；
(3)如图2，点D是直线 第一象限上的点，连接 ，当三角形 的面积为12时，求点D的坐标．
51．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知点 ， ， ， ，在如图所示
的平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段 和 的中点 ， ，则点 的坐标为_____，
点 的坐标为_____；
（2）①结合（1），我们可以发现若线段的两个端点坐标分别为 ， ，则这条线段的中点坐标为_____；
②若点 ， ，用上述结论直接写出线段 的中点坐标．
培优综合练
52．（24-25七年级上·山东日照·期中）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对 表示第
排，从左到右第 个数，如 表示9，则表示2024的有序数对是（ ）
A． B． C． D．
53．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知 的顶点坐标分别为 ，
， ．若在第二象限内有一点 ，且四边形 的面积是 的面积的 ，则点P
的坐标为 ．54．（24-25七年级上·吉林·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点 到 轴、 轴的距离的较大
值称为点 的“长距”，点 到 轴、 轴的距离相等时，称点 为“角平分线点”．
(1)点 的“长距”为______；
(2)若点 的长距为4，且点 在第二象限内，点 的坐标为 ，请判断点 是否为
“角平分线点”，并说明理由．
55．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ， ，
且满足 ，点 、点 同时出发， 点从 点出发沿 轴正方向以每秒2个单位长度的速
度匀速移动， 点从 点出发沿 轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
(1) 和 位置关系是_______；
(2)如图（1）当 、 分别在线段 ， 上时，连接 ， ，设此时点 、点 的运动时间为 ．
①请分别用含t的式子表示 和 的面积；
②若 ，求出点P的坐标；
(3)在 、 的运动过程中，当 时，请直接写出 和 的数量关系．
56．（24-25七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为 ，
， ， 其中， 点A在第一象限， 且满足 ， ．(1)请在图1的平面直角坐标系中标出点B 和点C的大致位置，并写出点A，B， C的坐标分别为
A ， B ， C ．
(2)动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线 的方向运动，连接 ，设点P的运动时间为
t秒，三角形 的面积为 ，请用含t的式子表示S (写出相应的t的取值范围)；
(3)在（2）的条件下，在动点P从点B出发的同时，动点Q 从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿射线
的方向运动．分别过点O，Q作直线 的垂线，垂足分别为点 G，H．当 时，求t的值．
57．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中， 的三个顶点为
，且满足 ，线段 交 轴于点 ，点 为 轴上一动
点（点 不与点 重合）．
(1)求点 、 、 的坐标．
(2)如图2，当点 在 轴负半轴上运动时，过点 作 ，分别作 的平分线交于点 ，
试问在点 的运动过程中， 的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出 的
值．
(3)在 轴上是否存在这样的 点， ，若存在，请求出点 坐标，若不存在，请说明理由．
58．（24-25七年级下·四川南充·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ，且 与 是一个正实数的两个不同平方根， 轴，且 ，点C在x轴的正半轴， 的平分线 交 于点
D，过点A作 ，交 于点E，点F是线段 上一点，且 ．
(1)求点B的坐标．
(2)若 ，求 的度数．
(3)点P在线段 上， ，直线 交 于点Q，求 的值．
59．（24-25七年级下·广东潮州·期中）综合与实践
（ ）【动手探索】如图，在平面直角坐标系内，已知点 ， ， ， ，连接
， ， ， ， ，并依次取 ， ， ， ， 的中点 ， ， ， ， .观察图形，
直接写出 ， ， ， ， 各点的坐标；
（ ）【观察归纳】关于以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜
想：若线段 两端点坐标分别为 ， ，线段 的中点是 ，请用等式表示你所观
察的规律为 __________， __________，并用 ， 的坐标验证规律是否正确；
（ ）【实践运用】利用上面探索得到的规律解决问题：若点 ， ，则线段 的中点 的坐标为__________；
已知点N是线段 的中点，且点 ， ，求点 的坐标.
60．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知 轴上两点 、
的距离记作 ，如果 、 是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三
角形来求 间的距离．如图，过 、 分别向 轴、 轴作垂线 、 和 、 ，垂足分别是
、 、 、 ，直线 交 于点 ，在 中， ， ，
．由此可以得到平面直角坐标系内任意两点
、 间的距离公式．
利用上面公式解决下列问题：
(1)直接应用平面内两点间距离公式计算点 ， 之间的距离．
(2)已知点 ， 且 ，求 的值；
(3)在平面直角坐标系中的两点 ， ， 为 轴上任一点，求 的最小值；(4)应用平面内两点间的距离公式，求代数式 的最小值．
