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重难点 6-1 空间角与空间距离的求解
空间角与空间距离问题一直是高考数学必考点与热点考向。通常小题及解答题的第2小问考查，难度中等。
在高考复习过程中除了掌握空间向量法，还需多锻炼几何法的应用。
【题型1 几何法求异面直线夹角】
满分技巧
1、求异面直线所成角一般步骤：
（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．
（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
（4）取舍：因为异面直线所成角 的取值范围是 ，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为
异面直线所成的角．
2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：
（1）直接平移法(可利用图中已有的平行线)；
（2）中位线平移法；
（3）补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
【例1】（2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期中）在正方体 中， ， ， ，
分别为 ， ， ， 的中点，则异面直线 与 所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在正方体 中，连接 ，
由 分别为 的中点，得 分别为 中点，而 分别为 的中点，则 ， ，
因此 或其补角是异面直线 与 所成的角，
在 中， ，则 ，
所以异面直线 与 所成角的大小是 .故选：C
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）如图， 是圆锥的顶点， 是底面直径，点 在底面圆上．若
为正三角形，且 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知 ，所以 ，
设 ，则 ，可得 ，
分别取 的中点 ，连接 ，则 ，
所以 或其补角为异面直线 与 所成角，
过点 作 于 ，连接 ，
则 为 中点， 与底面垂直，且 ，
在 中， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以在 中，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .故选：A .
【变式1-2】（2024·广东·高三校联考开学考试）如图，在直三棱柱 中，所有棱长都相等， ，， 分别是棱 ， ， 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接 ，因为在直三棱柱 中， ， 分别是棱 ， 的中点，
故 ，即四边形 为平行四边形，
所以 ，则 即为异面直线 与 所成角或其补角；
直三棱柱 中，所有棱长都相等，设其棱长为2，
连接 ，则 ，而 平面 ，故 平面 ，
平面 ，故 ，
是棱 的中点，故 ，则 ,
而 ，又 ，
故在 中， ,
由于异面直线所成角的范围为大于 ，小于等于 ，
故异面直线 与 所成角的余弦值是 ，故选：D
【变式1-3】（2022·全国·模拟预测）已知正方形 的边长为2，把 沿 折起，使点A与点E
重合，若三棱锥 的外接球球心O到直线 的距离为 ，则异面直线 与 所成角的余弦值
为（ ）A． B． C． D．0
【答案】A
【解析】易得三棱锥 的外接球球心O为 的中点，连接 ，则 ，
取 的中点H，连接 ，易知 ，
则 为点O到直线 的距离，即 ，
取 的中点F，连接 ，得 ，
则 或其补角是异面直线 与 所成角．
因为 ，所以 ，
则异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故选：A．
【变式1-4】（2023·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）在正四棱台 中，
，点 是底面 的中心，若该四棱台的侧面积为 ，则异面直线 与 所成角的
余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知：正四棱台侧面为等腰梯形，
连接： ， ， ， ， ， ，作 ，如下图所示，
因为棱台侧面积为 ，
即： ，得： ，
所以：侧棱长 ，
因为： ，得： ，
又因为： ，所以：四边形 是平行四边形，
所以： ， （或其补角）是异面直线 与 所成的角，
根据余弦定理可知： ，故A项正确.故选：A.
【题型2 向量法求异面直线夹角】满分技巧
异 面 直 线 所 成 角 ： 若 分 别 为 直 线 的 方 向 向 量 ， 为 直 线 的 夹 角 ， 则
.
【例2】（2023·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱 中，
，且 ， ， 分别是棱 ， 的中点，则异面直线 与 所成角的正弦
值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示：以 为 轴建立空间直角坐标系，设 ，
则 ， ， ， ，
， ，
，
异面直线 与 所成角的正弦值是 .故选：A.
【变式2-1】（2023·安徽·高三校联考期末）已知 是圆锥 底面的直径， 为底面圆心， 为半圆弧
的中点， ， 分别为线段 ， 的中点， ， ，则异面直线 与 所成角的余
弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 为半圆弧 的中点，则 ，如图，建立空间直角坐标系，
因为 ， ，为半圆弧 的中点， ， 分别为线段 ， 的中点，
则 , ，
所以 ，
设异面直线 与 所成角的角为 ，
则 ，故选：B.
