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重难点 7-2 圆锥曲线综合问题
圆锥曲线综合问题是新高考数学的重难点内容。常见的考点有定点、定值、定曲线、最值范围、证明及存
在性问题，主要在解答题的第2问中进行考查，难度较大。在今年的高考中依旧是命题的热点方向。
【题型1 圆锥曲线的定值问题】
满分技巧
1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些
代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，
求定值问题常见的解题方法有两种：
法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；
法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。
2、直接法解题步骤
第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程： 或 、点的坐
标；
第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进
行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来；
第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。
【例1】（2023·北京·高三顺义区第一中学校考阶段练习）已知椭圆 过点 ，
且离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设过点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于 、 两点，线段 的垂直平分线交 轴于点 ，
判断 是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．【答案】（1） ；（2） 是定值，且
【解析】（1）因为椭圆 过点 ，且离心率为 ，
则 ，解得 ，
故椭圆 的方程为 .
（2） 是定值.
由已知得直线 的方程为 .
由 ，消去 ，整理得 .
所以 ，
设 、 ，则 ， ，
所以
，
则 ，
因为 ，
所以线段 的中点为 .
当 时， ， ，所以 .
当 时，线段 的垂直平分线方程为 ，
令 ，得 ，即 ，所以 ，所以 ，
综上所述， 为定值 .
【变式1-1】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）椭圆 的两个焦点分别为 ， ，
离心率为 ， 为椭圆 上任意一点， 不在 轴上， 的面积的最大值为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 与椭圆 相交于M，N两点，设点 ，求证：直线 ， 的斜率之和
为定值，并求出定值.
【答案】（1） ；（2）定值，
【解析】（1）因为椭圆的离心率为 ，所以 ，
设 到 的距离为 ，因为 ，
所以 ，易得当 时 面积取得最大值，
所以 ，因为 ，
所以 ， ，所以椭圆 的方程为 ；
（2）证明：如图，易知点 在椭圆外，
设直线 的方程为 ， ， ，
由 得 ，
所以 ， ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 .
【变式1-2】（2023·山东·实验中学校考一模）在平面直角坐标系xOy中，点P到点 的距离比到y轴
的距离大1，记点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F且斜率不为零的直线l交椭圆E： 于A，B两点，交曲线C于M，N两点，若
为定值，求实数λ的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）设 ，依题意， ，两边平方并整理，得 ，
所以曲线C的方程为 ．
（2）设 ， ， ， ，
依题意，设直线l的方程为 ，
由 消去y并整理，得 ，
而点 为椭圆E的右焦点，
因此 ， ，
则 ，
由（1）知， ，
若直线l交曲线C于M、N两点，且 ，则直线l与 相交，
由 消去y并整理，得 ，
而点 为抛物线 的焦点，
则 ，于是 ，
从而 ，要使 为定值，则 ，即 ，
所以实数λ的值为3．
【变式1-3】（2023·上海·高三进才中学校考期中）双曲线 的离心率为 ，圆
与 轴正半轴交于点 ，点 在双曲线 上．
（1）求双曲线 的方程；
（2）过点 作圆 的切线交双曲线 于两点 、 ，试求 的长度；
（3）设圆 上任意一点 处的切线交双曲线 于两点 、 ，试判断 是否为定值?若为定值，
求出该定值；若不是定值，请说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 为定值，且
【解析】（1）设双曲线 的半焦距为 ，
依题意， ，即有 ，则 ，
因为点 在双曲线 上，则 ，可得 ，则 ，
因此，双曲线 的方程为 .
（2）当切线的斜率不存在时，切线的方程为 ，
此时，圆心 到直线 的距离为 ，合乎题意，
当切线的斜率存在时，设切线的方程为 ，即 ，
由题意可得 ，解得 ，此时，切线方程为 ，
联立 ，可得 或 ，即点 ，
联立 ，可得 或 ，即点 ，
因此， .
