专题4.2应用导数研究函数的单调性2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）原卷版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题4.2 应用导数研究函数的单调性 1. 了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区 新课程考试要求 间. 本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、数学建模、直观想象（例4.5）、 核心素养 数学运算（多例）、数据分析等. （1）以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或 范围，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合； 考向预测 （2）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结 合考查，综合性较强.其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性． 【知识清单】 1．利用导数研究函数的单调性 (a,b) f(x) f '(x) (a,b) 在 内可导函数 ， 在 任意子区间内都不恒等于0. f '(x)0 f(x) (a,b) 在 上为增函数． f '(x)0 f(x) (a,b) 在 上为减函数． 【考点分类剖析】 考点一 ：判断或证明函数的单调性 【典例1】（2020·辽宁高三期中）已知函数 . （1）讨论函数 的单调性； （2）若函数 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围. 【典例2】（2020·全国高考真题（理））已知函数f(x)=sin2xsin2x. （1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性； 【规律方法】 1．利用导数证明或判断函数单调性的思路 求函数f(x)的导数f′(x)：(1)若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；(2)若f′(x)<0，则y＝f(x)在(a，b)上单 调递减；(3)若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性． 2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数 的定义域；②求导数 ；③由 f(x) f' (x) f' (x)>0 （或 ）解出相应的 的取值范围，当 时， 在相应区间上是增函数；当 时， f' (x)<0 x f' (x)>0 f(x) f' (x)<0 f(x)在相应区间上是减增函数.【变式探究】 f(x)ex a(x2) 1. （2020·全国高考真题（文））已知函数 . a1 f(x) （1）当 时，讨论 的单调性； 1 f x x2 axa1lnx 2.已知函数 2 ，a 1。 f '(2)0 a （Ⅰ）若 ，求 的值； f x （Ⅱ）讨论函数 的单调性。 【易错提醒】 1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域. 2.当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的标准有以下几种可能： (1)f′(x)＝0是否有根； (2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定义域内； (3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小． 考点二 ：求函数的单调区间 【典例3】（2021·安徽芜湖市·高三二模（文））已知函数 ． （1）若 ，求函数 的单调区间； （2）若函数 为定义域内的单调递增函数，求实数 的取值范围． 【总结提升】 利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间． (2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的 符号，从而确定单调区间． (3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而 确定单调区间． 温馨提醒：所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，” “和”字隔开． 【变式探究】 f(x) xlgx f(x) f(x) （2020·金华市曙光学校高二月考）已知 ，那么 单调递增区间__________； 单调递减区间__________. 考点三 ：利用函数的单调性研究函数图象 【典例4】（2021·浙江高考真题）已知函数 ，则图象为如图的函数可能是（ ） A． B． C． D． ex ex f x 【典例5】（2018·全国高考真题（理））函数 x2 的图像大致为 ( ) A． B． C． D． 【规律方法】 1.函数图象的辨识主要从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 2．函数的图象与函数的导数关系的判断方法 (1)对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减． (2)对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数 的单调区间是否一致． 【变式探究】 1.（2020·安徽金安�六安一中高三其他（文））已知函数f(x)＝ex－(x＋1)2(e为2.718 28…)，则f(x)的大致图 象是（ ） A． B． C． D． 2.（2019·云南高考模拟（文））函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，则函数y=f (x)的图象 可能是（ ） A． B． C． D． 考点四 ：利用函数的单调性解不等式 【典例6】（2021·云南昆明市·昆明一中高三其他模拟（文））已知函数 ，若，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【总结提升】 比较大小或解不等式的思路方法 (1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大 小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数． (2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等 关系． 【变式探究】（2020·山东奎文�潍坊中学高二月考）【多选题】设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇   函数和偶函数，f′（x），g'（x）为其导函数，当x＜0时，f′（x） g（x）+f（x） g'（x）＜0且g（﹣3）  ＝0，则使得不等式f（x） g（x）＜0成立的x的取值范围是（ ） A．（﹣∞,﹣3） B．（﹣3,0） C．（0,3） D．（3,+∞） 考点五 ：利用函数的单调性比较大小 【典例7】（2021·昆明市·云南师大附中高三月考（文））已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【总结提升】 f x  f x  f x  f x f x  在比较 1 ， 2 ，， n 的大小时，首先应该根据函数 的奇偶性与周期性将 1 ， f x  f x  2 ，， n 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．  0, 【变式探究】（2020·新泰市第二中学高三其他）【多选题】已知定义在( 2)上的函数 f(x)， f(x)是 f(x) cosxf(x)sinxf(x)0 的导函数，且恒有 成立，则（ ）     f( )＞ 2f( ) 3f( )＞f( ) A． 6 4 B． 6 3    f( )＞ 3f( ) 2f( )＞ 3f( ) C． 6 3 D． 6 4 考点六 ：利用函数的单调性求参数的范围（值） 【典例8】（2020·全国高三其他模拟（文））若函数 在 上单 调递增，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【典例9】（2021·宁夏石嘴山市·高三二模（文））设函数 ， ． （1）求 的单调区间； （2）设函数 是单调递增函数，求实数 的值． 【总结提升】 1.由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参 数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围．注意检验参数取“＝”时是否满足题 意． (2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集， 从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意． (3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区 间的子集，从而求出参数的取值范围． 2．恒成立问题的重要思路 (1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x) ． max (2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x) ． min 【变式探究】 f xkxlnx 1, k 1.（2020·山东肥城高二期中）若函数 在区间 单调递增，则 的取值范围是______； f x 1, k 若函数 在区间 内不单调，则 的取值范围是______.2．（2021·全国高三专题练习（理））设函数 . （1）若 ，求函数 的单调区间； （2）若 在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.