【变式2-2】（2024·江西·高三统考期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2， ， 分别为上、下底面
圆的直径，四面体 的体积为 ，则直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，找底面圆心 ，作 与底面垂直， // ， ，
故以 为原点，建立空间直角坐标系，规定 ， ，
设 ， ，
易知底面圆方程为 ，则 ， ，
故 ， ，
故 ，
设 到面 的距离为 ，设面 的法向量 ，
故有 ， ，解得 ， ， ，
故 ，由点到平面的距离公式得 ，
已知四面体 的体积为 ，
故得 ，解得 (负根舍去)，
易得 ，故 ， ，
， ，
设直线 与 所成角为 ，故有 .故选：D【变式2-3】（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）三棱锥 中， 平面 ，
， . ，点 是面 内的动点（不含边界）， ，则异面直线
与 所成角的余弦值的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 平面 平面 ，得 ，
又 平面 ，则 平面 ，
平面 ，则 ，
又 ， 平面 ，
因此 平面 ，而 平面 ，则 ，
如图，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向建立空间直角坐标系，
则 ，
设 ， ，
由 ，得 ，
，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 ，
令 ，则 ，
显然函数 在 上单调递增，此时 ， ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值的取值范围为 .故选：A
【变式2-4】（2023·广东汕头·高三潮阳实验学校校考阶段练习）正四棱锥的侧棱长为 ，底面的边长为
，E是 的中点，则异面直线 与 所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接 ，交于点O，连接 ，
以 为x轴， 为y轴， 为z轴，建立空间直角坐标系，正四棱锥的侧棱长为 ，底面的边长为 ，E是 的中点，
， ，
，
，
设异面直线 与 所成的角为 ，
则 ， ，
异面直线 与 所成的角为 ．故选：C.
【题型3 几何法求直线与平面夹角】
满分技巧
1、垂线法求线面角（也称直接法）：
（1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面 做垂线，确
定垂足O；
（2）连结斜足与垂足为斜线AB在面 上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；
（3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。
3、公式法求线面角（也称等体积法）：
用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
ℎ
公式为：sinθ= ，其中θ是斜线与平面所成的角，ℎ是垂线段的长，l是斜线段的长。
l
方法：已知平面 β 内一个多边形的面积为S，它在平面α 内的射影图形的面积为 S 射影，
S
平面α 和平面 β 所成的二面角的大小为 θ ，则 COSθ= 射影 .这个方法对于无棱二面角的求解很简便。
S
【例3】（2022·全国·高三专题练习）在正方体 中，棱 的中点分别为 ， ，则
直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】连接 ，在正方体 中， 平面 ，
棱 的中点为 ，则 平面 ，
而 平面 ，故 ，
则 即为直线 与平面 所成角，
设正方体棱长为2，则 ，
则 ，
故 ，故选：C
【变式3-1】（2024·山西运城·高三统考期末）已知四棱锥 的底面是边长为4的正方形，
， ，则直线 与平面 夹角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，由题意可知， ，
中，根据余弦定理可知 ，则 ，
过点 作 平面 ， ，连结 ， ，连结 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以
，且 平面
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，
同理 ，
中， ，则 ，
根据等面积公式， ，
所以 ， ，又 ，所以 ，
则 ，
直线 与平面 夹角的夹角为 ， .故选：B
【变式3-2】（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校联考期末）过正四棱锥 的高
A B C D
的中点作平行于底面 的截面 1 1 1 1，若四棱锥 与四棱台 的表面积之比
为 ，则直线 与底面 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
A B C D
【解析】依题意过正四棱锥 的高 的中点作平行于底面 的截面 1 1 1 1，
则 ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中点，
设正方形 的边长为 ， ，
所以正方形 的面积为 ，正方形A B C D 的面积为 ，
1 1 1 1
正四棱锥的侧面积为 ，
四棱台 的侧面积为
，
所以正四棱锥 的表面积为 ，
四棱台 的表面积为 ，
所以 ，解得 ，
由 平面 ，所以 为直线 与底面 所成角，所以 ，
又 ， ，所以 .故选： .