（3）当圆 在点 处切线斜率不存在时，
点 或 ，切线方程为 或 ，
由（1）及已知，得 ，则有 ，当圆 在点 处切线斜率存在时，
设切线方程为 ，设点 、 ，
则有 ，即 ，
由 消去 得： ，
显然 ，
由韦达定理可得 ， ，
而 ， ，
则
，
因此 ，
在 中， 于点 ，则 ，
又因为 ，所以， ，
所以， ，则 ，
综上得 为定值 .
【题型2 圆锥曲线的定点问题】
满分技巧
1、参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量 ， 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定
点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于 ，
的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。
2、特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。
3、关系法：对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线
（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的
直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。
【例2】（2023·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的半焦距为 ，且过点
.
（1）求椭圆的方程；（2）设直线 交椭圆 于 两点，且线段 的中点 在直线 上，求证：线段
的中垂线恒过定点 .
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）椭圆过点 ，即 ，又 ，
又 ，则 ，即椭圆方程为 .
（2）由 得 ， ，
设 ， ，则 ，
设 的中点M为 ，
得 ，即 ，得 ，
所以 .
所以 的中垂线方程为 ，即 ，
故 的中垂线恒过点 .
【变式2-1】（2023上·北京东城·高三景山学校校考阶段练习）已知椭圆 ，长轴长
为4， 离心率是
（1）求椭圆 C的标准方程；
（2）斜率为 且不过原点的直线 交椭圆C于 A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C
于点 G，交直线 于点D. 若 证明：直线 经过定点，并求出定点坐标.
【答案】（1） ；（2）证明见解析， .
【解析】（1）由椭圆 的长轴长为4，得 ，即 ，
由离心率是 ，得 ，解得 ，
所以椭圆 C的标准方程为 .（2）设直线 的方程为： ， ，
由 消去 并整理得： ，
，即 ，设 ，
则 ， ，
于是点 ，
直线 的方程为 ，则点 ，
由 ，解得 ，
设点 ，则 ，
显然点 的纵坐标 同号，由 得， ，
因此 ，解得 ，此时 ，直线 ： 过定点 ，
所以直线 经过定点，该定点坐标为 .
【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）设动点P到定点 的距离与到定直线l： 的距离之比为2．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）若Q为l上的动点，A，B为E与x轴的交点，且点A在点B的左侧，QA与E的另一个交点为M，
QB与E的另一个交点为N，求证：直线MN过定点．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）设 ，则 ，
可得P点的轨迹方程为 .
（2）方法一：设 ， ， ， ．
由题意知 ， ．
联立 ，得 ，
所以 ， 即 ，
， ．由A，Q，M三点共线知 ①，
由B，Q，N三点共线知 ②，
由①②两式得 ③．
又因为 ，即 ，
代入③式得 ，即 ，
整理得 ，
即 ，
化简得 ．
当时 ， ，直线过定点 ，不符合题意，舍去．
当 时， ，直线过定点 .
方法二：设 ， ，记 ， ，
同方法一得③式，知 ．
设 ，代入 ，
得 ④．
因为 ， 是方程④的根，
所以 ，得 ，
代入： 得 ．
设 ，代入 ，
得 ，解得 ， ．
所以 ， ，
令 ，得 ，
所以直线MN过定点 ．
方法三：设 ， ．连接MB，由双曲线斜率积的定义知 ，
同方法一得③式，知 ．
所以 ．
设 ⑤，
双曲线方程可化为 ⑥．
点M，N满足⑤⑥两式，所以也满足下式：
即 ，
即 ，
所以有 ，解得 ，
代入⑤式得 ，
所以直线MN过定点 .
【变式2-3】（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线
分别与 相切于点 ， ，点 在曲线 上，且在 ， 之间，曲线 在 处的切线分别与 ， 相
交于 ， ．
（1）求 面积的最大值；
（2）证明： 的外接圆经过异于点 的定点．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1） ，设 ， ， ，
由题意可知直线 的斜率均存在，且不为0，
设直线 的方程为
与抛物线 联立得： .
