文档内容
专题 4.3 平面向量基本定理及坐标表示【七大题型】
【新高考专用】
1、平面向量基本定理及坐标表示
平面向量是高考的热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，平面向量基本定理、
平面向量的坐标运算是高考的热点内容，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时也会与三角
函数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等.在高考复习过程中应注意加强对平面向量基本定理、
向量共线与垂直的条件的理解，熟记平面向量的相关公式，灵活进行求解.
【知识点1 平面向量基本定理及其解题策略】
1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数
，，使 .若 ， 不共线，我们把{ ， }叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
(2)定理的实质
由平面向量基本定理知，可将任一向量 在给出基底{ ， }的条件下进行分解——平面内的任一向
量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.
2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路：
用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向
量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分
解都是唯一的.
【知识点2 平面向量坐标运算及其解题策略】
1．平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和（差）的坐标表示
由于向量 =( , )， =( , )等价于 = + ， = + ，所以 + =( + )+( +
)=(
+ ) +( + ) ，即 + =( + , + ).同理可得 - =( - , - ).
这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
(2)向量数乘的坐标表示
由 =(x,y)，可得 =x +y ，则 = (x +y )= x + y ，即 =( x, y).
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
2．共线的坐标表示
(1)两向量共线的坐标表示
设 =( , )， =( , )，其中 ≠0.我们知道， ， 共线的充要条件是存在实数 ，使 = .如果
用
坐标表示，可写为( , )= ( , )，即 ，消去 ，得 - =0.这就是说，向量 ， ( ≠0)
共线的充要条件是 - =0.
(2)三点共线的坐标表示
若A( , )，B( , )，C( , )三点共线，则有 = ，
从而( - , - )= ( - , - )，即( - )( - )=( - )( - )，
或由 = 得到( - )( - )=( - )( - )，
或由 = 得到( - )( - )=( - )( - ).
由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.
3．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的
坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
【方法技巧与总结】1．若 与 不共线，且 ，则 .
2．已知P为线段AB的中点，若A( , )，B( , )，则P点坐标为 .
3．已知△ABC的重心为G，若A( , )，B( , )，C( , )，则G .
【题型1 平面向量基本定理的应用】
【例1】（2024·山西吕梁·三模）已知等边△ABC的边长为1，点D,E分别为AB,BC的中点，若
⃗DF=3⃗EF，则⃗AF=（ ）
1 5 1 3
A． ⃗AB+ ⃗AC B． ⃗AB+ ⃗AC
2 6 2 4
1 1 3
C． ⃗AB+⃗AC D． ⃗AB+ ⃗AC
2 2 2
1
【变式1-1】（2024·山东潍坊·二模）在△ABC中，BD= BC，点E是AD的中点，记⃗AB=⃗a，⃗AC=⃗b，
3
则⃗BE=（ ）
1 1 2 1 1 1 2 1
A．− ⃗a+ ⃗b B．− ⃗a+ ⃗b C．− ⃗a− ⃗b D． ⃗a− ⃗b
3 3 3 6 3 3 3 6