【变式3-3】（2023·全国·高三校联考阶段练习）如图，在三棱台 中， 平面 ，
， ， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求 与平面 所成角正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由 ，得 ，
由 平面 ， 平面 ，则 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）将棱台补全为如下棱锥 ，
由 ， ， ，易知 ， ，
由 平面 ， 平面 ，则 ， ， ，
所以 ， ，可得 ，
设 到平面 的距离为h，
又 ，则 ，可得 ，
设 与平面 所成角为 ， ，则 .【变式3-4】（2023·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥 中，
， ， ， ， ， ， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 为 上一点，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1） ， ， ，
， ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 ；
（2）取 的中点 ．连接 、 ，
由（1）知 平面 ，
平面 ， ，
如图，过点 作 ，
， ， ， ， ，
， ， ，
，由勾股定理可知 ，
， 平面 ， 平面 ，
， 为 的中点，
，又 ， ，
平面 ， 为直线 与平面 所成角，
由（1）知 ，又 ， ，， ， ，
则 ，
， ，
，
直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
【题型4 向量法求直线与平面夹角】
满分技巧
直线与平面所成角：设 是直线 的方向向量， 是平面 的法向量，直线与平面的夹角为 .则
.
【例4】（2023·福建福州·高三校联考期中）正四棱柱 中， ，四面体
体积为 ，则 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，因为四面体 体积为 ，
所以 ，解得 ，
建立如图所示空间直角坐标系：
则 ，
所以 ，设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，所以 ，
设 与平面 所成的角为 ，
所以 ，故选：C
【变式4-1】（2023·上海嘉定·高三校考期中）在正方体 中， 是 中点，点 在线段
上，若直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设正方体边长为2，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，
则 ，
设 ，
则 ,
设平面 的法向量为 ，
则 取 ，则 ，
所以 为平面 的一个法向量，
所以
由于 ，所以 ，
所以 ，
因为 所以 .故选：B
【变式4-2】（2023·四川南充·统考一模）如图，在四棱锥 中， 平面 ，
， ， ．（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，二面角 的正切值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）如图，取 中点 ，连接 ，因为 ， ，
所以 ，且 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 面 ，所以 ，
又 ，所以四边形 是平行四边形，得到 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）如图，取 中点 ，连接 ， ，则 ，
因为 平面 ，由（1）知 ，所以 平面 ，
又 ，所以 ，过 作 ，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
因为 平面 ， 面 ，所以 ，
又 ， ，所以 面 ，
又 面 ，所以 ,
故 为二面角 的平面角，所以 ，
又 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则由 得到， ，
取 ，所以 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .【变式4-3】（2023·四川雅安·统考一模）如图，在正方体 中，点 是线段 上的动点
（含端点），点 是线段 的中点，设 与平面 所成角为 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，
设 ，不妨设 ，
则 ，
故 ，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，可取 ，
则 ，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 ，即 时， ，
综上所述， 的最小值是 .故选：A.【变式4-4】（2024·江苏南通·高三海安高级中学校考开学考试）如图，己知三棱台 的高为
1， ， 为 的中点， ， ，平面 平面 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由 ， ， ，
故 与 全等，故 ，
又 为 的中点，故 ，
又 平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，故 平面 ；
（2）连接 ，由 平面 ， 平面 ，故 ，
又 ， 为 的中点，故 ，
即 、 、 两两垂直，且 ，
故可以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
有 、 、 、 ，
由三棱台 的高为1，故 ，
故 ， 、 ，
则 ， ， ，
令平面 的法向量为 ，
则有 ，即 ，
令 ，则有 、 ，故 ，
则有 ，故 与平面 所成角的正弦值为 ，
即 与平面 所成角为 .
【题型5 几何法求平面与平面夹角】
满分技巧
1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律
（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．
（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，
在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角
a
O
B
A
2、三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用
（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜
足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角
（2）具体演示：在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，
垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。
3、垂面法（空间一点垂面法）
（1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平
面角。
（2）具体演示：过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，
面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。
4、射影面积法求二面角
【例5】（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥 的外接球半径为 ， ， ，
，则平面 与平面 的夹角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不妨设二面角 为锐角，设 的中点为 ，
因为 ，所以 为 的外接圆圆心；设 的外接圆圆心为 ，
三棱锥 的外接球球心为 ，如图，连接 ， ， ， ，
则 平面 ， 平面 ， ，
在 中， ， ，
所以由正弦定理知 ，所以 ；
在 中，由 ，得 ；
在 中，由 ， ，得 ；
在 中， ， ，则 ；
所以在 中， ，从而 ；
在平面 内过点 作 交 于 ，
则 为二面角 的平面角，易知 ，
所以 .故选：D.
