文档内容
专题 4.3 含参函数的单调性
题型一 求导后为一次函数型
题型二 求导后为指数型
题型三 求导后为对数型
题型四 求导后为二次可因式分解型
题型五 求导后为二次不可分解型
题型六 求导后为二次指数型
题型七 二次求导
题型一 求导后为一次函数型
例1．（2022秋·福建泉州·高三校考开学考试）已知函数
.
(1)求函数 的极值点；
【详解】（1）由题意可得： ，且 的定义域为 ，
当 时，则 当 时恒成立，
故 在 内单调递增，即 无极值点；
当 时，令 ，解得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，则 有极大值点 ，无极小值点；
综上所述：当 时， 无极值点；
当 时， 有极大值点 ，无极小值点.
例2．（2023春·广东深圳·高二校考阶段练习）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
【详解】（1） .
当 时， ，所以 在 上单调递增；当 时，令 ，解得 ，
当 时， ；
当 时， ；
所以 上单调递增，在 上单调递减；
练习1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)讨论函数 的单调性；
【详解】（1）由 ，
令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时，方程 的根为 ，
若 ，则在 上， ， 单调递减，
在 上， ， 单调递增，
若 ，则在 上， ， 单调递增，
在 上， ， 单调递减，
综上所述，当 时， 在R上单调递减，
若 ， 在 上单调递减，在 上单调递增，
若 ， 在 上单调递增，在 上单调递减．
练习2．（2023春·贵州铜仁·高二校考阶段练习）已知函数
(1)讨论函数 的单调性;【详解】（1）函数 的定义域是 ， ，
当 0时， 恒成立，则函数 在 上单调递增；
当 0时，由 得 ，由 得 ，即函数 在 上单调递减，
在 上单调递增，
所以当 0时，函数 的递增区间是 ；
当 0时，函数 的递减区间是 ，递增区间是 .
练习3．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知函数
.
(1)讨论函数 的单调性；
【详解】（1） .
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ；
当 时， ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
练习4．（2023春·河北衡水·高二校考阶段练习）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
【详解】（1）解：函数 的定义域为 ， .
当 时，由 可得 ，由 可得 ，
此时函数 的减区间为 ，增区间为 ；
当 时，由 可得 ，由 可得 ，
此时，函数 的增区间为 ，减区间为 .
综上所述，当 时，函数 的减区间为 ，增区间为 ；
当 时，函数 的增区间为 ，减区间为 .练习5．（2023春·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）已知函数 ．
(1)求 的单调区间．
【详解】（1）因为 ， ，所以
（ⅰ）当 时， 恒成立， 在 单调递增；
（ⅱ）当 时，令 得， ，故 时， ， 在 单
调递增；
时， ， 在 单调递减；
题型二 求导后为指数型
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
.
(1)讨论 的单调性；
【详解】（1）函数 的定义域为 .
因为 ，所以 .
当 时， 恒成立，故 在 上单调递增.
当 时，令 ，解得 .
当 时， ，当 时， .
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
例4．（2021春·陕西咸阳·高二统考期中）已知函数 .
(1)设 ，其中 是 的导函数，讨论函数 的单调性；
【详解】（1）由题知 ，则 ，
①当 时， 在 上恒成立，
故函数 在 上递增；
②当 时，令 ，解得 ，
令 ，解得 ；
故 在 上递减，在 上递增，综上：当 时， 在 上递增；
当 时， 在 上递减，在 上递增..
练习6．（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调区间；
【详解】（1） ，函数定义域为R， ，
若 ，则 ， 在R递增，
若 ， ，解得： ， ，解得： ，
∴ 在 单调递减，在 单调递增.
练习7．（2023春·宁夏中卫·高二中卫中学校考阶段练习）设函数 ．
(1)求 的单调区间；
【详解】（1）由题设 ，
当 时， ，则 在R上单调递增；
当 时， 有 ，则 在 上递增；
有 ，则 在 上递减；
综上， ， 在R上单调递增； ， 在 上递减，在 上递增.
