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重难点 7-1 圆的最值与范围问题
与圆相关的最值问题是近几年高考数学对圆的考查的重点内容。主要考查与圆相关的参数范围问题和圆相
关的长度或面积的最值及问题。一般以选择题和填空题的形式考查，但还需注意与圆锥曲线相结合的问题。
【题型1 圆上一点到定点的最值范围】
满分技巧
圆上的点到定点的距离最值问题：一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最
C P C r P
小值。已知圆 及圆外一定点 ，设圆 的半径为 ，则圆上点到 点距离的最小值为
PM PC r PN PC r
PC M PC N PC
，最大值为 ，即连结 并延长， 为 与圆的交点， 为 延
长线与圆的交点.
【例1】（2024·山东济南·高三济南一中校联考开学考试）已知 是圆 上的动点，点 满足
，点 ，则 的最大值为（ ）
A．8 B．9 C． D．
【答案】C
【解析】设 ， ，
由 ，得 ， ，因为点 在圆 上，即 ，则 ，
所以点 的轨迹是以 为圆心，3为半径的圆，
因为 ， ，所以点 在圆外，
所以 的最大值为 .故选：C
【变式1-1】（2024·北京朝阳·高三统考期末）在平面直角坐标系 中，已知点 ，动点 满
足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，易知 ，
由 可得 ，整理得 ，
即动点 的轨迹是以 为圆心，半径为1的圆，
又 ，可得 的最大值为 到圆心 的距离再加上半径，
即 .故选：D
【变式1-2】（2023·山东潍坊·昌邑市第一中学校考模拟预测）已知复数 满足： ，则 的最大
值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【解析】设 ，其中 ，则 ，
∵ ，∴ ，即点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
∴ 即为圆上动点到定点 的距离，
∴ 的最大值为 .故选：B.
【变式1-3】（2023·上海·高三市实验学校校考阶段练习）若点 在圆 上运动，
为 的中点． 点在圆 上运动，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】∵点 在圆 上运动， ，∴ 中点 到圆心 的距离为 ，
由圆的定义可知，点 的运动轨迹为以 ，半径 的圆 ，
又∵ 点在圆
∴ 的最小值为： .故选：B.
【变式1-4】（2024·重庆·统考一模）过点 作圆 的两条切线，切点分别为
，若 为直角三角形， 为坐标原点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆 的圆心 ，半径 ，
由 切圆 于点 ，且 为直角三角形，得 ，连接 ，
则 ，即四边形 是正方形， ，
因此点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，而 ，
于是 ，所以 的取值范围为 .故选：D
【题型2 圆上一点到直线的最值范围】
满分技巧
C l
圆上的点到直线的距离最值问题：已知圆 和圆外的一条直线 ，则圆上点到直线距离的最小值为
PM d r PN d r
Cl ，距离的最大值为 Cl （过圆心 C 作 l 的垂线，垂足为 P ， CP 与圆 C 交于
M C N
，其反向延长线交圆 于【例2】（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知直线 和圆 ，则圆 上
的点 到直线 的距离的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】由题知，圆 ，其中圆心 ，半径为1，直线 过定点 ，
所以点 到直线 的距离的最大值为 到圆心的距离加上圆的半径，即 .故选：C
【变式2-1】（2024·广东湛江·统考一模）已知点P为直线 上的动点，过P作圆 的
两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆 上的动点，则点M到直线AB的距离的
最大值为 ．
【答案】
【解析】设 ，则满足 ；
易知圆 的圆心为 ，半径 ；
圆 的圆心为 ，半径 ，如下图所示：
易知 ，所以 ，即 ，整理可得
；
同理可得 ，
即 是方程 的两组解，
可得直线 的方程为 ，联立 ，即 ；
令 ，可得 ，即 时等式 与 无关，所以直线 恒过定点 ，可得 ；
又 在圆 内，当 ，且点 为 的延长线与圆 的交点时，
点 到直线 的距离最大；最大值为 .
【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）圆 上到直线 的距离等于1的点
的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由题意知 ，圆心为 ，半径 ，
圆心到直线 的距离 ，
当 ，此时圆上有 个点满足，
当 ，此时圆上有 个点满足，
所以圆上到直线距离为 的点的个数为 .故C正确.故选：C.