由相切得： ，化简得： ,
故 则 ,
同理可得： ，
因为 同时在直线 和 上，所以 ， .
所以直线 的方程为： ，即
联立 ，消 ，得 ，
所以 ， ， ．
联立直线 和 ，联立 ，解得 ，
同理， ，
所以 ，
所以 ，
因为点 到直线 的距离 ，
所以 ，
所以当 时，
（2）由（1）得， 的中点 ，
因为 ，所以 ，所以 的外心为 ．
因为 ，
所以
，
所以 ，
所以 的外接圆经过异于点 的点 ．
【题型3 圆锥曲线的定直线问题】满分技巧
解决圆锥曲线中动点在定直线问题的解题步骤：
1、联立直线与圆锥曲线的方程消元；2、挖掘图形中的对称性，解出动点横坐标或纵坐标；3、将动点的
横纵坐标分别用参数表示，再消去参数；4、设点，将方程变形解出定直线方程。
【例3】（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知过点 的双曲线 的渐近
线方程为 .
（1）求C的方程；
（2）已知A，B是C的实轴端点，过点 的直线l与C交于M，N（异于A，B）两点，直线 与
交于点P，证明：点P在一条定直线上.
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）因为C的渐近线方程为 ，所以 ，
又点 在C上，所以 ，解得 ， ，
故C的方程为 .
（2）由题意可得直线l的斜率不为0，
设l的方程为 ，（ ），
设 ， ，
联立 得 ，
则 ， ，
，
根据双曲线的对称性，不妨设A是左顶点， ,
则直线 ，
同理得 ，
联立 与 ，得，
即 ，故 ，得
解得 ，故点P在定直线 上.
【变式3-1】（2023·吉林长春·统考一模）过抛物线 焦点 ，斜率为 的直线 与抛物线
交于 、 两点， ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）过焦点 的直线 ，交抛物线 于 、 两点，直线 与 的交点是否在一条直线上．若是，求
出该直线的方程；否则，说明理由．
【答案】（1） ；（2）直线 与直线 的交点都在 上
【解析】（1）由题意设直线 ， ， ，
联立方程组 ，消 得， ，
所以 ， ，解得 ，
即指物线 的方程为 ．
（2）由（1）可知 ， ， ．
设直线 ， ， ,
联立方程组 ，消 得 ，
所以 ， ．
直线 的斜率为 ，
所以直线 ，即 ，同理可得直线 ，从而 ，
即 ，解得 ，
所以直线 与直线 的交点都在 上．
【变式3-2】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，上
顶点为 ， 到直线 的距离为 ，且 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若过 且斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，证
明：直线 与 的交点在定直线上.
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）依题意可得直线 的方程为 ，即 ，
则 到直线 的距离为 .
又 ， ，故 ， ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）由（1）得 ，所以直线 的方程为 ，
由 可得 ，
设 ， ，显然 ，
所以 ， ，
故 .
由（1）可得 ， ，
则直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
设直线 与 的交点坐标为 ，则 ，
故，解得 ，
故直线 与 的交点在直线 上.
【变式3-3】（2023·广东广州·高三统考阶段练习）已知在平面直角坐标系中，动点 到 的距
离与它到直线 的距离之比为 ， 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）过点 作直线 与曲线 交于不同的两点 、 （ 、 在 轴右侧），在线段 上取异
于点 、 的点 ，且满足 ，证明：点 恒在一条直线上.
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意可得 ，整理可得 .
所以，曲线 的方程为 .
（2）证明：如下图所示：
因为 ，设 ，则 ，
设点 、 、 ，
由 可得 ，
即 ，所以， ，
由 可得 ，
即 ，所以， ，
所以， ， ，所以， ，即 ，
所以，点 在定直线 上.