练习8．（2023·北京·高三专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间；
【详解】（1）当 时， ，则 ，
得 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2）由 ，则 ，
当 时， 恒成立，此时 在R上单调递减；
当 时，令 ，解得 ，
此时 与 的变化情况如下：- 0 +
↘ 极小值 ↗
由上表可知， 的减区间为 ，增区间为 ，
综上，当 时， 的减区间为 ，无增区间；
当 时， 的减区间为 ，增区间为 ．
练习9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性．
【详解】（1）由题意得 ．
若 ，则 ，所以 ，所以 ，
即 ，所以 在 上单调递增．
若 ，令 ，则 ．
故当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增．
练习10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，
(1)求函数 的单调区间；
【详解】（1）由 ，当 时， 恒成立，则 在R上单调递减；
当 时，令 ，解得 ，
当 时 ；当 时
在 上单调递减， 上单调递增
综上，当 时， 单调递减区间为 .
当 时， 单调递减区间为 ，单调递增区间 .题型三 求导后为对数型
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)记 ，若对定义域内任意的x， 恒成立，求实数a的范围；
(2)试讨论函数 的单调性．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）求导得因式分解，根据对数函数的性质，分类讨论 的最值即可求解，
（2）分类讨论导函数的正负即可得函数的单调性.
【详解】（1）显然 ，
即 ，对 恒成立，
当 时， ；
当 时， ．
综上， ．
（2）由（1）知
①当 时， ，
当 时， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
即当 时 在 上递减， 上递增
②当 时，
当 时，由（1）知 在 单调递增
当 时，当 时， ，当 时 ,故当
和 时， ，当 时， ,因此 在 上单调递减，在
上单调递增
当 时，当 时， ，当 时 ,故当 和
时， ，当 时， , 在 上递减， 上递
增
例6．（2022·河南·校联考模拟预测）已知函数 ， .(1)讨论 的单调性；
【详解】（1） ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， ，则
在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， ， ，则
在 上单调递增，在 上单调递减.
综上，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
练习11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ．
讨论 的单调性；
【答案】 在 上单调递减，在 上单调递增
【分析】根据函数求出函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负来讨论函数的单
调性即可求解.
【详解】函数 的定义域为 ， ．
当 时，由于 在 上单调递增，所以 至多有一解；
又 ，则当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
练习12．（2023秋·山西太原·高二统考期末）已知函数 .
(1)讨论函数 在 上的单调性；
【详解】（1） ， ，
当 ，则若 ,则 在 上单调递增；
若 ,令 ，即 ，
则 在 上单调递增.
令 ，解得 ，则 在 上单调递减，
综上，当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
练习13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
【详解】（1）解：函数 的定义域为 ， ，
当 时， ，此时函数 的减区间为 ，无增区间；
当 时，由 可得 ，由 可得 ，
此时函数 的减区间为 ，增区间为 ；
当 时，由 可得 ，由 可得 ，
此时函数 的增区间为 ，减区间为 .
综上所述，当 时，函数 的减区间为 ，无增区间；
当 时，函数 的减区间为 ，增区间为 ；
当 时，函数 的增区间为 ，减区间为 .
练习14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)讨论 在区间 上的单调性；
【详解】（1）因为函数 ， ，所以 ， ，
由 ，得 ，
当 ，即 时， ， 在区间 上单调递减；
当 ，即 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 ， 上单调递减；
综上可得，当 时， 在区间 上单调递减；当 时， 在 上单调递增，在 ， 上单调递减；
练习15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
【详解】（1）函数 的定义域为 ， .
①当 时，令 ，即 ，解得： .
令 ，解得： ；令 ，解得： ；
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
②当 时，则 ，所以函数 在 上单调递增.
综上所述：当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
当 时，函数 在 上单调递增.
题型四 求导后为二次可因式分解型
例7．（2021春·陕西榆林·高三陕西省神木中学校考阶段练习）已知函数
， ．
(1)若 ，讨论函数 的单调性；
【详解】（1） ，
当 时， 恒成立，
函数 在 上递增；
当 时，令 ，得 或 ，令 ，得 ，
函数 在 ， 上递增，在 上递减．
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
【详解】（1）因为 ，所以 ．
设 ，则 ．
当 时， ， ， ， 在 上是增函数；
当 时， 两个根 ， ；
当 时， ， ，
所以当 时， ， ， 是减函数；
当 时， ， ， 是增函数；
当 时， ，
所以当 或 时， ， ， 是增函数；
当 时， ， ， 是减函数；
综上可知，当 时， 在 上是增函数；
当 时， 在 上是减函数，在 上是增函数；
当 时， 在 上是减函数，
在 ， 上是增函数．
练习16．（2023春·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考阶段练习）已知函数
（ 为自然对数的底数）．
(1)若 是函数 的极值点，求 的值；
(2)若 ，讨论 的单调性．
【答案】(1) ；
(2)答案见解析.