【变式2-3】（2024·重庆·高三重庆一中校考开学考试）已知点 为直线 上的动点，平面内
的动点 到两定点 ， 的距离分别为 和 ，且 ，则点 和点 距离的最小
值为 ．
【答案】
【解析】设 ，由 得 ，
即 ，
即 ，也即 ，
所以 点的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，
所以点 和点 距离的最小值为 .
【变式2-4】（2024·广东茂名·统考一模）动点 与两个定点 ， 满足 ，则点 到直线 ： 的距离的最大值为 .
【答案】
【解析】令 ，则 ，整理得 ，
所以 的轨迹是圆心为 ，半径为2的圆上，
又直线 ： 可化为 ，易知过定点 ，
由 ，故点 在圆 外，
则圆心与定点所在直线与直线 垂直，圆心与直线 距离最大，
所以点 到直线 距离的最大值为 .
【题型3 过圆内定点的最值范围】
满分技巧
C P P
过圆内定点的弦长最值：已知圆 及圆内一定点 ，则过 点的所有弦中最长为直径，最短为与该直径
MN
垂直的弦 .
【例3】（2024·福建福州·高三福州第一中学校考期末）设直线 与圆 交
于 ， 两点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设直线 为l，
方程变形为 ，所以直线恒过定点 ，
因为圆的方程为 ，所以圆心 ，半径 ，
因为 ，所以 在圆的内部，当直线 时，弦 最短，
因为 ，所以 ，
当直线l过圆心时，弦 最长为 ，
故 的取值范围为 .故选： .【变式3-1】（2023·山西忻州·高三校联考阶段练习）直线 被圆 所截得的弦
长的最小值为 .
【答案】2
【解析】直线 ，即 ，
则 ，即直线 过定点 ，
由于 ，故点 在圆 ，
当圆心和 的连线与直线 垂直时，
直线 被圆 所截得的弦长最短，
圆心为 ，和 的距离为 ，
故弦长的最小值为 .
【变式3-2】（2024·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）已知圆C: ，
直线 ： ，直线 被圆C截得的弦长最短时，实数m的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】因为直线 ： ，
方程可化为 ，
令 ，解得 ，故直线 过定点 ，
且在圆C: 内，又 ,
故当直线 被圆C截得的弦长最短时，有 ，
则 ，解得 ，故选：B.
【变式3-3】（2023·河南·高三统考阶段练习）过圆 内点 有若干条弦，它们的长度构成公
差为d的等差数列 ，且 ，其中 分别为过点 的圆的最短弦长和最长弦长，则 的取值
集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知：圆 的圆心为 ，半径 ，则 ，可知 ，
因为数列 为等差数列，则 ，解得 ，
又因为 且 ，则 ，
所以 的取值集合为 .故选：C.
【变式3-4】（2023·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知圆 ，直线
，当圆 被直线 截得的弦长最短时，直线 的方程为 .
【答案】
【解析】由题意，直线 的方程化为 ，
由 得
∴直线 过定点 ，显然点 在圆 内，
要使直线 被圆 截得弦长最短，只需 与圆心 的连线垂直于直线 ，
，解得 ，
代入到直线 的方程并化简得 .
【题型4 圆的切线长的最值范围】
满分技巧
切线长度的最值求法
1、代数法：利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．
PM
C l l
已知圆 和圆外的一条直线 ，则过直线 上的点作圆的切线，切线长的最小值为 .
l
M
C
P
【例4】（2024·湖北·校联考模拟预测）已知点 为直线 上的一点，过点 作圆
的切线 ，切点为 ，则切线长 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，圆 的圆心为 ，半径为 ，
由圆的几何性质可知， ，
由勾股定理可得 ,
所以要使切线长 取最小值，只需 取最小值即可.
当直线 与直线 垂直时， 取最小值 ，
则 的最小值是 .故选：A.
【变式4-1】（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知O为坐标原点，点P在标准单位圆上，过
点P作圆C： 的切线，切点为Q，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】圆C的圆心为 ，半径 ，标准单位圆的圆心为 ，半径 ，
因为 ，
可知圆C与标准单位圆外离，即点P在圆C外，
由题意可知： ，
且 ，当且仅当 在线段 上时，等号成立，
所以 ，即 的最小值为 .【变式4-2】（2023·河北石家庄·高三统考期中）已知动点 到两个定点 ， 的距离之比为 ，
过点 作圆 的切线，切点为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，由题可知 ，
整理得 ，圆心为 ，半径为 .