【题型4 圆锥曲线的最值问题】
满分技巧
圆锥曲线最值问题的解题步骤：
1、设参数：依题意设出相关的参数，如设点坐标，设比例式的参数，设直线的方程等；
2、联立方程：常把直线方程与曲线方程联立，转化为关于x（或y）的一元二次方程；
3、建函数：根据题设条件中的关系，建立目标函数的关系式；
4、求最值：利用配方法、基本不等式法、单调性法等求其最值。
【例4】（2023·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）已知椭圆 经过两点
．
（1）求椭圆 的方程；
（2）点 在椭圆 上，求 面积的最大值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）椭圆 经过两点 ，
则 ，解得： ，故椭圆方程为： ；
（2） ，设与直线 平行且与椭圆相切的直线方程为 ，
，即 ， ，即 ，
要使 的面积最大，
则 为直线 与椭圆在第三象限的切点，此时 ，
的方程为： ，
又直线 的方程为： ，
点 到直线 的最大距离为直线 与直线 的距离 ， ，又 ，
的最大面积 .
【变式4-1】（2023·江苏苏州·高三统考期中）已知抛物线 的焦点到准线间的距离为2，
且点 抛物线C上．
（1）求m的值；
（2）若直线l与抛物线C交于A，B两点，且 ， 于点D， ，求DQ的最大值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）因为抛物线 的焦点到准线间的距离为2，所以 ．
又因为点 抛物线C上，所以 ．
（2）设 ， ，所以 ， ．
因为 ，所以 ，
所以 ，
又直线AB的方程为： ，
即 ，
所以直线AB： ，
所以直线恒过 ．
因为 于点D，所以点D在以PM为直径的圆上．
即圆心为 ，半径为 ．
．
所以DQ的最大值 ．
【变式4-2】（2023·四川雅安·高三校联考期中）已知椭圆 ： 的焦距为 ，且
.
（1）求 的方程；（2）A是 的下顶点，过点 的直线 与 相交于 ， 两点，直线 的斜率小于0， 的重心
为 ， 为坐标原点，求直线 斜率的最大值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由题可知 ，解得
故 的方程为 ；
（2）设 的方程为 ， ， .
联立方程组 整理得 ，
则 ，得 ，
.
设 ，因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
当 ，即 （满足 ）时， 取得最大值，且最大值为 .
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C经过点 ，它的两条渐近线分别为
和 .
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设双曲线C的左､右焦点分别为 ､ ，过左焦点 作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求
周长的最小值.【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）依题意，设双曲线C的方程为 ，
代入点 ，得 ，
所以双曲线C的标准方程为 .
（2）由（1）知，
双曲线C的左焦点为 ，设 ､ ，
①若直线l的斜率不存在，则 ，
得A､B的坐标分别为 和 ，
此时 ，
由双曲线定义可知： ，所以
此时 的周长为： .
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为 ，
由 得 ，
因为直线l交双曲线的左支于A､B两点，
所以 ，解得 ，
设 的周长为z，
则有：，
设 ，由 ，得 ，
， ，所以 ，
综上，由①②可得 的周长的最小值为 .
【题型5 圆锥曲线的取值范围问题】
满分技巧
1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
【例5】（2023·云南楚雄·高三统考期中）已知动圆P过点 ，且在圆B： 的内部与
其相内切.
（1）求动圆圆心P的轨迹方程；
（2）若M，N是动圆圆心P的轨迹上的不同两点，点 满足 ，且 ，求直线
MN的斜率k的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）设动圆P和圆B相切于点S，则B，P，S三点共线，
所以 .
所以点P的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长为4的椭圆，
设该椭圆的方程为 ，则 ， ，从而 .
所以点P的轨迹方程为 .
（2）由题意知直线MN的方程为 ，
设 ， .
联立方程组 ，消去x得 ，由 ，可得 .
由根与系数的关系有 .
由 可得 ，代入上式得 .
当 时， 是减函数，故 .
由 ，解得 ，
又 ，所以 ，
即k的取值范围是 .