【分析】（1）可导函数在极值点处的导数为0，求得a的值后，再进行检验；
（2）分 和 两种情况进行讨论，根据 符号，研究 的单调性．
【详解】（1） ，因为 是函数 的极值点，所以 ，
即 ，解得 ，
经检验， 符合题意，故 ．
（2）由（1）， ，若 ，则 ，
当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
若 ，令 ，解得 或 ，且 ，
当 时 ，当 或 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减．
练习17．（2023春·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校考期中）已知函数
.
(1)若 ，求 的极值；
(2)讨论函数 的单调性.
【答案】(1)极小值为 ，无极大值
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数可求得 的单调性，由极值点的定义可求得极值；
（2）求导后，分别在 和 的情况，根据导函数的正负来确定函数单调性.
【详解】（1）当 时， ，则 定义域为 ，
，
则当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
极小值为 ，无极大值.
（2）由题意知： 定义域为 ， ；当 时，若 ，则 ；若 ，则 ；
在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，若 ，则 ；若 ，则 ；
在 上单调递减，在 上单调递增；
综上所述：当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
练习18．（2023春·四川成都·高二统考期中）已知函数 其中
， 为 的导函数.
(1)讨论函数 的单调性；
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
①当 时，令 得 ；令 得 .
②当 时，令 得 ；令 得 .
③当 时， 在 恒成立.
④当 时，令 得 ；令 得 .
综上所述，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
练习19．（2018·北京·高三强基计划）已知函数
．
(1)当 时，求函数 在 上的最大值和最小值．
(2)若 ，讨论 的单调性．【答案】(1) 在 上的最大值为 ，最小值为0．
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导数后结合其符号可得函数的单调性，从而可得函数的最值.
（2）就 、 、 、 、 分类讨论后可得函数
的单调性.
【详解】（1）当 时，有 ，
于是其导函数 ，
因此
x 0 1 2
0
于是函数 在 上的最大值为 ，最小值为0．
（2）函数 的导函数 ，
因此讨论分界点为 ．
情形一 ．此时函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
情形二 ，此时函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在
上单调递减．
情形三 ．此时函数 在 上单调递减．
情形四 ．此时函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在
上单调递减．
情形五 ．此时函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
练习20．（2023·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）给出定义：设 是函数
的导函数， 是函数 的导函数，若方程 有实数解 ，则称
为函数 的.“固点”.经研究发现所有的三次函数
都有“固点”，且该“固点”也是函数 的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答下列问题：已知函数 .
(1)当 时，试求 的对称中心.
(2)讨论 的单调性；
【详解】（1） ， ， ，
令 ， ， ，
故 的对称中心为 .
（2） ，
令 ，则 ， ，
当 时， ， 恒成立，所以函数 在 上单调递增；
当 时， ，在 ， 上， ，函数 在 ，
上单调递增，在 上， ，所以函数 在 上单调递减；
当 时， ，在 ， 上， ，函数 在 ，
上单调递增，在 上， ，函数 在 上单调递减.
综上所述：
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
题型五 求导后为二次不可分解型
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （e为自然对数的底
数），a， .
(1)当 时，讨论 在 上的单调性；
【详解】（1）当 时， ， 的定义域为 ，
，
当 ，即 时， 且不恒为0，所以 在 上单调递增；当 时，方程 有两不等正根 ，
结合定义域由 可得 ，由 可得
，
所以 在区间 上单调递减，在区间 和
上单调递增；
当 时，方程 有一负根 和一正根 ，
结合定义域由 可得 ，由 可得
，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
综上可知：
当 时， 在区间 上单调递减，在区间
和 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调
递增.
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．试讨论函
数 的单调性．
【答案】答案见解析
【分析】先对 求导，再分类讨论 、 与 三种情况，结合二次函数的图像性质即可得解.