【变式5-1】（2024·全国·高三专题练习）如图，三棱锥 中， 且 为正三角形，
分别是 的中点，若截面 侧面 ，则此棱锥侧面 与底面 夹角的余弦值为
.
【答案】
【解析】取 和 的中点分别为 ， ，
， 分别是 ， 的中点， , ,
由于 且 为正三角形，
，故 ,
由于 ， 分别是 ， 的中点，因此 ，故 ,
由于截面 侧面 ，所以 ,进而可得 ,由于
故 为侧面 与底面 的二面角的平面角，
设 ， ， ，
在直角 中， .
【变式5-2】（2024·北京海淀·高三统考期末）在正四棱锥 中， ，二面角 的大
小为 ，则该四棱锥的体积为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】连接 ，相交于点 ，
则 为正方形 的中心，故 ⊥底面 ，
取 的中点 ，连接 ，
则 ， ，
故 为二面角 的平面角，
所以 ，故 ，
所以该四棱锥的体积为 .故选：C
【变式5-3】（2024·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考期末）将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几
何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥 中， 两两互相垂直，则二面角
的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取 中点 ，连接 ，交平面 于点 ，
由正棱锥性质及对称性易知 为 的中心，且 ，故 为二面角的平面角，
设正三棱锥侧棱长为2，
易得 ，
则 ，
在 中由余弦定理得 .故选：D.
【变式5-4】（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）如图，在三棱柱 中，点 在平面
内的射影D在线段AC上， ， ， .
（1）证明： ；
（2）设直线 到平面 的距离为 ，求二面角 的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）连接 ，由题设，易知 为菱形，故 ，
由点 在平面 内的射影D在AC上，则 面 ，
面 ，则 ，而 ，则 ，
又 ， 面 ，故 面 ，
面 ，则 ，
而 ， 面 ，则 面 ，
由 面 ，则 .
（2）由（1）知 面 ， 面 ，则 ，
所以 是二面角 的平面角，
由 ， 面 ， 面 ，则 面 ，
直线 到平面 的距离为 ，即 到平面 的距离为 ，
又 面 ， 面 ，则面 面 ，面 ，面 面 ，即 到 的距离为 ，
由题设 ，易知 ，
点 在平面 内的射影D在线段AC上，则 为锐角，
所以 ，故 为等边三角形，即 ，
所以二面角 的大小 .
【题型6 向量法求平面与平面夹角】
满分技巧
平 面 与 平 面 的 夹 角 ： 若 分 别 为 平 面 的 法 向 量 ， 为 平 面 的 夹 角 ， 则
.
【例6】（2024·浙江宁波·高三余姚中学校联考期末）如图，在三棱锥 中， ，
， 平面 ，平面 平面 ， 是 的中点.
（1）求证： ;
（2）求平面 与平面 的夹角.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）作 ，垂足为 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 面 ，所以 平面 ，
由 平面 ，所以 .
（2）（向量法）如图，以 为原点， 及垂直面 向上为 轴正方向，
建立空间直角坐标系.
所以 ，所以 ， ，
易知平面 的一个法向量 ，
设平面 的法向量为 ，则 ,
令 ，所以 ，则 ，
所以平面 与平面 的夹角为 .
（几何法）取 中点 ， 中点 ，连结 ， ， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ，所以 ，
由（1）知， 平面 ， 平面 ，所以 ，
在直角 和直角 中 ，
，
所以 是等腰三角形，所以 ，
综上， 即为二面角 的平面角，
， ， ，则 ，
所以 为等腰直角三角形，故 ，
所以平面 与平面 的夹角为 .