圆 的圆心为 ，半径为2.
如图，因为 ，
所以，当 取得最小值时， 有最小值，
由图可知， 的最小值为 ，
所以 的最小值为 .故选：A
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知点 是抛物线 ： 上的动点，过点 作圆 ：
的切线，切点为 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】设 ，则 ，
故当 时， 取最小值 .
又由圆的切线性质可得此时 .【变式4-4】（2023·浙江·模拟预测）已知圆 和点 ，由圆外一点 向圆 引切线，切点
分别为 ，若 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，连接 ，则 ，可得 ，
所以 ，
即 ，可得 ，
所以 ，
当 时， .故选：C.
【题型5 距离和差的最值范围】
满分技巧
圆中的距离和差问题可借助圆的几何特性进行举例转化，有时需结合对称性及三点共线距离最短的性质
求解最值。
【例5】（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知 为直线 上一点，过点 作圆
的切线 （ 点为切点）， 为圆 上一动点． 则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，连接 ，可得 ，且垂足为
要使得 取得最小值，
即 ，
又由 ，
，
显然，当 最小时， 同时取得最小值，
所以，当 时， 且 ，
所以 .故选：B.【变式5-1】（2024·江西·高三校联考期末）已知A为圆C： 上的动点，B为圆E：
上的动点，P为直线 上的动点，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】设 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，故 ，
则圆 关于 对称的圆 的方程为 ，
要使 的值最大，
则 （其中 为 关于直线 的对称圆 上的点）三点共线，
且该直线过 两点，如图，
其最大值为 .
【变式5-2】（2023·江苏苏州·高三校考阶段练习）已知点 ，点O是坐标原点，点Q是圆
上的动点，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】由圆 ，可得圆心 ，半径为 ，
又由点 ，可得点 在直线 上的动点，
因为点O是坐标原点，点Q是圆 上的动点，
则 ，
如图所示，设点 关于直线 的对称点为 ，可得 ，解得 ，即 ，
设直线 与直线 的交点为 ，
则直线 的方程为 ，联立方程组 ，解得 ，
即 ，则 ，
当点 与 重合时，此时 ，则 ，
此时 取得最大值，最大值为 ，
所以 ，即 的最大值为 .
【变式5-3】（2023·上海青浦·高三校考期中）在平面直角坐标系 中，点
，若点 满足 ，则 的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，
由 ，得 ，化简整理得 ，
故点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
，
设 ，则 ，
故 ，
当且仅当 三点共线时取等号，
所以 的最小值为 .故选：C.【变式5-4】（2023·河南郑州·高三郑州市宇华实验学校校考期中）已知圆O： 和点 ，
点 ，M为圆O上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取 ，连接 ，则 ，
又 ，所以 ，
又 ，故 ∽ ，
故 ，从而 ，
所以 ，
当 三点共线时， 取得最小值，
最小值为 .故选：C
【题型6 与角度有关的最值范围】
满分技巧
与角度有关的最值范围问题的处理方法：利用三角函数定义，将三角函数值转化为边的比值，观察线段
之间的关系再进行处理。【例6】（2024·全国·模拟预测）设点 是圆 上的动点，过点 与圆
相切的两条直线的夹角为 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】如图所示，
圆 可化为 ，则圆心 ，半径 ．
设切线为 ，连接 ，
因为圆 的半径为2，所以在 中， ．
所以 ．
当点 是线段 的延长线与圆 的交点时，线段 的长最大，此时 ，
所以 的最大值为 ．
【变式6-1】（2024·江苏·徐州市第一中学校联考模拟预测）已知 为抛物线 上一点，过 作圆
的两条切线，切点分别为 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：
因为 ， ，
设 ，则 ，
当 时， 取得最小值 ，
此时 最大， 最小，
且 ，故C正确.故选：C【变式6-2】（2024·湖南长沙·长沙一中校联考模拟预测）在平面直角坐标系 中，设 ， ，
，动点 满足 ，则 最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设点 ，则 ， ，
所以 ，
整理可得 ，
动点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆，
， ，故 三点共线，如图所示，
当 与圆相切时， 为锐角且最大， 最大， 即 ，
由 ，此时 ，
则 .故选：B