【详解】因为 ，
所以 ，且 ，
当 时， ，此时 在 单调递增；
当 时， ，
当 时， ；
当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，
当 时， ；
当 时， ，此时 单调递减；
综上所述：当 时，函数 单调递增区间为 ；
当 时，函数 的单调递增区间为 ， ；函数 的单调递减区间为
；
当 时，函数 的单调递增区间为 ， ；函数的 单调递减区间
为 ．
练习21．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
【详解】（1）由题意知 ，
令 ，得 ，
则 时， ，所以 在 上单调递增.
时，令 得
当 时， ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.当 时， ，
令 ，得 ，令 ，得 或 ，
所以 在 上单调递减，在 和 上单调递增.
综上所述：当 时， 在 上单调递减，
在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，
在 和 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增.
练习22．（2023春·重庆·高二四川外国语大学附属外国语学校校联考期中）已知函数
．
(1)若 的图象在 处的切线与直线 垂直，求实数 的值；
(2)讨论 在 上的单调性．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）求导得 ，根据垂直得到 ，解出方程即可；
（2） ，利用二次函数或一次函数的图象与性质合理分类讨论即
可.
【详解】（1）由题知， ,
，解得 .
（2）
(i)当 时，若 ，则 ，
若 ，此时 开口向下，对称轴为 ，
所以当 时， ，在 单调递减；
(ii）当 时, 开口向上， ,
则 （根据二次函数大致图象知 舍
去）
且当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增.
(iii)当 时， 开口向上，对称轴 在 单调递增,
当 时， 在 单调递增.
综上：当 时, 在 单调递减;
当 时, 在 单调递减,在 单调递增，
当 时, 在 单调递增.
练习23．（2023·安徽黄山·统考二模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
，
设 ，设 ，
当 时，即 ， 单调递减，
当 时，即 ，
，
若 ， ，
由 ，
由 ，
当 时，由 ，
由 ，
综上所述：当 时，函数 是 上的减函数，
当 时，函数 在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时，函数 在 上单调递减，
在 上单调递增；
练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （ ）.
(1)讨论函数 的单调性；
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
又 ， ，
令 ，得 ，
当 时， 时， ，所以 在 单调递增；
当 时，方程 的 ，
①当 时， ，则 ，所以 在 单调递增；
②当 时， ，令 ，得 ，
，
当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递减，
在 ， 上单调递增；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，
在 ， 上单调递增；
练习25．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）设 ，函数
.
(1)讨论 的单调性；
【详解】（1）（1） ， ，
令 ，
当 ，即 时， 恒成立， 在 上单调递减；
当 ，即 时，
当 或者 时， ，
当 时， .
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增.
综上，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 和 上单调递减，
在 上单调递增.
题型六 求导后为二次指数型
例11．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考开学考试）已知函数
.
(1)讨论函数 的单调性；
【详解】（1） ，
，
若 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
若 ，则 ，
所以函数 在 上递增，
若 ，则 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 和 上递增，
若 ，则 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 和 上递增，
综上所述，当 时，函数 在 上递减，在 上递增，
当 时，函数 在 上递增，
当 时，函数 在 上递减，在 和 上递增，
当 时，函数 在 上递减，在 和 上递增；
例12．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知函数 (a≠0)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
【详解】（1）∵ ，
当 时， ， ，
∴ 在 上单调递减，在 单调递增；
当 时， ， ，
∴ 在 上单调递增，在 单调递减；
综述：当 时， 在 上单调递减，在 单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 单调递减；练习26．（2023春·福建泉州·高二校考阶段练习）已知函数 ，
．
(1)若 时，求 在 处的切线方程.
(2)讨论函数 的单调性；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数求出函数在 在 处切线斜率，利用点斜式确定切线方程；
（2）求出函数导数，分类讨论a的取值范围对导数值的影响，从而判断出函数单调性.
【详解】（1）当 时， ，
∴ 切线方程为： ，即 .
（2）因为 ， ．
所以 ．
①当 时，令 ，得 ． 在 上单调递减；
令 ，得 ， 在 上单调递增．
②当 时，令 ，得 ． 在 上单调递减；
令 ，得 或 ． 在 和 上单调递增．
③当 时， 在 时恒成立， 在 单调递增．
④当 时，令 ，得 ． 在 上单调递减；
令 ，得 或 ． 在 和 上单调递增．
综上所述：当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增．
练习27．（2023春·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知函数
(1)当 时，求函数 的极值；(2)当 时，讨论函数 的单调性.