【变式6-1】（2024·云南昆明·统考一模）如图，在三棱锥 中， 平面 ， 是线段 的
中点， 是线段 上一点， ， .（1）证明：平面 平面 ；
（2）是否存在点 ，使平面 与平面 的夹角为 ？若存在，求 ；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在， ．
【解析】（1）因为 ， 是 的中点，所以 ，
在直角 中， ， ，所以 ，
在 中， ， ，所以 ，得 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ，所以 平面 ，
由 平面 得 ，
又 ，所以 平面 ，
由 平面 得，平面 平面 ．
（2）存在点 满足条件，
以 为原点，建立空间直角坐标系 如图所示，
设 ，则 ， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 得 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
由已知得 ，解得 ，即 ，
所以存在点 使平面 与平面 的夹角为 ，此时 ．【变式6-2】（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）如图所示，在四棱锥 中，平面 平面
ABCD，底面ABCD为矩形， ， ， ，点M在棱PC上且 ．
（1）证明：M为PC的中点；
（2）求平面PBD与平面MDB的夹角．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）因为平面 平面 ，且平面 平面 ，
根据条件可知 ， 平面 ，则 平面 ，
且 平面 ，所以 ，
所以 ，同理可得 ，
又因为 ，所以 是等边三角形，
且 ，所以M是 的中点．
（2）以D为坐标原点，以 所在直线为 轴，
过D垂直于底面 的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ．
设 为平面 的法向量．
因为 ，可得 ，
令 ，则 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ，
因为 ，可得 ，
令 ，则 ，可得 ，设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
所以平面PBD与平面MDB的夹角 .
【变式6-3】（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）如图，在三棱柱 中， ，
， 为 的中点，平面 平面 ．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，二面角 的余弦值为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）如图，连接 与 相交于点 ，连接 ，
三棱柱 中，侧面 是平行四边形，
则 为 的中点，又 为 的中点，有 ，
平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）平面 平面 ，平面 平面 ，
底面 为正三角形， 为 的中点，则 ，
平面 ，则 平面 ，
， 平面 ， ， ，
则二面角 的平面角为 ，有余弦值为 ， 中，
由余弦定理 ，
即 ，解得 ，
过 作直线 的垂线，垂足为 ，则 ，
故 在 的延长线上， ，
， ， ，四边形 为矩形，
则 ，以 为原点， ， ， 分别为 轴， 轴， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则有 ，
令 ，则 ， ，即 ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则有 ，
令 ，则 ， ，即 ，
平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
【变式6-4】（2024·江苏南通·高三统考期末）已知 是圆锥 的底面直径，C是底面圆周上的一点，
，平面 和平面 将圆锥截去部分后的几何体如图所示．（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1） 为底面圆周上一点，
，又 ，
又 为 中点， ，
又 底面 ， 底面 ， ，
又 底面 ， 平面 ．
（2） 底面 ， 底面 ，所以 ，
又因为 ，所以以 为原点， 所在直线分别为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 ，
，
，
设平面 的一个法向量 ，
由 ， ，取 ，所以 ，
而平面 的一个法向量 ，
设二面角 平面角为 ，显然 为锐角， ．
【题型7 几何法解决空间距离问题】
满分技巧
点面距的求解方法
1、定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度；
2、等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离；
3、转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离．
【例7】（2024·河北·高三校联考期末）已知正方形 的边长为1，将正方形 绕着边 旋转至
分别为线段 上的动点，且 ，若 ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
由于 ，则 ，
在 中，利用余弦定理可得 ,
所以 ，
过 作 的垂线，垂足为 ，由 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，所以 ，
不妨设 ，则 ，
所以由余弦定理得， ，故选：A．
【变式7-1】（2024·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）如图，已知圆柱 的底面半径和母线长
均为1， 分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线 所成的角为 ，则 （ ）
A．1 B． C．1或2 D．2或
【答案】D
【解析】如图，过点 作 平面 于点 ，则 是母线，
连接 底面， ，
则四边形 是平行四边形， ，
与 所成的角就是 或其补角．当 时， 是等边三角形， ，
在 中， ；
当 时，在 中， ，
在 中， ．
综上， 或 .故选：D．
【变式7-2】（2024·重庆·高三西南大学附中校联考开学考试）如图，在正四棱柱 中，
为 的中点，则 中点到平面 的距离为 ．
【答案】
【解析】设 中点为O，O到平面 距离为 到平面 距离的一半，连接 ，
设 到平面 的距离为 ，
由 ，即 ，
，∴O到平面CDE的距离为 .