【变式6-3】（2024·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）已知圆 ： 与直线
： （ ），过 上任意一点 向圆 引切线，切点为 ， ，若 的最小值为
，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆 ： ，圆心 ，半径 ，
由 的最小值为 ，可得 ．
又 ， ，所以 的最小值为2，
而圆心 到直线 ： （ ）的距离等于2，
即 ，解得 ，故选：D．【变式6-4】（2024·江西赣州·南康中学校联考模拟预测）在 中，已知D为边BC上一点，
， ．若 的最大值为2，则常数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 且 ，即 ，则 外接圆半径为 ，
若 ， 的外接圆方程为 ，
所以 ，令圆心 为 ，
即点 在圆 被 分割的优弧上运动，如下图，
要使 的最大，只需 与圆相切，由上易知 ，
则 ，而 ，
由圆的性质有 ，
中 ， ，显然 ，
由 ，则 ，
所以 ，可得 （负值舍），
故 ，而 ，
所以 ，
整理得 ，则 .故选：D
【题型7 代数式几何意义的最值范围】
满分技巧
利用代数法的几何意义求最值
yb
y
xa (x,y) (a,b)
1、形如 的最值问题，可以转化为过点 和点 的动直线斜率的最值问题；z (xa)2 (yb)2 (x,y) (a,b)
2、形如 的最值问题，可以转化为点 和点 距离的平方的最值问题；
z axby
3、形如 的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题
【例7】（2023·河南驻马店·高三河南省驻马店高级中学校联考期末）若点 是圆 :
上一点,则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】圆 : 可化为
表示点 到点 的距离的平方,
因为 ，所以 的最小值为 .故选：B.
【变式7-1】（2023·江苏·高三泰州中学校联考阶段练习）已知平面四边形 中，点
，坐标平面内的点 满足 ，则 的取值范围是
【答案】
【解析】设 ，则 ，
由 得 ，整理得 ，
.
表示 到点 的距离平方，
，
所以 到圆上的点的距离的最小值为 ，
最大值为 ，
所以 的范围是 ，
所以 的范围是 ，
也即 的取值范围是 .
【变式7-2】（2023·四川凉山·统考一模）已知 是曲线 上的点，则 的取值
范围是 .
【答案】
【解析】 ，由题意可知,作出图形，如图所示，
因为 是曲线 上的点，
则 表示过点 两点直线的斜率，
显然当 位于 处时， 有最大值 ，
显然当 位于 处时， 有最小值 ，
所以 所以
故 的取值范围是
【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）已知实数 ， 满足方程 ，则 的最
大值为 ； 的最大值为 ．
【答案】 ；
【解析】由题意得：将方程转化为标准方程： ，
故 的轨迹是以 为圆心、1为半径的圆；
的几何意义为 到 距离 的平方；
如上图可知：当点 与 重合时， 到 距离 最大，
此时 ，故 ；
因为： ，故可设： ，
所以圆与直线 需有交点，
即圆心 到直线 的距离： ，解得： ，
所以： 最大值为 ．
【变式7-4】（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）已知直线 交圆 于两点，则 的最小值为（ ）
A．9 B．16 C．27 D．30
【答案】D
【解析】由题设直线与 轴的交点为 ，设弦 的中点为 ，
连接 ，则 ，即 ，所以 ，
即 ，
所以点 的轨迹方程为 ，
即 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
设直线 为 ，则 到 的最小距离为 ，
过 分别作直线 的垂线，垂足分别为 ，
则四边形 是直角梯形，且 是 的中点，
则 是直角梯形的中位线，所以 ，即 ，
即 ，
所以 的最小值为30.故选：D.
【题型8 圆中面积的最值范围】
满分技巧
与圆有关的面积最值问题一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最
值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解。
【例8】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，
点 在圆 上，则 面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，直线 交 轴于 ，交 轴于 ，则 ，
圆 的圆心 到直线 的距离 ，而圆的半径为 ，
于是圆 上的点 到直线 的距离 的范围为 ，
所以 的面积 .故选：C【变式8-1】（2024·广东广州·高三玉岩中学校考开学考试）已知点 是直线 上的一点，
过点P作圆 的两条切线，切点分别是点A，B，则四边形PACB的面积的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆C： ，即圆C： ，圆心坐标 ，半径为3；
由题意过点P作圆C： 的两条切线，切点分别为A，B，
可知四边形PACB的面积是两个全等的三角形的面积的和，因为 ， ，
显然PC最小时四边形面积最小，即 ，
所以
所以四边形PACB的面积的最小值为 ，故选：B.