【变式5-1】（2023·海南·校联考模拟预测）已知抛物线 （ ）的焦点F到双曲线
的渐近线的距离是 ．
（1）求p的值；
（2）已知过点F的直线与E交于A，B两点，线段 的中垂线与E的准线l交于点P，且线段 的中点
为M，设 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）E的焦点为 ，
双曲线 的渐近线方程为 ，不妨取 ，即 ．
由点到直线的距离公式得 ，得 ．
（2）由（1）知 ， ， ： ．
设直线 的方程为 ，
联立 消去x并整理，得 ，
设 ， ，则 ， ，，
∴ ．
易得M点的坐标为 ，
∴ 的中垂线方程为 ，
令 得 ，
∴ ，
从而 ，
∴ ，
∴实数 的取值范围为 ．
【变式5-2】（2023·上海·高三同济大学第一附属中学校考期中）已知椭圆 经过
， 两点. 为坐标原点，且 的面积为 ，过点 且斜率为 的直线 与椭圆
有两个不同的交点 ， .且直线 ， 分别与 轴交于点 ， .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若以 为直径的圆经过坐标原点，求直线 的方程；
（3）设 ， ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）因为椭圆 经过点 ，
所以 解得 （负值舍去）．
由 的面积为 可知 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ．
（2）设直线 的方程为 ， ， ．
联立 ，消 整理可得 ．
因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 的取值范围是 ，
所以 ， ，
则 ，
因为以 为直径的圆经过坐标原点，所以 ，
则 ，即 ，解得 （负值舍去），
所以直线 的方程为 .
（3）因为 ， ， ， ，
所以直线 的方程是： ，
令 ，解得 ，所以点 的坐标为 ．
同理可得点 的坐标为 ．
所以 ， ， ．
由 ， ，
可得 ， ，
所以 ，
同理 ，
由（2）得 ，
所以
，
因为 ，所以 ，所以 ，则 ，所以 ，
所以 的范围是 ．
【变式5-3】（2023·四川攀枝花·统考二模）已知抛物线 与双曲线 的渐近线在
第一象限的交点为P，且点P的横坐标为3．
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）点A、B是第一象限内抛物线E上的两个动点，点 为x轴上的动点，若 为等边三角形，求
实数t的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）设点 的坐标为 ，因为点 在第一象限，所以 ，
双曲线 的渐近线方程为 ，
因为点 在双曲线的渐近线上，所以 ，
所以点 的坐标为 ，
又点 在抛物线 上，所以 ，所以 ，
故抛物线 的标准方程为： ；
（2）设直线 的方程为 ，联立 ，消 得， ，
方程 的判别式 ，即 ，
设 ， ，则 ，
因为点A、B在第一象限，所以 ，故 ，
设线段 的中点为 ，则 ，
所以点 的坐标为 ，
所以 ，
所以
又点 到直线 的距离 ，
因为 为等边三角形，
所以 ， ，所以 ， ，
所以 ①， ②，
将①代入②可得 ③，所以 ，所以 ，
将③代入①可得 ，所以 ，
故t的取值范围为 ．
【题型6 圆锥曲线的证明问题】
满分技巧
圆锥曲线几何证明问题的解题策略：
1、圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如某点在
某直线上、某直线经过某点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系
（相等与不等）；
（2）解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性
质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明。
【例6】（2023·江苏南通·高三如东高级中学校考期中）在平面直角坐标系中，直线 与抛物
线 相切.
（1）求 的值；
（2）若点 为 的焦点，点 为 的准线上一点.过点 的两条直线 ， 分别与 相切，直线 与 ，
分别相交于 ， ，求证： .
【答案】（1）2；（2）证明见解析.
【解析】（1）
因为直线 与抛物线 相切，
所以 ，解得 或 （舍），
故 的值为2.
（2）证明：由（1）可知，焦点 ，准线方程为 .
设准线上一点 ，
因为过点 的两条直线 ， 分别与 相切，所以直线 ， 斜率均不为零，
故设过点 的两条直线 ， 的方程分别为 ， .
，即A点坐标为同理，B点坐标为 .
所以 ， .
联立 ，可得
因为 ， 与 相切，所以 ，即 ，
且 为方程 的两根，
根据韦达定理，则有 .
所以
所以 ，即 .