【答案】(1)函数 的极大值为 ，极小值为
(2)答案见详解
【分析】（1）根据导数的性质，结合极值的定义进行求解即可；
（2）根据导数的正负性与原函数的单调性的关系，结合 的不同取值分类讨论进行求解即
可.
【详解】（1）当 时， ，
，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以当 时，函数 有极大值 ，
当 时，函数 有极小值 ，
所以函数 的极大值为 ，极小值为 ；
（2） ，
当 时， ，函数 是实数集上的增函数，
当 时，当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， ，
所以有当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
综上所述：当 时，函数 是实数集上的增函数；
当 时，当 时，函数 单调递增，当 时，函数 单调递减；
当 时，当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增.
练习28．（2023·天津·校联考一模）设函数 ．
(1)讨论 的单调性；
【详解】（1）依题意得 ．
①当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
②当 时，令 ，得 ，令 ，得 或
，
所以 在 上单调递减，在 和 上单调递增；
③当 时 在 上恒成立，所以 在 上单调递增；
④当 时，令 ，得 ，令 ，得 或
，
所以 在 上单调递减，在 和 上单调递增．
练习29．（2023春·湖南邵阳·高二湖南省邵东市第一中学校考期中）已知函数
（其中 ， 为自然对数的底数）．
(1)讨论 的单调性；
【详解】（1）
当 时，
在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减；
当 时，由 得：
①若 ，则 恒成立，故 在R上单调递增；
②若 ，由 得： 或 ，由 得: 此时
的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
③若 ，由 得： 或 ，由 得:此时 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
综上所述，当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时， 在R上单调递增;
当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
练习30．（2023春·北京·高二北京市广渠门中学校考阶段练习）已知函数
(1)当 时，求证 恒成立：
(2)讨论 的单调性：
【详解】（1）当 时， ，
令 ，令 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
故 .
（2） ，
令 解得 或 ，
①当 时， ，则 在 单调递减，在 单调递增；
②当 时， ， 和 时， ， 单调
递增；
时， ， 单调递减；
③当 时， 恒成立， 在R上是增函数；
④当 时 ， 和 时， ， 单调递
增；
时， ， 单调递减；
题型七 二次求导
例13．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；【详解】（1） ，
若 ， ，即 ，此时 在R上单调递减．
若 ，解 得 ，
解 得 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增．
例14．（2022秋·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)求 的极值；
【详解】（1）因为
所以 ，
令 ，
则 ，
因为 ，所以 ，所以 在 单调递增，又因为 ，
所以当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以当 时， 取得极小值 无极大值.
练习31．（2023·云南·校联考二模）函数 的单调递增区间为
____________．
【答案】 /
【分析】通过二次求导，证明当 时， ，即得解.
【详解】由题得函数定义域为 ，
所以 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ，
故 的单调递增区间为 （或 ）．
故答案为：练习32．（2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知函数 ，
为函数 的导函数．
(1)讨论函数 的单调性；
【详解】（1） 的定义域是 ，
，
令 ，则 ，
当 时， 恒成立， 单调递减，
也即 在区间 上单调递减；
当 时， 在区间 单调递减；在区间 递
增.
练习33．（2023春·河南郑州·高二郑州十九中校联考期中）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
【详解】（1） ，
，
当 时， ，所以函数 在 上递增，
当 时， 时， 单调递减，
时， 单调递增，
综上所述，当 时， 的单调增区间为 ，无单调减区间；
当 时， 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；
练习34．（2023·江苏·统考二模）已知函数 ， .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
【详解】（1） ， ，
， 恒成立，
所以 在 递增.所以当 ， ；
，
所以函数 的单调减区间是 ，单调增区间是 .
练习35．（2023·湖北·统考二模）已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
【详解】（1）解法一：因为 ，
所以
易知 ，设 ，
则当 时， ， ，所以 ，
则 在 单调递减；
当 时， ， ，所以 ，
则 在 单调递增；
所以当 时，即 ，即 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增.
解法二：
当 时 ，
则
当 时，令 ，则
所以 在 单调递增， ，
又 关于 单调递增且 ，所以 关于 单调递增， 关于 单调递增，
所以 单调递增，则 ，
所以 在 单调递增.
当 时， ，
，
令 ，易知 在 单调递增， ，
所以 ，所以 在 单调递减.
综上， 在 单调递减，在 单调递增.