【变式1-2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在△ABC中，D为线段AC的一个三等分点，|AD|=2|DC|.连
接BD，在线段BD上任取一点E，连接AE，若⃗AE=a⃗AC+b⃗AB，则a2+b2的最小值为（ ）
13 5 4 2
A． B． C． D．
4 2 13 5
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）如图所示，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点，
⃗AG=2⃗GM，过点G的直线分别交直线AB，AC于P，Q两点．设⃗AB=x⃗AP(x>0)，⃗AC= y⃗AQ(y>0)，
4 1
则 + 的最小值为（ ）
x+2 y+13 3
A． B． C．3 D．6
4 2
【题型2 利用平面向量基本定理求参数】
1 1
【例2】（2024·湖南益阳·一模）在平行四边形ABCD中，⃗BE= ⃗BC，⃗AF= ⃗AE，若
2 3
⃗AF=m⃗AB+n⃗AD，则m+n=（ ）
1 1 5
A． B． C． D．1
3 2 6
【变式2-1】（2024·陕西西安·一模）在△ABC中，点D是线段AC上一点，点P是线段BD上一点，且
2
⃗CD=⃗DA，⃗AP= ⃗AB+λ⃗AC，则λ=（ ）
3
1 1 2 5
A． B． C． D．
6 3 3 6
【变式2-2】（2024·湖南邵阳·三模）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E满足⃗DC=4⃗DE，
⃗OE=λ⃗AC+μ⃗BD，则λ−μ=（ ）
1 1 1 1
A．− B．− C． D．
4 2 4 2
【变式2-3】（2024·陕西榆林·三模）在△ABC中，E在边BC上，且EC=3BE,D是边AB上任意一点，
AE与CD交于点P，若⃗CP=x⃗CA+ y⃗CB，则3x+4 y=（ ）
3 3
A． B．− C．3 D．-3
4 4
【题型3 平面向量的坐标运算】
【例3】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy内，已知点A(−1,1),⃗AB=(1,−2)，则⃗OB=
（ ）
A．(2,−3) B．(0,−1) C．(−2,3) D．(0,1)
【变式3-1】（2024·河北·模拟预测）在正六边形ABCDEF中，直线ED上的点M满足⃗AM=⃗AC+m⃗AD，
则m=（ ）
1 1 1
A．1 B． C． D．
2 3 4
【变式3-2】（2024·河南郑州·模拟预测）已知点A，B，C，D为平面内不同的四点，若
⃗BD=2⃗DA−3⃗DC，且⃗AC=(−2,1)，则⃗AB=（ ）
A．(4,−2) B．(−4,2) C．(6,−3) D．(−6,3)【变式3-3】（2024·宁夏银川·二模）已知向量 ， ， ，若 ，则
⃗a=(2,−3) ⃗b=(1,2) ⃗c=(9,4) ⃗c=m⃗a+n⃗b m+n=
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【题型4 由向量共线（平行）求参数】
【例4】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知向量 ，若 ，则
⃗a=(1,2),⃗b=(λ,−1),⃗c=(μ,−1) (⃗a+⃗c) ∥ ⃗b
λ+μ=（ ）
A．−2 B．−1 C．0 D．1
【变式4-1】（2024·河南南阳·一模）已知向量 ，若 反向
⃗a=(1,−2),⃗b=(x,−1),⃗c=(−4,x) 2⃗a+⃗b,⃗a−⃗c
共线，则实数x的值为（ ）
A．−7 B．3 C．3或−7 D．−3或7
【变式4-2】（2024·内蒙古包头·三模）已知向量 ， ，若 ，则
⃗a=(1,−1) ⃗b=(m+1,2m−4) (⃗a+⃗b)//(⃗a−⃗b)
m=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式4-3】（2024·贵州贵阳·二模）已知向量 ，若 ，则实数
⃗a=(1,−2),⃗b=(2,x) (3⃗a−⃗b)//(⃗a+2⃗b) x=
（ ）
A．2 B．1 C．0 D．−4
【题型5 利用向量共线求向量或点的坐标】
【例5】（2024·陕西宝鸡·三模）已知向量 与 共线，则 （ ）
⃗a=(m,2) ⃗b=(−2,−4) 2⃗a−⃗b=
A．(10,8) B．(4,8) C．(0,0) D．(1,2)
1
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知M(4,−2)，N(−6,−4)，且⃗MP=− ⃗MN，则点P的坐标为