【变式6-1】（2023·内蒙古·高三校联考阶段练习）已知椭圆 ，离心率 ，过点
.
（1）求 的方程；
（2）直线 过点 ，交椭圆于 、 两点，记 ，并设直线 、直线 的斜率分别为 、
，证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）因为 ，则 ， ，
所以，椭圆 的方程为 ，即 ，
将点 的坐标代入椭圆 的方程可得 ，
因此，椭圆 的方程为 .（2）若直线 与 轴重合，此时，直线 、 的斜率都不存在，不
合乎题意.
所以，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
设点 、 ，
联立 可得 ，
，
由韦达定理可得 ， ，
所以，
.
【变式6-2】（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知 ， 为椭圆 的两焦点，过点
作直线交椭圆 于 两点， 的周长为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）椭圆 的上顶点为 ，下顶点为 ，直线 交 于点 ，求证： ， ， 三点共线.
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）在椭圆 中，由 ，可得 ，
又由 的周长为 ，
根据由椭圆的定义，可得 ，即 ，则 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）证明：如图所示，设直线 ： ，且 ， ， ，
联立方程 ，整理得 ，
则 ，且 ， ，
因为点 ， ， 三点共线，
可得 ，即 ，所以 ，
又由 ，
则
，
将 ， 代入得 ，
所以 三点共线.
【变式6-3】（2023·全国·模拟预测）已知 是曲线 上一动点， 是点 在直线 上的射
影， 为 的中点， ．
（1）求曲线 的方程；
（2）若 是曲线 上异于坐标原点 的两点， 与 关于 轴对称，直线 与 轴交于点 ，直线
与 轴交于点 ，求证： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）当 与原点重合时，显然 ．
当 与原点不重合时，连接 ，
为 的中点， ， ．
由抛物线的定义知，曲线 是以 为焦点、直线 为准线的抛物线，
设抛物线 的标准方程为 ，则 ，
曲线 的方程为 ．
（2）设点的坐标
设 ，则 ，
由题意知直线 的斜率均存在且均不为零，
直线 的方程为 ，
代入 并整理得， ，．
直线 的方程为 ，
代入 并整理得， ，
．
由于 与 关于 轴对称，
，
，
点 在曲线 上， ，
， ．
【题型7 圆锥曲线的存在性问题】
满分技巧
存在性问题的解题技巧：
1、特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再
证明求得的要素也使得其他情况均成立；
2、假设法：先假设存在，推证满足条件的结论。若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在。
【例7】（2023·北京·高三景山学校校考期中）已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，
，焦距为 ，点 在椭圆上.
（1）求 的方程；
（2）过点 的任意直线与椭圆 交于 ， （不同于 ， ）两点，直线 的斜率为 ，直线
的斜率为 .试问是否存在常数 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在， .
【解析】（1）由题设 ，故 的方程为 ；
（2）由题意，直线 不与x轴重合，令 ，
联立椭圆方程得 ，
所以 ，显然 ，则 ， ，
所以 ，
，
令 的斜率为 ，则 ，
而 ，即 ，所以 ，
又
，
所以 ，即存在 .
【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆C： 的离心率为 ，点 在椭圆
C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若O为坐标原点，过点 的直线l与椭圆C交于M，N两点，椭圆C上是否存在点Q，使得直线
与直线 分别交于点A，B，且点A，B关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在，点Q的坐标为 或
【解析】（1）因为椭圆C的离心率为 ，
所以 ， .
又 ，所以 .
将 代入椭圆方程，得 ，
所以 ， ，
所以椭圆C的标准方程为 ．（2）当直线l的斜率不为0时，
设直线l： ，联立得 ，
整理得 ．
则 ，解得 或 .
设 ， ， ，
由韦达定理可得 ， ，
则直线MQ： ，
令 ，得 ，所以 .
同理得 ．
由点A，B关于x轴对称得 ，即 ，
整理可得， .
易知点 不在 上，所以 ，
所以， ，
所以，有 ，整理得 .