【变式8-2】（2023·全国·模拟预测）设点P是圆 上的动点，过点P作圆
的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最大值为 .
【答案】
【解析】圆C的方程 可化为 ，则圆心为 ，半径为2，
连接PC，则在 中， ，所以四边形PACB的面积 ，
（由切线长定理知 ，故 ）
连接CO并延长，当点P是线段CO的延长线与圆O的交点时， 最大，
此时 ，
所以四边形PACB面积的最大值为 .
【变式8-3】（2024·山西吕梁·统考一模）已知圆 ，点 为直线 上的动
点，以 为直径的圆与圆 相交于 两点，则四边形 面积的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】由题意得 ， ， ，
，
当 垂直直线 时， ， ，故选：B.
【变式8-4】（2023·四川成都·高三石室中学校考期中）如图，已知圆 ： ，圆 ：
，过直角坐标原点 作直线 分别交两圆于 过点 作直线 分别交两圆于 ，连接
，则四边形 面积的最大值为【答案】
【解析】设 轴与圆 交于 ， 点，交圆 于 点，连结 ，
则： ， .同理：
所以： ，
设 ，则
则： ，设点 到直线 的距离为 ，
则： ，所以：
设 ，
当 单调递增，当 单调递减，
所以当 ， ， .
（建议用时：60分钟）
1．（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知 是圆 上一点， 是圆 上
一点，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】因为 ， ，所以 ，
且两圆的半径分别为 ，即两圆外离，
所以 的最小值为 .故选：B
2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在Rt△ABC中， ， ， ，若动点P满足 ，则 的最大值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】B
【解析】如图，以B为坐标原点， ， 的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，
则 ， ， ．
设 ，则 ．
因为 ，所以P是圆A： 上的点．
又点P与点 距离的最大值为 ，
即 ，所以 ．
故 的最大值为17．故选：B.
3．（2024·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）已知点 ，点 是圆 上的
动点，点 是圆 上的动点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，依题意得点 ，在直线 上，
点 关于直线 对称的点 ，
点 在圆 关于直线 对称的圆 上，
设 ，则 ，解得 ，且半径为 ，
所以圆 ，则 ，
设圆 的圆心为 ，
因为 ，
所以 ，
当 五点共线，
在线段 上， 在线段 上时“ ”成立．
因此 的最大值为5．故选：C
4．（2024·河北·高三张北县第一中学校联考开学考试）已知圆 上有一动点P，圆上有一动点Q，直线 上有一动点M，直线 与圆 相切，直线
与圆 相切，则 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【解析】由圆 可得圆心 ，半径为 ，
由圆 可得圆心 ，半径为 ，
设直线 上有一动点 ，
因为直线 与圆 相切，直线 与圆 相切，
所以 ，
即
，
即 ，
设 ，
则 ,
当且仅当 三点共线时取等号.故选：D.
5．（2022·四川广安·高三岳池中学校考阶段练习）已知点 是圆 上任意一点，
，则（ ）
A． 的最大值是 B． 的最小值是
C． 的最小值是 D． 的最大值是
【答案】B
【解析】圆的方程可化为 ，
设 ， 且 ， 且 ，
则 ，
当 ， 时， 取得最大值 ，故A错误；，
所以当 时， 取得最小值 ，故B正确；
，
所以当 时， 取得最小值 ，故C错误；
，
所以当 时， 取得最大值 ，故D错误.故选：B
6．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知点 在直线 上，过点 作圆 的两条切线，
切点分别为A，B，点 在圆 上，则点 到直线 距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，设点 ，则 ，
过点 作圆 的切线，切点分别为A，B，
则有 ， ，则点A，B在以 为直径的圆上，
以 为直径的圆的圆心为 ，半径 ，
则其方程为 ，变形可得 ，
联立 ，可得圆D和圆O公共弦 为： ，
又由 ，则有 ，变形可得 ，
则有 ，可解得 ，故直线 恒过定点 ，
点 在圆 上， ，
当 时，C到直线AB的距离最大，M到直线AB的距离也最大，
则点 到直线 距离的最大值为 .故选:B.
