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2021-2022学年七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（北师大版）
专题10 线段垂直平分线、角平分线应用类型
【题型一 应用线段垂直平分线的性质求周长】
例题：（2022·贵州铜仁·八年级期末）如图，在 中， ，AD，BE分别是BC和AC边上的
高，AD与BE相交于点F，连接CF．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的周长．
【变式训练1】（2022·山西晋中·八年级期中）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，垂足为点D，
DE交AC于点E，且 ，△BEC的周长为11，则BC的长为________．
【变式训练2】（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上
的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD=1，AC=3，△OCD周长的最小值是___________．
【变式训练3】（2022·河北·阜城县教育科学研究室八年级期末）如图，在 中，DE是AC的垂直平分
线， ， 的周长为14，求 的周长．【变式训练4】（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，在 中， ，D是 的中点， 垂直
平分 ，交 于点E，交 于点F，M是直线 上的动点．
(1)当 时．
①若 ，则点 到 的距离为________
②若 ， ，求 的周长；
(2)若 ，且 的面积为40，则 的周长的最小值为________．
【题型二 应用线段垂直平分线、角平分线的性质解决实际问题】例题：（2022·山西晋中·八年级期中）近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如
图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地．但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享
受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（ ）
A．AB，BC两边垂直平分线的交点处 B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处 D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
【变式训练1】（2022·山东青岛·八年级期中）某公园的A，B，C处分别有海资船、摩天轮、旋转木马三
个娱乐项目，现要在公园内一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，则售票中心
应建立在（ ）
A．△ABC三边高线的交点处 B．△ABC三角角平分线的交点处
C．△ABC三边中线的交点处 D．△ABC三边垂直平分线的交点处
【变式训练2】（2022·山西晋中·八年级期中）2022年左权县将倾力打造泽城村“中国北方国际写生基地”，
实现“山水-写生-消费-产业“的全链条发展，为方便百姓利用直播带货，助推家乡产业发展，中国移动通
信公司已经资助建设5G直播仓。目前，政府为更好地服务农民，将在村庄A、B、C之间的空地上新建一
座仓库P．已知A、B、C恰好在三条公路的交点处，要求仓库Р到村庄A、B、C的距离相等，则仓库P应
选在（ ）A． 三条角平分线的交点 B． 三边的垂直平分线的交点
C． 三条中线的交点 D． 三条高所在直线的交点
【变式训练3】（2021·河南·金明中小学八年级期中）如图，某小区绿化带 ABC内部有两个喷水臂P、
Q，现欲在 ABC内部建一个水泵O，使得水泵O到BA，BC的距离相等，△且到两个嘈水管P、Q的距离也
相等，请你△在图中标出水泵O的位置（保留作图痕迹）．
【题型三 应用角平分线的性质求面积和周长】
例题：（2022·山东·滕州市鲍沟镇鲍沟中学一模）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点
O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，AB=5，BC=7，AC=3．
(1)求△AEF的周长；
(2)若DO=1，试求△ABC的面积．
【变式训练1】（2020·贵州遵义·八年级期末）如图，在Rt△ABC中， ，AD平分∠BAC，交BC
于点D，若 ，△ABD的面积为60，则CD长( )A．12 B．10 C．6 D．4
【变式训练2】（2022·黑龙江·大庆市万宝学校七年级期末）如图，在 中， 是 边上的高，
平分 ，交 于点 ，若 ， ，则 的面积等于（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
【变式训练3】（2022·山西晋中·八年级期中）图，在 中， 平分 ， 平分 ，过点
作 的平行线与 ， 分别相交于点 ， ．若 ， ，求 的周长．
【变式训练4】（2022·福建泉州·八年级期末）如图，在 中， 垂直平分 ，交 于点F，
于点D， ，连接 ．
(1)若 平分 ，求 的度数；
(2)若 的周长为 ， ，求 的长．【题型四 应用角平分线的性质证明线段数量关系】
例题：（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）已知，点C在 的平分线 上，点B、D分别在 、
上，连接 、 ．
(1)如图1，若 ，请直接写出线段 与 的数量关系；
(2)如图2， ，郑么（1）中探究的结论是否成立？若成立，请给出证明：若不成立，请
说明理由．
【变式训练1】（2022·广西百色·八年级期末）已知：如图，∠BAC＝30°，G为∠BAC平分线上一点，
EG∥AC，EG交AB于点E；GD⊥AC，垂足为点D．求证： ．
【变式训练2】（2022·山东青岛·八年级期中）在Rt△ABC中， ，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D， 于点F．
(1)求证： ；
(2)试判断AD与AG有怎样的数量关系？请说明理由．
【变式训练3】（2022·上海松江·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC>CD，AC平分
∠BCD，过点A作AE⊥BC，垂足为点E．
(1)求证：CE=CD BE；
(2)如果CE=3BE，求 的值．
【变式训练4】（2020·广东·珠海市九洲中学八年级阶段练习）已知OM是∠AOB的平分线，点P是射线
OM上一点，点C、D分别在射线OA、OB上，连接PC、PD．(1)如图①，当PC⊥OA，PD⊥OB时，则PC与PD的数量关系是 ．
(2)如图②，点C、D在射线OA、OB上滑动，且∠AOB＝90°，当PC⊥PD时，PC与PD在（1）中的数量
关系还成立吗？说明理由．