【变式7-3】（2024·陕西·高三校联考开学考试）如图，在三棱台 中，
， ， ．（1）证明： ；
（2）求点 到平面 的距离．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1） ， ，
．
同理 ,
平面 , 平面 , 平面 ,
（2） 平面 , 平面 ,
作 平面 ,
到平面 的距离 中
,
.
【变式7-4】（2023·广东·统考二模）半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的
多面体 就是一个半正多面体，其中四边形 和四边形 均为正方形，其余八个面
为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面 与平面 之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分别取 的中点 ，连接 ，根据半正多面体的性质可知，四边形 为等腰梯形；
根据题意可知 ，
而 平面 ，
故 平面 ，又 平面 ，
故平面 平面 ，则平面 平面 ，
作 ，垂足为S，平面 平面 ，
平面 ，故 平面 ，
则梯形 的高即为平面 与平面 之间的距离；
，
故 ，
即平面 与平面 之间的距离为 ，故选：B
【题型8 向量法解决空间距离问题】
满分技巧
点到平面的距离：已知平面 的法向量为 , 是平面 内的任一点， 是平面 外一点,过点 作则
平面 的垂线 ，交平面 于点 ,则点 到平面 的距离为 （如图）.
注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。
ABn
直线 与平面 之间的距离：d ，其中 ， 是平面 的法向量。
a |n | Aa,B n
ABn
两平行平面 之间的距离：d ，其中 ， 是平面 的法向量。
, |n | A,B n 【例8】（2024·广西·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中， 为线段 的中点，
为线段 的中点.直线 到平面 的距离为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
因此直线 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
如图，以 点为坐标原点， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴，
所在的直线为 轴，建立直角坐标系.
则 ， ， ， ， ，
， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，
设点 到平面 的距离为 ，
则 ，
故直线 到平面 的距离为 .故选：C.
【变式8-1】（2024·北京昌平·高三统考期末）如图，在棱长为1的正方体 中， 为线段
上的点，且 ，点 在线段 上，则点 到直线 距离的最小值为（ ）A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】由题意以 为原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系：
z
因为正方体棱长为1， ，
所以 ，
不妨设 ，
所以 ，
而 ，
所以点 到直线 的投影数量的绝对值为 ，
所以点 到直线 距离
，
等号成立当且仅当 ，即点 到直线 距离的最小值为 .故选：C.【变式8-2】（2023·河北邢台·高三宁晋中学校联考开学考试）已知四棱台 中，底面
为正方形， ， ， ， ⊥底面 ．
（1）证明： ．
（2）求 到平面 的距离．
【答案】（1）证明见解析;（2）
【解析】（1）因为 底面 ， 底面 ，所以 ，
因为底面 为正方形，所以 ，
又 平面 ， ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
（2）如图建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，
则点 到平面 的距离 .
【变式8-3】（2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）如图，四边形 是圆柱 的轴截面，点
在底面圆 上， ，点 是线段 的中点
（1）证明： 平面 ；（2）若直线 与圆柱底面所成角为 ，求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：取 中点 ，连接 ，如图所示，
为 中点，则 ，又 ，得 ，
由 ， ，得 ，
所以四边形 为平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2） ，易知 ，又 ，得 .
由 平面 ，且直线 与圆柱底面所成角为 ，即 ，则有 .
如图，以 为原点， 分别为 轴，过 垂直于底面的直线 为 轴，
建立空间直角坐标系 ，
则有 ， ，
，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，有 ，得 ， ，
设点 到平面 的距离为 ，.
【变式8-4】（2024·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考期末）如图，将圆 沿直径 折成直二面
角，已知三棱锥 的顶点 在半圆周上， 在另外的半圆周上， .
（1）若 ，求证： ；
（2）若 ， ，直线 与平面 所成的角为 ，求点 到直线 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由题意知平面 平面 ，平面 平面 ，
，且 平面 ，故 平面 ，
又 平面 ，故 ；
又 ，且 平面 ，
故 平面 ，而 平面 ，故 ；
（2）以O为坐标原点， 所在直线为 轴，过点O作平面 的垂线作为z轴，
建立空间直角坐标系，如图：
由于 ， ，
则 ，设 ,则 ，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
即 ，令 ，则可得 ，
由于直线 与平面 所成的角为 ，故 ，解得 ，
结合 ，则 ，
故 ，
由 ，则 ，
故点 到直线 的距离为 .