2
（ ）
A．(1,1) B．(9,−1) C．(−2,2) D．(2,−1)
【变式5-2】（2024·河北邯郸·三模）已知向量 与 共线，则 （ ）
⃗a=(m,2) ⃗b=(−2,−4) 3⃗a−⃗b=
A．(1,10) B．(5,10) C．(5,2) D．(1,2)【变式5-3】（2024·陕西宝鸡·一模）设向量 ， ，若向量 与 共线，则
⃗a=(2,−1) ⃗b=(m,2) ⃗a ⃗a−⃗b ⃗a+⃗b=
（ ）
A．(−2,1) B．(−2,−1) C．(−4,2) D．(−2,−4)
【题型6 向量坐标的线性运算解决几何问题】
【例6】（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，
AD=DC=2AB=4，E为AD的中点，若⃗CA=λ⃗CE+μ⃗DB(λ,μ∈R)，则λ+μ的值（ ）
6 8 8
A． B． C．2 D．
5 5 3
π
【变式6-1】（2024·江苏南通·二模）如图，点C在半径为2的A´B上运动，∠AOB= 若
3
⃑OC=m⃑OA+n⃑OB，则m+n的最大值为（ ）
2√3
A．1 B．√2 C． D．√3
3
【变式6-2】（23-24高一下·安徽合肥·期中）设O为△ABC所在平面内一点，满足2⃑OA−7⃑OB−3⃑OC=0⃑，
则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【变式6-3】（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，
AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|⃑PA+3⃑PB|的最小值为（ ）
A．-4 B．5 C．-5 D．4【题型7 由向量线性运算解决最值和范围问题】
【例7】（23-24高三·全国·阶段练习）在直角梯形ABCD中⃗AB⋅⃗AD=0,∠B=30∘，AB=2√3,BC=2，
点E为BC边上一点，且⃗AE=x⃗AB+ y⃗AD，则xy的取值范围是（ ）
A．( 1) B．[ 1] C．[ √30] D．[1 ]
−∞， 0, 0, ,2√3
2 2 2 2
【变式7-1】（23-24高一下·山东·期中）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点A为圆心的单
位圆上．若⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AD(λ,μ∈R)，则λ+μ的最大值为（ ）
√5
A．3 B．√5 C． D．2
2
【变式7-2】（23-24高三上·山西·阶段练习）在等腰直角△ABC中，D为斜边BC的中点，点Р为△ACD
1
内一点（含边界），若⃑AP= ⃑AB+λ⃑AC，则λ的取值范围为（ ）
4
(1 3) [1 1) [1 1] [1 3]
A． , B． , C． , D． ,
4 4 4 2 4 2 4 4
【变式7-3】（23-24高一下·山西朔州·阶段练习）在矩形ABCD中， AB=√5，BC=√3，P为矩形内一
√5
点，且AP= ，若⃑AP=λ⃑AB+μ⃑AD(λ,μ∈R)，则√5λ+√3μ的最大值为（ ）
2
√5 √10 3+√3 √6+3√2
A． B． C． D．
2 2 4 4
1．（2022·全国·高考真题）已知向量⃑a=(3,4),⃑b=(1,0),⃑c=⃑a+t⃑b，若<⃑a,⃑c>=<⃑b,⃑c>，则t=（ ）
A．−6 B．−5 C．5 D．6
2．（2023·全国·高考真题）已知向量 ，若 ，则（ ）
⃗a=(1,1),⃗b=(1,−1) (⃗a+λ⃗b)⊥(⃗a+μ⃗b)
A．λ+μ=1 B．λ+μ=−1
C．λμ=1 D．λμ=−13．（2024·全国·高考真题）设向量 ，则（ ）
⃗a=(x+1,x),⃗b=(x,2)
A．“x=−3”是“⃗a⊥⃗b”的必要条件 B．“x=1+√3”是“⃗a//⃗b”的必要条件
C．“x=0”是“⃗a⊥⃗b”的充分条件 D．“x=−1+√3”是“⃗a//⃗b”的充分条件
4．（2022·天津·高考真题）在△ABC中，点D为AC的中点，点E满足⃗CB=2⃗BE.记⃗CA=⃗a,⃗CB=⃗b，用
⃗a,⃑b表示⃗DE= ，若AB⊥DE，则∠ACB的最大值为 .
5．（2024·天津·高考真题）已知正方形 的边长为1， → → 若 ⃗ ⃗ ⃗ ，其中 为
ABCD λ,μ
DE=2EC, BE=λBA+μBC
实数，则λ+μ= ；设F是线段BE上的动点，G为线段AF的中点，则⃗AF⋅⃗DG的最小值为 ．