由n的任意性知 ，
将 坐标代入代入椭圆方程有 ，解得 ，
所以点Q的坐标为 或 ．
当直线l的斜率为0时，不妨令 ， ， ，
此时直线MQ： ，
令 ，得 ，所以 ，
同理得 ，显然点A，B关于x轴对称，满足.
综上，存在满足题意的点Q，且点Q的坐标为 或 ．【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知抛物线 的顶点为坐标原点 ，焦点为 ．椭圆 的中心
为 ，左焦点为 ，上顶点为 ，右顶点为 ，且 ．
（1）求抛物线 和椭圆 的标准方程．
（2）设直线 经过点 ，与抛物线 交于 ， 两点，与椭圆 交于 ， 两点．记 和 的
面积分别为 和 ，是否存在直线 ，使得 ？若存在，求出 的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ， ；（2）存在，其方程为 或
【解析】（1）由抛物线 的焦点为 ，
可知 ，所以 ，
所以抛物线的方程为 ；
设椭圆 的标准方程为 ，则 ， ，
所以 ， ，
由 ，可得 ，
又 ，所以 ，解得 或 （舍），则 ，
所以椭圆方程为 ；
（2）由题意可知，直线 的斜率一定不为 ，
则设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
联立直线与抛物线 ，得 ，
，
则 ， ，
所以 的面积
，
联立直线与椭圆 ，得 ，
，
则 ， ，所以 的面积
，
又 ，
所以 ，解得 ，
所以存在满足条件的直线 ，且直线方程为 或 .
【变式7-3】（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知双曲线 ，过点 的直线 与该双曲线的
左、右两支分别交于点 ．
（1）当直线 的斜率为 时，求 ；
（2）是否存在定点 ，使得 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在， .
【解析】（1）由题设，易知直线 的方程为 ，设 ，
由 ，得 ，此时 ，所以 ，
所以， ．
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
由 及等面积法得 ，
所以 ．
设 ，直线 的方程为 ，其中 ，
由 ，得 ，此时 ，
所以 ．因为 ，
所以 ，
，
所以 ，整理得 ，
将韦达公式代入上式，整理得 ，所以 ．
所以，存在 ，使得 ．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·安徽阜阳·临泉第一中学校考三模）已知双曲线C： ，直线l在x轴上方
与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为 .
（1）求C的方程；
（2）设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，
， 均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在，
【解析】（1）由已知C： ，点A的坐标为 ，得 ，
焦点 ， ， .
所以 ， ，故C： .
（2）设l的方程为 ，则 ，故 ，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为 ，故 .
与双曲线方程联立得： ，
由已知得 ， ，设 ， ，
则 ， ①
由 ， 得： ， ，消去 得： ，
即 ②
由①②得： ，由已知 ，
故存在定直线l： 满足条件.
2．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
（1）求椭圆 的标准方程.
（2）已知过右焦点 的直线 与 交于 两点，在 轴上是否存在一个定点 ，使 ？若
存在，求出定点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在，
【解析】（1）因为 ，所以 .
所以椭圆 的方程为 .
因为点 在椭圆 上，
所以 ，解得 ，所以 .
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）存在定点 ，使 .理由如下：
由（1）知， ，则点 .
设在 轴上存在定点 ，使 成立.
当直线 斜率为 时，直线右焦点 的直线 即 轴与 交于长轴两端点，
若 ，则 ，或 .
当直线 斜率不为 时，设直线 的方程为 ，.
由 消去 并整理，得 ，
则 .
因为 ，所以 ，
所以 ，即 .所以 ，
即 ，
恒成立，
即对 ， 恒成立，则 ，即 .
又点 满足条件 .
综上所述，故存在定点 ，使 .
3．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）已知抛物线 ，过点 的两条直线 、
分别交 于 、 两点和 、 两点．当 的斜率为 时， ．
（1）求 的标准方程；
（2）设 为直线 与 的交点，证明：点 在定直线上．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）当直线 的斜率为 时，直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ，
，因为 ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
，
整理可得 ，解得 或 （舍去），
因此，抛物线 的方程为 .