（建议用时：60分钟）
1．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知四棱锥 底面 是矩形，其中 ， ，
侧棱 底面 ，E为 的中点，四棱锥 的外接球表面积为 ，则直线 与 所成
角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 .可将该四棱锥补成如图所示的长方体：
则该长方体的外接球即为四棱锥的外接球，其直径为 ，
故表面积为 ，得 ，
因为 ，故 或其补角为异面直线 与 所成的角，
因为 平面 ， 平面 ，得平面 平面 ，
由 ，得 平面 ，
且 平面 ，故 ，故 为锐角，又E为 的中点，故在 中， ，
在 中， ，故 .故选：D.
2．（2023·上海虹口·高三校考期中）如图所示，在正方体 中，E为线段 上的动点，则
下列直线中与直线CE夹角为定值的直线为（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】C
【解析】设正方体的棱长为1，如图，以 为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系，
， ， ， ， ，
设 ， ，
则 ， ， ， ， ，
，不是定值，故A错；
，不是定值，故B错；
，所以直线 与直线 所成角为 ，故C正确；，不是定值，故D错.故选：C.
3．（2024·陕西渭南·统考一模）在正三棱柱 中， ， 是 的中点，则直线 与
平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取 是 的中点，连接 ，如下图所示：
设三棱柱 底面边长为 ，可得 ，
由正三棱柱性质可知 平面 ，所以 即为直线 与平面 所成角的平面角，
易知 ，由勾股定理可得 ，
所以 ；
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .故选：B
4．（2023·山东青岛·高三统考期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为
塹堵，在塹堵 中，若 ，若 为线段 中点，则点 到直线 的距离为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据塹堵的定义，建立以点 为原点的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
故 ， ，
所以 ，所以 ，
设点 到直线 的距离为 ，所以 ，解得 .故选：B.
5．（2023·山东济宁·高三济宁一中校考阶段练习）如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石
凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体
（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设 ，则平面 与平面 之间的距离
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，不妨记正方体为 ， ， ，
故四边形 是平行四边形，所以 ，
又 ， 分别为 ， 的中点，
所以 ，同理 ，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，同理 平面 ，
又 ， ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
设对角线 分别交平面 和平面 于点 ， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
连接 ，因为 分别为 的中点，
故 ，又 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，同理 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又平面 平面 ，所以 平面 ，
即为平面 与平面 的距离，则 ，
由正方体棱长为 得 ，由题意得 ， 为等边三角形，故 ，
根据 ，得 ，解得 ，
根据对称性知 ，
所以 ，
则平面 与平面 的距离为 ．故选：D
6．（2024·山东德州·高三统考期末）（多选）在棱长为1的正方体 中，下列结论正确的
是（ ）
A．点 到 的距离为 B．面 与面 的距离为
C．直线 与平面 所成的角为 D．点 到平面 的距离为
【答案】AB
【解析】以 为原点， 所在的直线分别为 正方向建立空间直角坐标系，
对于A， ， ，
所以点 到 的距离
，故A正确；
对于B， ，
， ，
设 分别为平面 、平面 的一个法向量，
所以 ，令 ，可得 ，所以 ，
，令 ，可得 ，所以 ，
所以 ，所以平面 平面 ，
可得 点到平面 的距离即为所求， ，
所以 点到平面 的距离为 ，故B正确；
对于C， ， ，设 为平面 的一个法向量，
所以 ，令 ，可得 ，所以
，
设直线 与平面 所成的角为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，故C错误；
对于D，因为平面 的一个法向量为 ， ，
所以点 到平面 的距离为 ，
故D错误.故选：AB.