7．（2024·广东肇庆·校考模拟预测）（多选）已知 ，点 到直线 ： 的垂足为 ，
， ，则（ ）A．直线 过定点 B．点 到直线 的最大距离为
C． 的最大值为 D． 的最小值为
【答案】AB
【解析】已知 ， 则 ，
故直线 过定点 ， 正确；
设 的坐标为 ，则点 到直线 的最大距离即 ， 正确；
过点 作直线直线 ： 的垂线，垂足为 ，则 恒成立，
故 的轨迹是以 为直径的圆，
而 ， ，则该圆的圆心为 ，半径 ，
故 的轨迹方程为 ，
又由 ，则 ，故N在圆外，
故 的最大值为 ，最小值为 ，故 , 错误．故选： ．
8．（2023·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）（多选）已知圆的圆心在直线 上，且与
相切于点 ，过点 作圆的两条互相垂直的弦 ， .记线段 ， 的中
点分别为 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．圆的方程为 B．四边形 面积的最大值为
C．弦 的长度的取值范围为 D．直线 恒过定点
【答案】AD
【解析】设圆心为 ，则半径为 ，
依题意， ，解得 ，则 ，
因此圆的方程为 ，A正确；连接 ,则 ，又 ，则四边形 为矩形，
设 ，则 ， ，
故 ，
所以 ，
当 时，四边形 面积取到最大值 ，B错误；
当弦 过圆心时最长，最大值为4；当弦 时最短，最小值为 ，
即弦 的长度的取值范围为 ，C错误；
矩形 的对角线 互相平分，而 ，
则 过 的中点 ，D正确.故选：AD
9．（2023·湖北荆州·湖北省松滋市第一中学校考模拟预测）（多选）已知圆 ： ，直
线 ： ，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 恒过定点 B．直线 被圆 截得的弦最长时，
C．直线 被圆 截得的弦最短时， D．直线 被圆 截得的弦最短弦长为
【答案】ABC
【解析】对于选项A：直线 的方程可化为 ，
令 ，解得 ，所以直线恒过定点 ，故A正确；
对于选项B：因为 ，即点 在圆 内，
当直线 过圆心 时，直线被圆截得的弦长最长，
此时 ，解得 ，故B正确；
对于选项C：当直线 时，直线被圆截得的弦长最短，
直线 的斜率为 ， ，由 ，解得 ，故C正确；
对于选项D：此时直线 的方程是 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
可得 ，
所以最短弦长是 ，故D错误．故选：ABC．
10．（2024·广东珠海·高三珠海市第一中学校考期末）已知半径为 的圆C经过点
，则圆心C到直线 的距离的最大值为 ．
【答案】
【解析】设圆心C的坐标为 ，
因为半径为 的圆C经过点 ，所以 ，
所以点C的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
故圆心C到直线 的距离的最大值为点A到直线l的距离加上半径 ，
即 .
11．（2024·河北邢台·高三统考期末）在平面直角坐标系 中，已知 ，动点 满足 ，
点 在直线 上，则 的最小值为 ．
【答案】2
【解析】设 ，因为 ，所以 ，
整理得动点 的轨迹方程为 ，
所以动点 的轨迹为以 为圆心，2为半径的圆．
因为圆心 到直线 的距离 ，所以 ．
12．（2023·辽宁辽阳·统考二模）已知直线 与圆 交于 两
点，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由 可得： ，
令 ，
则直线 过定点 ，圆 的圆心 ，半径 ．
当直线 经过圆心 时， ，
当直线 时， ．综上， 的取值范围是 ．
13．（2023·四川德阳·统考一模）已知实数 成公差非零的等差数列，集合 ，
，若 ，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】 成公差非零的等差数列，则 ，
动直线 变形为 ，
令 ，解得 ，动直线 过定点 ，
直线 的一个法向量为 ，
若 ，则 直线 ， 点在以 为直径的圆上，
圆心为 中点 ，半径 ，
，则 的最大值为 .
14．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C： ，则当圆C的面积最小
时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为 ．
【答案】
【解析】 ，
所以半径 ，当且仅当 时，半径最小，
此时圆心为 ，圆心到原点的距离为 ，
因为 ，
所以原点在圆外，根据圆的性质，
圆上的点到坐标原点的距离的最大值为 .
15．（2023·广东东莞·高三东莞实验中学校考开学考试）对平面上两点A、B，满足 的点P
的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B是此圆
的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点都可以与关于此圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗
点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数 只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已
知 ， ， ，若动点P满足 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】由题意知： ，即 ，（当且仅当 三点按顺序共线时取等号），
又 ， 的最小值为 .