（2）证明：当直线 与 轴重合时，直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意，
所以，直线 不与 轴重合，同理可知直线 也不与 轴重合，
设直线 的方程为 ，联立 可得 ，
则 可得 ，
设点 、 ，由韦达定理可得 ，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，同理可得 ，直线 的方程为 ，即 ，
化简可得 ，
同理可知，直线 的方程为 ，
因为点 在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，
交点 必在垂直于 轴的直线上，
所以只需证明点 的横坐标为定值即可，
由 ，消去 ，
因为直线 与 相交，则 ，
解得 ，
所以，点 的横坐标为 ，因此，直线 与 的交点 必在定直线 上.
4．（2023·重庆·高三巴蜀中学校考阶段练习）如图3所示，点 ， 分别为椭圆
的左焦点和右顶点，点 为抛物线 的焦点，且 （ 为坐标原点）.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作直线 交椭圆 于 ， 两点，连接 ， 并延长交抛物线的准线于点 ， ，求证：
为定值.
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）因为点 为抛物线 的焦点，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ， ，所以 ， ， ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）证明：由（1）可知： ， ，设 ， ， ， ，
显然直线 的斜率不为0，故可设为 .
由 得： ，
，
， .
， ， 三点共线， .
同理： ，
，
，
故 ，即： .
5．（2023·安徽·高三模拟测试）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，
则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆 ，双曲线 是椭圆 的“姊妺”圆锥曲
线， 分别为 的离心率，且 ，点 分别为椭圆 的左､右顶点.
（1）求双曲线 的方程；
（2）设过点 的动直线 交双曲线 右支于 两点，若直线 的斜率分别为 .
（i）试探究 与 的比值 是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
（ii）求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）（i） 为定值 ；（ii） ；
【解析】（1）由题意可设双曲线 ，
则 ，解得 ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）（i）设 ，直线 的方程为 ，由 ，消元得 .
则 ，且 ，
；
或由韦达定理可得 ，即 ,
，
即 与 的比值为定值 .
（ii）设直线 ，
代入双曲线方程并整理得 ，
由于点 为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为 ，.
由韦达定理得： ，解得 .
因为点A在双曲线的右支上，所以 ，解得 ，即 ，
同理可得 ，
由（i）中结论可知 ，
得 ，所以 ，
故 ，
设 ，其图象对称轴为 ，则 在 上单调递减，故 ，
故 的取值范围为 .
另解：由于双曲线 的渐近线方程为 ，
如图，过点 作两渐近线的平行线 与 ，由于点A在双曲线 的右支上，
所以直线 介于直线 与 之间（含 轴，不含直线 与 ），
所以 .
同理，过点 作两渐近线的平行线 与 ，
由于点 在双曲线 的右支上，
所以直线 介于直线 与 之间（不含 轴，不含直线 与 ），
所以 .
由（i）中结论可知 ，
得 ，所以 ,
故 .
6．（2022·山东青岛·高三统考开学考试）在平面直角坐标系Oxy中，动圆P与圆 内切，且与圆 外切，记动圆P的圆心的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）不过圆心 且与x轴垂直的直线交轨迹E于A，M两个不同的点，连接 交轨迹E于点B
（i）若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点；
（ii）若过圆心 的直线交轨迹E于D，G两个不同的点，且 ，求四边形ADBG面积的最小值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）设动圆P的半径为R，圆心为 ，
即 ，
，即 ，
而动圆P与圆 内切，且与圆 外切，
故 ，则 ，
故动圆P的圆心的轨迹是以 为焦点的椭圆，
设其方程为 ，则 ，
故轨迹E的方程为 .
（2）（i）由题意知AB斜率存在，设其方程为 ， ，则
，
由 ，得 ，
由于直线AB过椭圆焦点，则必有 ，则 ，
直线BM的方程为 ，
令 ，可得，
即N为一个定点 ；
（ii）
，同理可得 ，
，则
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
即四边形ADBG的面积的最小值为 .