7．（2023·江苏镇江·高三校考阶段练习）（多选）如图，已知正方体 的棱长为2，点P是
线段 的中点，点Q是线段 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A． 平面 B．Q到平面 的距离为
C． 与 所成角的取值范围为 D．三棱锥 外接球体积的最小值为
【答案】ACD
【解析】A：由题意可知 ，
且 面 ， 面 ，所以面 面 ，
又因为 面 ，所以 平面 ，故A正确；
B：因为 平面 ，所以Q到平面 的距离等于 到平面 的距离，
以 所在直线分别为 轴，以 为原点建立空间直角坐标系，如图则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，所以 ，
所以 到平面 的距离 ，故B错误；
C：因为 ，所以 与 所成的角就是 与 所成的角，
因为点Q是线段 上的动点（不含端点），
所以 与 所成角的最大值为 ，
又因为 ， ，
所以 ，
所以在 中， ，即为 与 所成角的最小值，但不能取得，
所以 与 所成角的取值范围为 ，故C正确；
D：因为 ，又 是直角三角形， ，取 的中点 ，
则 ，
因为棱锥 外接球体积最小，
所以 在 处，所以 ，
所以 为 外接球的球心，所以 ，
所以 ，故D正确；故选：ACD
8．（2023·广西·模拟预测）如图，已知在矩形 和矩形 中， ， ，且二面角
为 ，则异面直线 与 所成角的正弦值为 ．【答案】
【解析】连接 ， ， ，取 中点 ，连接 ， ，
∵四边形 ， 为矩形，∴ ， ，
平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，
∴ 即为二面角 的平面角，∴ ，
又 ， ，∴ ，∴ 为等边三角形，∴ ；
∵ ， 分别为 ， 中点，∴ ， ，
∴ （或其补角）即为异面直线 与 所成角，
∵ ，∴ ，
∴ ，
所以异面直线 与 所成角的正弦值为 ．
9．（2024·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期末）如图， 在圆台 中， ，点C是底面圆周
上异于A、B的一点， , 点D是 的中点， 为平面 与平面 的交线， 则交线 与平面
所成角的大小为 ．
【答案】【解析】因为 ，D分别是 ，BC的中点，所以 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，平面 平面 ，
所以 ， ，所以 ，
所以直线l与平面 所成角即直线 与平面 所成角，
因为 为直径，所以 ，因为 ，即 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
平面 ，所以 平面 ，
过点 作 交 于点 ，
因为 平面 ，所以 ， ，
， 平面 ，所以 平面 ，
所以 为交线l与平面 所成角，
因为 ， ， .
所以，结合图知 .
10．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，四边形
为矩形， 为 的中点．
（1）求异面直线 与 所成的角；
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1） 是异面直线 与 所成的角或其补角，
，
∴异面直线 与 所成的角为 ．
（2）∵平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，
平面 ， 平面 ，
平面 ，
平面 平面 ，
又 是二面角 的平面角．平面 平面 ，
．
，即二面角 的余弦值为 ．
11．（2024·重庆九龙坡·高三重庆实验外国语学校校考开学考试）如图．在四棱锥 中，已知底面
为矩形，侧面 是正三角形，面 底面 ， 是棱 的中点．
（1）证明： ；
（2）若 ，且二面角 的大小为 ，求异面直线 与 所成角的正切值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）因为侧面 底面 ，侧面 底面 ，
又因为底面 为矩形，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ．
又 平面 ，所以 ．
又侧面 是正三角形， 是 的中点，所以 ．
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ．
又因为 平面 ，所以 ．
（2）如图，过点 作 ，垂足为 ，易得 为 的四等分点，
．
由于侧面 底面 ，交线为 ，
所以 底面 ，过 作 ，垂足为 ，连接 ，
则 即为二面角 的平面角，其大小为 ．
在 中， ，所以 ，所以 ．
因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，从而 ．
由（1）知 平面 ，所以 为直角三角形，
所以异面直线 与 所成角即为 ．12．（2024·山西临汾·统考一模）如图，在三棱柱 中， ， ，
，二面角 的大小为 .
（1）求四边形 的面积；
（2）在棱 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ？若存在，求出
的长；若不存在，说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在， .
【解析】（1）在三棱柱 中，取 的中点 ，连接 ，
在 中，由 ， ，得 ， ，
在 中，由 ， ，得 ， ，
则 为二面角 的平面角，即 ，
在 中，由余弦定理得 ，解得 ，
又 ， 平面 ，则 平面 ，
而 平面 ，于是 ，
显然 ，则 ，
所以平行四边形 的面积 .
（2）由（1）知 ，有 ，则 ，
同理 ，又 ， ，即 ，则 ，
以 为原点，直线 分别为 轴，建立空间直角坐标系，
， ， ， ，
， ，假设存在点 满足题意，不妨设 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，解得 ，
此时 ，
所以存在点 满足题意，且 的长为 .
